广东广州市增城区增城中学2026-2027学年高三上学期综合练习（一）数学试题

2026-2027学年高三级综合练习一 数学试题 2026年9月 试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟． 第一部分　选择题（共58分） 一、选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．多选、错选均不得分． 1．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知向量与的方向相同，，，则（ ） A． B． C． D． 4．记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 6．函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 7．已知定义域为的奇函数（），则函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 8．在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（ ） A．1 B． C． D． 二、选择题：本题包括3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中，正确的是（ ） A．若，，则 B．“”是“”的充分不必要条件 C．若，则 D．设，则的最小值为 10．如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，是上底面内（包括边界）的动点，是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．的最小值为 B．若平面，则点的轨迹的长度为 C．若，则点是的中点 D．若，则点的轨迹的长度为 11．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有．当时，，则下列结论正确的是（ ） A． B．函数的一个周期为4 C．当时， D． 第二部分　非选择题（共92分） 三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为数列的前项和，若，则________． 13．已知命题：“，”为假命题，则的取值范围是________． 14．互为反函数的两个函数图象关于直线对称，如：指数函数和对数函数的图象关于直线对称． （1）已知函数和函数互为反函数，点在的图象上，则________． （2）若函数与函数互为反函数，则________． 四、解答题：本题包括5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在长方体中，，，为棱上的动点（不包含端点，）． （1）证明：； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分）已知等比数列中，，，数列满足． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17．（15分）如图，在三棱台中，平面，，，为的重心． （1）证明：平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）已知数列是等比数列，且，． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，证明：． （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和． 19．（17分）设函数，． （1）若，求函数的零点； （2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； （3）设，，若对任意的，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三级综合练习一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A C D D A BCD ABD 题号 11 答案 BD 12． 13． 14．2 6 15．（1）在长方体中，连接，由，得底面是正方形， 则， 1分 由平面，平面，得， 3分 又，，平面，因此平面， 4分 无论点在线段上如何移动，平面， 5分 所以． 6分 （2）以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，连接， 则，，，，， 7分 设平面的法向量，则，取，得， 9分 平面的法向量，则， 12分 所以平面与平面夹角的余弦值为． 13分 16．（1）设等比数列的公比为，因为，， 则， 1分 解得， 2分 所以， 4分 又，所以； 6分 （2）由（1）可得， 7分 所以， 8分 则， 9分 所以 11分 ， 14分 所以． 15分 17．【详解】（1）延长，与交于点，过点作，垂足为，连接． 根据重心的性质，知为的中点，且． 1分 由于，所以，又因为，所以， 2分 因为平面，平面，所以平面． 因为，，所以，所以， 3分 又，所以四边形是平行四边形，所以． 4分 因为平面，平面，所以平面． 5分 又因为，，平面，所以平面平面， 6分 因为平面，所以平面． 7分 （2）以为坐标原点，直线，分别为轴、轴，过作垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，平面， 由已知可得，，，， 8分 的重心， 9分 由三棱台可得，，， 所以，从而，，所以， 10分 则，，， 设是平面的法向量， 则，即，取， 11分 设是平面的法向量， 则，即，取， 12分 所以， 14分 则平面与平面夹角的余弦值为． 15分 18．（1）设等比数列的公比为，根据题意可得， 1分 解得， 3分 所以． 4分 （2）由（1）知，代入得， 6分 则数列的前项和为 ， 8分 因为，所以，从而，故； 9分 又因为随着的增大而增大，当时，， 10分 所以，综上，得证． 11分 （3）在与之间插入个数，使这个数组成等差数列，则这个等差数列的公差为， 由等差数列通项公式知， 将代入得，解得，从而， 13分 则数列的前项和为①， 两边同乘得②， 14分 用①式减去②式（错位相减法）得 将代入， 得， 16分 两边同乘2得，故数列前项的和． 17分 19．（1）时，，则， 1分 故，进而， 3分 则或． 故的零点为或． 5分 （2）令，则， 进而可得， 6分 由于，则，且函数在上单调递增， 对勾函数在单调递减，在单调递增， 故当时，， 8分 因此， 9分 故，则； 10分 （3）当时，单调递减，故， 11分 对任意的，存在，使得不等式成立， 则， 因此，即存在使得， 12分 由于， 令，，则， 令， 故存在使得，即， 14分 因此， 15分 由于函数，均为上的单调递增函数， 故，， 16分 故，即． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $