专题01三角形的概念及相关线段精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦三角形概念及相关线段，系统梳理定义、按角与按边分类标准，深入解析三边关系及高、中线、角平分线的性质与位置特征，结合稳定性构建几何入门知识体系，为后续学习提供基础支架。 资料通过重点辨析易混概念、归纳常见误区，设计14类分层题型（含基础到拔高），融入生活实例（如稳定性应用），培养几何直观与推理意识。课中辅助教师精准教学，课后助力学生通过典型例题查漏补缺，提升空间观念与应用能力。

专题01三角形的概念及相关线段精讲学案 核心立意： 掌握三角形定义与两种分类标准，熟练运用三角形三边关系进行判断与求值；精准区分三角形的高、中线、角平分线三种核心线段，掌握各自性质与位置特征；理解三角形稳定性，夯实几何入门基础，规范几何识图与简单计算能力。 三角形定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形，包含三个顶点、三条边、三个内角。 三角形分类： ①按角：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； ②按边：不等边三角形、等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 三角形三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；快速判定：只需验证较短两边之和大于最长边；已知两边，可以求出第三边取值范围。 三角形的高： 从三角形顶点向对边所作的垂线段； 锐角三角形三条高都在内部，直角三角形两条高和直角边重合，钝角三角形两条高在外部；三条高交于垂心，常用面积法计算线段长度。 三角形的中线： 连接顶点和对边中点的线段；一条中线把三角形分成面积相等的两部分；三条中线交于重心，始终在三角形内部。 三角形的角平分线： 三角形内角平分线交对边得到的线段；角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；三条角平分线交于内心。 三角形稳定性： 三角形具有稳定性，四边形不具备稳定性，可用于生活实例判断。 重点辨析 1.判断线段能否组成三角形，不用验证三组不等式，只需较短两边之和大于最长边。 2.三角形的高、中线、角平分线，全部都是线段，不是射线、直线。 3.角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段，二者不能混淆。 4.等边三角形归属于等腰三角形，分类题不可将二者并列。 5.仅有三角形具备稳定性，四边形没有稳定性。 ①判定三角形，忽略“线段不在同一直线上”的前提条件； ②等腰三角形求边长，不分类讨论，算完不检验三边关系； ③处理钝角三角形，忽略存在外部的高； ④主观认为高、中线、角平分线全部都在三角形内部； ⑤求第三边取值范围，等号使用错误，范围书写出错； ⑥混淆角的平分线（射线）与三角形的角平分线（线段）。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★★ 题型三 三角形的分类 ★ 题型四 等腰三角形的定义 ★★ 题型五 构成三角形的条件 ★★ 题型六 确定第三边的取值范围 ★★ 题型七 三角形三边关系的应用 ★★★ 题型八 三角形的稳定性及应用 ★ 题型九 根据三角形中线求长度 ★★ 题型十 根据三角形中线求面积 ★★ 题型十一 重心的概念 ★ 题型十二 三角形角平分线的定义 ★★ 题型十三 画三角形的高 ★★ 题型十四 与三角形的高有关的计算问题 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：三角形的识别与有关概念 解题思路：①紧扣定义：三条线段不在同一直线上，首尾顺次相接；②能找出三角形的顶点、边、内角；③会用符号 ABC表示三角形。 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 3．如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 题型二：三角形的个数问题 解题思路：①按顺序数图形，做到不重复、不遗漏；②可固定一条边依次计数，或按小到大分层数，切忌乱数。 4．如图，以点为顶点的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图所示，图中共有三角形______个． 6．如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型三：三角形的分类 解题思路：①分清两套分类标准：按角分类、按边分类；②注意：等边三角形是特殊等腰三角形，二者不能并列。 7．在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 8．一个三角形的三个角的比是，最大的角是_____度．这是一个_____三角形． 9．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 题型四：等腰三角形的定义 解题思路：①分清腰、底边、顶角、底角；②等边三角形三边相等，属于特殊的等腰三角形。 10．若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 11．如图，数轴上A点表示数10，B点表示数6，C为线段上一点，当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示数______． 12．如图， 在中，． 若某个三角形与能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（      ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 题型五：构成三角形的条件 解题思路：①简便判断：较短两边之和＞最长边，即可构成三角形；②不满足条件就不能组成三角形。 13．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．现有四根长度分别为的小木棒，请你从中取三根，使它们能首尾顺次相接组成一个三角形．则你所取的三根小木棒的长度分别是：________． 15．如下图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（     ） A． B． C． D． 题型六：确定第三边的取值范围 解题思路：①套用关系：两边之差＜第三边＜两边之和；②范围不能取等号；看清题目是否要求边长为整数。 16．小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（     ） A．4 B．6 C．10 D．12 17．当满足____________时，长度为4，9，的三条线段可以围成一个三角形． 18．三角形的三边长分别为7，11，，则的取值范围是______． 19．如图，为估计沙堆两侧点间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点，测得，那么两点之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 题型七：三角形三边关系的应用 解题思路：①依据三边关系列出不等式；②结合周长、整数等条件筛选答案；算出结果后一定要检验三边关系。 20．已知三角形两边长分别为4和7，则该三角形第三边长不可能是（     ） A．5 B．8 C．10 D．12 21．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 22．如图，小亮在池塘一侧选取了点C，测得，，那么池塘两岸A，B间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 23．五条长度均为整数厘米的线段：，，，，，满足，其中厘米，厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则______． 题型八：三角形的稳定性及应用 解题思路：①三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；②加固类题目，构造三角形就可以让结构稳定。 24．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 25．（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 26．如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是（   ） A．两点间线段最短 B．三角形的稳定性 C．点到直线的距离，垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 题型九：根据三角形中线求长度 解题思路：①中线平分对边，得到两条相等线段；②结合线段和差、周长条件列式计算。 27．如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 28．如图，在中，，则的中线的长为________． 29．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 30．数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 题型十：根据三角形中线求面积 解题思路：①一条中线把三角形分成面积相等的两部分；②遇到多条中线，利用倍数关系推导面积大小。 31．能把任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的一条（     ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．既垂直又平分的线段 32．如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 33．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 34．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型十一：重心的概念 解题思路：①重心是三角形三条中线的交点；②无论哪种三角形，重心都在三角形内部。 35．把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（   ） A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定 36．如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是_____．    37．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 题型十二：三角形角平分线的定义 解题思路：①三角形角平分线是线段，区别于角的平分线（射线）；②可以得到两个相等的内角。 38．如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 39．如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 40．数学课上，同学们用三角形纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是的角平分线的是（   ） A． B． C． D． 题型十三：画三角形的高 解题思路：①从顶点向对边（或对边延长线）作垂线，标注直角符号；②钝角三角形有两条高在三角形外部。 41．如图，在中，，则边上的高是___________． 42．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 43．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A．B． C． D． 题型十四：与三角形的高有关的计算问题 解题思路：①同一个三角形面积不变，优先使用面积法；②利用面积公式实现底、高互求，再结合线段和差解题。 44．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 45．如图，在中，点、在直线上，且，．若动点在直线上，连接，则线段的最小长度为________． 46．如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 解答题 1．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 2．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长． 3．已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形． 4．如图，已知，，平分，证明： (1)； (2)． 5．【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形的概念及相关线段精讲学案 核心立意： 掌握三角形定义与两种分类标准，熟练运用三角形三边关系进行判断与求值；精准区分三角形的高、中线、角平分线三种核心线段，掌握各自性质与位置特征；理解三角形稳定性，夯实几何入门基础，规范几何识图与简单计算能力。 三角形定义： 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形，包含三个顶点、三条边、三个内角。 三角形分类： ①按角：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； ②按边：不等边三角形、等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 三角形三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；快速判定：只需验证较短两边之和大于最长边；已知两边，可以求出第三边取值范围。 三角形的高： 从三角形顶点向对边所作的垂线段； 锐角三角形三条高都在内部，直角三角形两条高和直角边重合，钝角三角形两条高在外部；三条高交于垂心，常用面积法计算线段长度。 三角形的中线： 连接顶点和对边中点的线段；一条中线把三角形分成面积相等的两部分；三条中线交于重心，始终在三角形内部。 三角形的角平分线： 三角形内角平分线交对边得到的线段；角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；三条角平分线交于内心。 三角形稳定性： 三角形具有稳定性，四边形不具备稳定性，可用于生活实例判断。 重点辨析 1.判断线段能否组成三角形，不用验证三组不等式，只需较短两边之和大于最长边。 2.三角形的高、中线、角平分线，全部都是线段，不是射线、直线。 3.角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段，二者不能混淆。 4.等边三角形归属于等腰三角形，分类题不可将二者并列。 5.仅有三角形具备稳定性，四边形没有稳定性。 ①判定三角形，忽略“线段不在同一直线上”的前提条件； ②等腰三角形求边长，不分类讨论，算完不检验三边关系； ③处理钝角三角形，忽略存在外部的高； ④主观认为高、中线、角平分线全部都在三角形内部； ⑤求第三边取值范围，等号使用错误，范围书写出错； ⑥混淆角的平分线（射线）与三角形的角平分线（线段）。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形的识别与有关概念 ★ 题型二 三角形的个数问题 ★★ 题型三 三角形的分类 ★ 题型四 等腰三角形的定义 ★★ 题型五 构成三角形的条件 ★★ 题型六 确定第三边的取值范围 ★★ 题型七 三角形三边关系的应用 ★★★ 题型八 三角形的稳定性及应用 ★ 题型九 根据三角形中线求长度 ★★ 题型十 根据三角形中线求面积 ★★ 题型十一 重心的概念 ★ 题型十二 三角形角平分线的定义 ★★ 题型十三 画三角形的高 ★★ 题型十四 与三角形的高有关的计算问题 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：三角形的识别与有关概念 解题思路：①紧扣定义：三条线段不在同一直线上，首尾顺次相接；②能找出三角形的顶点、边、内角；③会用符号 ABC表示三角形。 1．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 3．如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【答案】B 【详解】解：以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对． 故选：B． 题型二：三角形的个数问题 解题思路：①按顺序数图形，做到不重复、不遗漏；②可固定一条边依次计数，或按小到大分层数，切忌乱数。 4．如图，以点为顶点的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【详解】解：以点为顶点的三角形有，，共2个． 故选：B． 5．如图所示，图中共有三角形______个． 【答案】5/五 【详解】解：图中有：，，，，，共个． 6．如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键； 根据三角形的特征即可求解； 【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有个，三个小三角形组成一个三角形有个，加上整个大三角形，共个； 故选：C 题型三：三角形的分类 解题思路：①分清两套分类标准：按角分类、按边分类；②注意：等边三角形是特殊等腰三角形，二者不能并列。 7．在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 8．一个三角形的三个角的比是，最大的角是_____度．这是一个_____三角形． 【答案】 110 钝角 【分析】本题主要考查根据比的相关知识进行解答，三角形的内角和等于，度数之比为，则说明把180°平均分成三份，先求出一份的大小，再计算出较大角的度数，确定什么三角形即可． 【详解】解：(度)， 则这个三角形为钝角三角形． 故答案为：110；钝角． 9．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 题型四：等腰三角形的定义 解题思路：①分清腰、底边、顶角、底角；②等边三角形三边相等，属于特殊的等腰三角形。 10．若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的定义，根据等腰三角形两腰相等，已知腰长5cm，底边6cm，周长即为两腰与底边之和，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形腰长为，底边为， ∴周长． 故选A． 11．如图，数轴上A点表示数10，B点表示数6，C为线段上一点，当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示数______． 【答案】2或3或4 【分析】本题考查等腰三角形的定义，两点间的距离，先求出的长，分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】∵数轴上A点表示数10，B点表示数6， ∴，， 当以三条线段为边，可以围成等腰三角形时，分3种情况： ①时，此时，符合题意，则：点C表示数4； ②时，此时，符合题意，则：点C表示数2； ③时，符合题意，则：点C表示数3； 综上：点C表示数2或3或4； 故答案为：2或3或4． 12．如图， 在中，． 若某个三角形与能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（      ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 分以为腰，为腰两种情况求解即可． 【详解】解：分以为腰，为腰两种情况；如图， ∴拼成的等腰三角形有5种， 故选：B． 题型五：构成三角形的条件 解题思路：①简便判断：较短两边之和＞最长边，即可构成三角形；②不满足条件就不能组成三角形。 13．下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； B、，满足三角形三边关系，故能组成三角形，符合题意； C、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意； D、，不满足三角形三边关系，故不能组成三角形，不符合题意． 14．现有四根长度分别为的小木棒，请你从中取三根，使它们能首尾顺次相接组成一个三角形．则你所取的三根小木棒的长度分别是：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和必须大于第三边是解题的关键． 先列举出所有可能性，然后运用三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：四根木棒的所有可能三根组合有：①；②；③；④． 组合①，由，不能构成三角形； 组合②，，不能构成三角形； 组合③，，不能构成三角形； 组合④，，所有两边之和均大于第三边，满足三角形三边关系． ∴能组成三角形的三根小木棒长度为． 故答案为． 15．如下图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边． 若将一根小棒剪成两段，这两段之和等于原小棒长度． 若原小棒长度小于另一根小棒长度，则两段之和小于第三边，无法围成三角形． 【详解】解： A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比下面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； 故选：D． 题型六：确定第三边的取值范围 解题思路：①套用关系：两边之差＜第三边＜两边之和；②范围不能取等号；看清题目是否要求边长为整数。 16．小明用长度分别为3，a，7的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a的值可能是（     ） A．4 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：由题意，，即， 故a的值可能是6． 17．当满足____________时，长度为4，9，的三条线段可以围成一个三角形． 【答案】 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据三角形三边关系，可得 ，即． 18．三角形的三边长分别为7，11，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据三角形三边关系作答即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为7，11，， ∴， 即． 故答案为：． 19．如图，为估计沙堆两侧点间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点，测得，那么两点之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∵， ∴，即， ∴两点之间的距离可能是． 题型七：三角形三边关系的应用 解题思路：①依据三边关系列出不等式；②结合周长、整数等条件筛选答案；算出结果后一定要检验三边关系。 20．已知三角形两边长分别为4和7，则该三角形第三边长不可能是（     ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系解题． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∴ ， 即 ， 而，故选项D符合题意． 21．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 22．如图，小亮在池塘一侧选取了点C，测得，，那么池塘两岸A，B间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由构成三角形的条件可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴池塘两岸A，B间的距离可能是． 23．五条长度均为整数厘米的线段：，，，，，满足，其中厘米，厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，不等式的性质熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键．根据三角形的三边关系，利用不等式的性质解答即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，由题意， ，，， 三个不等式相加得到：， 化简得到：，即， 因为， 所以只能取或， 当时．则， ∵取整数， ， 此时，与矛盾， ∴舍去， 当时，五条线段可以是，，，，9或，，，，满足题意． 故答案为：． 题型八：三角形的稳定性及应用 解题思路：①三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；②加固类题目，构造三角形就可以让结构稳定。 24．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性． 25．（1）四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （2）五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （3）六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条； （4）边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上__________根木条． 【答案】 【分析】本题考查三角形具有稳定性，解题的关键是找对角线的条数；根据三角形具有稳定性，把四边形、五边形、六边形分成三角形，然后根据从同一个顶点出发可以作出的对角线的条数解答． 【详解】解：(1)四边形不具有稳定性，要使四边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (2)五边形不具有稳定性，要使五边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (3)六边形不具有稳定性，要使六边形木架不变形，至少要再钉上根木条。 (4) 边形不具有稳定性，要使边形木架不变形，至少要再钉上根木条， 故答案为：， ，， 26．如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是（   ） A．两点间线段最短 B．三角形的稳定性 C．点到直线的距离，垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性在生活中的应用，根据三角形的稳定性即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是三角形的稳定性， 故选：B． 题型九：根据三角形中线求长度 解题思路：①中线平分对边，得到两条相等线段；②结合线段和差、周长条件列式计算。 27．如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为 ； ∵，， ∴周长之差为. 28．如图，在中，，则的中线的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，根据等腰三角形的判定得到，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故答案为：． 29．如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 30．数学课上，同学们开展折纸探究活动，以下是将三角形纸片折叠的示意图．图中点的位置表示点C经折叠后的对应位置，阴影部分表示三角形纸片经折叠后同部重叠的部分，点D是折痕所在直线与边的交点．那么线段一定是的中线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质和中线的定义，根据此来逐一分析选项； 【详解】解： 折叠的性质是折叠前后的图形全等，对应边相等，点C的对应点在点B处，则点D为 的中点，故是的中线，则选项A正确； 由折叠可知， ​​，不能得出，所以无法判定是的中线，该选项B错误； 由折叠可知，且点落在上，此时也不能推出，因此不能确定是的中线，该选项C错误； 由折叠可知，点C与点A重合，无法判断出，故该选项D错误； 故选：A． 题型十：根据三角形中线求面积 解题思路：①一条中线把三角形分成面积相等的两部分；②遇到多条中线，利用倍数关系推导面积大小。 31．能把任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的一条（     ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．既垂直又平分的线段 【答案】B 【分析】根据等底等高的两个三角形的面积相等解答． 【详解】解：三角形的中线把三角形分成两个等底等高的三角形，故面积相等． 32．如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 【答案】4 【分析】根据等底同高的两个三角形面积相等，得到，，，，推出计算即可． 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ． 33．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中线平分该三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴， ∵点E是边上的中点， ∴，， ∴， ∵点F是边上的中点， ∴． 34．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】连接，过点A作的延长线于点H，设，，根据等高的三角形的面积等于底之比得到，，以及，，由面积关系得到，结合已知得到，，解方程组得到，，进而利用三角形的面积求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点A作的延长线于点H， 设，， ∵，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形的面积为7， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最小值为10． 题型十一：重心的概念 解题思路：①重心是三角形三条中线的交点；②无论哪种三角形，重心都在三角形内部。 35．把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（   ） A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了不规则物体的重心，把不规则物体悬挂起来，重心一定在悬挂点与物体下端所连的直线上． 【详解】解：不规则物体的重心一定在悬挂点与物体最下端所连接的直线上， 薄板状物体的重心位置在直线上． 故选：C． 36．如图，G是的重心，若，则图中阴影部分面积是_____．    【答案】10 【分析】如图，利用三角形重心的性质得、为三角形的中线，，，然后根据三角形面积公式出，则，，从而得到图中阴影部分面积． 【详解】是的重心， 、为三角形的中线，，， ， ，， 图中阴影部分面积． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 也考查了三角形面积公式． 37．如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 题型十二：三角形角平分线的定义 解题思路：①三角形角平分线是线段，区别于角的平分线（射线）；②可以得到两个相等的内角。 38．如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形，根据是的角平分线，可推出是 的角平分线，再根据翻折可知道 与 是对称点，即可求出答案． 【详解】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件只有B． 故选：B． 39．如图，在中，平分，于点，交于点．若，则________ 用含的式子表示． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义、垂线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，最后利用求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ． 40．数学课上，同学们用三角形纸片进行折纸操作．按照下列各图所示的折叠过程和简要的文字说明，线段是的角平分线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的折叠，角平分线． 根据作图分别分析选项即可． 【详解】解：A、由折叠可知，线段是的角平分线，不是的角平分线，不符合题意； B、由折叠可知，线段是的角平分线，是的角平分线，符合题意； C、由折叠无法判断线段是角平分线，不符合题意； D、由折叠可知，线段是的角平分线，不是的角平分线，不符合题意； 故选：B 题型十三：画三角形的高 解题思路：①从顶点向对边（或对边延长线）作垂线，标注直角符号；②钝角三角形有两条高在三角形外部。 41．如图，在中，，则边上的高是___________． 【答案】 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边对应的高，即可解答． 【详解】 解：已知中，可得， 顶点到边的垂线就是线段， 因此边上的高是． 42．如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 43．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 题型十四：与三角形的高有关的计算问题 解题思路：①同一个三角形面积不变，优先使用面积法；②利用面积公式实现底、高互求，再结合线段和差解题。 44．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 45．如图，在中，点、在直线上，且，．若动点在直线上，连接，则线段的最小长度为________． 【答案】 【分析】根据垂线段最短可知，当时，的长度最小，此时即为边上的高，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据“垂线段最短”可知，当点与点重合时，线段的长度最小，最小值为的长， ，， ， ，解得 线段的最小长度为． 46．如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 解答题 1．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 2．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长． 【答案】 【分析】根据中线得到，根据三角形周长的计算，结合题意得到，则，再根据与的和为，由此列式求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长，的周长，的周长比的周长多， ∴，即， ∴， ∵与的和为，即， ∴， 解得，． 3．已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：连接， 点为的中点， ， 与以，为底时高相同， ， ，， ，， ， 又， ， 是等腰三角形． 【分析】连接，利用面积法证明，则求证可得． 【详解】略 4．如图，已知，，平分，证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：平分， ． ， ， ； (2)证明：由（1）得， ， ， ， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再结合角度的关系可得，根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）由平行的性质可得，进而得到，根据同位角相等，两直线平行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 5．【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在中，，，则的高与的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图，若中，是边上的点，则． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，中，，分别是边，上的点，与交于点．若，，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)猜想正确， 证明：如图，过点作于点， ∴，． ∴． (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式得出，即可求解； （2）过点作于点，根据三角形的面积公式，分别表示出、的面积，再求比值，即可求解； （3）连接，设，，根据已知条件，分别得出，，结合图形分别求得，的面积，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）连接， 设，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴．即， ∴， ∴． ∴，． ∴． ∴的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $