阶段学情调研(一)-【真题圈】2025-2026学年八年级上册数学试题精选（北师大版·新教材）

真题圈数学 同步调研卷 八年级上12N 湘 3.阶段学情调研（一） (时间：120分钟满分：120分) ☒档 1咖 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.(期末·2024-2025青岛市南区)在3.14w8,-√16,25，牙，号中，无理数有( A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(期中·2024-2025深圳中学初中部)在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,则下列结论正确 的是() A.△ABC是直角三角形，且∠A=90 B.△ABC是直角三角形，且∠B=90° C.△ABC是直角三角形，且∠C=90° D.△ABC不是直角三角形 数 3.（月考·2022-2023西工大附中)下列说法中错误的是() A.有理数和无理数统称为实数 B.实数和数轴上的点是一一对应的 C.平方根是其本身的数只有0 D.负数没有立方根 4.数学建模勾股（联考·2024-2025太原小店区）小逸从家出发，向正东方向走了160m,接着向正北 方向走了120m,此时小逸离家的距离为( A.120m B.160m C.200m8 D.280m h 1 5.已知a= ,b=√3一2，则a,b的关系是( 2+√3 A.a=b B.a=-6 ca=君 D.ab=-1 6.(月考·2023-2024沈阳一二六中学)若(a十b)2十√2b-4=0,则a的值是() A.-2 B.2 C.4 D.-4 7.(期中·2024-2025济南槐荫区改编)一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的 长是( A.13 B.√119 警0 C.5√3 D.13或√119 H唰 8.传统文化（月考·2024-2025沈阳七中）如图，四个全等的直角三角形围成一 题)均 个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算 经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.如果图中直角三角形的长直角边长为 9,短直角边长为4，图中阴影部分的面积为S,那么S的值为( ) A.5 B号 C.25 u号 第8题图 9.(期中·2024-2024青岛大学附中改编)如图，在长方形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在数轴上， 若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M,则点M表示的数为() A.√5 B.√5-1 C.√10 D.√/10-1 D A B 2M 第9题图 第10题图 10.（期末·2024-2025沈阳铁西区改编)在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C均 在正方形的格点上，则下列结论错误的是() A.S△ABc=10 B.∠BAC=90 C.AB=2√5 D.点A到直线BC的距离是2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.（月考·2024-2025沈阳南昌中学)√64的立方根是 12.开放性试题若√10一a是整数，写出一个满足条件的正整数a的值： 13.使用17m长的梯子登建筑物，如果梯子的底部与建筑物的底部的距离不能小于8m,则使用该梯 子最多可登上 m高的建筑物. 14.如图，将长方形分成四个区域，其中A,B两正方形区域的面积分别是2和18，则剩余区域的面积 是 B 拒绝盗印 第14题图 第15题图 15.情境题（月考·2024-2025西工大附中改编）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U池的示意图， 该U池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为2m的半 圆，其边缘AB=CD=15m,点E在CD上，CE=3m,一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行 的最短路程约为 m.(边缘部分的厚度忽略不计) 16.（期中·2024-2025济南槐荫区)如图，在长方形ABCD中，AB=6,BC=8,E是BC边上一点，将 长方形沿AE折叠，点B落在点B处，当△B'EC是直角三角形时，BE的长为 D E 第16题图 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17.(期中·2024-2025沈阳铁西区)(6分)计算： (1)42+10÷(-1)+√8+|3-√2|. 2)v27+√/写×5+(+3v-3》. 18.学科融合物理（期中·2024-2025太原市）(6分)汽车在水平路面以一定的速度转弯时，所受向心 力主要由轮胎与路面的静摩擦力提供.向心力必须足够大，以保持车辆沿着曲线行驶，如果速度 过快，向心力需求增加，一旦超过轮胎抓地力的极限，车辆就会滑出或翻车.当汽车匀速转弯时， 所受向心力为F(单位：N),已知F=m矿，其中m(kg)表示汽车的质量，u(m/s)表示汽车的行驶 速度，r(m)表示弯道半径.雨雪天气时一辆质量为1600kg的汽车，在一段转弯半径为36m的水 平弯道上匀速行驶，若所需向心力为1200N,求汽车转弯时行驶的速度（结果保留根号） 第18题图 19.(期中·2022-2023济南槐荫区)(6分)如图，∠AOB=90°，OA=9m,OB=3m,一机器人在点B 处看见一个小球从点A出发，沿着AO方向匀速滚向点O,机器人同时从点B出发，沿BC方向匀 速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那 么机器人行走的路程BC是多少？ B A 第19题图 20.数学归纳（期中·2024-2025青岛市北区）(8分)已知A=√a十√b,B=√a+b(a≥0，b≥0). (1)计算：当a=0,b=1时，A= ,B= 当a=1,b=1时，A= ,B= 当a=4,b=12时，A= ,B= (2)猜想：当a,b为任何非负数时，A B始终成立.（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”） (3)请说明(2)中猜想的合理性. 拒绝盗印 0一 21.(8分)关于勾股定理的证明有一种简洁方法叫作“常春证法”，将两个全等的直角△ABC和 △DEF如图所示那样摆放，且BC=a,AC=b,AB=c.点F落在AC上，点C与点E重合，斜边 AB与斜边DE交于点M,连接AD,BD. 狗 (1)∠AMC= °，四边形ACBD的面积= (请用含a,b的代数式表示). P 蝴 (2)请利用“常春图”证明勾股定理. 尽 ☒塔 0咖 C(E) 常春图 第21题图 22.（月考·2024-2025沈阳南昌中学)(8分)如图，在△ABC中，AB=50,BC=28,BE⊥AC于点E, 点D是BC边的中点，AD=48, % 精品 (1)求AC的长 (2)求BE的长. 金星教育 D 第22题图 警0 明删 ● 23.新定义试题（月考·2024-2025沈阳七中）(8分)新定义：若无理数√T的被开方数T(T为正整数) 满足n2<T<(n十1)2（其中n为正整数），则称无理数√T的“青一区间”为(n,n+1);同理规定无 理数-√T的“青一区间”为（一n-1,一n).例如：因为1<2<2，所以1<√2<2，所以W2的“青一 区间”为(1,2)，一√2的“青一区间”为（一2，一1），请解答下列问题： (1)√17的“青一区间”是 ；一√23的“青一区间”是 (2)若无理数一√a(a为正整数)的“青一区间”为（一3，一2），√a十3的“青一区间”为(3,4)，求 a+1的值. (3)实数x,y,m满足关系式：x十y一m=√x十y一280+√280一x一y.求m的算术平方根的“青 一区间”. 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 24.方法探索（期中·2023-2024华南师大附中改编）(10分)阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3十2√2 (1十√2)，善于思考的小李同学进行了以下探索： 设a十b√2=(m十n√2)2（其中a,b,m,n均为整数），则有a十b√2=m2十2n2十2mn√2. 所以a=m2+2n2,b=2mn. 这样小李同学就找到了一种把类似a十b√2的式子化为平方式的方法. 请你依照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a,b,m,n均为正整数时，若a十b√3=(m十n√3)2，用含m,n的式子分别表示a,b,得a= ,b= (2)若a十4V3=(m十nw√3)2，且a,m,n均为正整数，求a的值. (3)化简：W25+4√6. 直题圈 金里教育精品图书 25.(月考·2024-2025沈阳虹桥中学)(12分)等边△ABC的边长为8，点D为直线BC上一点，连接 AD,以AD为边，在AD的右边作等边△ADE(点A,D,E为逆时针排列)，连接CE. (I)如图①，当点D在线段BC上运动时，线段BD与线段CE的数量关系为 ∠BCE的度数为 (2)如图②，当点D运动到CB的延长线上时. ①请根据题意尺规作图，画出△AED,连接CE. ②请判断(1)中的结论还成立吗？并说明理由. (3)若AD=2√13，求CE的长. (4)BE的最小值为 (提示：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半.) B ① ② 盗印必究 第25题图 关爱学子 拒绝盗印 2-dD C ② 第25题答图 (3)①25②3√13 分析：①结合(1)(2)问，可知√十9+√(24-x)+16的最 小值为√242+7严=25； ②2√/(x-2)2+4+√/(2x-10)2+25=√(2x-4)2+4+ √(2x-10)2+5,其最小值为√62+92=√117=3√13. 3.阶段学情调研（一） 题号12345 678 910 答案BB DC BAD DDA 1.B 2.B【解析】在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5, 所以AC2=AB2十BC2, 所以△ABC是直角三角形，且∠B=90°.故选B. 3.D【解析】A,有理数和无理数统称为实数，说法正确，不符 合题意； B.实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确，不符合题意； C.平方根是其本身的数只有0，说法正确，不符合题意； D.负数的立方根还是负数，原说法错误，符合题意.故选D. 4.C【解析】如图，因为小逸北 从家出发，向正东方向走了 160m,接着向正北方向走 了120m,所以BC=160m, BA=120m,∠ABC=90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC-=√AB2+BC=200(m). 故选C. 第4题答图 2-√3 5.B【解折因为a-2中店2+32-5)-23,6=3- 2,所以a=-b.故选B. 6.A【解析】因为(a+b)2+√2b-4=0,所以a十b=0,2b-4= 0,解得b=2,a=-2.故选A 7.D【解析】设第三边长为x. ①若12是直角边长，则x是斜边长，由勾股定理得52+122= x2,则x=13(负值已舍去). ②若12是斜边长，则x为直角边长，由勾股定理得52十x2= 12,则x=√119（负值已舍去）. 所以第三边的长为13或√119.故选D. 8.D【解析】因为直角三角形的长直角边长为9，短直角边长为4， 所以小正方形的边长为9一4=5，所以阴影部分的面积S=合× 子岁故选D 9.D【解析】因为四边形ABCD是长方形，AD=1, 所以BC=AD=1,∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，BC=1,AB=3, 所以AC=√32+12=√10， 真题圈数学八年级上12N 所以AM=AC=√10，所以点M所表示的数为√10-1. 故选D. 10.A【解析】由题意可得，AB=√22+4 =2√5，故选项C正确，不符合题意；AC =√2+22=√5，BC=√32+4=5， 所以AB+AC=BC,所以△ABC是 直角三角形，∠BAC=90°，故选项B正 确，不符合题意；所以S8m=名AB· A 第10题答图 AC=5,故选项A错误，符合题意；如图，过点A作AD⊥BC于 点D,则2BC·AD=号X5AD=5,解得AD=2,即点A到直 线BC的距离是2，故选项D正确，不符合题意.故选A 11.212.1(或6或9或10) A 13.15【解析】示意图如图，由题意得梯子长AC =17m,当梯子底部到建筑物底部的距离BC =8m时，AB=√172-82=15(m), 所以使用该梯子最多可登上15m高的建筑 物.故答案为15. 14.4【解析】因为A,B两正方形区域的面积分 别是2和18，所以A,B两正方形的边长分别 B 第13题答图 是2和3√2，剩余区域的面积是3√2×(3√2 +√2)-2-18=3√2×4√2-20=24-20=4. 故答案为4. 15.20【解析】如图是U池的表面展开B C 图，最短滑行路程为A点与E点的直 E 线距离，AD-号×xX是-16(m,AB =CD-15 m,DE=CD-CE=15-3= 12(m). y D 在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2= 第15题答图 162+122=400,则AE=20m. 故答案为20. 16.3或6【解析】当△B'EC为直角三角形时，易知∠B'CE≠90°， 故有两种情况： ①当∠EB'C=90时，如图①，连接AC, 在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,则AC=√62+8=10. 因为将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处， 所以∠AB'E=∠B=90°. 当∠EB'C=90时，点A,B,C共线， 即点B的对应点落在对角线AC上的点B处， 所以EB=EB,AB=AB=6,所以CB=10-6=4. 设BE=x,则EB=x,CE=8一x. 在Rt△BEC中，因为EB'?+CB=CE, 所以x2十42=(8一x)2,解得x=3, 所以BE=3. y B D B B E E ① ② 第16题答图 答案与解析 ②当∠BEC=90时，如图②. 此时ABEB为正方形，所以BE=AB=6. 综上所述，BE的长为3或6.故答案为3或6. 17.【解】(1)4+10÷(-1)+√8+13-√21 =16-10+2√2+3-√2=9+2. 2(V2m+V胥)×w+(V+3(VE-3》 -3x5+√xw5+(- =9+1+13-9=14. 18.【解】将m=160,r=36,F=1200分别代入F=mw 得1200=160，解得。=35. 答：汽车转弯时行驶的速度是3√3m/s. 19.【解】因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间 相等，所以BC=AC 设AC=xm,则BC=xm,OC=(9-x)m. 由勾股定理，得OB2十OC2=BC2,即32+(9-x)2=x, 解得x=5.所以机器人行走的路程BC是5m. 20.【解】(1)112√22+2√34 (2)≥≥ (3)因为A=(Wa+Wb)2=a十2√a+b,B=(√a+b)2=a十b, 所以A2-B2=a+2√ab+b一(a+b)=2√Jab≥0，即A2≥B 因为A>≥0，B≥0，所以A≥B. 21.【解11)902a2+28 分析：因为△ABC≌△DCF, 所以AC=DF=b,BC=CF=a,∠CAB=∠FDC. 因为∠FDC+∠DCF=90°， 所以∠CAB+∠DCF=90°， 所以∠AMC=90°. 四边形ACBD的面积=△BCD的面积+△ACD的面积= 7BC.CF+7AC.DF-+8. (2)因为AB⊥CD, 所以四边形ACBD的面积=号AB·CD=2C。 因为四边形ACBD的面积=合&2+合， 所以2a2+28=号2，即a2+6=6. 22.【解(1)因为BC=28,且点D是BC边的中点， 所以BD=DC=2BC=14. 因为AB=50,AD=48, 所以BD2十AD2=142+482=2500=502=AB2, 所以△ADB是直角三角形，∠ADB=90°， 所以AD垂直平分BC,所以AC=AB=50,则AC的长为50. (2)因为AD⊥BC,BE⊥AC, 所以△ABC的面积=号BC·AD=2AC·BE, 即号×28×48=号×50XBE,所以BE-器 23.【解】(1)(4,5)(-5，-4) (2)因为无理数-√a的“青一区间”为（一3，一2）， 所以2<a<3,所以22<a<32,即4<a<9. 因为√a+3的“青一区间”为(3,4)， 所以3<√/a+3<4, 所以32<a十3<4，即9<a十3<16，则可知6<a<13. 因为a为正整数，所以a=7或a=8, 当a=7时，a+1=97+I=8=2, 当a=8时，a+I=9y8+I=9, 所以a+I的值为2或， (3)因为x十y-m=√x+y-280+√280-x-y, 所以x+y-280≥0,280一x-y≥0， 所以x+y一280=0，所以x+y=280, 所以x十y一m=0,则m=280, 所以m的算术平方根为√280， 因为162<280<17，所以16<√280<17， 所以m的算术平方根的“青一区间”是(16,17). 24.【解】(1)m2+3n22mm (2)a+43=(m+n√3)2， 由(1)可知a=m2+3n2,4=2mm. 因为m,n均为正整数， 所以m=1,n=2或m=2,n=1, 所以a=13或a=7. (3)√/25+46=√(1+2√6)=1+26. 25.【解】(1)BD=CE120° (2)①如图①，△AED即所求， ① ② B 、D B D C H ③ ④ 第25题答图 ②(1)中的结论BD=CE成立，∠BCE=120°不成立. 理由如下： 因为△ABC是等边三角形， 所以AB=AC,∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°. 因为△ADE是等边三角形， 所以AD=AE,∠DAE=∠BAC=60°， 所以∠BAD=∠CAE, 所以△BAD≌△CAE(SAS), 所以BD=CE,∠ACE=∠ABD=180°-∠ABC=120°， 所以∠BCE=∠ACE-∠ACB=120°-60°=60°， 故(1)中的结论BD=CE成立，∠BCE=120不成立 (3)因为8>2√/13，所以点D在线段BC上， 由题意，易得△BAD≌△CAE,所以AD=AE=2√I3,∠ACE =∠B=60°. 当点D在靠近点B的位置时，如图②， 过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F,则∠AFC=90°. 因为∠ACE=60°，所以∠CAF=30°， 所以CF-7AC-4,AF=√AC-CF-V8--45, 所以EF=√AE2-AF=√(2√13)2-(4√3)2=2， 所以CE=CF一EF=2. 当点D在靠近点C的位置时，如图③， 过点A作AF⊥CE交CE于点F,则∠AFC=∠AFE=90°， 因为∠ACE=60°，所以∠CAF=30°， 所以CP=2AC=4,AF=VAC-CF=V8-平=45， 所以EF=√AE2-AF=√(2√/13)2-(43)2=2， 所以CE=CF+EF=6.综上，CE=6或2. (4)45 分析：如图④，过点B作BH⊥CE,交EC的延长线于点H,则 ∠BHC=90°， 由题意易知，点E在直线CH上运动， 当E与H重合时，BE最小， 因为∠BCE=120°，所以∠BCH=180°-∠BCE=60°， 所以∠CBH=90°-∠BCH=30°， 所以CH=号BC=4,BH=√BC-CH=√8-平=43， 所以BE的最小值为4√3. 4.第三章学情调研 题号12345678910 答案AA AD D CC D AD 1.A2.A3.A4.D5.D 6.C【解析】因为第三象限内的点P(a十5，a)到y轴的距离是4， 所以a十5<0，a十5=-4，所以a=-9.故选C. 7.C【解析】因为A(a,ab)在第四象限，所以a>0且ab<0,所以 a>0,b<0,所以ab<0,-<0,所以点B(a2b,-b)所在的象 限是第三象限.故选C. 8.D【解析】如图，原点可能是点D.故选D y 小 M D(O M B A 第8题答图 第9题答图 9.A【解析】如图，作PM⊥AB于点M,连接PB, 由图可知PB>PM, 由垂线段最短可知PM≥PM, 因为A(-1,0),B(0,2,P(号，0）， 所以0A=1,0B=2,0P-号， 所以AB=√OA+OB2=√+2=√5， 真题圈数学八年级上12N AP=0A+OP=1+号=号， BP=√OB+0P=λ√2+()-号 因为SA=合AB·PM=PA·OB, 所以PM-P4:OB是x2 =√5 AB 5 所以W5<PMK号，故B,C,D不符合题意。 故选A 10.D【解析】因为A1（-1,√3)，A2(一2,0)，A3(一3，√3)， A(-4,0),A(-5,-√3)，A6(-6,0),…,可知点的纵坐标每 6个点为一个循环. 又因为2323÷6=387…1， 所以P22的坐标是(-2323，W3).故选D. 11.0(-√3<m<√3即可)12.26 13.(一2，一1)【解析】如图，“卒”的坐标为（一2，一1）. 故答案为（一2，一1）. 4 以的 首， 兵 第13题答图 14.4【解析】根据题目尺规作图可知，交点P是∠AOB的平分线 上的一点.因为点P在第一象限，所以点P的横坐标和纵坐标 都是正数且横坐标等于纵坐标（角平分线的性质），即3a=a+ 8,得a=4.故答案为4. 15.(1,-1)或(2,1)或(2，一1)【解析】由题意知，当△BOC与 △BOA关于直线OB对称时，此时点C的坐标为(1，一1). 因为生3=号，则当△B0C与△0BA关于直线x=号对称 时，△BOC≌△OBA,此时点C的坐标为(2,1)； 作上述△BOC关于直线OB的对称三角形， 所得三角形与△AOB也全等，此时点C的坐标为(2，一1). 综上所述，点C的坐标为(1，-1)或(2,1)或(2，-1). 故答案为(1，一1)或(2,1)或(2，一1). 16.一8或4【解析】因为点M(a,b),N(a+2,a+b), 所以线段MN的中点P(a+1,a+2). 2 因为点P恰好位于y轴上， 所以a+1=0,所以a=-1. 因为点P到x轴的距离是3， 所以42地=3或2+2地=-3， 2 2 所以-1+26=3，或1+26=-3， 2 2 所以2b=7或2b=-5, 所以a-2b=-1-7=-8或a-2b=-1十5=4. 综上所述，a-2b的值等于-8或4. 故答案为一8或4. 17.【解】(1)点A,B,C的坐标分别为(0,3)，(-4,4)，（一2,1）.