专题01 三角形的概念、与三角形有关的线段（精讲） 2026--2027学年人教版八年级数学上册

专题01 三角形的概念、与三角形有关的线段 考点01（★★）三角形的分类 7 考点02（★★）判断三条线段能否构成三角形 9 考点03（★★）确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围 10 考点04（★★）作三角形的高 12 考点05（★）三角形的稳定性 14 考点06（★★★）与三角形的中线有关的面积问题 15 考点07（★★）与三角形的中线有关的周长问题 17 1．三角形的有关概念及其表示 （1）三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． （2）三角形的基本元素： 组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． （3）三角形中角与边的对应关系： ∠A，∠B，∠C所对的边分别是BC，CA，AB；反过来三条边AB，BC，CA所对的角分别是∠C，∠A，∠B． （4）三角形的表示： 三角形用符号“△”表示，顶点为A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”． 2．三角形的分类 （1）按角分类： （2）按边分类： 3．等腰三角形和等边三角形 （1）有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角． （2）三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形． 4．三角形的三边关系 （1）三角形任意两边的和大于第三边． 三角形任意两边的差小于第三边． （2）理论依据：两点之间，线段最短． （3）判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （4）三角形三边关系的主要应用 ①判断已知的三条线段能否构成三角形． ②确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围． ③解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）． ④式子的化简． 5．三角形的中线 （1）三角形的中线的概念 在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫作三角形这条边上的中线． （2）三角形中线的几何语言表达形式 如图，①是的边上的中线． ②点D是边的中点． ③． （3）三角形中线的数量和交点的位置 中线的数量：3． 中线的位置：三条中线都在三角形的内部． 中线交点的位置：在三角形的内部． （4）三角形的重心 一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点．三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． （5）三角形的一条中线所分成的两个三角形的面积及周长的关系 如图，是的边上的中线． ①面积关系： ②周长关系：|的周长的周长|=|| 6．三角形的角平分线 （1）定义：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． （2）几何语言表达形式 ①是的角平分线． ②且点在边上． （2）三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线相交于三角形内一点（三角形的内心）． 7．三角形的高 （1）三角形的高的概念 从三角形的一个的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足所连线段叫作三角形这条边上的高． （2）三角形的高的几何语言表达形式 ①是的边上的高． ②于点． ③． （3）三角形的高的画法 一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上． 二移：移动三角尺使另一条直角边通过这条边所对的顶点． 三画：画垂线段． （4）三角形的高的位置 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 三条高的位置 锐角三角形的三条高都在三角形的内部 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上 三条高的交点 三条高交于三角形内部一点 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点 8．三角形的稳定性 （1）三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就不会改变了，这个性质叫做三角形的稳定性． （2）三角形的稳定性在实际生活中有很多用处．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条（或两条）木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架、索道支架等都采用三角形结构，也是这个道理． ● 1．三角形的中线、角平分线、高均为线段，可以求长度，不是直线． 2．三角形任意两边的和大于第三边．三角形任意两边的差小于第三边．注意“任意”俩字． 考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高 考点01（★★）三角形的分类 ⸙⸙ 三角形的两种分类方法是各自独立的，同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形． 【例1】　（2026秋•内黄县月考）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的Q表示（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类解答即可． 【解答】解：三角形按边的相等关系分类，可分为两类：三边都不相等的三角形，和至少有两边相等的等腰三角形； 而等边三角形是特殊的等腰三角形，对应图里嵌套在等腰三角形内部的Q， 因此Q表示等边三角形． 故选：D． 【例2】　（2026秋•临翔区月考）下列关于三角形的分类，正确的是（　　） A．三角形按边分类可分为等腰三角形和等边三角形 B．三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．等腰三角形一定是锐角三角形 【答案】B 【分析】根据三角形的分类逐项判断． 【解答】解：A选项，三角形按边分类分为不等边三角形和等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，不能与等腰三角形并列，错误； B选项，三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确； C选项，三个角均为锐角的三角形是锐角三角形，有一个锐角的三角形可能为直角或钝角三角形，错误； D选项，等腰三角形的顶角可以是直角或钝角，不一定是锐角三角形，错误． 故选：B． 【例3】　（2025秋•江州区期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可． 【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 考点02（★★）判断三条线段能否构成三角形 ⸙⸙ 快速判断三条线段能否构成三角形的技巧 只要满足三条线段中较短的两条线段之和大于第三条线段的条件，或者只要满足最长线段与最短线段的差小于第三条线段的条件就能构成三角形，否则不能． 【例4】　（2025秋•和田市期末）以下各组线段及边，能组成三角形的是（　　） A．3，2，6 B．3，5，7 C．3，4，8 D．4，3，7 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可． 【解答】解：A、3+2＝5＜6，3，2，6不能组成三角形，不符合题意； B、3+5＝8＞7，3+7＝10＞5，5+7＝12＞3，3，5，7能组成三角形，符合题意； C、3+4＝7＜8，3，4，8不能组成三角形，不符合题意； D、4+3＝7＝7，4，3，7不能组成三角形，不符合题意． 故选：B． 【例5】　（2026春•武侯区校级期中）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【解答】解：①3+4＜8，不能组成三角形； ②8+7＝15，不能组成三角形； ③13+12＞20，能够组成三角形； ④5+5＜11，不能组成三角形． 故选：C． 【例6】　（2025秋•东海县期末）以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（　　） A．2cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm 【答案】B 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解答】解：A、2+2＝4，不能构成三角形，故A不符合题意； B、6+4＞8，能构成三角形，故B符合题意； C、5+6＜12，不能构成三角形，故C不符合题意； D、2+3＜6，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 考点03（★★）确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围 ⸙⸙ 利用三条线段中较短的两条线段之和大于第三条线段或最长线段与最短线段的差小于第三条线段的条件解题． 【例7】　（2025秋•龙江县期末）如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA＝12米，OB＝7米，则A，B间的距离不可能是（　　） A．5米 B．7.5米 C．10米 D．18.9米 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得12﹣7＜AB＜12+7，计算出AB的取值范围可得答案． 【解答】解：连接AB， 根据三角形的三边关系可得12﹣7＜AB＜12+7， 即5＜AB＜19， 故选：A． 【例8】　（2025秋•珠海校级期末）一位木工师傅有两根长分别是20cm和50cm的木条，他需要用第三根木条钉成一个封闭的三角形框架，则第三根木条的长度可以为（　　） A．20cm B．30cm C．45cm D．80cm 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系，先确定第三根木条长度的取值范围，再结合选项判断符合条件的长度． 【解答】解：设第三根木条长为xcm， ∵三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴根据三角形的三边关系有：50﹣20＜x＜50+20，即30＜x＜70， 结合选项，只有45cm满足该取值范围，所以只有选项C正确，符合题意． 故选：C． 【例9】　（2026春•洛江区期末）要制作三角形相框，已有两根长度4cm和8cm的木条，现需再选一根木条拼接，下列长度中可选用的是（　　） A．3cm B．4cm C．11cm D．12cm 【答案】C 【分析】设第三根木条的长度为xcm，利用三角形的三边关系可得8﹣4＜x＜8+4，再解不等式，进而可得答案． 【解答】解：设第三根木条的长度为xcm，由题意得： 8﹣4＜x＜8+4， 解得：4＜x＜12， 故选：C． 考点04（★★）作三角形的高 ⸙⸙ 正确画出三角形的高要掌握两点： （1）“高”与顶点的对边所在的直线垂直（即“高”与顶点的对边所在直线的夹角为90°）； （2）画三角形的高时，首先要明确画的是三角形哪条边上的高，再过该边所对的顶点画三角形的高． 【例10】　（2026春•阳谷县期末）小涵求△ABC的面积时，作了AB边上的高，下列作图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的高线的定义，作AB边上的高即过点C向边AB引垂线，垂足为D即可． 【解答】解：由题意，作AB边上的高即过点C向边AB引垂线，垂足为D，作图正确的是： 故选：D． 【例11】　（2025秋•大连期末）下列四个图形中，BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的高的定义分析判断即可得到答案． 【解答】解：A、BD不是△ABC的高，说法错误，故不符合题意； B、BD不是△ABC的高，说法错误，故不符合题意； C、线段BD是△ABC的高，说法正确，故符合题意； D、BD不是△ABC的高，说法错误，故不符合题意． 故选：C． 【例12】　（2025秋•宜州区期末）下列四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作AC边的垂线，垂足为D，那么线段BD即为△ABC的高，据此逐一判断即可． 【解答】解：由三角形高的定义可得，四个图中只有D选项中的图符合题意， 故选：D． 考点05（★）三角形的稳定性 ⸙⸙ 三角形的稳定性在生产和生活中应用广泛．例如房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． 【例13】　（2025秋•望奎县期末）如图，在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的（　　） A．稳定性 B．灵活性 C．对称性 D．全等性 【答案】A 【分析】三角形的特性之一就是具有稳定性． 【解答】解：这是利用了三角形的稳定性．故选A． 【例14】　（2025秋•亭湖区期末）下列生活实例中，没有用到三角形的稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【解答】解：三角形具有稳定性，选项C中活动门上没有三角形，其余A、B、D选项中都含有三角形， 故选：C． 【例15】　（2026•武进区校级一模）安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【解答】解：安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故选：B． 考点06（★★★）与三角形的中线有关的面积问题 ⸙⸙ 1．三角形的中线等分三角形的面积 三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相等的两部分．应用此结论，可解决有关三角形的面积问题． 2．用等面积法解决问题 等面积法是利用“同一个三角形的面积相等”“分割图形后各部分面积之和等于原图形的面积”“同底等高或等底同高的两个三角形的面积相等”等来解决问题的方法． “等面积法”是解决图形中高或其他线段的关系的主要方法，常利用面积的相等关系构造方程或等式解决问题． 【例16】　（2025秋•靖边县期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上的一点，连接BE，CE，若△ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为12， ∴S△ADCS△ABC12＝6，S△BDE＝S△CDE， ∴S△BDE+S△AEC＝S△CDE+S△ACE＝S△ADC＝6， 故选：D． 【例17】　（2025秋•赤坎区期末）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，，则三角形ABC的面积是（　　） A．6cm2 B．9cm2 C．12cm2 D．18cm2 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ACD， ∵CE是△ACD的中线， ∴S△ACD＝2S△ACE， ∴S△ABC＝4S△ACE， ∵， ∴．． 故选：C． 【例18】　（2025秋•兴化市期末）如图，AD是△ABC的中线，S△ABD＝4，则△ABC的面积是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据三角形的中线得出相等的边，然后根据等底同高得出三角形面积的关系． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵S△ABD＝4， ∴S△ABD＝S△ACD＝4， ∴S△ABD+S△ACD＝4+4＝8，即△ABC的面积是8， 故选：B． 考点07（★★）与三角形的中线有关的周长问题 ⸙⸙ 三角形的周长问题先将周长用线段的和表示，再分析题目中线段之间的数量关系，列式求解． 【例19】　（2025秋•凉州区期末）如图，BD是△ABC的中线，AB＝5cm，若△ABD的周长比△CBD的周长多2cm，则BC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．6cm D．7cm 【答案】A 【分析】由于BD是AC边上中线，所以AD＝CD，所以△ABD的周长比△ADC的周长多的部分等于AB﹣BC，再根据AB＝5cm即可得出BC的长． 【解答】解：∵BD是AC边上中线， ∴AD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝AB﹣BC， ∵△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，且AB＝5cm． ∴5﹣BC＝2，即BC＝3cm． 故选：A． 【例20】　（2025秋•关岭县期末）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义，可得BD＝DC，进而计算△ABD与△ACD的周长即可求得答案． 【解答】解：△ABD的周长为AB+AD+BD，△ACD的周长为AC+AD+DC， ∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵AB＝8，AC＝6， ∴△ABD与△ACD的周长之差为 AB+AD+BD﹣（AC+AD+DC）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣DC＝AB﹣AC＝8﹣6＝2． 故选：B． 【例21】　（2026春•西安期末）如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7．若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为（　　） A．15 B．16 C．20 D．19 【答案】D 【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝CD，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ACD的周长为18， ∴AC+AD+CD＝18， ∴AD+CD＝18﹣7＝11， ∴△ABD的周长为：AB+AD+BD＝8+AD+CD＝11+8＝19， 故选：D． 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $