2026-2027学年上学期人教版数学九年级上册阶段自测题（新教材 第25-28章 ）

2026-2027学年上学期人教版数学九年级上册阶段自测题（新教材 第25-28章 ） 一、单选题 1．剪纸是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程化成一般形式后，常数项是－2，则一次项系数是（     ） A．1 B．－2 C．4 D．－4 3．抛物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 5．将抛物线的顶点平移到，则平移的方式为（    ） A．向左平移7个单位长度 B．向右平移7个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 6．两个相邻奇数的积是195，则这两个奇数的和为（   ） A．26 B．28 C．或26 D．或28 7．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．关于x的二次函数． 的顶点坐标在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．反比例函数与一次函数（k为常数，）在同一坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 10．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位，m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为，其中．有下列结论： ①当时，小球运动到最大高度； ②当小球的运动高度为时，运动时间为或； ③小球运动中的最大高度为； ④小球从抛出到落地需要； 其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 12．如图，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图像上，点 在反比例函数的图像上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．点（2，-6）关于原点对称的点的坐标是______________． 14．关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是__________． 15．正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则_____． 16．将抛物线向左平移个单位，得到的抛物线与轴的交点坐标是______________． 17．在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，连接，． （I）线段的长为___________； （Ⅱ）点O，分别是，的中点，连接，则线段的长为___________． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为_____； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 三、解答题 19．解方程 (1) (2) 20．某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地原来的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 21．已知二次函数． (1)直接写出抛物线的顶点坐标：________；对称轴：________； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)当时，相应函数值的取值范围是________． 22．如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． (1)画出将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后的； (2)画出将绕点逆时针旋转后的； (3)在平面内有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标； 23．【问题背景】如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)【发现问题】猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)【拓展应用】若，，，求四边形的面积． 24．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第6分钟时消毒效果为 效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 25．如图，、两点在函数的图象上．    (1)求的值及直线的解析式． (2)当时，自变量的取值范围是______． (3)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点为格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数． (4)请在右图中画出函数的图象并写出当时、、的大小关系． 26．已知二次函数，（a，c为常数，且） (1)若此二次函数的图像经过点和点，求二次函数的解析式 (2)在（1）的条件下，当时，二次函数的最大值与最小值的和为3，求t的值； (3)当时，已知点，，若二次函数的图像与线段只有1个交点，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C D D B D C B 题号 11 12 答案 A D 1．D 在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 解：A、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 2．D 先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定一次项系数即可． 解：， 移项，得， ∴一次项系数为． 3．A 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的顶点式解答．配方成顶点式后即可确定其顶点坐标． 解： ， 对称轴方程为直线， 故选：A． 4．C 根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． ∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 5．D 本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键． 根据左加右减，上加下减求解作答即可． 解：由题意知，， ∴平移的方式为向右平移1个单位长度， 故选：D． 6．D 设两个相邻奇数为和，根据乘积为列方程求解，再求和即可，注意需考虑正负两种情况． 本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 解：设这两个相邻奇数分别为和，则它们的乘积为： 展开得： 当时，两个奇数为和，和为； 当时，两个奇数为和，和为。 因此，这两个奇数的和为或， 故选：D 7．B 本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．通过配方法将给定的一元二次方程转化为的形式，从而确定和的值，进而计算． 解：， ， ， ， ∴，， ∴． 故选：B． 8．D 本题考查了二次函数的顶点坐标，判断点所在的象限，确定顶点坐标是关键；把二次函数化为顶点式，即可确定顶点坐标，根据顶点两个坐标的符号即可确定点所在的象限． 解：原函数解析式化为， 则顶点坐标为； ∵，， ∴在第四象限； 故选：D． 9．C 根据当和时，和图象的位置逐项判断即可． 解：∵当时，过一、二、三象限，经过点，过一、三象限； 当时，过一、二、四象限，过二、四象限． ∴选项A：由图象可知，且经过点，但的，不符合条件； 选项B：由的图象可知，不经过点，不符合条件； 选项C：由的图象可知，经过点，的，符合条件； 选项D：由的图象可知，不经过点，不符合条件． 10．B 该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质； 根据二次函数的图像和性质解答即可； 当时，小球运动到最大高度，最大高度为，故①③错误； 当小球的运动高度为时，有，解得或，故②正确； 小球从抛出到落地需要，故④正确． 故选：B． 11．A 过点作，过点作垂足在的延长线上，根据等腰三角形的性质可知，可证，根据全等三角形的性质可知，再根据三角形的面积公式求出结果． 解：如下图所示，过点作，过点作垂足在的延长线上， ， ， 由旋转可知，， ， ， 在和中，， ， ， ，，， ， ， 的面积为． 12．D 根据反比例函数的解析式可得：，根据平行四边形的性质可得，解方程即可求出的值． 解：如下图所示，连接、， 点 在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， ，， ， 点在反比例函数的图像上， ∴设点的坐标为， 则，， , ， 四边形是平行四边形， ， ． 13．（-2，6） 根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得答案． 解：点（2，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，6）， 故答案为（﹣2，6）． 14． 根据一元二次方程的定义列不等式式求解即可． 解：∵关于x的方程是一元二次方程 ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不为零是解题的关键． 15．2 本题考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，正比例函数的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据交点的纵坐标，利用正比例函数求出交点的横坐标，再代入反比例函数求k． 解：∵交点的纵坐标为2，且点在正比例函数上， ∴，解得：． ∴交点坐标为． 代入反比例函数，得， 即， 故答案为：2． 16． 根据抛物线平移的性质得平移后的抛物线解析式，再求出与轴的交点坐标即可． ∵将抛物线向左平移个单位 ∴平移后的抛物线解析式为 令 故得到的抛物线与轴的交点坐标是 故答案为：． 17． 本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由矩形的性质和勾股定理求解即可； （2）连接，由旋转的性质可得，；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再证明，由勾股定理可得． 解：（I）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图所示，连接， 由旋转的性质可得，； ∵点O，分别是，的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18． 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求 本题主要考查了作图-复杂作图，中心对称，勾股定理等知识点， （1）利用已知和勾股定理即可得解； （2）利用三角形的中位线定理可得出，即为两个单位长度，利用矩形的中心对称性可知和成中心对称，和成中心对称，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出图形是解决此题的关键． （1）如图，连，过A作格线的垂线交于点C， ∵O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）， ∴， 故答案：； （2）如图， ， 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求． 19．(1)， (2)， （1）利用公式法，即可求解； （2）利用直接开平方法，即可求解． （1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （2）解：， ∴， ∴或， ∴或， ∴，． 20．(1) (2)米 （1）属于典型的增长率问题，需利用公式“增长后的量=增长前的量×（增长率）”建立方程．设出增长率，根据两年后的面积列方程，并根据实际意义（增长率为正数）对解进行取舍． （2）属于几何图形面积问题，需根据图形特征（一边靠墙、中间有隔断）和板材长度（含门的宽度）表示出长方形的长和宽，然后根据长方形面积列方程，最后根据墙长限制条件对解进行检验． （1）解：设这个增长率为x，由题意得： 解得：，（舍去） 答：这个增长率为． （2）解：设场地的宽为y米，则的长为米， 由题意得： 整理得： 因式分解，得 解得：，． 当时，长为米， 因为，超过了墙长，不符合题意，舍去． 当时，长为米， 因为，符合墙长限制，符合题意． 答：场地的宽为15米． 21．(1)，直线 (2)所画函数图象如图所示 (3) （1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴； （2）先求出5个点的坐标，再描点、连线，即可得到抛物线的图象； （3）根据（2）中函数图象即可得出结果． （1）解：， ∴顶点坐标为，对称轴是直线； （2）解：由（1）得顶点坐标为， 当时，， ， ，， ∴与x轴交点为，， 当时，， ∵与关于直线对称， ∴当时，， ∴五个点为（、、、、，所画函数图象略． （3）解：当时，由图象可得：． 22．(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示，即为所求； (3)点的坐标为，或 （1）按照坐标平移规律作出点平移后的对应点，然后顺次连接即可得到． （2）结合网格的直角特性，分别将点绕点逆时针旋转，得到点、，再顺次连接点、、，即可得到． （3）分别以为对角线、以为对角线、以及以为对角线，作平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到点的坐标． （1）略； （2）略； （3）解：如图，当以为对角线时，作，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ，， 点的坐标为； 如图，当以为对角线时，作， 四边形是平行四边形， ，， ，， 点的坐标为； 如图，当以为对角线时，作， 四边形是平行四边形， ，， ，， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为，或． 23．(1)，理由如下： 根据题意可知，，即， 三角形为等边三角形， ，，即， ， 在和中， ， ， ． (2) （1）利用旋转得、，结合等边三角形的性质，用证明，进而证得； （2）连接，过点作，先推出为等边三角形，算出其面积，再利用（1）的结论推出，通过勾股逆定理证明是直角三角形，算出它的面积，两个三角形面积相加得到四边形面积． （1）略 （2）解：如图，连接，过点作， 据（1）可知， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， 为直角三角形，， ， ． 24．(1) (2)当时，与之间的函数关系式为，当时， (3)消毒有效 （1）求出线段的解析式，代入，即可求出第6分钟时消毒效果． （2）代入点B、C的坐标，即可求出线段的解析式． （3）先求出深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，再求出降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，用降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间减去深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，与28分钟比较，比28分钟长则有效，反之无效．渐消毒阶段没有达到4效力，不做分析． （1）解：根据图像知，线段过点B， 设线段的解析式为（）， 代入点B得到线段解析式： ，解得， ∴线段解析式： ， ∴当6分钟时，为（效力）． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和， 根据题意，得，解得，所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为，故， 解得，故， ∴当时，与之间的函数关系式为，当时，． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为， 故本次消毒有效． 25．(1)， (2) (3)3个 (4) 如图所示，    ∴ （1）把点代谢反比例函数的解析，即可求得m的值，把，分别代入表达式，即可求得直线AB的解析式； （2）由图象即可求得； （3）根据图象及解析式即可求得． （4）根据题意，画出函数的图象，进而根据函数图象，即可求解． （1）解：由图可知反比例函数过点，将代入，得， ∴反比例函数的表达式为 将点，分别代入表达式得：， 解得 ∴直线AB的表达式为 （2）解：由图象可知：当时， 故答案为： （3）解：格点的横坐标x的取值范围为且x为整数 当时，，，此时格点的坐标为 当时，，，此时格点的坐标为 当时，，，此时格点的坐标为 当时，，，此时没有格点 综上，所含格点的坐标为，，，共3个， （4）略 【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式，利用图象求不等式的解集，格点问题，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 26．(1) (2)0或 (3)或或 本题考查二次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）先求得当时，该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为，与y轴的交点为，分和时两种情况，利用二次函数的图像与性质分别求解即可． （1）解：∵此二次函数的图像经过点和点， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由得二次函数的图像的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∵， ∴当时，二次函数的最大值为，最小值为， 由题意，， 解得，（不符题意，舍去）； 当时，二次函数的最大值为，最小值为， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当时，二次函数的最大值为8，最小值为， 由题意，， 解得，（不符题意，舍去）； 综上，满足条件的t值为0或； （3）解：当时，， ∴该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为，与y轴的交点为， 当时，， 当时，二次函数的图像的开口向上，且，， 若二次函数的图像与线段只有1个交点，则，解得； 当时，二次函数的图像的开口向下，且，， 当即时，该二次函数的图像与线段只有1个交点； 当即时， 若二次函数的图像与线段只有1个交点，则，解得， ∵， ∴， 综上，满足条件的a取值范围为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $