分层练25 函数的零点与方程的解-2027届高三数学一轮复习

分层练25 函数的零点与方程的解 一、单项选择题(每小题5分,共35分) 1．若函数在闭区间上的图象是一条连续不断的曲线,则“”是“函数在开区间上至少有一个零点”的(　　 )． [A]充分不必要条件 [B]必要不充分条件 [C]充要条件 [D]既不充分也不必要条件 2．(“高斯函数”+函数零点)享有“数学王子”称号的德国数学家高斯,是近代数学的奠基者之一,被称为“高斯函数”,其中,表示不超过的最大整数．例如,,,．设为函数的零点,则(　　 )． [A]3 [B]4 [C]5 [D]6 3．(原创)函数的零点个数为(　　 )． [A]1 [B]2 [C]3 [D]4 4．已知函数,,的零点分别为,则的大小关系为(　　 )． [A] [B] [C] [D] 5．已知函数．若有2个零点,则实数的取值范围是(　　 )． [A] [B] [C] [D] 6．(2024·新高考Ⅱ卷)设函数,,当时,曲线与恰有一个交点,则(　　 )． [A] [B] [C] [D] 7．已知定义在上的函数满足且,,则方程在区间上的所有实根之和为(　　 )． [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 8．已知函数的图象是一条不间断的曲线,它的部分函数值如表所示,则(　　 )． 1 2 3 4 5 6 202．301 52．013 3．273 [A]在区间内不一定单调 [B]在区间内可能存在零点 [C]在区间内一定不存在零点 [D]至少有3个零点 9．下列函数在区间内存在唯一零点的是(　　 )． [A] [B] [C] [D] 10．已知函数,则(　　 )． [A]若,则函数至少有一个零点 [B]存在实数,使得函数无零点 [C]若,则不存在实数,使得函数有三个零点 [D]对任意实数,总存在实数,使得函数有两个零点 三、填空题(每小题5分,共15分) 11．(改编)已知在区间上有一个零点,则____(2分)．若用二分法求的近似值(精确度为0．001),则至少需要将区间等分____(3分)次． 12．已知函数在区间上有两个零点,则的取值范围是____． 13．已知函数若存在实数,满足,使得,则____(2分),的取值范围是____(3分)． 四、解答题(共32分) 14．已知函数． (1)证明:当时,至少有一个零点．(6分) (2)当时,关于的方程在上没有实数解,求的取值范围．(9分) 15．(不动点定理+函数零点与方程)布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,该定理为:对于满足一定条件的图象连续不间断的函数,在其定义域内存在一点,使得,则称为函数的一个“不动点”．若,则称为的“稳定点”．已知函数． (1)若,且只有一个不动点,求的值．(4分) (2)函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为和,即．证明:．(5分) (3)讨论“稳定点”的个数．(8分) 参考答案 1．A 2．B 3．B 4．D 5．D 6．D 7．B 8．ABD 解析 由表格可知， 得． 因为函数的图象是一条不间断的曲线，所以该函数在区间内存在零点，即至少有3个零点，故D正确； 对于A，因为只知道的值，所以无法判断在区间上的单调性，故A正确； 对于B,C，因为不知道函数在内的取值情况，所以函数在内可能存在零点，故B正确，C错误．故选ABD． 9．BCD 解析 对于A，的解为或，在区间内没有零点，故A错误； 对于B，在上为增函数，且，即，在区间内存在唯一零点，故B正确； 对于C，在上为增函数，且，即，在区间内存在唯一零点，故C正确； 对于D，在上为减函数，且， 在区间内存在唯一零点，故D正确．选BCD． 10．ABD 解析 对于A，当时，函数，令，可得，在同一平面直角坐标系中，作出函数，的图象，如图1所示， 由图象及直线过定点，可得函数至少有一个零点，故A正确； 对于B，当时，作出函数的图象，如图2所示， 由图象知，函数没有零点，故B正确； 对于C，当时，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，如图3所示， 由图象可得，此时函数有3个零点，故C错误； 对于D，分别作出当时，函数，的图象，如图4，图5，图6所示， 由图象知，对于任意实数，总存在实数，使得函数有两个零点，故D正确．故选ABD． 11． 解析 在上为减函数， ， 的零点． 设至少需等分次，则且，解得，故至少需等分10次． 12． 解析 函数在区间上有两个零点，等价于方程在区间上有两个不同的解， 即方程在区间上有两个不同的解， 转化成与的图象在区间上有两个不同的交点． 结合对勾函数的性质可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，所以，解得． 13． 解析 作出函数的图象，如图所示， 因为， 所以，且，即， 所以． 因为在上单调递增，所以， 即的取值范围是． 14．解析 (1)当时，，因为，所以，且在上连续，根据函数零点存在定理，至少有一个零点． (2)当时，关于的方程为． 因为函数在上单调递减，所以在上的值域为． 又因为方程在上没有实数解，所以的取值范围是． 15．解析 (1)由题意知，且， 令，则， 解得或． 由只有一个“不动点”，得，解得． (2)若，则，即“不动点”一定是“稳定点”，所以，得证． (3)令，则，可得， 所以，整理得， 所以，且，显然满足． 对于，① ． 当，即时，①无解，此时有2个“稳定点”； 当，即时，①的解为，此时有2个“稳定点”； 当，即时，①有两个不同的解（不为），此时有4个“稳定点”． 综上，当时，有2个“稳定点”；当时，有4个“稳定点”． 学科网（北京）股份有限公司 $