精品解析：广东广州市增城区2026-2027学年高三上学期10月调研数学试卷

2026-2027学年广州市增城区10月调研高三数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，并在相应位置上贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】将集合化简，再由补集的运算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得或， 即或，则. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，即，所以， 则 3. 已知等比数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等比数列通项公式结合已知条件求出公比的平方，再将所求式子变形为与已知和相关的形式代入计算. 【详解】设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式，得， 由，，，或（舍去）. ，. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，，得， 若，取，满足，而， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把已知代入丰富度指数公式，然后两式消去后，由对数运算可得结论． 【详解】由已知，，所以，即，∴， 故选：D． 6. 已知的三个角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，结合正弦和角公式求出，再由同角三角函数基本关系计算. 【详解】由正弦定理得，， ，， ，，即， ，， . 7. 已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数奇偶性以及单调性，将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，只需要即可，并考虑函数定义域即可得到结果. 【详解】因为在上单调递增， 且在上单调递增， 所以在上单调递增， 又定义域为， 且，所以是偶函数， 因为，所以， 又，所以，所以化为， 即在上恒成立， 又函数在上单调递减， 所以时，最小，且为， 所以，， 又时，，不符合题意， 所以或， 即的取值范围是. 8. 已知函数，且满足，在区间上具有单调性.则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦函数的性质，求出，从而得到，再结合条件，即可求解. 【详解】因为，则是的一条对称轴， 所以，解得， 又在区间上具有单调性，且，则，解得， 所以，，又，若，则有，所以不合题意， 若，则，所以或， 解得或，又，所以或， 故方程在区间上所有不相等的实数根之和为. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取最大值时， D. 使得成立的的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据已知条件求出首项和公差，再逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以，则，即， 因为，所以，解得， 则， 选项A：公差，数列是递减数列，与选项不符，故选项A错误； 选项B：，故选项B正确； 选项C：，， 则，数列递减，，，， 则，且为的最大值，即取最大值时或，C错误； 选项D：前n项和， 因为，所以，解得， 则使得成立的的最大值为，故选项D正确. 10. 若，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】因为①， 又，得到②， 联立①和②，得到，，所以A错误， 因为，又，则， 所以，故B正确， 对于C，因为，又， 得到，所以C正确， 对于D，因为，，所以， 则，故D正确. 11. 已知函数，及导函数，的定义域均为.若是奇函数，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先判断，结合赋值法判断A，根据导数运算结合赋值法求和周期后判断BCD. 【详解】由是奇函数，得，且的图象关于点中心对称， 即，由，知， 而，所以，A正确； 由，知，且， 从而，故，B正确； 已知，故（为常数）， 又由，得， 因为，所以，将其代入，得， 因此，由和， 得，即，结合， 得， 所以，即是周期为的周期函数. 因为，，，， 所以， 所以 ，故C错误； 也是周期为的周期函数， ，，，， 一个周期的和为， 所以 ，故D正确. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则＝_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直时数量积为0的性质求解参数，再代入向量模长公式计算. 【详解】 已知，故，结合，可得： .  由得： ， 代入坐标计算：， 即，解得.  此时，得： . 13. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为_______，记函数的三个不同零点分别为，且.则的取值范围为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将函数有三个不同的零点转化为与有三个交点的问题，分析的单调性以及最值，即可判断的取值范围；根据交点得到，利用指数与对数的互化，得到，令，构造函数，，根据此函数的单调性，即可求得所求范围. 【详解】由题知，函数有三个不同的零点， 等价于与有三个交点， 当时，单调递增， 且时，，， 所以时，， 当时，递减，， 当时，递增，， 当时，， 所以当时，与有三个交点， 其中时，有一个交点，时，有两个交点， 即函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为. 由，且， 所以，， 所以， 所以， 令，因为，所以， 构造函数，， 则在上单调递增， 又， 所以， 所以. 14. 已知等腰三角形ABC的顶角，，为边上一动点，的垂直平分线交线段于点，则的最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用垂直平分线性质得，结合正弦定理转化为三角函数最值问题求解. 【详解】因为等腰，顶角，所以 ， 因为，所以， 设，因为在的垂直平分线上， 所以，则， 在中，， 因为，，， 所以转化为，解得， 因为，所以的最大值为， 则的最小值为，即. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列{an}的前n项和为，. （1）证明:数列是等比数列； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）， 当时，，解得： 当时，， ， 所以，即：，，， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）利用递推公式即可证明； （2）利用裂项相消的方法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，则， 所以， 则. 16. 已知函数，且的图象过点. （1）求的值及函数的单调递增区间; （2）将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象.若函数在上的图象与轴有且仅有3个交点，求实数的取值范围. 【答案】（1），的单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，代入已知点求出参数，再根据正弦函数单调区间列不等式即可得到递增区间； （2）依据三角函数图象平移规则得到新函数，再结合正弦图象与轴交点情况确定的范围即可. 【小问1详解】 因为 ， 因为的图象过点，所以， 即，所以，得， 因为，所以取符合条件，所以， 令，则， 故的单调递增区间为. 【小问2详解】 将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位， 得， 因为在上的图象与轴有且仅有3个交点， 即方程在上恰有3个解， 因为 ，则，所以 ， 解得，故的取值范围为. 17. 在中，，为边上一点，且. （1）若，，求; （2）若，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理得到，再根据等面积法求出，最后由勾股定理即可求出； （2）先根据等面积法建立边长关系式，再根据均值不等式求出两边乘积的下界，即可得到面积的最小值. 【小问1详解】 因为在中，，，所以， 因为，，由余弦定理：， 所以 ，又因为，即 ， 所以，得， 所以在中，. 【小问2详解】 由，得，即，由均值不等式：， 令，则，所以，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即面积的最小值为. 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个极值点，，且，证明：． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）证明：由题意得，满足， 即，且. . 要证，即证，即证. 设，则. 由可知，当时，单调递增，故，即， 因此. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义求解计算即可. （2）对函数求导，令，分和两种情况讨论函数的单调性. （3）先利用极值点性质转化待证不等式，然后构造辅助函数证明不等式即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 对函数求导得，所以. 所以切线方程为，整理得. 【小问2详解】 函数定义域为，. 令. ①当时，，恒成立，，在上单调递增； ②当时，的两根为， 且. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的最小值； （2）若，，判断曲线和的公共点个数； （3）若曲线和有公共点，求证：． 【答案】（1） （2）个 （3）设两曲线公共点的横坐标为，则， 若，则，，不符，故； 且有，即， 设向量，向量， 则由，可得， 故， 即有，即， 令，则， 则在上单调递增，又，故， 又，故，则， 故， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即有，则， 故. 【解析】 【分析】（1）求导后计算函数单调性即可得； （2），求导后结合零点的存在性定理可得该函数单调性及其导函数零点，再利用其导函数零点代入计算可得恒成立，即可得解； （3）设两曲线公共点的横坐标为，可得及，借助向量数量积公式及其性质计算可得，再构造函数证明，可得，最后构造函数，证明即可得. 【小问1详解】 当时，， 则， 故在上单调递增， 故； 【小问2详解】 令，则， 令，则， 由，则，故恒成立， 故在上单调递增，又， ， 故存在，使得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 又，故， 则， 令，， 则， 故在上单调递减，故， 故，则，故无解， 即曲线和的公共点个数为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年广州市增城区10月调研高三数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，并在相应位置上贴好条形码． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知等比数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的三个角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且满足，在区间上具有单调性.则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取最大值时， D. 使得成立的的最大值为 10. 若，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，及导函数，的定义域均为.若是奇函数，且，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则＝_______. 13. 已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为_______，记函数的三个不同零点分别为，且.则的取值范围为__________. 14. 已知等腰三角形ABC的顶角，，为边上一动点，的垂直平分线交线段于点，则的最小值为________________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列{an}的前n项和为，. （1）证明:数列是等比数列； （2）设，求数列的前n项和. 16. 已知函数，且的图象过点. （1）求的值及函数的单调递增区间; （2）将的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象.若函数在上的图象与轴有且仅有3个交点，求实数的取值范围. 17. 在中，，为边上一点，且. （1）若，，求; （2）若，求面积的最小值. 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个极值点，，且，证明：． 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的最小值； （2）若，，判断曲线和的公共点个数； （3）若曲线和有公共点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $