专题02三角形的内角与外角 期中复习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题02三角形的内角与外角期中复习讲义 ✵复习目标 1.掌握三角形内角和定理，了解定理的证明思路，能运用定理进行角度计算与简单几何说理。 2.掌握直角三角形两锐角互余的性质及其逆判定方法，能够识别并判定直角三角形。 3.理解三角形外角的定义，熟练运用外角性质进行角度推导。 4.综合运用内角、外角相关知识，解决方程计算、推理证明类题型，规范书写几何推理步骤。 ✵高频题型梳理 题型1.三角形内角和定理的证明、应用 题型2.与平行线有关的三角形内角和问题 题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题 题型4.三角形折叠中的角度问题 题型5.直角三角形的两个锐角互余 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 题型8.三角形的外角的定义及性质 题型9.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、三角形的内角及内角和定理 1.内角定义：三角形相邻两边组成的角，叫做三角形的内角。任意三角形有且仅有三个内角，内角均在三角形内部。 2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 几何表达：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 3.三角形内角和定理的证明方法 ★利用两直线平行，内错角相等将三角形的三个内角拼接转化为一个平角。 4.直角三角形的性质与判定 直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余。 在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90° 直角三角形的表示方法：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形。 知识点二、三角形的外角 1.外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 ∠ACD是△ABC的一个外角. ∠ACD=∠A+∠B ✔实际上，三角形的一个外角是和它相邻内角的邻补角。 要点提示： ◆外角的顶点与三角形顶点重合； ◆外角一条边是三角形的边，另一条边是三角形某条边的延长线； ◆一个三角形共有 6 个外角，同一顶点处的两个外角大小相等。 2.外角的性质 性质1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 性质2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； 推论：三角形的外角和等于360°。 要点提示：外角性质中的两个内角，必须是和外角不相邻的内角，相邻内角与外角互补。 ✵易错提醒 1. 运用外角性质时，务必注意 “不相邻”，外角不等于它相邻内角与其余内角的和。 2. 区分直角三角形的性质与判定：已知直角，可得两锐角互余；已知两角互余，可判定为直角三角形。 3. 角度比例类题型，一般设未知数，结合内角和定理列方程求解，算出角度后再判断三角形类型。 4. 内角和为180°，外角和为360°，注意区分，避免混淆。 5.几何说理题书写推理过程时，要标注推理依据，保证步骤规范。 ✵典例精讲 题型1.三角形内角和定理的证明、应用 1．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：①．由，则，．由，得． ②．由，则，．由，得． ③．由于，则，无法证得三角形内角和是． ④．由，得，．由，得，，那么．由，得． ∴能证明的内角和是的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 2．一个正方体小木块静止在斜面上的受力分析情况如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力G方向的夹角，则斜面的坡角的度数为______． 【答案】 【分析】标示字母，延长交水平面于点H，由平行线的性质可得，由题意可得，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：如图，标示字母，延长交水平面于点H． 摩擦力的方向与斜面平行，摩擦力与重力G方向的夹角， ． 重力G的方向竖直向下，， ． 3．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据角之间的关系可以求出，即可求出，再根据直角三角形的两个锐角互余求出的度数； （2）根据三角形的面积公式可得，即可求出的长． 【详解】（1）解：是的高，， ， ， ， ， 是的高， ； （2）解：，是的两条高， ， 即， ． 题型2.与平行线有关的三角形内角和问题 1．已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 2．如图是从一个帆船模型抽象的几何图形，其中，若，，则的度数为__________． 【答案】/35度 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线性质推出，再结合题意进行等量代换推出，进而即可证明； （2）利用角平分线定义求出，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：平分， ， ， 结合（1）可知， ， ． 题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题 1．在中，，，的平分线交于点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：如图： ∵， ∴． ∵，分别是，的平分线， ∴，． ∴． ∴． 2．如图，在中，，的平分线相交于点O，、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据高、外角的定义以及三角形内角和定理求出，，的度数，设，，利用角平分线的定义用分别表示，利用三角形内角和求出，再次利用三角形内角和即可求出的度数． 【详解】解： 、分别为边，边上的高， ， ，，， ， ， ， 设，， ，， ，的平分线相交于点， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ． 3．如图，在中，于点D，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出； （2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：是的中线， ， ， ， 的周长比周长小， ， ， ， ． 题型4.三角形折叠中的角度问题 1．如图，在三角形纸片中，D，E分别是边上的点，将三角形纸片沿折叠，使点A落在边上的点F处，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据折叠的性质确定，的角度，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 2．如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则等于______． 【答案】 【详解】解：在中，，， ． 由折叠的性质可得， ． 3．把沿对折，折叠后的图形如图所示．若，．求的度数． 【答案】 【分析】由，得，再由折叠的性质得，从而得出答案． 【详解】解：， ， ． 把沿对折，可得，， ， ． 又， ． 题型5.直角三角形的两个锐角互余 1．如图，中，，平分，交于点，若，为上一动点，则最小时与的大小关系是（     ） A．B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】过点作于，根据直角三角形的两个锐角互余得到得出，根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，此时． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当点和点重合时，的值最小，此时． 2．如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是___________． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据角之间的关系即可求出的度数. 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， . 3．如图，在锐角中，边上有三点，，，，垂足为． (1)以为中线的三角形是 ；以为角平分线的三角形是 ；以为高的钝角三角形有 ； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)；；，， (2) 【分析】（1）由中线、角平分线和高的定义求解即可； （2）在中，由三角形内角和定理求出，在中，由直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】（1）解：， 以为中线的三角形是； ， 以为角平分线的三角形是； ， 以为高的钝角三角形有，，； （2）解：在中，，， ， ， ， 在中，． 题型6.锐角互余的三角形是直角三角形 1．下列条件：①； ②； ③； ④； ⑤．其中能判定是直角三角形的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①利用三角形内角和定理求出最大角的度数进行判断； ②根据连比，利用三角形内角和定理求出最大角的度数进行判断； ③利用三角形内角和定理列出方程组，求出相关角的度数进行判断； ④根据角的关系以及三角形内角和定理，列出方程求出最大角，然后进行判断； ⑤根据角的关系以及三角形内角和定理，列出方程求出最大角，然后进行判断． 【详解】解：①由，可得， ∴该三角形是直角三角形；  ②由，可得， ∴该三角形是直角三角形；  ③由，且可得，，无法求出另外两个角的度数， ∴该三角形无法确定是否为直角三角形；  ④由，可得，且， ∴， ∴， ∴该三角形是直角三角形；  ⑤由，可得，且， ∴， ∴该三角形是直角三角形； 综上，能判定是直角三角形的有4个． 2．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 3．如图，在中，是的角平分线，，求证：为直角三角形． 【答案】证明：是的角平分线， ， ， ， 为直角三角形，， 为直角三角形． 【分析】根据已知得出，进而得出，即可得证． 【详解】略 题型7.三角形的外角的定义及性质 1．如图，是的平分线，是外角的平分线，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数． 【详解】解：是的平分线，是的邻补角的平分线，，， ，， 是的外角， . 2．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应调整为_______度． 【答案】 【分析】延长交于点，利用三角形内角和定理求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角的性质得出与、、的数量关系，从而求解． 【详解】解：延长交于点． 与是对顶角 是的外角 是的外角 故应调整为度． 3．如图，在中，是边上的高，． (1)求的度数； (2)若平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直角三角形锐角互余得，即可求解； （2）由三角形的外角得，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：是边上的高， ， ； （2）解：， ， 平分交于点， ， ， ． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，再根据折叠，可得，从而可求得，最后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，点落在点处， ， ∴， ∴． 2．如图，长方形中，点是边上一点，连接，过点作交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用长方形的性质得出直角，结合垂直定义利用同角的余角相等求出，最后在直角三角形中求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 3．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质及垂直定义可得，结合及平行线性质求出，进而判断①②；利用角平分线及三角形内角和定理求出，即可判断③；通过已证结论即可判断④． 【详解】解：，， ，即，故①正确； ， ， ， ， ， ，即，， ， ， ，故②正确； 平分， ， 在中，，故③正确； ∵，若平分，则需， 但根据已知条件不能推出，因此不能推出平分，结论④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 二、填空题 4．如图，在中，平分，点E在边上，连接交于点O，过点O作，垂足为F．若，，则______． 【答案】/10度 【分析】根据角的平分线，三角形内角和，垂直的定义，解答即可． 【详解】解：．平分， ， ． ， ， ． 5．如图，，，，则的度数是___________． 【答案】/度 【分析】作辅助线，连接并延长，借助三角形外角的性质，把拆成两个外角之和，再进行角度求和计算． 【详解】解：连接并延长到点， ∵，， ∴ ， ∵，，， ∴． 6．脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角时为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于点，于点，与交于点，已知角为，则的度数是__________． 【答案】 【分析】由得，则根据三角形内角和定理可求出，同理，最后由对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 7．解答以下问题 (1)如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则___________； (2)如图2，在中，，剪去后成为四边形，则___________； (3)若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)解：，理由如下： 由图知，， 由折叠可知，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据邻角互补得到，再结合三角形内角和求解，即可解题； （2）根据邻角互补得到，再结合三角形内角和求解，即可解题； （3）根据邻角互补得到，再结合折叠性质与三角形内角和求解，即可解题； 【详解】（1）解：如图，， 为直角三角形，， ， ， ； （2）解：如图，， ，， ， ， ； （3）解：，理由见答案． 8．已知，如图1，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，，．    (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，点在线段上，点在线段上，连接，若，，，，，求三角形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据平行线的判定得到，再等量代换即可解答； （2）根据平行线的判定及三角形的内角和即可解答； （3）根据平行线的性质得到，再根据角的和差关系即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴在中，，在中，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴； 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 9．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明； (3)若，，请直接写出这时的度数． 【答案】(1) (2)， 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系； （3）首先得出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 10．如果两个角的差等于，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，，且和互补，求的度数； (2)在中，，是角平分线． ①如图，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数． ②如图，过点作的平行线，射线平分，且与射线交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】（1）根据“伙伴角”定义列出两角差的等式，再结合互补的条件联立二元一次方程组，求解的度数； （2）①利用三角形内角和定理，结合角平分线表示相关角；再根据伙伴角定义分两种情况列方程求出，回代计算； ②设，利用平行线性质、角平分线表示与，由伙伴角定义得到的两种情况；结合三角形内角和定理分别列方程求解，得到度数． 【详解】（1）解：和互为“伙伴角”，， ， 和互补， ， 联立得：， 解得：； （2）解：①， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， 与互为“伙伴角”， 或， 或， 或， 或； ②设， ，， ， 平分， ， ，， ， 平分， ， 与互为“伙伴角”， 或， 当时， ， ， 解得：； 当时， ， ， 解得：， 综上所述，或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02三角形的内角与外角期中复习讲义 ✵复习目标 · 1.掌握三角形内角和定理，了解定理的证明思路，能运用定理进行角度计算与简单几何说理。 · 2.掌握直角三角形两锐角互余的性质及其逆判定方法，能够识别并判定直角三角形。 · 3.理解三角形外角的定义，熟练运用外角性质进行角度推导。 · 4.综合运用内角、外角相关知识，解决方程计算、推理证明类题型，规范书写几何推理步骤。 ✵高频题型梳理 题型1.三角形内角和定理的证明、应用 题型2.与平行线有关的三角形内角和问题 题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题 题型4.三角形折叠中的角度问题 题型5.直角三角形的两个锐角互余 题型7.锐角互余的三角形是直角三角形 题型8.三角形的外角的定义及性质 题型9.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、三角形的内角及内角和定理 1.内角定义：三角形相邻两边组成的角，叫做三角形的内角。任意三角形有且仅有三个内角，内角均在三角形内部。 2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 几何表达：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 3.三角形内角和定理的证明方法 ★利用两直线平行，内错角相等将三角形的三个内角拼接转化为一个平角。 4.直角三角形的性质与判定 直角三角形性质：直角三角形的两个锐角互余。 在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90° 直角三角形的表示方法：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。 直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形。 知识点二、三角形的外角 1.外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 ∠ACD是△ABC的一个外角. ∠ACD=∠A+∠B ✔实际上，三角形的一个外角是和它相邻内角的邻补角。 要点提示： ◆外角的顶点与三角形顶点重合； ◆外角一条边是三角形的边，另一条边是三角形某条边的延长线； ◆一个三角形共有 6 个外角，同一顶点处的两个外角大小相等。 2.外角的性质 性质1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 性质2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； 推论：三角形的外角和等于360°。 要点提示：外角性质中的两个内角，必须是和外角不相邻的内角，相邻内角与外角互补。 ✵易错提醒 1. 运用外角性质时，务必注意 “不相邻”，外角不等于它相邻内角与其余内角的和。 2. 区分直角三角形的性质与判定：已知直角，可得两锐角互余；已知两角互余，可判定为直角三角形。 3. 角度比例类题型，一般设未知数，结合内角和定理列方程求解，算出角度后再判断三角形类型。 4. 内角和为180°，外角和为360°，注意区分，避免混淆。 5.几何说理题书写推理过程时，要标注推理依据，保证步骤规范。 ✵典例精讲 题型1.三角形内角和定理的证明、应用 1．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一个正方体小木块静止在斜面上的受力分析情况如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力G方向的夹角，则斜面的坡角的度数为______． 3．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 题型2.与平行线有关的三角形内角和问题 1．已知如图，在中，，，平分，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图是从一个帆船模型抽象的几何图形，其中，若，，则的度数为__________． 3．如图，，． (1)证明：； (2)若，平分，直接写出的度数． 题型3.与角平分线有关的三角形内角和问题 1．在中，，，的平分线交于点，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的平分线相交于点O，、分别为边，边上的高，相交于点P，且，则的度数为______． 3．如图，在中，于点D，平分交于点E． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 题型4.三角形折叠中的角度问题 1．如图，在三角形纸片中，D，E分别是边上的点，将三角形纸片沿折叠，使点A落在边上的点F处，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则等于______． 3．把沿对折，折叠后的图形如图所示．若，．求的度数． 题型5.直角三角形的两个锐角互余 1．如图，中，，平分，交于点，若，为上一动点，则最小时与的大小关系是（     ） A．B． C． D．无法确定 2．如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是___________． 3．如图，在锐角中，边上有三点，，，，垂足为． (1)以为中线的三角形是 ；以为角平分线的三角形是 ；以为高的钝角三角形有 ； (2)若，，求的度数． 题型6.锐角互余的三角形是直角三角形 1．下列条件：①； ②； ③； ④； ⑤．其中能判定是直角三角形的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 3．如图，在中，是的角平分线，，求证：为直角三角形． 题型7.三角形的外角的定义及性质 1．如图，是的平分线，是外角的平分线，，，则（     ） A． B． C． D． 2．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应调整为_______度． 3．如图，在中，是边上的高，． (1)求的度数； (2)若平分交于点，，求的度数． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，将纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，长方形中，点是边上一点，连接，过点作交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，E为上一点，，过点E作于点G，平分，且， 则下列结论中： ①； ②；③； ④平分；其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．如图，在中，平分，点E在边上，连接交于点O，过点O作，垂足为F．若，，则______． 5．如图，，，，则的度数是___________． 6．脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角时为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于点，于点，与交于点，已知角为，则的度数是__________． 三、解答题 7．解答以下问题 (1)如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则___________； (2)如图2，在中，，剪去后成为四边形，则___________； (3)若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 8．已知，如图1，点、、在一条直线上，点、、在一条直线上，，．    (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，点在线段上，点在线段上，连接，若，，，，，求三角形的面积． 9．如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． (1)若，，求的度数； (2)当点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明； (3)若，，请直接写出这时的度数． 10．如果两个角的差等于，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，，且和互补，求的度数； (2)在中，，是角平分线． ①如图，过点作的垂线，垂足为，、相交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数． ②如图，过点作的平行线，射线平分，且与射线交于点．若与互为“伙伴角”，求的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $