函数的零点专项练-2027届高三数学一轮复习

函数的零点 专项练 2027届高中数学一轮复习备考 一、单选题 1．已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．若函数的零点为1，2，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知三个函数，，的零点依次为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 5．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数 ，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，实数、、满足，其中，若实数为方程的一个解，那么下列不等式中，有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，下列有关方程的实数解个数说法正确的是（    ） A．当实数解的个数为1时， B．当实数解的个数为2时， C．当实数解的个数为3时， D．当实数解的个数为3时， 11．设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C．为奇函数 D．方程仅有5个不同实数解 三、填空题 12．我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点.例如：函数的零点为1和.若函数的零点是和，则函数的零点是______. 13．已知二次函数有且仅有一个零点，则的最小值为__________． 14．函数，若存在实数，满足，其中，则的取值范围是______. 四、解答题 15．若函数存在两个不同零点满足，则称函数为“零点距函数”. (1)判断函数是否为“零点2距函数”？ (2)设，若函数为“零点3距函数”，求实数的取值范围. 16．已知且，函数，. (1)求函数的定义域及其零点； (2)若存在实数使得成立，求的取值范围. 17．已知函数，若函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)若集合，求集合； (3)若函数有且仅有两个零点，且时，求实数的取值范围. 18．已知函数. (1)若函数为偶函数，求的值； (2)若函数在区间内只有一个零点，求实数的取值范围； (3)当时，设函数满足①，；②，，求在区间上的值域. 19．已知函数. （1）若，求x的值； （2）已知，若函数有两个不同的零点，，函数有两个不同的零点，，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D D B A D ABC AC 题号 11 答案 ACD 1．B 易得函数在上单调递增，由求解. 因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 2．C 根据题意求得的零点为，再由对数函数性质判断即可. 令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 3．D 因为函数的零点为1，2， 所以，. 所以不等式可化为. 所以所求不等式的解集为. 所以选项D正确. 4．D 根据函数零点的定义，结合函数单调性和零点存在定理分别判断的范围. 是上的增函数，，， 因此零点，即. 令，得零点. 是上的增函数，，，因此零点，即， 综上可得大小关系：. 5．D 利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 6．B 根据解析式画出和的函数图象，判断图象交点个数即可. 当时， ，故是的一个周期， 又时，，则， 作出函数和的函数图象， 因， ， 结合图象可知，和的函数图象交点个数为. 故选：B 7．A 分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可. 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    8．D 先根据对称性求出周期，再数形结合后可求所有根之和. 由，得函数关于点对称， 又，得函数关于直线对称且， 故，故，所以， 所以，从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，， 又方程的根即与的交点横坐标， 而直线的斜率为，， 故的图像与直线在有且只有一个交点， 又，， 结合的周期性和对称性，在同一坐标系中画出的图像和直线， 如图： 两函数共有个交点，并且关于点对称，故所有根之和为. 9．ABC 本题先判断是减函数，再确定，接着根据，分情况讨论，确认ABC都正确. ∵，在定义域上是减函数， ∴时，， 又∵， ∴一种情况是、、都为负值， 即 所以 另一种情况是，，， 即， 所以； 都大于，或都小于是，大于. 两种情况综合可得不可能成立， 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的单调性，对数函数、指数函数的图形与性质，函数的零点，是中档题. 10．AC 把方程看作两个函数：和，在同一直角坐标系中画出图象分析即可判断选项. 根据题意，函数的图象且，如图所示： 当时，方程有一个解，故正确； 当或时，方程有两个解，故错误； 当时，方程有三个解，故正确，不正确. 故选：. 11．ACD 利用抽象函数所满足的性质，可以推出的对称中心和对称轴，进一步求出其周期，再利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数的图象，再结合图象可逐项判断解决问题. 因为为奇函数，所以，根据图象变换，则关于点成中心对称， 又因为为偶函数，所以，根据图象变换，则关于直线成轴对称， 将函数的对称中心和对称轴进行多次变换可得到如图所示的图象， 由图象可知，函数是周期为8的周期函数，所以函数的对称轴为直线，对称中心为， 对A，，故选项A正确； 对B，当，由图象可知是单调递减的函数，故选B错误； 对C，由图象知，的图象的对称中心为点，当时，其对称中心为，又将函数往右平移5个单位可得，所以的对称中心为，所以为奇函数，故选项C正确； 对D，如图所示，因为，，，又两函数均过点，再根据图象，可知函数与函数有5个交点，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题求出的对称中心和对称轴，并求出其周期是关键，再利用对称中心和对称轴将已知区间图象进行多次对称变换，可得函数的图象，再利用数形结合即可结果. 12．和 先根据函数零点的定义得到关于、的等式，再将其代入到所求函数中，最后求解该函数的零点. 先将二次函数展开得到. 根据韦达定理，若方程的两根为和，得出，. 已知， 令，解得,. 故答案为：和. 13． 借助根的判别式与基本不等式计算即可得. 由题意知，，∴， 则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 14． 先作出的草图，可直观看出的大致范围，其中可由直接求出，而显然是一元二次方程的两个相异的实数根，再结合韦达定理可将表示为一个关于的一次函数，由的范围可直接求得的取值范围. 如图，，， 设，则 ，且， 由 ， 由题意可知，是方程的两个相异的实数根， 因为，其中， 所以 ， 所以， 因为，所以， 即的取值范围是. 15．(1) 在单调递增，令，解得，故在有唯一零点， 在单调递增，令，解得， 故在有唯一零点， 只有2个零点，， 是“零点2距函数” (2) （1）根据函数新定义计算解题； （2）换元法结合对数运算结合单调性计算求解参数； （1）略 （2）函数的零点，令即方程的不同根， 令，单调递增且，得，即方程一定有两个解 函数为“零点3距函数”， ，或，且，，则（不妨令） ，，，， 记，则，， 在上单调递增， . 16．(1)， (2)或 （1）根据真数大于求定义域，解方程即可求零点； （2）问题为，分两种情况讨论，求出复合函数的最小值即可. （1）， 由得，所以的定义域为； 令，得，得或（舍）， 故的零点为. （2）， 因为，的对称轴为，所以， 因为存在实数使得成立，所以， 若，则，得； 若，则，得，故， 综上，的取值范围为或 17．(1) (2) (3) （1）先根据得出，再根据分类讨论求出，再代入检验即可； （2）结合函数图象，分、两种情况，利用对称性和单调性可得； （3）将问题转化为方程在上有一根另一根小于2或有两个相等根均在，结合二次函数图象求解. （1）因为函数的图象关于直线对称，所以，即， 两边平方得：，整理得：， 所以，即， 再由，得，即. 当时，，解得； 当时，，无解. 所以. 当时，， 则， 所以符合题意. （2）因为，作出函数的大致图象如下图所示， 由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 当时，，所以，所以符合题意； 当时， 因为，所以，等价于， 因为，，所以，解得，所以. 综上所述，； （3）因为函数有两个不同零点，且， 即有两个不等根，且，， 令，则①，， 所以方程①在上有一根另一根小于2或有两个相等根均在. 令， 则有或， 解得或， 则实数的取值范围为：. 18．(1) (2) (3) （1）利用偶函数定义列出等式，比较系数即可求出； （2）分和两种情况讨论，结合判别式和零点存在定理，分别检验零点是否在区间内； （3）先求出在上的表达式，再利用递推关系将上的函数转化为上的表达式，最后根据二次函数的单调性求值域． （1）依题有，， ， 解得. （2）①若时，，，零点； ②若时， （ⅰ）当，即， 此时，零点； （ⅱ）当，即时，函数在区间内只有一个零点，有以下可能： （a）即，； （b）即时，此时，另一个零点； （c）即时，此时，另一个零点 综上，实数的取值范围. （3）当，； 由已知， 因为，所以，， 即， ，则， 所以 对称轴 函数在单调递增，； 在区间上的值域为. 19．（1）或（2） （1）由题意有，分类讨论即可求出答案； （2）由得或，则，，同理得，，再代入目标式，然后化简得原式，再判断单调性即可求得最值． 学科网（北京）股份有限公司 $