3.3 圆的对称性（第2课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦苏科版九年级上册3.3圆的对称性（2），核心内容为圆的轴对称性及垂径定理。通过回顾轴对称图形旧知，结合“折纸找圆心”情境引入，搭建从直观感知到定理探究的学习支架。 此资料以“折—画—证—用”四段递进设计，通过折纸实验培养几何直观，全等证明发展推理能力，“圆材埋壁”等实例强化应用意识。多样化练习助学生构建模型思维，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率与学生核心素养。

3.3 圆的对称性（2） 教学设计 1.教学内容 本节选自苏科版九年级上册第三章《圆》3.3 圆的对称性（2）： 1.圆的轴对称性——“过圆心的任意一条直线都是对称轴”； 2.垂径定理——“垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧”； 3.垂径定理在求弦长、半径、弦心距及实际模型中的应用。 2.内容解析 本节在“圆的基本性质”框架内，承接前一课已知“圆是轴对称图形”的结论，通过折叠与画垂线的数学活动，帮助学生直观感受“过圆心直线皆为对称轴”，并以此引出弦与直径的特殊位置关系。借助对称思想与全等三角形证明，抽象出“垂径定理”，再经“条件—结论”模式澄清定理结构，培养学生的几何逻辑表达能力。随后的例题以“半径—半弦—弦心距”直角三角形为核心模型，配合 的数形结合，引导学生解决求长、算半径及生活实际问题，彰显几何知识的应用价值。整节课通过“折—画—证—用”四段递进，突出“对称思想”“垂直+平分”这一几何核心联系，落实数学核心素养中的“空间观念、几何直观、推理能力与应用意识”。 1.教学目标 •理解圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 •掌握垂径定理的内容，准确区分“垂直”“过圆心”“平分”中的条件与结论，能规范书写几何推理语言。 •能综合运用垂径定理与勾股定理解决弦长、半径、弦心距及相关实际问题。 2.目标解析 •能通过折纸或画图说明圆的无数条对称轴；能正确口述定义； •在给出的图形中判断是否满足垂径定理的条件；能够用“已知—求证—证明”格式完成定理的证明或应用推理。 •面对课堂、课后及生活化问题，能够主动作“过圆心且垂直于弦的线”，建立 直角三角形，独立列方程并求解相关量。 3.重点难点 • 教学重点：① 圆的无限对称轴及其判定；② 垂径定理的内容与应用模型。 • 教学难点：① 准确提取并区分垂径定理的条件、结论；② 将垂径定理与勾股定理结合，建模解决综合与实际问题。 九年级学生已掌握轴对称、三角形全等与勾股定理，对圆的基本概念、性质及简单作图有初步经验；具备使用直尺、圆规作图及用代数方法求未知量的能力。易学点：利用折纸、画图感知圆的轴对称性；根据“垂直+过圆心”快速判断平分关系。难学点： 1.垂径定理的“条件—结论”结构易混淆，学生常把“垂线”与“过圆心”之一当作充分条件； 2.解决实际问题时，如何恰当作辅助线，将几何关系转化为 的方程建模，有一定抽象与迁移难度。需通过操作体验、对比练习与多元化情境，引导学生在“看见垂直→想到平分→构直角三角形→用勾股”这一思维链条上形成稳固迁移。 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 什么样的图形叫做轴对称图形？ 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴． 圆是轴对称图形吗？若为轴对称图形，它有多少条对称轴？ 圆是轴对称图形．经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴． 问题引入 假如你手里有一张圆形的纸片，在不借助任何测量工具（如直尺、圆规）的情况下，你能否只通过折纸的方式，快速、准确地找到它的圆心？ 【设计意图】利用情境引出“轴对称”旧知与“圆的对称性”新课题，激发学习兴趣。 探究点1：圆的轴对称性 1.讨论交流 ①如图，在透明纸上画⊙O和⊙O的直径AB，将⊙O沿直径AB对折，你发现了什么？ 直径两旁的部分完全重合. ②如图，任意画⊙O的一条弦CD，使CD⊥AB，垂足为P，点C，D关于AB对称吗？图中还有哪些关于AB对称的点？ 点C、D关于直线 AB 对称.圆上任意一组到直线 AB 距离相等且分别在 AB 两侧的点都关于 AB 对称． 2.新知归纳 通过以上活动，我们得到如下结论： 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． 注意：直径不是圆的对称轴，直径所在的直线才是圆的对称轴．圆有无数条对称轴． 【设计意图】通过操作实验与观察，突破学生对“直径本身是否为对称轴”的易错点；培养动手实践与观察归纳能力。 探究点2　垂径定理的发现与证明 1.观察思考 根据圆的轴对称性，你能在图中找到哪些相等关系？ 找出的相等关系，你能给出证明吗？ 证明：如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O 的弦， AB⊥CD，垂足为P．连接OC，OD． 在△OCD中， ∵ OC＝OD，OP⊥CD， ∴ PC＝PD，∠BOC＝∠BOD， ∴ ∠AOC＝∠AOD． ∴＝，＝． 2.新知归纳 垂径定理 3.探究交流 怎样修改图 (2)、(4) 能够满足垂径定理的条件？ 垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”． 4.例题讲解 例2 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝10．求直径CD的长． 注：这其实就是《九章算术》中的“圆材埋壁”问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? 分析： ① 看到垂直于弦的直径，你能联想到什么？ ② 要求直径CD，可以先求什么？ ③ 图中有哪些半径？ ④ 直角三角形三边之间有什么关系？ 解：如图，连接OA． 设 OA＝r，则 OE＝OC－CE＝r－1． ∵ AB⊥CD，AB＝10， ∴ AE＝EB＝5（垂径定理）． 在Rt△OAE中，＝＋． ∴ ＝＋． 解这个方程，得 r＝13． ∴ CD＝2r＝2×13＝26． 思路总结：见垂直，想定理，得半弦；连半径，构直角，列方程． 变式训练 如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE＝3．求弦CD的长． 解：连接OC． ∵直径AB＝10， ∴ OC＝5． 在Rt△OCE中，由勾股定理，得 CE＝＝4． ∵ 弦CD⊥AB， ∴ CD＝2CE＝8． 5.归纳总结 6.典例分析 例3 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：AC＝BD． 方法1：连接OA，OB，OC，OD． 证明△OAC≌△OBD(或证明△OAD≌△OBC)． 方法2：连接OA，OB，OC，OD．过点O作OE⊥AB于点E，利用等腰三角形的性质证明． 方法3：过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可证． 哪种方法更简洁？ 解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E． ∵ OE⊥AB， ∴ AE＝BE，CE＝DE (垂径定理)． ∴ AE－CE＝BE－DE， 即 AC＝BD． 方法总结：同心圆，共弦长，作垂线，分两双；大圆小圆各平分，等量相减得短长． 【设计意图】通过同心圆问题，深化“垂径定理+等量转化”思想，培养学生融会贯通、优化解法的意识。 1.问题引入中，你能在不借助任何测量工具（如直尺、圆规）的情况下，只通过折纸的方式，快速、准确地找到圆形纸片的圆心吗？ 解： 2.如图，AB，CD是⊙O的两条弦， AB∥CD．与相等吗？为什么？ 解：与相等．作垂直于弦AB的直径MN． ∵ MN⊥AB ，AB∥CD， ∴ MN⊥CD． ∴，． ∴－＝－， 即 . 3.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P在AB上运动．求OP的取值范围． 解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，则OC的长 为点O到AB的距离. 连接OA． ∵ OC⊥AB， ∴ AC＝CB＝AB＝4． 在Rt△AOC中，由勾股定理，得 OC＝＝3． ∴ OP的取值范围为3≤OP≤5． 4. 在一个给定的圆中能否用直尺和圆规作出下列内接多边形？如果可以，作出相应的图形． (1) 正三角形； (2) 菱形； (3) 梯形． 解： (1) 正三角形可以作出．作法如下： ① 作圆的任意一条直径AD； ② 以D为圆心、⊙O的半径为半径画弧 (或作OD的中垂线)，交⊙O于B、C； ③ 顺次连接A、B、C． △ABC即为圆内接正三角形． (2) 菱形：只有正方形这种特殊菱形能内接于圆，普通菱形不行． 正方形的作法如下： ① 作直径AC； ② 过O点作直径AC的垂线，交⊙O于B、D； ③ 顺次连接A、B、C、D． 四边形ABCD即为圆内接正方形． (3) 梯形：可以作出圆内接等腰梯形． 圆内接等腰梯形的作法如下： ① 画一条弦CD； ② 分别以C、D为圆心，相同的半径为半径 画弧，分别交⊙O于A、B； ③ 连接AC、AB、BD． 四边形ABCD即为圆内接等腰梯形． 能力提升 1.如图，过⊙O内一点P画弦AB，满足什么条件时，P是AB的中点？说明理由． 解：当AB⊥OP时，P是AB的中点． 理由如下： ∵ 直线OP经过圆心O，AB⊥OP， 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦， ∴ P是弦AB的中点． 2．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB⊥AC，AB＝8，AC＝6． 求⊙O的半径． 解：过圆心O作AB、AC的垂线，垂足分别为D、E，连接OA 在矩形ADOE中， OD＝AE＝AC＝3， AD＝AB＝4． 在Rt△OAD中，由勾股定理得， OA＝＝5． ∴⊙O的半径为5 3．如图是一根圆柱形下水管道的横截面，管内有少量的积水，此时水面的宽AB 为 0.6m，积水的最大深度为 0.1m． (1) 求此下水管道横截面的半径； (2) 随着积水量的增加，水面又抬升0.7m，此时水面的宽度增加了多少？ (1) 作半径OD⊥AB于C，连接OA． 则CD＝0.1m． 由垂径定理，得AC＝AB＝×0.6＝0.3m． 设⊙O的半径为rm，则OA＝OD＝rm ， OC＝OD－CD＝(r－0.1)m． 　　在Rt△OAC中，由勾股定理，得＝＋， 　　 r2＝0.32＋(r－0.1)²，解得 r＝0.5． 答：此下水管道横截面的半径为0.5m． (2)如图，设此时水面为MN． 过点O作OH⊥MN于H，连接OM． ∵ OH⊥MN，∴ NH＝MH． ∵水面又抬升0.7m， ∴ OH＝0.1＋0.7－0.5＝0.3m． 在Rt△OMH中，由勾股定理，得 MH＝0.4m． ∴ MN＝2MH＝2×0.4＝0.8m．MN－AB＝0.8－0.6＝0.2m． 答：水面的宽度增加了0.2m． 【设计意图】练习由易到难，分别针对“半径—弦—弦心距”模型、垂径定理反向应用、弦与弦的综合性质以及命题探究，巩固并升华新知。 主板书 3.3 圆的对称性（2） 探究点1：圆的轴对称性 探究点2　垂径定理的发现与证明 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $