第28章 旋转--图形旋转模型 重点知识点归纳 专项练 2026-2027学年学人教版数学九年级上册

第28章 旋转--图形旋转模型 重点知识点归纳 专项练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、遇到等边三角形旋转60度构造等边三角形 1．如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论错误的是（    ） A．可以由绕点逆时针旋转得到 B．点与的距离为5 C． D． 2．如图，设P为等边三角形内的一点，且，，三角形的面积是___________． 3．（1）探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整： 如图1，在等边内部，有一点，若．求证： 证明：将绕A点逆时针旋转60°，得到，连接， ∴，，______． ∴为______三角形（从“等腰”、“等边”、“直角”、“等腰直角”中选择）． ∴，， ∵ ∴______° ∴______． 即 （2）类比研究：如图2，在等腰中，，内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明． （3）拓展应用：如图3是，，三个村子位置的平面图，经测量，，，为内的一个动点，连接，，．求的最小值． 4．已知是边长为的等边三角形，点是射线上的动点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，猜想是什么三角形？______________；（直接写出结果） (2)如图2，点在射线上（点的右边）移动时，证明． (3)点在运动过程中，的周长是否存在最小值？若存在．请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 二、遇到等腰直角三角形旋转90度构造等腰直角三角形 5．如图, 四边形中，，，，则四边形的面积为（　） A．9 B． C．6 D． 6．如图，在中，，，，D为边上一动点，将线段绕点C按逆时针方向旋转得到线段，连接，则的最小值为________． 7．如图，等腰直角三角形中，，，点D在线段上，将线段绕点A逆时针旋转90度得线段，连接． (1)求证： (2)若，求的长． 8．如图1，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，为线段上一动点（不与点重合），将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接 (1)证明：； (2)如图2，连接， 与相交于点 ①证明：在点的运动过程中，总有； ②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？ 三、旋转——45度半角模型求值证明 9．如图1，在边长为4的正方形中，点，分别是正方形的边，上的点，且，若，求的长．利用旋转的方法，把绕点逆时针旋转，得到，参考图2，可得的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，的周长为8，则正方形的边长为________． 11．如图，四边形为正方形，点分别在边上，如果的周长为．求正方形的边长．    12．如图，点，分别在正方形的边，上，且，把绕点顺时针旋转得到． (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长； (3)若，则的最小值为_______． 四、旋转——手拉手模型求值证明 13．如图，是等边三角形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图，将绕点A逆时针旋转得到．连结和．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 15．综合与探究：如图1，是等腰三角形，，，过点B作于点C，在上截取，连接、并延长交于点P； (1)求证：； (2)试说明平分； (3)如图2，将绕着点C旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 16．如图，和都是等边三角形，和相交于点F． (1)可以看作是经过____________变换而得到的（填“平移”、“轴对称”或“旋转”），并用数学语言描述得到的过程：__________________； (2)试求的度数． 17．课本再现 （1）如图1，和都是等边三角形，且点、、在一条直线上，连接和相交于点，线段与有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？ 深入探究 （2）如图2，将绕点逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同． ①线段与的数量关系是___________； ②的度数为___________． 拓展应用 （3）如图3，四边形中，，，，，，求边的长度． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 5 9 13 答案 B D B C 1．B 先由旋转性质以及等边三角形的性质证明，即可得出A选项是正确的；由旋转，得是等边三角形，则，故点与的距离为4，则选项B错误；结合全等三角形的性质以及，故是直角三角形，则，故选项C正确；将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点的位置．如图2，连接，过点作，垂足为，证明是等边三角形，再得出是直角三角形．接着得，运用勾股定理算出，结合三角形的面积公式列式计算，即可作答． 解：如图1，连接，过点作，垂足为． 由旋转，得，． 是等边三角形， ，， ， ， ， 可以由绕点逆时针旋转得到，故选项A正确； 由旋转，得，， 是等边三角形， ， 点与的距离为4，故选项B错误； 是等边三角形， ． ， ， ， 是直角三角形，， ， 故选项C正确； 将绕点逆时针旋转，使得与重合，点旋转至点的位置．如图2，连接，过点作，垂足为， 则，，， 是等边三角形， ，． ， ， 是直角三角形． 在中，， ． 由勾股定理得，， 故选项D正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理与勾股逆定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．/ 根据等边三角形的性质得到，于是可把绕点B逆时针旋转可得到，根据旋转的性质得到，，，可判断为等边三角形，则，在中，利用勾股定理的逆定理可得是以为斜边的直角三角形，则，再利用，最后作高线利用三角形的面积公式计算即可． 解：∵为等边三角形， ∴， 如图，把绕点B逆时针旋转可得到，过点B作于E， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质和勾股定理的逆定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 3．（1）；等边；90 ；； （2），（或）， 证明如下： 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可得：，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）最小值为 本题考查了旋转三角形的问题，等边三角形，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可． （2）将绕A点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． （3）将绕点顺时针旋转，得到，连接、，证明是等边三角形，得，则，当点、、、四点共线时，最小，证明，在中 ，根据勾股定理，即可解答． 解：（1）  等边  90   （2） 略 （3）如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、． ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当点、、、四点共线时，最小 ∵， ∴， 在中， 即的最小值为． 4．(1)等边三角形 (2) 解：等边三角形，如图2中，设交于点． 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ． (3)存在， （1）根据旋转的性质即可求解； （2）根据旋转可证，得到，由此即可求解； （3）根据旋转可得，，则的周长，当点在线段上时，的周长，当在线段上，且最小时，的周长最小，由此即可求解． （1）解：等边三角形， ∵点是射线上的动点，将绕点逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形． （2）略 （3）解：点在运动过程中，的周长存在最小值，最小值为， 理由：如图3中， 根据旋转可得，， ，则的周长， 当点在线段上时，的周长， 当点在线段的延长线上时，的周长， 的周长， 当在线段上，且最小时，的周长最小， 为等边三角形， ， 当时，的值最小，的最小值为， 的周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形，旋转的性质的综合，掌握旋转中角与边的关系，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 5．D 根据已知线段关系，将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．证明C、D、E三点共线，则是等腰直角三角形，四边形面积转化为面积． 解：∵，， ∴将绕点A逆时针旋转，与重合，得到．    ∴，． 根据四边形内角和，可得， ∴． ∴C、D、E三点共线． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴， ∵四边形的面积面积． 6．/ 过点C作于点K，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于点J，证明，得出，证明四边形是正方形，得出，说明点E在直线上运动，当点E与点J重合时，的值最小，求出，即可得出答案． 解：如图，过点C作于点K，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于点J， ∵将线段绕点C逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点E在直线上运动，当点E与点J重合时，的值最小， 在中，，，， ∴，，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 7．(1)见解析 (2) （1）由等腰直角三角形的性质得出，线段绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质得到，，得到，，得到； （2）由勾股定理求出，过点作于点，则，求出，根据可求解． （1）证明：∵在等腰直角三角形中，，， ∴， 由题意得：绕点A逆时针旋转90度得线段，则：，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在等腰直角三角形中，， 过点作于点，则， 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．(1)见解析 (2)①见解析；②当的长度为2或 时，为等腰三角形 （1）根据线段绕点A逆时针方向旋转90°得到，得AD=AN，∠DAN=90°，△ABC是等腰直角三角，∠BAD=90°-∠CAD＝∠CAN，即可得证； （2）①证明（SAS ），即可得证；②分三种情况求解即可． （1）证明：∵线段绕点A逆时针方向旋转90°得到， ∴AD=AN，∠DAN=90° ∵△ABC等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB=AC， ∴∠BAD=90°-∠CAD＝∠CAN   在和中     ∴（SAS） （2）证明：①∵△ABC等腰直角三角形，AB=AC，点E，F分别为AB，AC的中点， ∴AE=AF，是等腰直角三角形， ∴∠AFE=∠AED=45°         在和中 ∴（SAS ） ∴∠AFN=∠AED=45°， ∴∠DFN=∠AFN+∠AFE=45°+45°=90°， ∴ ②∵，点E，F分别为AB，AC的中点， ∴AE=AF= ，且∠ANM=45° 要使为等腰三角形，分3种情况： （ⅰ）当∠ANM=∠MAN=45°时，如图3， 则∠DAF=90°-∠MAN =90°-45°=45°， ∴AD平分∠EAF， ∴点D是EF的中点， ∴ED； （ⅱ）当∠MAN=∠NMA时， 如图4， 则∠MAN=∠NMA=（180°-∠ANM）÷2=（180°-45°）÷2=67.5°，即∠MAN=∠NMA=67.5°, ∴ ∠EAD=∠MAN=67.5°， ∴∠EDA=180°-45°-67.5°=67.5°， ∴∠EAD=∠EDA，    ∴ED=EA= ； （ⅲ）当∠ANM=∠AMN=45°时，此时，点D与点F重合，如图5， 不符合题意，故舍去. 综上所述：当的长度为2或 时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论的应用． 9．B 依据旋转的性质，确定与全等，得到对应边、对应角相等，明确、的长度，以及与的等量关系．因为，，所以推导与的角度关系，判断和是否全等．设的长度为未知数，用含未知数的式子表示、的长度，结合正方形边长表示出、的长度，利用勾股定理在中建立方程求解． 解：将绕点逆时针旋转得到， 由旋转性质得：，，． 因为正方形中，， 所以，即， 因此． 又为公共边， ， ． 设，则，即． 正方形边长为， ，． 是直角三角形，由勾股定理得： ， 即 ， 解得， ． 10．4 首先将△BAE绕点B顺时针旋转90°，得到△BCG，再根据旋转的性质得出BG=BE，,再根据，得出,证明,即可得到EF=FG,最后利用全等三角形的性质即可得到△DEF的周长就是． 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=AD=CD，∠BAE=∠C=90°， ∴把△ABE绕点A顺时针旋转90°可得到△BCG，如图， ∴BG=BE，CG=AE，∠GBE=90°，∠BAE=∠C=90°，, ∴点G在DC的延长线上， ∵∠EBF=45°， ∴， ∴, 即， 在△FBG和△FBE中， ∵ ∴△FBG≌△FBE（SAS）， ∴FG=EF， 而FG=FC+CG=CF+AE， ∴EF=CF+AE， ∵△DEF的周长=DF+DE+CF+AE=CD+AD=8， ∴AD=4； 故填：4． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等,也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质, 得出△FBE≌△FBG是解题关键． 11． 本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，如图，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，证明，再结合全等三角形的性质可得答案． 解：如图，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，，，，    ∴，，三点共线， ， ， ， ， 又， ， ，即 的周长为， ， ， ， ∴， ， ， 即正方形的边长为． 12．(1)见解析 (2)正方形的边长为6； (3) （1）先证明，再根据证明三角形全等即可； （2）设，则，，在中，利用勾股定理构建方程即可求出正方形的边长为6，从而可求出，，即可得到答案； （3）由（2）得，又由三角形三边关系得，得到，当时，有最小值，据此求解即可． （1）证明：由旋转的性质得，， ，，， ， 点，点，点三点共线， ，， ， ， ， ； （2）解：设，则，， ， ， ， ， ， ， ， 解得，或（舍弃）， 正方形的边长为6； （3）解：由（2）有，又， ∴， 当时，有最小值， 设， ∴， 由勾股定理得，即， 解得（舍去负值）， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 13．C 本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质以及图形的旋转等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，由全等三角形的性质可知；再证明为等边三角形，可得，然后利用两角之差即可求解． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选C． 14．①②④ 解：逐一分析四个结论： ①由旋转可知，，①正确； ②由旋转角等于可知，②正确； ③根据题意只可得到，无法得到，③错误； ④如图，记与的交点为，与的交点为， ， ， ， ， ， ，④正确， 故正确结论的序号有①②④． 15．(1)证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴平分（等腰三角形的三线合一） (3)不发生变化； 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． （1）由条件推出，即可求证，再根据全等三角形的性质即可得出答案． （2）由推出，即可求证； （3）根据证，再得出即可求解． （1）略 （2）略 （3）略 16．(1)旋转，以点为旋转中心将逆时针旋转得到 (2) 此题考查了图形的旋转，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质， （1）可绕点逆时针旋转得到； （2）由可得，即可得到，再利用外角得到，代入计算即可． （1）解：∵是等边三角形， ，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 以点为旋转中心将逆时针旋转就得到， 故答案为：旋转，以点为旋转中心将逆时针旋转得到； （2）解：∵ ， ∵， ∴， 是的外角， ， ， ． 17． （1），理由如下， 和都是等边三角形， ， ，即． 将绕点逆时针旋转得到， ； （2）①； ②； （3） （1）利用等边三角形的性质得到，进而根据旋转的性质将绕点逆时针旋转得到，即可得到； （2）①证明得到； ②根据得到，再根据三角形外角的性质求出，则可得； （3）先证明是等边三角形，如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，则，证明是等边三角形，得到，进一步证明．由勾股定理得． 解：（1）略 （2）①和都是等边三角形， ， ，即． 在和中， ， ， 故答案为：． ② ， ， ， 故答案为：． （3）， 是等边三角形， ， 如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴， 是等边三角形， ， 由旋转的性质知， ， ． 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，三角形外角的性质等等，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $