2026-2027学年人教版八年级数学上册 阶段自测题（第13-15章 ）

2026-2027学年上学期人教版数学八年级上册阶段自测题（新教材 第13-15章 ） 一、单选题 1．下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．2026年7月，河北省第十七届运动会射击步手枪项目决赛举行，各参赛选手展现出极强的综合实力与心理素质．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间线段最短 3．现有长度3厘米、4厘米的小棒各一根，第三根小棒长度是（     ）厘米时，这三根小棒能围成一个三角形（首尾相接） A．1 B．5 C．7 D．8 4．在中，作边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．一个三角形三个内角度数之比是，则其最大内角的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，与全等，顶点与与与分别对应．已知，，那么中等于（     ） A． B． C． D． 7．如图，直线，，．若，则等于（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，是内两点，平分，，若，，则的长度是（     ） A．12 B．11 C．10 D．13 9．如图，在中，是边上的中线，是线段的中点，连接，若阴影部分的面积为2，则的面积是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，内部有一点，若点到边、的距离相等，且，则点是（　　） A．的角平分线与的垂直平分线的交点 B．的角平分线与的垂直平分线的交点 C．的角平分线与的垂直平分线的交点 D．的角平分线与的垂直平分线的交点 11．如图，在中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于为半径画弧，分别交于点，； ②作直线，与边交于点； ③连接．，，则的周长是（     ） A．10 B．12 C．13 D．14 12．如图，为的角平分线，，过点作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 13．已知的三条边长均为整数，其中两边长分别是2和5，第三边长为奇数，则此三角形的周长为_____． 14．如图把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，ED交BC于点G，点D、C分别落在、位置上若∠EFG＝50°，那么＝_______度． 15．如图，是中的角平分线，于点，，，，则长是__________． 16．如图，在三角形中，，点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．两点同时出发，点停止时，点也随之停止．设点运动的时间为秒．当时，则的值为______． 17．如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，，动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t（）秒，则当_______秒时，与全等． 三、解答题 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，， (1)画出先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后得到的图形，并写出的坐标； (2)画出关于轴的对称图形，并写出的坐标． 19．已知：如图，是的垂直平分线．求证：． 20．如图，是的外角，且， (1)请用尺规作图法在内部求作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接、、证明： 21．如图，在四边形中，，E为对角线上一点，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为 ； (2)若，的面积为，求的长 (3)若，，求的大小． 23．在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当点D在线段BC上时，求证：平分； 24．【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图，在中，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请写出小明证明“”的推理过程． (2)探究得出的取值范围是______； 【问题解决】 (3)如图2，中，，是的中线，，且，求的长． 25．按要求解题： (1)【问题】：如图1，等边，点E是射线上一个动点，延长至点D，使，当时，探究与之间的数量关系，并证明． ：小胖同学认为，通过轴对称变换的学习，借助的条件，可构造轴对称图形（如图2），使得和全等，进而补全等边，利用等边三角形的三条边的等量关系，可解此题． 【解答】：请按照小胖同学的想法，补全辅助线的说明，并继续完成上面问题： (2)参考上面问题中小胖的解题思路，解答下面问题： 如图3，在中，，以为边做等边，点D在上方，连接，若，探索数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B D D C A A B A 题号 11 12 答案 C C 1．B 根据轴对称图形的定义判断即可． 解：选项：不是轴对称图形，不符合题意； 选项：是轴对称图形，符合题意； 选项：不是轴对称图形，不符合题意； 选项：不是轴对称图形，不符合题意． 2．A “三角形的稳定性”能够使结构稳定不易变形，“垂线段最短”适用于最短距离问题，“两点之间，线段最短”涉及最短路径问题，“两点确定一条直线”是指经过两点有且只有一条直线．由题意“射击队员的手、肘、肩构成托枪三角形”，可知利用了三角形的稳定性． 解：“射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形”利用了三角形的稳定性，使自身更稳定，不受外力干扰， ∴这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性． 3．B 根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边分析解答即可． 解：∵ 两根小棒长度分别为厘米、厘米． ∴ 第三根小棒长度大于厘米，小于厘米． 选项中仅厘米符合条件． 4．D 解：根据三角形高的定义，高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，只有D选项满足． 5．D 最大内角对应比例中的最大项，结合三角形内角和按比例求解． 解：∵三角形内角和为，三个内角度数之比为， ∴总份数为， ∴最大内角度数为． 6．C 根据全等三角形的性质得到，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 7．A 过点B作，利用平行线的判定和性质，求解即可； 解：过点B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵，． ∴， ， ∴； 8．A 过点E作，由题意易得，是等边三角形，然后可得，则有，进而问题可求解． 解：过点E作，如图所示： ∵，平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．B 利用三角形中线平分面积的性质，建立阴影部分面积与大三角形面积的数量关系． 解：是的中线， ， 是的中点， 在中，，在中，， ， ， ， ． 10．A 解：∵点到边、的距离相等， ∴点在的角平分线上， ∵， ∴点在边的垂直平分线上， ∴点是的角平分线与的垂直平分线的交点． 11．C 由题意可知垂直平分，依据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得，再由即可求解． 解：由作图可知，垂直平分， ， ，， ． 12．C 根据全等三角形的判定证明①正确；再证明，得到，证明，故②正确；设与交于点，证明，得到③正确；根据证明④错误． 解：，为的角平分线， ， ， ，故①正确； ， ，， ， ， ， ，故②正确； 设与交于点，如图， ， ， ， ，故③正确； ，故④错误． 13．12 本题主要考查了三角形三边之间的关系，根据三角形三边之间的关系，得出第三边的取值范围，再根据题意即可得出第三边的长度，最后求出周长即可．解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 解：∵其中两边的长分别为2和5， ∴第三边，即第三边， ∵的三边长均为整数，且第三边长为奇数， ∴第三边的长度为：5， ∴这个三角形的周长为：． 故答案为：12． 14．100 根据纸片是长方形，找到图中的平行线，再根据平行线的性质和翻折不变性解题． 解：∵四边形纸片ABCD是长方形纸片， ∴AD// BC（矩形的对边相互平行）， ∴∠DEF=∠EFG（两直线平行，内错角相等）， ∵∠EFG=50°（已知）， ∴∠DEF=50°， 根据图形的翻折不变性，得：∠GEF=∠DEF=50°， ∴∠EGB=50°＋50°=100°(外角定理)， ∴． 故答案为：100． 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、矩形的性质及平行线的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置上的变化是解题的关键． 15．5 本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．过点D作于点F，根据是中的角平分线，得到，结合计算即可． 如图，过点D作于点F， ∵是中的角平分线，，    ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：5． 16．或 本题考查了一元一次方程的几何应用，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，分点在边上，点在边 上，和点都在边上， 两种情况解答即可求解，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：当点在边上，点在边 上时，，如图， ∵， ∴为等边三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当点都在边上时， ，如图， 同理可得， ∴， ∴， 解得； ∴或， 故答案为：或． 17．3或7或10 解题的核心在于利用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”这一判定定理．由于题目中未指定对应顶点，且点E的位置（在线段上或延长线上）不确定，因此需要分情况讨论： 对应边关系：与全等时，直角边可能等于，也可能等于； 点E的位置：点E可能在线段上，也可能在的延长线上； 通过建立关于时间t的方程，即可求出所有可能的t值． 解：由题意可知：， 在和中，已知斜边， 根据“”定理，若与全等，则只需再满足一组直角边对应相等即可． 分以下两种情况讨论： 情况一：当点E在线段上时 此时，即，解得． 1.若，则 ∵， ∴， ∴ ∴． 2.若，则 ∵， ∴， 此时点E与点A重合，，即， ∵， ∴此情况舍去． 情况二：当点E在线段的延长线上时， 此时，即，解得． 1.若，则 ∵， ∴， ∴ ∴． 2.若，则 ∵， ∴， ∴ ∴． 综上所述，当t为3或7或10秒时，与全等． 18．(1) (2) （1）根据点坐标的平移，先画出，，三点的位置，再顺次连接即可得，最后根据点在网格中的位置可得它的坐标． （2）先根据点的对称性，画出，，三点的位置，再顺次连接即可得，最后根据点在网格中的位置可得它的坐标． （1）略， （2）略， 19． 证明：连接，， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ． 本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据证明，即可证明． 略 20．(1) (2)证明：是的外角， ， ， ， ， 又，， ． （1）根据题意，作的平分线即可； （2）根据证明两个三角形全等即可证明结论． （1）解：∵，，∴；图略 （2）略 21．(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)4 （1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． （1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 22．(1) (2) (3) （1）利用周长定义进行求解； （2）三角形面积等于底乘高，先求出长，再利用中线定义求出； （3）利用三角形外角性质先求出，再利用角平分线定义、高线性质及三角形内角和定理求出，最后求出． （1）解：是中线， ； ，， ， ，， ， 则和的周长差为2； （2）是的高， ， ， ， ， 是中线， ； （3），， ， 平分， ， ， ， ， ． 23．(1)证明：∵，点是射线上一点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)证明：如图所示，过点C作于H，于K， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分， （1）先证明，，再利用证明，可得到，则； （2）过点C作于H，于K，证明，得到，则可证明平分，即可证明． （1）略 （2）略 24．(1)证明：是的中点， ． 在和中， ， ． (2) (3) （1）根据是中点得到，结合对顶角相等与，利用证明两个三角形全等． （2）由全等得到，再利用三角形三边关系求出的范围，进而得到的取值范围． （3）延长交的延长线于点，先证明，得到，，再根据得到，最后计算线段长度求出． （1）略 （2）解：由（1）得， ． ∵在中，，， ∴，即． ∵ ， ， ． （3）解：延长交的延长线于点． ，， ∴， ． ． 是的中线， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ， ． ∵， 垂直平分． ． ． 25．(1)解：，证明如下： 延长到点F，使得．连接． ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴； (2)解：，证明如下： 作的平分线，使，连接，设， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 延长至点E，使，连接， 设， 同理可得 ∴， ∴， ∴是等边三角形 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． （1）根据给出的思路，进行证明即可； （2）作的平分线，使，连接，设，证明，得到，延长至点E，使，连接，证明，推出是等边三角形，推出，等边对等角结合角的和差关系求出，进而求出的度数，求出，得到为等腰直角三角形，即可得出结论. （1）略 （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $