2026-2027学年人教版九年级上册数学期中测试卷（第一套）（考查范围：第25-28章）

学校＿＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿＿ 2026—2027 学年上学期期中测试卷（一） 人教版九年级上册数学（2026 秋版新教材） 考查范围：第二十五章至第二十八章　　时间：120 分钟　　满分：120 分 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x²＝1　　　　B. ＋x＝2　　C. x²＋2y＝0　　D. ax²＋bx＋c＝0 2. 若函数 y＝ 是反比例函数，且它的图象在第二、四象限，则 k 的取值范围是（　　） A. k＞2　　　　　B. k＜2　　　　　 C. k＞0　　　　　D. k＜0 3. 用配方法解方程 x²－4x－1＝0，配方后的结果是（　　） A. (x－2)²＝3　　B. (x－2)²＝5　　C. (x＋2)²＝5　　D. (x－2)²＝1 4. 将抛物线 y＝2(x－1)²＋3 先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度，所得抛物线的表达式为（　　） A. y＝2(x＋1)²－1　　　B. y＝2(x－3)²－1　　C. y＝2(x＋1)²＋7　　D. y＝2(x－3)²＋7 5. 在 △ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转，使点 A 的对应点 A′ 恰好落在边 AB 上，则旋转角的度数为（　　） A. 30°　　　　　B. 60°　　　　　 C. 90°　　　　　D. 120° 6. 已知二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象开口向下，与 x 轴交于点 (－1，0) 和 (3，0)，则不等式 ax²＋bx＋c＞0 的解集是（　　） A. x＜－1 或 x＞3　　　B. －1＜x＜3　　　C. x＜3　　　　　D. x＞－1 7. 如图，点 A 是反比例函数 y＝（x＞0）的图象上一点，AB⊥x 轴于点 B。若 △AOB 的面积为 3，则 k 的值为（　　） A. 3　　　　　　B. 6　　　　　　　C. －6　　　　　 D. 12 8. 已知 m、n 是方程 x²－3x－2＝0 的两个实数根，则代数式 m²＋mn＋n² 的值为（　　） A. 5　　　　　　B. 9　　　　　　　C. 11　　　　　　D. 13 9. 如图，抛物线 y＝ax²＋bx＋c 与 x 轴交于点 A(－2，0)、B(4，0)，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x＝1。下列结论正确的是（　　） A. abc＞0　　　　B. 2a＋b＝0　　　C. 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大　　D. a＋b＋c＜0 10. 已知抛物线 y＝ax²＋bx＋c 的对称轴为直线 x＝－1，与 x 轴的一个交点为 (2，0)。下列结论：① b＝2a；② 9a＋3b＋c＜0；③ 若点 (－3，y₁)、(1，y₂) 在抛物线上，则 y₁＝y₂；④ 方程 ax²＋bx＋c＝0 的另一个根是 x＝－4。其中正确的有（　　） A. 1 个　　　　　B. 2 个　　　　　 C. 3 个　　　　　D. 4 个 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11. 关于 x 的一元二次方程 (m－1)x²＋2x－1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 12. 抛物线 y＝x²－2x－3 的顶点坐标是＿＿＿＿＿＿。 13. 已知点 P(2，－3) 在反比例函数 y＝ 的图象上，则当 x＝－6 时，y＝＿＿＿＿。 14. 关于 x 的一元二次方程 x²－6x＋m＝0 有两个相等的实数根，则 m＝＿＿＿＿。 15. 将抛物线 y＝－x² 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，所得抛物线与 y 轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿。 16. 在平面直角坐标系中，点 A(3，0)、B(0，4)，将 △AOB 绕点 O 逆时针旋转 90° 得到 △A′OB′，则线段 AB′ 的长为＿＿＿＿。 三、解答题（本题共 9 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程。（6 分） (1) x²－6x＋5＝0； (2) 2x²－3x－2＝0。 18. 已知关于 x 的一元二次方程 x²－mx＋2m－4＝0。（6 分） (1) 求证：无论 m 取何实数，该方程总有实数根； (2) 若该方程的两个根恰好是一个矩形的相邻两边的长，且该矩形的对角线长为 2√5，求 m 的值。 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A(1，1)、B(4，2)、C(2，4)。（6 分） (1) 画出 △ABC 关于原点 O 中心对称的 △A₁B₁C₁，并写出 A₁、B₁、C₁ 的坐标； (2) 将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90° 得到 △A₂B₂C₂，画出 △A₂B₂C₂，并直接写出 A₂ 的坐标。 20. 已知反比例函数 y＝ 的图象经过点 A(2，3)。（6 分） (1) 求这个反比例函数的表达式； (2) 判断点 B(－3，－2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由； (3) 当 －3≤x≤－1 时，求 y 的取值范围。 21. 某文创商店销售一种手绘书签，每套进价 12 元。经市场调查，当售价为每套 20 元时，每天可售出 60 套；售价每上涨 1 元，每天销量就减少 5 套。设售价为每套 x 元（x≥20），每天获利 y 元。（8 分） (1) 求每天销量 w（套）与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2) 若某天该商店获利 480 元，求当天的售价； (3) 当售价定为每套多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y＝（x＞0）的图象交于 A(1，4)、B(4，n) 两点，与 x 轴交于点 C。（8 分） (1) 求一次函数和反比例函数的表达式； (2) 求 △AOB 的面积； (3) 根据图象，直接写出不等式 kx＋b＞ 的解集。 23. 如图，抛物线 y＝－x²＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1，0)、B(3，0) 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 D。（10 分） (1) 求抛物线的表达式和顶点 D 的坐标； (2) 连接 BC，求 △BCD 的面积； (3) 点 P 是抛物线对称轴右侧、x 轴上方图象上的一个动点，过点 P 作 PQ∥y 轴，交 BC 于点 Q，求线段 PQ 的最大值。 24. 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下水面宽 AB＝20 m，拱顶到水面的距离为 4 m。以水面所在直线为 x 轴、拱桥的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系。（10 分） (1) 求拱桥所在抛物线的函数表达式； (2) 当水面上升 3 m 时，水面的宽 CD 是多少米？ (3) 一艘宽 10 m、船顶高出水面 2.5 m 的货船居中通过桥洞，当水面上涨多少米后，该船就不能从桥下通过？ 25. 【探究】如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点 D 是 AB 边上一点，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90° 得到线段 CE，连接 AE。（12 分） (1) 求证：△BCD≌△ACE； (2) 判断 AE 与 BD 的位置关系，并说明理由； (3) 若 AB＝8，AD＝3，求 CE 的长。 参考答案与详解 一、选择题 1．【答案】A　【详解】A. x²＝1 只含一个未知数、最高次数为 2，是一元二次方程，符合题意；B. ＋x＝2 分母中含有未知数，是分式方程；C. x²＋2y＝0 含有两个未知数，是二元方程；D. ax²＋bx＋c＝0 中 a 可能为 0，不一定是二次方程。故选 A。 2．【答案】B　【详解】由反比例函数定义知 k－2≠0；图象位于第二、四象限，则比例系数 k－2＜0，解得 k＜2。故选 B。 3．【答案】B　【详解】移项得 x²－4x＝1，两边加上一次项系数一半的平方 4，得 x²－4x＋4＝1＋4，即 (x－2)²＝5。故选 B。 4．【答案】A　【详解】向左平移 2 个单位，x 换成 x＋2：y＝2(x＋1)²＋3；再向下平移 4 个单位，y 减 4：y＝2(x＋1)²－1。故选 A。 5．【答案】B　【详解】∠ACB＝90°、∠B＝30°，则 ∠A＝60°。旋转后 CA′＝CA，且 A′ 在 AB 上，故 △CAA′ 中 ∠CAA′＝∠CAB＝60°。由 CA＝CA′ 得 ∠CA′A＝∠CAA′＝60°，所以 △CAA′ 是等边三角形，∠ACA′＝60°，即旋转角为 60°。故选 B。 6．【答案】B　【详解】开口向下、与 x 轴交于 (－1，0) 和 (3，0)，图象在两交点之间位于 x 轴上方，故 ax²＋bx＋c＞0 的解集为 －1＜x＜3。故选 B。 7．【答案】B　【详解】由反比例函数 k 的几何意义，S△AOB＝＝3，得 |k|＝6；图象在第一象限，k＞0，所以 k＝6。故选 B。 8．【答案】C　【详解】由根与系数的关系，m＋n＝3，mn＝－2。m²＋mn＋n²＝(m＋n)²－mn＝9－(－2)＝11。故选 C。 9．【答案】B　【详解】由图象知 a＜0、b＞0、c＝4＞0，则 abc＜0，A 错误；对称轴 x＝－＝1，则 b＝－2a，即 2a＋b＝0，B 正确；开口向下，当 x＞1 时 y 随 x 的增大而减小，C 错误；a＋b＋c 即 x＝1 时的函数值，由图象知其为最大值 4.5＞0，D 错误。故选 B。 10．【答案】C　【详解】① 对称轴 x＝－＝－1，得 b＝2a，正确；③ －3 与 1 关于 x＝－1 对称，故 y₁＝y₂，正确；④ x＝2 关于 x＝－1 的对称点是 x＝－4，故另一根为 －4，正确；② x＝3 距对称轴 4 个单位，在两根之外，f(3) 的符号取决于开口方向，而 a 的符号不确定，故 ② 不一定成立。正确的有 ①③④，共 3 个。故选 C。 二、填空题 11．【答案】m≥0　【详解】当 m＝1 时，方程为 2x－1＝0，有实数根；当 m≠1 时，Δ＝4－4(m－1)×(－1)＝4m≥0，得 m≥0 且 m≠1。综上 m≥0。 12．【答案】(1，－4)　【详解】x＝－＝＝1，y＝1－2－3＝－4。 13．【答案】1　【详解】2×(－3)＝k，得 k＝－6；当 x＝－6 时，y＝＝1。 14．【答案】9　【详解】有两个相等的实数根，则 Δ＝36－4m＝0，解得 m＝9。 15．【答案】(0，1)　【详解】平移后 y＝－(x－1)²＋2；令 x＝0，y＝－1＋2＝1，交点为 (0，1)。 16．【答案】7　【详解】绕点 O 逆时针旋转 90°：(x，y)→(－y，x)，故 B(0，4) 的对应点 B′(－4，0)。A(3，0)、B′(－4，0) 都在 x 轴上，AB′＝3－(－4)＝7。 三、解答题 17．【答案】(1) x₁＝1，x₂＝5；(2) x₁＝，x₂＝2　【详解】(1) 因式分解：(x－1)(x－5)＝0，所以 x₁＝1，x₂＝5。(2) 因式分解：(2x＋1)(x－2)＝0，所以 x₁＝，x₂＝2。 18．【答案】(1) 见详解；(2) m＝6　【详解】(1) Δ＝m²－4(2m－4)＝m²－8m＋16＝(m－4)²。因为 (m－4)²≥0 恒成立，所以 无论 m 取何实数，方程总有实数根。(2) 设两根为 a、b，则 ab＝2m－4，a＋b＝m。由对角线长 2√5 得 a²＋b²＝20，即 (a＋b)²－2ab＝20，m²－4m＋8＝20，m²－4m－12＝0，解得 m＝6 或 m＝－2。当 m＝－2 时 ab＝－8＜0，两边长不能为负，舍去，所以 m＝6（此时两边长为 2 和 4）。 19．【答案】(1) A₁(－1，－1)、B₁(－4，－2)、C₁(－2，－4)；(2) A₂(－1，5)，图见详解　【详解】(1) 关于原点对称的点的坐标互为相反数，故 A₁(－1，－1)、B₁(－4，－2)、C₁(－2，－4)，顺次连接即得 △A₁B₁C₁。(2) 以 C(2，4) 为旋转中心顺时针旋转 90°：(x，y)→(y－4＋2，－(x－2)＋4)，即 A(1，1) 相对 C 的向量 (－1，－3) 顺时针旋转 90° 变为 (－3，1)，故 A₂＝(2－3，4＋1)＝(－1，5)。 20．【答案】(1) y＝；(2) 在图象上；(3) －6≤y≤－2　【详解】(1) 将 (2，3) 代入得 k＝6，所以 y＝。(2) (－3)×(－2)＝6＝k，所以 点 B 在图象上。(3) k＝6＞0，在每一支上 y 随 x 的增大而减小；x＝－3 时 y＝－2，x＝－1 时 y＝－6，所以 －6≤y≤－2。 21．【答案】(1) w＝160－5x（20≤x≤32）；(2) 20 元或 24 元；(3) 22 元，最大利润 500 元　【详解】(1) w＝60－5(x－20)＝160－5x；由 w≥0 得 x≤32，故 20≤x≤32。(2) 由 (x－12)(160－5x)＝480，化简得 x²－44x＋480＝0，解得 x₁＝20，x₂＝24，经检验均符合题意，售价为每套 20 元或 24 元。(3) y＝(x－12)(160－5x)＝－5x²＋220x－1920，当 x＝＝22 时，y 最大＝－5×484＋220×22－1920＝500，即售价 22 元时每天获利最大 500 元。 22．【答案】(1) y＝，y＝－x＋5；(2) ；(3) 1＜x＜4　【详解】(1) 把 A(1，4) 代入 y＝ 得 m＝4；把 B(4，n) 代入 y＝ 得 n＝1。将 A(1，4)、B(4，1) 代入 y＝kx＋b，解得 k＝－1，b＝5，所以 y＝ 与 y＝－x＋5。(2) 直线与 x 轴交于 C(5，0)，S△AOB＝S△AOC－S△BOC＝()×5×4－()×5×1＝10－＝。(3) 由图象，在 A、B 之间双曲线在直线下方，故 1＜x＜4。 23．【答案】(1) y＝－x²＋2x＋3，D(1，4)；(2) 3；(3) 　【详解】(1) 将 A(－1，0)、B(3，0) 代入得 －1－b＋c＝0 且 －9＋3b＋c＝0，解得 b＝2，c＝3，所以 y＝－x²＋2x＋3；x＝＝1，y＝4，D(1，4)。(2) S△BCD＝()|3×(3－4)＋0×(4－0)＋1×(0－3)|＝()×6＝3。(3) 直线 BC：y＝－x＋3。设 P(t，－t²＋2t＋3)，其中 1＜t＜3，则 Q(t，－t＋3)，PQ＝－t²＋2t＋3＋t－3＝－t²＋3t＝－(t－)²＋，故 PQ 最大值为 。 24．【答案】(1) y＝－＋4；(2) 10 m；(3) 0.5 m　【详解】(1) 顶点 (0，4)，过 (10，0)：100a＋4＝0，a＝，所以 y＝－＋4（－10≤x≤10）。(2) 令 y＝3，－＋4＝3，x²＝25，x＝±5，所以 CD＝10 m。(3) 船宽 10 m 居中，船身位于 －5≤x≤5，桥洞在该范围内的最低高度为 x＝±5 处的 3 m。设水面上涨 h 米，需 h＋2.5≤3，得 h≤0.5，所以 水面上涨 0.5 m 后该船不能通过。 25．【答案】(1) 见详解；(2) AE⊥BD；(3) √17　【详解】(1) 由旋转得 CD＝CE，∠DCE＝90°。因为 ∠ACB＝90°，所以 ∠BCD＋∠DCA＝∠ACE＋∠DCA＝90°，得 ∠BCD＝∠ACE。又 BC＝AC，所以由 SAS 得 △BCD≌△ACE。(2) 由 (1) 得 AE＝BD，∠CAE＝∠CBD＝45°。又 ∠CAB＝45°，且 B、E 在直线 AC 两侧，所以 ∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝90°，即 AE⊥BD。(3) 取 AB 中点 M，连接 CM。由 AC＝BC、∠ACB＝90°、AB＝8 得 CM⊥AB 且 CM＝＝4，AM＝4。AD＝3，则 DM＝1，CD＝√(CM²＋DM²)＝√17。由 (1) 知 CE＝CD，所以 CE＝√17。 学科网（北京）股份有限公司 $