第27章 反比例函数--反比例函数与几何综合 重点知识点归纳 专项练（2） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第27章 反比例函数--反比例函数与几何综合 重点知识点归纳 专项练（2） 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、反比例函数与平移综合 1．如图，点在反比例函数的图象上，将直线向上平移个单位长度后，与反比例函数交于点．若点纵坐标为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中有，，，、，将沿轴的正方向平移，在第一象限内两点的对应点、正好落在反比例函数的图象上，则______． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数（，）的图象上，点的坐标为． (1)求的值； (2)若将菱形沿轴正方向平移，当菱形的顶点落在函数（，）的图象上时，求菱形沿轴正方向平移的距离． 4．如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点． (1)线段长为______，B点坐标为（____，____）； (2)求m，k的值； (3)若将沿y轴负半轴方向平移n个单位长度，当平移后的与双曲线恰有一个交点时，请直接写出n的值． 二、反比例函数与折叠、对称、旋转综合 5．将抛物线绕着点旋转后得到如图所示的图象．若点在该图像上，则m的值有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，以为斜边作等腰，交轴于点，连接．沿着折叠得到，若点的对应点落在边上． （1）_____；（2）过点作轴于点，若，则的值是_____． 7．如图，已知点在轴上，点在轴上，以为边在第一象限内作正方形，此时反比例函数在第一象限内的图象恰好经过点，． （1）直接写出点的坐标和反比例函数的表达式； （2）将正方形绕点按顺时针方向旋转，当点的对应点落在轴上时，判断点的对应点D′是否落在反比例函数的图象上，并说明理由． 8．如图，矩形的顶点，点，在坐标轴上，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出线段的长． 三、反比例函数与图形存在性问题 9．如图，点A是反比例函数图象上的一动点，连接并延长交图象的另一支于点B．在点A的运动过程中，若存在点，使得，，则m，n满足（    ）    A． B． C． D． 10．如图，在反比例函数的第二象限图象上存在一点．又在反比例函数的第三象限图象上存在一上点，连接，和，已知轴，且的面积等于3，则的值为______． 11．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B点，，． (1)求两函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由． (3)求； (4)若，直接写出x的取值范围． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴，y轴于A，B两点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点D是点C右侧直线上一动点，过点D作轴于点E，交反比例函数图象于点F，连接，．当时，求此时点D的坐标及的面积； (3)在（2）问的条件下，将直线向下平移4个单位长度交x轴于点G．平面内是否存在一点M，使得以点B，C，G，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 四、反比例函数与最值问题综合 13．如图，点A、B在反比例函数的图像上，点A坐标为，点B坐标为，y轴上有一动点P，连接、，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的OA边在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上，，反比例函数与正方形BC边交于点D，与边AB交于点E，点P在y轴上，若的面积为，则的最小值是______． 15．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 16．如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，为直角三角形，轴，轴，，． (1)反比例函数的表达式为______，点B的坐标为______； (2)点M是y轴正半轴上的动点，连接、： ①当为最小值时，求点M坐标： ②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 5 9 13 答案 C D B D 1．C 根据点坐标求出反比例函数的解析式为，进而求出，利用待定系数法求出直线解析式为，根据平移规律得出平移后的直线解析式为，把代入，求出的值即可． 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数图象上，点纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， ∵将直线向上平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线与反比例函数交于点，， ∴， ∴． 2． 本题考查了全等三角形的判定与性质，平移的性质以及反比例函数的性质，过作垂直于轴，过作垂直于轴，由与垂直，得到一对角互余，再由与垂直，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由，且一对直角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，由与的坐标得出与的长，由求出的长，确定出的坐标，由平移的性质得到和的纵坐标不变，且横坐标相差，设出和的坐标，分别代入反比例解析式中，得到两个关系式，消去求出的值，即可得到的值． 解：过作垂直于轴，过作垂直于轴， ， ，， ， 在和中， ， ， 、， ， ， 设反比例函数为，点和在该比例函数图象上， 由平移的性质，可设，则， 把点和的坐标分别代入， 得，， ， 解得：， 则． 故答案为：． 3．(1) (2) （1）先根据点D的坐标，计算的长度，因为菱形四条边相等，所以可得的长度相等．结合点C与原点重合、点B在y轴正半轴的位置特征，推出点A的横坐标与点D相同，再用的长度求出点A的纵坐标，得到点A坐标后，代入反比例函数​即可求k． （2）沿x轴正方向平移时，点D的纵坐标不变，将纵坐标代入反比例函数求出平移后点D的横坐标，即可算出平移距离． （1）解：过点作轴的垂线，垂足为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上， ∴轴， ∴轴， ∴A、D、F三点共线， 点的坐标为， ，， ， ， ∴， 点坐标为， ∵，点在反比例函数（，）的图象上， ， ； （2）解：将菱形沿轴正方向平移，使得点落在函数（）的图象点处，过点作轴的垂线，垂足为． ， ， 点的纵坐标为3， 点在的图象上， ， 解得：， ， 菱形平移的距离为． 4．(1)6；4；5 (2)； (3)2或5 （1）先由，得到轴，即可求解，再根据中，，，即可求解点坐标； （2）先求出直线的表达式，再求解点，即可由待定系数法求解反比例函数表达式； （3）平移后点的对应点坐标为，点的对应点坐标为，再分类讨论求解即可． （1）解：∵， ∴轴， ∴， ∵， ∴ ∴，即； （2）解：设直线，则代入， 得 解得 ∴直线 把代入，则 解得 ∴ 把点代入得，； （3）解：由（2）可得反比例函数表达式为， 平移后点的对应点坐标为，点的对应点坐标为， 当点的对应点落在反比例函数图象上时，则，解得； 当点的对应点落在反比例函数图象上时，则，解得， 综上：当平移后的与双曲线恰有一个交点时，n的值为2或5． 5．D 本题主要考查了二次函数的旋转，二次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想是解题的关键．先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，再利用中心对称的性质得到点关于中心对称的点的坐标为，由抛物线绕着点旋转后抛物线形状不变，只是开口方向相反，可得出新的抛物线解析式为：，再把把点看成是函数的上一点，然后画出图形利用数形结合的方式求解即可． 解：的顶点坐标为：， 点关于成中心对称的点的坐标为：， 则得到新的抛物线解析式为：． 把点看成是函数的上一点， 如图， 故有4个交点， 故选：D 6． 本题主要考查了正比例函数与反比例函数的图象和性质，特殊角的三角函数值． （1）利用特殊角的三角函数值求解即可； （2）证明，求得，证明，列式计算即可求解． （1）由折叠的性质知，， 在等腰直角三角形中，， ； 故答案为：； （2）如图，过点作轴于点，连接，则， 直线与反比例函数的图象交于点和点， 为的中点， ，， ，， ，轴于点， ，， ， ，， ， ， 轴，轴， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（1）点的坐标为，；（2）点的对应点没有落在反比例函数的图象上，理由见解析． （1）过点D作DE⊥y轴于点E，证明△DAE≌△ABO得出DE=AE=1，从而确定D点坐标，进一步得出反比例函数解析式； （2）求出点D′的坐标，代入反比例函数关系式进行验证即可得到结果． 解：（1）过点D作DE⊥y轴于占E， ∴ ∵四边形ABCD是正方形 ∴,DA=BA ∴∠DAE+∠BAO=90° 又∠BAO+∠ABO=90° ∴∠DAE=∠ABO， ∴ ∴DE=BO，AE=AO ∵， ∴AO=1，BO=1 ∴DE=1，AE=1 ∴OE=OA+AE=1+1=2 ∴D（1，2） ∵点D在反比例函数的图象上 ∴k=2×1=2 ∴反比例函数的表达式为； （2）点的对应点没有落在反比例函数的图象上， 理由如下：如图所示， ∵，，， ∴， 当点的对应点落在轴上时，， 由题可知轴，， ∴点与点横坐标相同， ∴， ∵， ∴点的对应点没有落在反比例函数的图象上． 【点睛】此题主要考查了反比例函数综合以及全等三角形的判定与性质以及待定系数法求反比例函数解析式等知识，得出D，点坐标是解题关键． 8．(1) (2) （1）根据题意，得到长，求出长，设出点坐标，利用直角，得到点坐标，从而得到反比例函数解析式； （2）根据反比例函数解析式，得到点坐标，得到长，从而得到结果． （1）解：沿折叠，， ，， 四边形是矩形，，， ， ， 设， ，， ， 即， ， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：点纵坐标为8， ， ， 即， ． 9．B 本题考查反比例函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，求得点A的坐标是解答的关键．先根据反比例函数图象的对称性和等腰直角三角形得到由题意，点A、B关于原点对称，则， ，，过A作轴于E，过C作轴于F，证明，得到，，根据坐标与图形性质得到，，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可． 解：由题意，点A、B关于原点对称，则， ∵，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴，， 过A作轴于E，过C作轴于F， 则，    ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵点A是反比例函数图象上的一动点， ∴，即， 故选：B． 10． 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义（在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变），以及反比例函数图象和性质，化简绝对值．根据题意得到，利用反比例函数图象和性质，得到，，化简绝对值进行求解，即可解题． 解：轴，且的面积等于3， ， 即， 的图象在第二象限， ， 的图象在第三象限， ， ， ， 故答案为：． 11．(1)；； (2)P点的坐标为或或或； (3) (4)或． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可； （3）利用三角形面积公式求解即可； （4）利用函数图象求解即可． （1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 将代入得， ∴， 将，代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设P点的坐标为， ∵， ∴， 当时，即， ∴， 解得（舍去）或， ∴P点的坐标为； 当时，即， ∴， 解得， ∴P点的坐标为； 当时，P点的坐标为或； 综上，P点的坐标为或或或； （3）解：记直线交轴于点，当时，， ∴， ∴， ∴； （4）解：若，x的取值范围为或． 12．(1) (2)， (3)存在，点M的坐标为或或 （1）将代入直线解析式求出，得出，再将代入反比例函数解析式即可求解； （2）首先求直线与轴交点，设点，则，表示出，根据，列方程求出，再求出，即可解答； （3）先求出直线向下平移4个单位后解析式为，求出，设点，分三种情况当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点相同解答即可； （1）解：∵点在直线上， 将在代入直线解析式得：，即； 又∵在反比例函数上，代入得， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：令，则， ∴， 设点， ∵轴， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：（，舍去负根）， ∴， ∴为直线， 令，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：直线向下平移4个单位后解析式为：， 令，则，解得， ∴， ∵，设点，分三种情况讨论平行四边形： 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； 当为对角线时：根据中点相同得，，解得：，∴； ∴存在点，坐标为或或． 13．D 本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，则可得和点的坐标，然后根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 解：将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：D． 14． 本题主要考查了反比例函数的的意义，得到点的坐标为，设，，根据列方程求出或（不合题意，舍去），得到反比例函数，则，，作点D关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接，则为最小值，利用勾股定理求出答案即可． 解：四边形是正方形， ， 则点的坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴反比例函数， ∴，， 作点D关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接， 则为最小值， ∴， 即的最小值是． 故答案为： 15．(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为， (2) （1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． （1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 16．(1)， (2)①，②或 利用待定系数法求得反比例函数的解析式，即可求得点B 的坐标； ①作关于轴的对称点，连接交轴于，由于C和关于轴对称，有，当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度，利用待定系数法求得直线的解析式为，即可求得点M的坐标；②设，，当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，可证明，则，，列出；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，列出，解得n即可． （1）解：∵，， ， 将代入得： ， 解得， 反比例函数的表达式为， 在中，令得， 的坐标为； （2）解：①作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图： ，关于轴对称， ， 当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度， 由（1）知，， ， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 当时，， 则点M的坐标为； ②设，， 当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图： 的等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得，， ， 解得或（舍去）， ； 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题主要考查函数和几何的结合，涉及待定系数法求解析式、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质以及等直角三角形的性质，解题的关键是熟悉函数的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $