第29章 圆（举一反三讲义）数学新教材人教版九年级上册

第29章 圆（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 圆的有关概念】 1 【题型2 点与圆的位置关系】 4 【题型3 求弦心距或弦长】 6 【题型4 利用垂径定理求半径】 9 【题型5 同弧或等弧所对的圆周角相等】 14 【题型6 直径所对的圆周角是直角】 16 【题型7 判断弧、弦、圆心角的对应关系】 19 【题型8 求圆内接四边形的对角】 22 【题型9 确定圆的条件】 25 【题型10 扇形弧长与面积的计算】 27 【进阶拔高】 29 【题型11 垂径定理的应用】 29 【题型12 利用圆周角定理求角度】 34 【题型13 弧、弦、圆心角关系与证明综合】 39 【题型14 扇形与三角形组合图形面积计算】 43 【题型15 坐标系中求圆的相关量】 48 【题型16 利用圆心角与圆周角关系证明线段相等】 52 【题型17 圆锥的计算】 59 【创新思辨】 63 【题型18 动点问题中圆的相关量最值】 63 【题型19 垂径定理与折叠综合求值】 68 【题型20 圆内接四边形与旋转综合】 75 【题型21 含参数的圆中角度范围探究】 81 【题型22 某点的弧形运动路径长度】 86 【题型23 扇形面积与动点路径综合问题】 90 【夯实基础】 【题型1 圆的有关概念】 【例1】（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 【变式1-2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 【答案】①②③ 【详解】解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提条件，故①不正确； ②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，本命题缺少限制条件，故②不正确； ③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确； ④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故④正确； ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故⑤正确． 综上所述，不正确的是①②③． 【变式1-3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 【题型2 点与圆的位置关系】 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，利用“圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径”这一性质即可求解 【详解】解：∵点P在半径为2的上， ∴是的半径， ∴． 故选：B． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）的半径为，则点与的位置关系是___________． 【答案】点A在外 【分析】通过比较点A到圆心O的距离与圆的半径的大小关系来判断位置. 【详解】解：∵的半径为， ， ∴， 故点A在外. 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记圆心的确定方法是解题的关键． 经过两点、的圆的圆心在线段的垂直平分线上，且圆心到、的距离等于半径，利用勾股定理计算圆心到中点的距离，判断是否存在这样的圆． 【详解】解：如图， 分别以、为圆心、5为半径作圆，两圆相交于点C、D， 然后分别以C、D为圆心，5为半径作圆，则和为所求． 故选：C． 【变式2-3】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系即可求解，解题的关键是正确理解当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：设的半径为， ∵点在圆外且， ∴， ∵点在圆内且， ∴， ∴的半径是， ∴选项符合题意， 故选：． 【题型3 求弦心距或弦长】 【例3】（2025·安徽·模拟预测）已知点C在的弦AB上，，则的弦心距为（　　） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，解答本题的关键是求出的长．作于点D，则是的弦心距，根据垂径定理可以得到的长，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点D，如图所示， 则是的弦心距， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故选：B． 【变式3-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）半径等于2的圆中，垂直平分半径的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用垂径定理求值， 根据题意画出图形，则，求出即可求解； 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示： 则， ∴； ∴， 故选：D 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，是的直径，弦于点，若，．    (1)求弦心距的长． (2)连接，求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出然后在中由勾股定理求出的长度即可； （2）先求解，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接．得到，    ∵弦于点，， ， ； （2）如图，连接，    ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，垂径定理的应用，熟记垂径定理的含义是解本题的关键． 【变式3-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（　　） A．6 B．2 C．6或2 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】如图，分CD＝8和AB＝8这两种情况，利用垂径定理和勾股定理分别求解可得． 【详解】解：如图， ①若CD＝8， 则CF＝CD＝4， ∵OC＝OA＝5， ∴OF＝3， ∵EF＝1， ∴OE＝2， 则AE＝， ∴AB＝2AE＝； ②若AB＝8， 则AE＝AB＝4， ∵OA＝OC＝5， ∴OE＝3， ∵EF＝1， ∴OF＝4， 则CF＝3， ∴CD＝2CF＝6； 综上，另一弦长为6或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 【题型4 利用垂径定理求半径】 【例4】（24-25九年级下·湖南湘西·阶段检测）如图，圆O 的半径交于点 D，，则圆O的半径为（       ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先根据垂径定理求出的长，在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，    ∵于点D，， ∴， 在中，， ∴， ∴圆O的半径为． 故选：A． 【变式4-1】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，延长交于点设的半径为证明，推出，在中，根据，构建方程求解． 【详解】解：如图，连接，延长交于点T，设的半径为， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，该题属于中考常考题型． 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江·阶段检测）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是_____． 【答案】 【分析】根据题意可得，如图所示，连接，设的半径为，，则，在中运用勾股定理可得，则有，由为的直径，得到，在中，运用勾股定理列式，再因式分解求一元二次方程即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴， 如图所示，连接， 设的半径为， ∴，则， ∴， 在中，， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧交于点， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的半径长是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了垂直作图，垂径定理，勾股定理的运用，因式分解求一元二次方程，掌握垂径定理与勾股定理的综合，解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，利用勾股定理建立方程求解． 延长交于点，连接，可得，由垂径定理得到，则，设，则，再在中运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， 设，则， ∵， ， 解得， ∴的半径为， 故答案为：． 【题型5 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例5】（2026·安徽淮南·一模）如图，内接于于点，连接，若，则的大小为___________． 【答案】/度 【分析】延长交于点，连接，由直径所对圆周角为直角得到，由同弧或等弧所对圆周角相等得到，根据直角三角形两锐角互余得到，由角的和差列式计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ∵是直径，， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ． 【变式5-1】（2026·山东泰安·一模）如图，中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据同弧所对的圆周角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式5-2】（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，，是上的点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握等弧所对的圆周角相等、圆内接四边形对角互补是解题关键．本题根据圆内接四边形对角互补可得度数，结合圆周角定理即可解决的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴，即：， ∵，则 ∴． 故答案为： ． 【题型6 直径所对的圆周角是直角】 【例6】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出 ，利用三角形内角和求出 的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式6-1】（2026·海南三亚·模拟预测）以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及平角的定义. 根据量角器读数确定圆心角的度数，利用互补关系求出，再根据圆周角定理计算的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，为的直径 点在上 由题意得： 与分别是所对的圆周角和圆心角 ． 【变式6-2】（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理以及逆定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解决本题的关键是得到为圆的直径． 作辅助线构造等边三角形，连接，，根据可得为圆的直径，根据点和点可求解的长度，可得与的长度，由此可得为等边三角形，可求解的度数，由此可解． 【详解】解：连接，，如图， ∵， ∴为圆的直径， ∵点和点，即，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选：D ． 【题型7 判断弧、弦、圆心角的对应关系】 【例7】（25-26九年级上·福建·期末）如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【答案】 【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与相等的弧是， 故答案为： 【变式7-1】（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，则的度数为_____． 【答案】/72度 【分析】本题主要考查了弧与弦的关系，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握同加油或等圆中，等弧所对弦相等解题的关键．由题意得出，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式7-2】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【变式7-3】（2026·安徽安庆·二模）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)BE＝ 【分析】本题考查了圆的相关性质和等腰三角形的性质． （1）由垂直关系得出，再由为的中点得出，从而，故； （2）由结合，可得出的长． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 为的中点， ， ，‘ ， ； （2）解：为的中点，， ， ． ，由（1）知， 在中，． 在中，由等面积法，得， ， ． 【题型8 求圆内接四边形的对角】 【例8】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，点、、、分别在圆上， ∴， ∵， ∴ 【变式8-1】（25-26九年级下·山东聊城·期中）如图， 四边形内接于，是的直径， 点E在上， ，则的度数为_________． 【答案】 /126度 【分析】连接，由直径所对的圆周角为直角得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 【变式8-2】（25-26九年级上·江苏扬州·周测）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，若，，则的度数为 _____． 【答案】 【分析】由的内接四边形对角互补得，求出和，再根据三角形外角的性质求出和． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，四边形内接于一圆，延长到点． (1)求证：； (2)连接、，若，平分，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵四边形内接于一圆， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． （1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据角平分线的定义得出，再根据圆周角定理推论即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴． 【题型9 确定圆的条件】 【例9】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 【变式9-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________． 【答案】（2，0） 【分析】连接AC，作AC的垂直平分线，交坐标轴于D，D即为圆心，根据图形即可得出点的坐标． 【详解】解：如图所示：D（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题主要考查垂径定理、坐标与图形性质，关键是根据题意确定出圆心D的位置． 【变式9-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了确定圆的条件. 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【详解】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故答案为：3． 【变式9-3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，确定圆的条件，是解题的关键． 根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C在直线上，三个点不能确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， ∴代入， 得， ∴当时， 平面直角坐标系中的三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：3． 【题型10 扇形弧长与面积的计算】 【例10】（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 【答案】 【分析】连接，设，的半径为，根据弧长公式得到，由圆周角定理和已知条件推出，据此由弧长公式可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，的半径为， ∵的长度为， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴的长度是． 【变式10-1】（2026·山西临汾·三模）某城市的道路规划一段弧形转弯车道，交通运输部门在弯道内侧增设黄色隔离带．如图是抽象出来的几何示意图，米，，点C，点D分别在和上，米，则隔离带外侧的长比内侧的长多（     ）      A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】利用弧长公式（n为弧对应的圆心角度数，r为弧所在圆的半径）来计算和的长，相减即可求解． 【详解】解：米， 米， 隔离带外侧的长比内侧的长多米． 【变式10-2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图所示，半径为1的圆中，圆心角为的扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据扇形的面积公式代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴根据扇形面积公式：， 故选：C． 【变式10-3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 图中阴影部分的面积为：． 【进阶拔高】 【题型11 垂径定理的应用】 【例11】（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【答案】130 【分析】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是建立坐标系，以中点为原点，利用圆上三点坐标建立方程组求解．设圆心坐标为，由在圆上得，由最高点在圆上得，联立解方程即可求出半径． 【详解】解：以的中点为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则，圆弧最高点坐标为， 由对称性知圆心在轴上，设圆心为，半径为， 在圆上， , 即，① 最高点在圆上， ，② 将②代入①，得 ， 解得， ． 故答案为：130． 【变式11-1】（2025九年级下·广东广州·专题练习）在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦）为，拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为．若点是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理得，点D在上，设，则，根据勾股定理得，即可得关于r的方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得， ∵拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为， ∴，，，， ∴点D在上， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴该圆弧的半径是． 【变式11-2】（25-26九年级上·北京东城·期末）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一． 如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为点D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 解答下列问题： (1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1) 月洞门的设计图如图3所示， (2)的半径长为 【分析】本题考查尺规作图，垂径定理与勾股定理，掌握好尺规作图的规范是解题关键． （1）按照题意进行作图即可； （2）连接，设的半径为，由（1）可知，，垂直平分，在直角中，使用勾股定理构造方程，并解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，设的半径为，则，， 由题意可知，垂直平分， ∴，， 在直角中，， ∴， 解得，． 答：的半径长为． 【变式11-3】（2025九年级上·全国·专题练习）一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度． (1)圆弧形桥拱的半径是______； (2)现有一艘宽，船舱顶部为长方形且高出水面的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 【答案】(1) (2)能顺利通过 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用． （1）设拱桥所在圆的圆心为点，过点作于点，连接，在中用勾股定理求的长； （2）设拱桥所在圆的圆心为点，连接，则点在上．作弦交于点，使得，连接，在中，用勾股定理求出，再求的长，比较与的大小，即可求解 【详解】（1）如图，点是桥拱所在圆的圆心．过点作于点，连接， 由垂径定理知，是的中点， 设半径是， 由勾股定理，得， 即 解得 桥拱的半径为 故答案为：． （2）这艘轮船能顺利通过．理由如下： 如图，设拱桥所在圆的圆心为点，连接，则点在上．作弦交于点，使得，，连接 由（1），得 在中， ， 这艘轮船能顺利通过． 【题型12 利用圆周角定理求角度】 【例12】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∴． (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． 【变式12-1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先利用圆心角与弦、弧的关系求出，再由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理可得．容易判断和是等边三角形，则，作差求出即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦， ∴， 又∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【变式12-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】连接，，，，根据圆周角定理得到，，，根据角的和差及等量代换，三角形外角的性质求出，最后利用等腰三角形的性质求解． 【详解】解：连接，，，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【变式12-3】（2026·安徽安庆·二模）如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的直径，为上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，则，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，进而得到，再利用圆周角定理可得结论； （2）连接，利用（1）的结论和圆周角定理得到，，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由（1）可知， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型13 弧、弦、圆心角关系与证明综合】 【例13】（2026·山西朔州·三模）如图，为的内接三角形，且为的直径，E为的中点，连接，若． (1)求的度数； (2)若的切线交的延长线于点D，的半径为3，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，根据弧、圆心角的关系求出，最后根据圆周角定理求解即可； （2）根据切线的性质得出，然后在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的切线， ∴，即， 又，， ∴． 【变式13-1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 【变式13-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】通过角平分线性质定理证明，即可判断①；然后连接，证明，即可判断②③． 【详解】解：∵平分，， ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； 连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，故②、③正确； 现有条件不足以判断④，故④错误， ∴正确的有3个． 【变式13-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵，点G恰好是的中点 ∴ ∴， ∴； (2)2 【分析】（1）根据同角的余角相等以及直角三角形斜边中线的性质证明即可； （2）连接，连接并延长交于点，先得到，再由垂径定理的推论得到，利用三线合一得到，设，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，连接并延长交于点， ∵ ∴ ∴ ∵经过圆心， ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得 ∴ ∴． 【题型14 扇形与三角形组合图形面积计算】 【例14】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同弧所对圆周角相等得到，再由是的直径得，最后通过直角三角形两锐角互余计算出度数； （2）先根据直径长度得到圆半径，借助直角三角形性质与勾股定理、垂径定理求出底边和高，再依据圆周角定理得出，最后由算出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵是的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ 即阴影部分的面积为． 【变式14-1】（2026·河南开封·模拟预测）在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化成东方特有的美学符号．下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为的中点，且弦，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将该圆弧所在圆的圆心记为O，若，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂直平分线的作图步骤作图即可； （2）连接，由、，可知为等腰直角三角形，得，半径．则圆心角，分别计算：扇形面积、面积，进而即可计算阴影的面积． 【详解】（1）解：略 （2）解：由题意得，（1）中所作垂直平分线与的交点为圆心O， 连接，如图， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【变式14-2】（2022·宁夏银川·二模）如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，易求得⊙O的半径为，扇形的圆心角的度数，根据三角函数求出，，然后根据即可得到结论． 【详解】解：连接， ，， 是等边三角形， ，， ⊙O的半径为，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式14-3】（2026·河南平顶山·三模）如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】由题意，通过导角计算可证明，则为等边三角形，则可求相关的边长和角度，根据进行计算即可． 【详解】解：连接，作交于， 由题意， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴，‘ 则 ． 【题型15 坐标系中求圆的相关量】 【例15】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长为整数的有____条． 【答案】4 【分析】根据直线必过点，求出最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是圆的直径，得出弦的取值范围，再根据弦的长为整数，即可得出答案． 【详解】解：当时， ∴直线必过点， 最短的弦是过点且与该圆直径垂直的弦，最长弦是是直径， 当弦最短时， 连接，， 则， 点的坐标是， ， 以原点为圆心的圆过点， 圆的半径为13， ， ， ， 的长的最小值为24； 当弦最长时，则， ∴ ∵弦的长为整数 ∴或25或 26（其中是25的有两条）， ∴弦的长为整数的有4条， 故答案为：4． 【点睛】此题考查的是垂径定理，一次函数图象，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出最短、最长时的值． 【变式15-1】（2024·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为______． 【答案】5 【分析】本题考查了90度圆周角所对的弦为直径，勾股定理，连接，通过题意判断出为直径，圆心P在上，根据勾股定理计算出的长，从而得出结果． 【详解】解：如图，连接，   为直角，且点都在圆上， 为直径，圆心P在上， ， ， ，， ， ， 故答案为：5． 【变式15-2】（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理的推论得到为的直径，则点为的中点，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，得到点、的坐标，即可得到点坐标． 【详解】解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 为的直径， 点为的中点， 在中，，， ， ， ，， 点为的中点， ， 故选：B． 【变式15-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质以及圆周角定理，得到线段为圆的直径是解答的关键．圆内接四边形中，相对的角互补，结合已知条件可求出的度数，从而判定为等腰直角三角形；根据勾股定理可得的值，进而得到圆的直径． 【详解】解：四边形是圆内接四边形， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标为， ， ． ， 线段为圆的直径， 圆的直径为． 故答案为：． 【题型16 利用圆心角与圆周角关系证明线段相等】 【例16】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接，，． (1)求证：是的平分线； (2)若，求四边形的面积； (3)若点M，N分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，当为直径时，的周长有最大值，请直接写出的值． 【答案】(1)是等边三角形 ，， ∴在中，， ． 是的平分线； (2) (3) 【分析】（1）根据是等边三角形，得角相等，进而得到弧与弧相等，结合圆周角定理即可证明平分； （2）先利用旋转法将绕点顺时针旋转得到，可推导出，，进而将四边形的面积转化为等边的面积，代入长度计算即可； （3）当为直径时，先确定点位置及各相关线段、角度的数值，再利用对称法将的三边转化为共线的线段，找到周长最大值对应的情况，结合等边三角形边长计算结果即可． 【详解】（1）略； （2）延长到点，使，连接， ∵四边形内接于， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设边上的高为， ∴在， ∴等边三角形面积公式为，，代入得： ； （3）当为直径时，，作点关于的对称点，关于的对称点，则： ，， 的周长， ∵是的内接等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∴， 由对称性得：，，， ∴，， ∴， 所以周长的最大值． 【变式16-1】（2022·河北邯郸·三模）已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 【答案】(1)证明：∵是直径, ∴. ∵， ∴(相等的圆周角所对的弦相等)， 在和中，, ∴； (2) (3)①   ② 【详解】（1）略 （2）解：如图，过D作于H， ∵半圆O中，直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：①如图2，连接，，，过M作于E． ∵直径，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∵M是的中点， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴当最大时，最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，最大，如图3． ∵是等边三角形，M是的中点， ∴， ∴，即点M到的距离的最小值是； ②如图4． 由①知，， ∴M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧， 当C与A重合时，， 同理，当D与B重合时，， ∴, ∴点M的运动路径长为 ． 【变式16-2】（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【答案】5 【分析】过点O作于点D，延长OD交 于点E，根据等腰三角形的性质得到，证明．得到．由勾股定理得到．设，则．由勾股定理得到，即可求出的长． 【详解】解：过点O作于点D，延长OD交 于点E， ∵， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得． ∴． 【变式16-3】（2026·广东深圳·模拟预测）如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，再结合圆周角定理即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，则为等腰直角三角形，进而可得，作于点，延长交 于点，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 作于点，延长交 于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，，， ∵， ∴ 解得： ∴ 【题型17 圆锥的计算】 【例17】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，直角三角形的性质，扇形与圆锥的关系，掌握弧长公式是解题关键． 先构造直角三角形求出扇形圆心角，再利用“扇形弧长等于圆锥底面周长”的等量关系列方程，解出底面半径． 【详解】解：如图，过点作， 根据题意，，， ，， ， 扇形的圆心角，半径， ， 设底面圆的半径为，则， 解得，即圆锥的底面半径为． 故答案为：． 【变式17-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可． 【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为， 对应的弧长， 设圆锥底面半径为r，则． ． 【变式17-2】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形面积公式求解； 【详解】解：设圆锥底面半径为，扇形半径为， 由题意得，， ∴圆锥底面周长， ∴扇形面积． 【变式17-3】（2021·广西贵港·三模）如图，已知扇形的半径为9，点在上，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面直径为______． 【答案】5 【分析】连接，能得的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解． 【详解】解：连接交于． 由折叠的知识可得：，， ， ， ， ，， 设圆锥的底面半径为，母线长为， ， ． ∴圆锥的底面直径为 故答案为：． 【点睛】本题运用了弧长公式和轴对称的性质以及解三角形、圆锥的侧面展开图等知识，关键是运用了转化的数学思想． 【创新思辨】 【题型18 动点问题中圆的相关量最值】 【例18】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，的半径为6，点，在上，为内一点，，，垂足为，则的最小值为_______． 【答案】 3 【分析】连接，作于，利用垂径定理得为中点，由已知条件推导与的数量关系，通过构造直角三角形，利用勾股定理表示，结合求最小值． 【详解】解：连接，作于， ， 为中点，即， ， ， ， ， ， ， 过点作交（或其延长线）于则四边形为矩形， ， 在中，， ， ， 设， 在中，，，， 将代入得：， 当时，即时，，解得， 此时， ． 故答案为：3． 【变式18-1】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，以为边作等边，则，而，则在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，，证明，再证明，（当，，三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，则，而， ∴， ∴点在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，， ∴，， ∴ ， ∵，（当，，三点共线时取等号）， 当时，半径最小，此时半径为， ∴此时与长度的和最小，最小值为：． 故答案为：． 【变式18-2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 【答案】 /90度 【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定和性质． （1）连接、，说明为等腰直角三角形，可得的度数，即可得到弧的度数； （2）说明，作的外接圆，可知点在上，设为中点，连接并延长，与圆交于点，连接、，可得此时点到的距离最大，说明，再求出的长度即为高，结合求出面积的最大值． 【详解】解：（1）连接、， ∵， ∵，满足， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的度数为， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，可知点在上，则， ∵， ∴当点到的距离最大时，的面积最大， 设为中点，连接并反向延长，与圆交于点，此时点到的距离最大， 连接、， ∵，，， ∴， 即， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵点为中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 【变式18-3】（2026·河南·二模）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为4的圆分别与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为上一动点，线段于点，线段长度的最小值为_________，最大值为________． 【答案】； 【分析】先将的坐标求出来再用勾股定理求，可得，即F在以为直径的圆上运动，取中点M，M即为新圆圆心，求出其坐标，这样就变成了点G，到上的点的最大距离与最小距离，最大距离为点到圆心距离加半径，最小距离为点到圆心距离减半径． 【详解】解：连接，如图， ，半径是， 在直角三角形中， ，且在轴的负半轴上， 即， ， 即， 在直角三角形中， ， ， ， 即F在以为直径的圆上运动，取中点M，连接， 则，半径为， ， 半径 ， 半径 ． 【题型19 垂径定理与折叠综合求值】 【例19】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，，将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D，则弦的长为________． 【答案】 【分析】本题重点考查圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，连接，作于点E，因为将沿着弦AB翻折后，恰好经过弦AC的中点D，所以，根据圆周角定理得，所以，则，由，得，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点E，则， 将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D， ， 与所对的圆周角相等， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【变式19-1】（重难点02图形的运动-2021年中考数学【热点�重点�难点】专练（上海专用））如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为，如果直线与⊙O相切，那么的值为________． 【答案】． 【分析】设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E，根据折叠的性质得到AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B，过O作OH⊥CD，根据垂径定理得到CH＝CD，根据切线的性质得到OG⊥A′D′，设AB＝CD＝CD′＝A′B＝x，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设直线A′D′与⊙O相切于G，连接OC，OG交BC于E， 如图所示: ∵将矩形ABCD沿着直线BC翻折， ∴AD＝BC＝A′D′，AB＝CD＝CD′＝A′B， 过O作OH⊥CD，∴CH＝CD， ∵直线A′D′与⊙O相切，∴OG⊥A′D′， ∵BC∥A′D′，∴OG⊥BC， ∴四边形OECH是矩形，CE＝BE＝BC， ∴CH＝OE， 设AB＝CD＝CD′＝A′B＝x， ∴OE＝x，∴OC＝OG＝x， ∴CE＝，∴BC＝2CE＝x， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质,矩形的性质,折叠的性质,垂径定理,勾股定理,正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【变式19-2】（2025·河北·模拟预测）如图1，扇形AOB中，，，点在半径上，连接．把沿翻折，点的对称点为点． (1)当点Q刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为点H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）如图所示，连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解； （2）如图所示，过点作，垂足为点，则，根据题意可得，由此即可求解: 【详解】（1）解：扇形中，，， 点P在半径上，连接，如图． 把沿翻折，点的对称点为点， ， ， ， 是等边三角形， ， 弧AQ的长； （2）如图，过点作，垂足为点，则． ， ． ， ， ，即． ，理由如下： ， ，，即， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键. 【变式19-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)∠ACD=38° (3) 【分析】（1）设D在原来弧上的对应点为，连接、，根据折叠的地性质得出，，在根据垂径定理得出，设， 根据勾股定理得出，列出方程求解即可； （2）设D在原来弧上的对应点为，连接，易得，则，根据圆内接四边形的性质得出，再根据折叠的性质得出，最后根据三角形内角和即可求解； （3）过点C作于点H，易得，则，，通过证明，得出，则，，先根据勾股定理得出，再根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：设D在原来弧上的对应点为，连接、， ∵点D和点关于对称， ∴，， ∵点D与圆心O重合， ∴， 设， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴求出半径为．    （2）解：设D在原来弧上的对应点为，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由沿折叠得到， ∴， ∴．    （3）解：过点C作于点H， ∵，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造直角三角形，掌握折叠前后对应角相等，圆内接四边形对角互补． 【题型20 圆内接四边形与旋转综合】 【例20】（2025·广东中山·三模）如图，为圆的内接三角形，，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上，此时旋转角大小为_________° 【答案】54 【分析】本题考查了旋转性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用三角形内角和性质得，再根据圆内接四边形对角互补，得，因为旋转得，则，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵为圆的内接三角形，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上， ∴， ∴， ∴， 即旋转角大小为， 故答案为： 【变式20-1】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，点O为的中点，将绕着点O旋转，得到线段（点D不与点C、点B重合），连接，则为_______________度． 【答案】60或120 【分析】先根据直角三角形性质得出，结合旋转性质得，判断B、C、D共圆，再分两种情况，利用圆周角定理及圆内接四边形性质即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ． 点O为的中点， ． 由旋转的性质可知， 因此，即点B、C、D在以O为圆心，为半径的圆上． ①当点D在优弧上时， 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，与都是弧所对的圆周角， 故． ②当点D在劣弧上时， 根据圆内接四边形的对角互补，， 则． 综上，为60或120度． 【变式20-2】（2025·贵州毕节·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，绕点旋转得到． (1)求证：点，，三点共线； (2)若，的半径为5，求的长． 【答案】(1) 证明：四边形是的内接四边形， ． 绕点旋转得到， ， ， 点，，三点共线； (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，弧长公式． （1）根据旋转的性质和圆内接四边形对角互补的性质，得到即可证明结论成立； （2）连接，．利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，． 绕点旋转得， ，， ． 的半径为5， ． ， ． 【变式20-3】（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】如图①，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接、、．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵、、、四点共圆， ∴． ∴． ∴、、三点共线． 证明过程缺失 请你补全余下的证明过程． 【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． （1）将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）若的半径为，则四边形周长的最大值为_____ 【答案】 问题解决：解：由题意可知，． ∵、、、四点共圆， ∴． ∴． ∴、、三点共线． ∵绕点顺时针旋转至， ∴，． ∴是等边三角形． ∴． ∵、、三点共线， ∴． ∵， ∴． 拓展应用：解：（1）作射线交于点．以为一边，在外作，在上取，连接、，则此时、、三点共线，为所求； 证明：过点作于点． ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ， ∴， ∵，为定值， ∴当取最大值时，取最大值． ∵是的弦， ∴当为直径时，取得最大值． ∵当为直径时，， ∴． ∴当时，的面积最大． （2）． 【分析】问题解决：利用旋转性质得到，为等边三角形，结合、、共线，得到，进而证得． 拓展应用：（1）当为直径时，的面积最大，此时将绕点顺时针旋转得到，的面积也最大． （2）将旋转得到，可知，四边形的周长为，当为直径时，周长最大． 【详解】问题解决： 略 拓展应用：解：（1）略 （2）解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由问题解决可知． ∴四边形． ∵为的弦， ∴当为直径时，最大，最大值为． ∴． 【题型21 含参数的圆中角度范围探究】 【例21】（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，先延长交圆O于点C，则由圆周角定理得，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：延长交圆O于点C，连接，如图所示： ∵扇形的圆心角为 ∴圆心角， 根据圆周角定理得：， 当点在扇形内部延长线上时，则； 当点在扇形内部线段上时，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【变式21-1】（2026·浙江·一模）如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、、，由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为得，进而得，结合等腰三角形性质及三角形外角性质可得，由是 的直径得，可得，代入可得，解方程求得的值即可判断其所在范围． 【详解】解：如图，连接、、， 由翻折可知，、、所在的圆为等圆，且所对的圆周角均为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是 的直径， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴所在的范围是． 【变式21-2】（2022·湖北武汉·一模）在⊙O中，弦BD与弦CE相交于点F，∠DFC=105°，，延长EC至点A，连接DA，设∠A=α，则α所在范围可能是（    ） A．12°＜α＜16° B．15°＜α＜18° C．17°＜α＜20° D．19°＜α＜22° 【答案】A 【分析】连接CD，根据圆周角定理判断出∠CDB=4∠ECD，再根据三角形内角和定理求出∠DCF的度数，根据三角形外角的性质可得，从而排除B、C、D即可得出结论． 【详解】连接CD， ∵， ∴∠CDB=4∠ECD， ∵∠DFC=105°， ∴∠BFC=75°， 又∠DFC+∠FDC+∠DCF=180°，∠CDF=4∠DCF， ∴∠DCE=15°， ∵∠DCF是△ADC的外角， ∴∠DCF＞∠A， 即． ∴B、C、D均不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，解题的关键是求出∠DCF的度数． 【变式21-3】（2026·江苏南京·三模）如图，在中，，，以A、B两点为端点作圆弧，使得弧上所有的点都落在的边界及内部，则弧所对的圆心角的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据条件弧上所有的点都落在的边界及内部，找出相应的临界情况，结合图形分析即可. 【详解】解：弧必定存在，且当足够小时弧上所有的点必定落在的边界及内部， ， 如右图所示： 通过点的轨迹可知弧与边相切是一种临界情况，如下图所示： ，， ， ， ， 当时，弧上的点会落在边外部，如下图所示： 综上所述，． 【题型22 某点的弧形运动路径长度】 【例22】（2026·福建厦门·三模）如图，圆形铁圈的直径，一根两端带有铁环的硬质滑杆套在该铁圈上（铁环大小忽略不计），滑杆的长度与铁圈的半径相等．先将滑杆的左端套在处，再将整根滑杆沿着铁圈按逆时针方向移动，使得滑杆的右端移动到点处，在此过程中滑杆的中点移动的路径长为________． 【答案】 【分析】点为定长滑杆的中点，滑杆两端始终在圆上运动，由滑杆长度等于圆的半径可知弦长恒为，根据垂径定理和勾股定理，点到圆心的距离恒为，故点的轨迹是以为圆心、为半径的圆弧．通过等边三角形性质求得圆弧所对圆心角为，再用弧长公式计算路径长． 【详解】解：设圆形铁圈的圆心为，半径为， 直径， ， 滑杆长度与铁圈半径相等， 滑杆作为圆的弦，弦长为， 连接，，设滑杆初始位置为，其中为右端点， ， 是等边三角形， ， 为中点， ，平分， ， 在中，， 即点移动的路径是以为圆心、为半径的圆弧， 当滑杆右端移动到点时，设此时滑杆左端为，中点为， 同理可得是等边三角形，，平分， ， 滑杆沿逆时针方向移动，且，，在同一直线上，点，在直径的同侧， 点转过的圆心角， 点移动的路径长为． 【变式22-1】（2026·广东广州·二模）如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得，从而判定点在以为直径的圆上运动；通过分析点在起点和终点时点的位置，确定点的运动轨迹为以为直径的半圆，最后利用勾股定理求出，结合圆周长公式求解即可． 【详解】解：连接 ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 当点在点时，与重合，此时点与点重合， 当点在点时，与重合， ∵为的直径， ∴， 即， 又∵， ∴点与点重合， ∴点运动的路径是以为直径的半圆， ∵的直径为，半径， ∴，， 在中，， ∴点运动的路径长为． 【变式22-2】（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B顺时针旋转至①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至②位置……以此类推，这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据A的运动路径，计算前几次的路线长，探究一般性规律，然后计算求解即可． 【详解】解：∵，四边形是矩形， ∴， 转动一次A的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动第五次A的路线长是：， 以此类推，每四次为1个循环， ∴顶点A转动四次经过的路线长为：， ∵， ∴这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是：． 【变式22-3】（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在中，，，点M在以为直径的半圆O上从点A运动到点B时停止，连接，点N是的中点，则点N的运动路径长为_____________． 【答案】/ 【分析】本题考查圆的性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角；连接，分别取的中点E和F，连接，由是的直径可得，由三角形中位线的性质可得，进而得出点N在以为直径的半圆上运动，所以点N的运动路径长为以为直径的半圆弧的长. 【详解】解：如图所示，连接，分别取的中点E和F，连接， ， ∴， ∵是的直径， ，即， ∵在中，分别为的中点， ∴， ∵在中，分别为的中点， ， ∴，即， ∴点N在以为直径的半圆上运动， 在中，E为的中点，F为的中点， ∴， ∴点N的运动路径长为． 故答案为：． 【题型23 扇形面积与动点路径综合问题】 【例23】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，…；按此规律，则的值为________________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，得到、、、、都是等腰直角三角形，分别求出 ，，，利用扇形面积求出，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点 ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…， ∴ ，，，，； ∴， ∴. 【变式23-1】（2026·河南周口·二模）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（   ） A．2π B．3π C．4π D． 【答案】D 【分析】整体图形由和一个扇形组成，白色部分由与扇形组成，总体面积减去白色部分面积，就是阴影部分面积． 【详解】解： 中，，， ， ，， ， ， ． 【变式23-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而由勾股定理得出长，同理得到的长，再根据旋转性质可得旋转的圆心角为，半径，最后由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：当点与点重合时，连接，如图所示： ∵点是的中点， ，且， ， 半圆的直径， ， ∴在中，， ， 当在半圆弧上旋转到点与点重合时，如图所示： 此时，同理可得， ， ∵是圆心O到弦CD的弦心距，且在同圆中，弦相等则弦心距也相等， 则弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，则点M在以O为圆心，为半径的圆上运动， 即就绕着点逆时针旋转，如图所示： ，， ， 则， ， 两条平行线之间的距离相等， ， 扫过的面积，即不规则扇形与扇形面积相等， ∴在整个滑动过程中线段扫过的面积， 故选：B． 【变式23-3】（2025·江苏盐城·二模）如图，两个大小完全相同的直角三角板、，已知，，平分交于点G，M为边的中点．起初边放置在上，点E与点C重合，后拖动三角板，点E沿的延长线方向滑至处，点D沿方向随之滑至C处，则运动中线段所扫过的图形面积为___________________． 【答案】 【分析】此题考查了求扇形面积，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解直角三角形等知识，连接，交于点N，证明出三角形是等边三角形，得到，得出点G，M，F三点围成的图形即为运动中线段所扫过的图形，求出，然后证明出，得到，然后得到，得到运动中线段所扫过的图形面积，解题的关键是掌握以上知识点，得到线段所扫过的图形形状． 【详解】解：如图，分别为滑动的对应点， ， ， 根据滑动可得， ， 四点共圆， ， 为直径，即为圆的圆心， ，即点到的距离固定， 点的运动轨迹是以点为圆心的圆上的弧， 如图所示，连接，交于点N， ∵两个大小完全相同的直角三角板、，，， ∴， ∴， ∵，M为边的中点， ∴， ∴三角形是等边三角形， ∴，， ∴线段和圆弧围成的图形即为运动中线段所扫过的图形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴运动中线段所扫过的图形面积． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29章 圆（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 圆的有关概念】 1 【题型2 点与圆的位置关系】 2 【题型3 求弦心距或弦长】 3 【题型4 利用垂径定理求半径】 3 【题型5 同弧或等弧所对的圆周角相等】 5 【题型6 直径所对的圆周角是直角】 6 【题型7 判断弧、弦、圆心角的对应关系】 7 【题型8 求圆内接四边形的对角】 8 【题型9 确定圆的条件】 9 【题型10 扇形弧长与面积的计算】 9 【进阶拔高】 10 【题型11 垂径定理的应用】 10 【题型12 利用圆周角定理求角度】 12 【题型13 弧、弦、圆心角关系与证明综合】 13 【题型14 扇形与三角形组合图形面积计算】 14 【题型15 坐标系中求圆的相关量】 16 【题型16 利用圆心角与圆周角关系证明线段相等】 17 【题型17 圆锥的计算】 18 【创新思辨】 19 【题型18 动点问题中圆的相关量最值】 19 【题型19 垂径定理与折叠综合求值】 20 【题型20 圆内接四边形与旋转综合】 21 【题型21 含参数的圆中角度范围探究】 23 【题型22 某点的弧形运动路径长度】 24 【题型23 扇形面积与动点路径综合问题】 25 【夯实基础】 【题型1 圆的有关概念】 【例1】（2026九年级上·四川南充·专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【变式1-2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）下列命题中，不正确的是________ ①圆心角相等，所对的弧相等  ②平分弦的直径垂直于弦  ③长度相等的弧是等弧 ④等弧所对的圆周角相等  ⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等． 【变式1-3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 【题型2 点与圆的位置关系】 【例2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）的半径为，则点与的位置关系是___________． 【变式2-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【变式2-3】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【题型3 求弦心距或弦长】 【例3】（2025·安徽·模拟预测）已知点C在的弦AB上，，则的弦心距为（　　） A． B．3 C． D．2 【变式3-1】（25-26九年级上·广东广州·期中）半径等于2的圆中，垂直平分半径的弦长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，是的直径，弦于点，若，．    (1)求弦心距的长． (2)连接，求的长． 【变式3-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（　　） A．6 B．2 C．6或2 D．以上说法都不对 【题型4 利用垂径定理求半径】 【例4】（24-25九年级下·湖南湘西·阶段检测）如图，圆O 的半径交于点 D，，则圆O的半径为（       ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-1】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，，垂足为，，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·浙江·阶段检测）如图，为的直径，是上一点，以为圆心，适当长为半径作弧交直径所在的直线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；连结并延长交于点，交于点；以为圆心，长为半径作弧交于点，连结．若，，则的半径长是_____． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，点O为平行四边形内一点，以点O为圆心，为半径作圆，恰好经过点B和点C，且，，，则的半径为_____． 【题型5 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例5】（2026·安徽淮南·一模）如图，内接于于点，连接，若，则的大小为___________． 【变式5-1】（2026·山东泰安·一模）如图，中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·贵州遵义·一模）如图，是的直径，，是上的点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，四边形内接于，连接，若，则的度数为___________． 【题型6 直径所对的圆周角是直角】 【例6】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，弦，若，则__________． 【变式6-1】（2026·海南三亚·模拟预测）以为中心点的量角器与直角三角板按如图的方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么__________度． 【变式6-2】（2026·山东青岛·中考真题）如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，经过原点的与两坐标轴分别交于点和点，C是优弧上的任意一点（不与点O、B重合），则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 判断弧、弦、圆心角的对应关系】 【例7】（25-26九年级上·福建·期末）如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【变式7-1】（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，在中，，，则的度数为_____． 【变式7-2】（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 【变式7-3】（2026·安徽安庆·二模）如图，以的边为直径作，点B在上，点D为上一点，连接，且B为的中点，于点E，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型8 求圆内接四边形的对角】 【例8】（2026·吉林长春·模拟预测）如图，在中，点、、、分别在圆上，若，则 的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26九年级下·山东聊城·期中）如图， 四边形内接于，是的直径， 点E在上， ，则的度数为_________． 【变式8-2】（25-26九年级上·江苏扬州·周测）如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点E，与的延长线交于点F，若，，则的度数为 _____． 【变式8-3】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图，四边形内接于一圆，延长到点． (1)求证：； (2)连接、，若，平分，求的度数． 【题型9 确定圆的条件】 【例9】（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【变式9-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________． 【变式9-2】（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，点，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为___________个． 【变式9-3】（24-25九年级上·江苏南京·期末）若在平面直角坐标系中的点，，不能确定一个圆，则的值是______． 【题型10 扇形弧长与面积的计算】 【例10】（25-26九年级下·浙江湖州·阶段检测）如图，点是上逆时针顺次排列的五个点，且，若的长度为，则的长度是______． 【变式10-1】（2026·山西临汾·三模）某城市的道路规划一段弧形转弯车道，交通运输部门在弯道内侧增设黄色隔离带．如图是抽象出来的几何示意图，米，，点C，点D分别在和上，米，则隔离带外侧的长比内侧的长多（     ）      A．米 B．米 C．米 D．米 【变式10-2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段检测）如图所示，半径为1的圆中，圆心角为的扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26九年级上·云南昭通·期末）如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【进阶拔高】 【题型11 垂径定理的应用】 【例11】（2026·湖南长沙·二模）如图，拱桥可以近似地看作一个圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，如果这些钢索中最长的一根的长度为，则该圆弧的半径为______m． 【变式11-1】（2025九年级下·广东广州·专题练习）在学校“戏曲进校园”活动中，美术小组为粤剧展演设计了一个凤冠造型的圆形拱门装饰，如图，该装饰顶部的截面是圆弧形，测得其跨度（弦）为，拱高（弧的中点到弦的垂直距离）为．若点是该圆弧所在圆的圆心，则该圆弧的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26九年级上·北京东城·期末）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一． 如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图． 如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为a．作法如下： ①作线段的垂直平分线，垂足为点D； ②在射线上截取； ③连接，作线段的垂直平分线交于点O； ④以点O为圆心，的长为半径作． 则就是所要作的圆弧． 解答下列问题： (1)请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的半径长． 【变式11-3】（2025九年级上·全国·专题练习）一座圆弧形拱桥的示意图如图所示，已知桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度． (1)圆弧形桥拱的半径是______； (2)现有一艘宽，船舱顶部为长方形且高出水面的轮船要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？ 【题型12 利用圆周角定理求角度】 【例12】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，⊙O是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交⊙O于另一点F，． (1)求证：． (2)作，垂足为M．若，求的长． 【变式12-1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，且弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的两弦、相交于点P，且，连接．若，则的度数为______． 【变式12-3】（2026·安徽安庆·二模）如图，是的外接圆，为直径，点D在上，且，延长交于点E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【题型13 弧、弦、圆心角关系与证明综合】 【例13】（2026·山西朔州·三模）如图，为的内接三角形，且为的直径，E为的中点，连接，若． (1)求的度数； (2)若的切线交的延长线于点D，的半径为3，求线段的长度． 【变式13-1】（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【变式13-2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式13-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，经过A，C两点的交于点D，交于点E，过点C作于点F，延长交于点G，且G恰好是的中点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【题型14 扇形与三角形组合图形面积计算】 【例14】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，是的内接三角形，是的直径，，．请解答下列问题： (1)的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【变式14-1】（2026·河南开封·模拟预测）在中国传统园林中，月洞门是一个极具辨识度的造型元素，并逐渐演化成东方特有的美学符号．下面是月洞门及相关示意图，其中曲线部分为圆弧，C为的中点，且弦，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)将该圆弧所在圆的圆心记为O，若，求阴影部分的面积． 【变式14-2】（2022·宁夏银川·二模）如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式14-3】（2026·河南平顶山·三模）如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________． 【题型15 坐标系中求圆的相关量】 【例15】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点，直线与交于B、C两点，则弦的长为整数的有____条． 【变式15-1】（2024·江西景德镇·三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为______． 【变式15-2】（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式15-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆内接四边形中，，，以为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，若点的坐标为，则圆的直径长度是_____． 【题型16 利用圆心角与圆周角关系证明线段相等】 【例16】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点A，B重合），连接，，． (1)求证：是的平分线； (2)若，求四边形的面积； (3)若点M，N分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，当为直径时，的周长有最大值，请直接写出的值． 【变式16-1】（2022·河北邯郸·三模）已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 【变式16-2】（2026·河南平顶山·三模）如图，都是的半径，．若，，则的长为________． 【变式16-3】（2026·广东深圳·模拟预测）如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________． 【题型17 圆锥的计算】 【例17】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，矩形纸片中，，，在矩形中剪下一个扇形和一个圆形，若以剪下的扇形为侧面，剪下的圆形为底面，恰好可以围成一个圆锥的表面，则围成的圆锥的底面半径为______． 【变式17-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 【变式17-2】（2026·江苏徐州·中考真题）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【变式17-3】（2021·广西贵港·三模）如图，已知扇形的半径为9，点在上，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且，若扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面直径为______． 【创新思辨】 【题型18 动点问题中圆的相关量最值】 【例18】（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，的半径为6，点，在上，为内一点，，，垂足为，则的最小值为_______． 【变式18-1】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为______． 【变式18-2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 【变式18-3】（2026·河南·二模）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为4的圆分别与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为上一动点，线段于点，线段长度的最小值为_________，最大值为________． 【题型19 垂径定理与折叠综合求值】 【例19】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，内接于，，将沿着弦翻折后，恰好经过弦的中点D，则弦的长为________． 【变式19-1】（重难点02图形的运动-2021年中考数学【热点�重点�难点】专练（上海专用））如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为，如果直线与⊙O相切，那么的值为________． 【变式19-2】（2025·河北·模拟预测）如图1，扇形AOB中，，，点在半径上，连接．把沿翻折，点的对称点为点． (1)当点Q刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为点H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系． 【变式19-3】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．    (1)如图1，若点D与圆心O重合，，求的半径； (2)如图2，若点D与圆心O不重合，，请求出的度数； (3)如图2，如果，，那么的长为____________．（直接写出答案） 【题型20 圆内接四边形与旋转综合】 【例20】（2025·广东中山·三模）如图，为圆的内接三角形，，将绕A点依顺时针方向旋转，B点恰好落在圆上，此时旋转角大小为_________° 【变式20-1】（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，点O为的中点，将绕着点O旋转，得到线段（点D不与点C、点B重合），连接，则为_______________度． 【变式20-2】（2025·贵州毕节·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，绕点旋转得到． (1)求证：点，，三点共线； (2)若，的半径为5，求的长． 【变式20-3】（25-26九年级下·吉林长春·开学考试）【问题呈现】如图①，是的内接正三角形，点是劣弧上一点，连接、、．求证：． 【问题解决】小明利用旋转，将绕点按顺时针的方向旋转至，如图②，可知，． ∵、、、四点共圆， ∴． ∴． ∴、、三点共线． 证明过程缺失 请你补全余下的证明过程． 【拓展应用】已知是的内接正三角形，点是劣弧上一点． （1）将绕点按顺时针的方向旋转至，使的面积最大，用圆规和无刻度的直尺在图③中依据题意补全图形；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）； （2）若的半径为，则四边形周长的最大值为_____ 【题型21 含参数的圆中角度范围探究】 【例21】（2025·江苏南京·中考真题）如图，扇形的圆心角为，若点在该扇形内，则的度数的范围是____________． 【变式21-1】（2026·浙江·一模）如图，是 的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿 翻折交于点．若，设，则所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式21-2】（2022·湖北武汉·一模）在⊙O中，弦BD与弦CE相交于点F，∠DFC=105°，，延长EC至点A，连接DA，设∠A=α，则α所在范围可能是（    ） A．12°＜α＜16° B．15°＜α＜18° C．17°＜α＜20° D．19°＜α＜22° 【变式21-3】（2026·江苏南京·三模）如图，在中，，，以A、B两点为端点作圆弧，使得弧上所有的点都落在的边界及内部，则弧所对的圆心角的取值范围是____________． 【题型22 某点的弧形运动路径长度】 【例22】（2026·福建厦门·三模）如图，圆形铁圈的直径，一根两端带有铁环的硬质滑杆套在该铁圈上（铁环大小忽略不计），滑杆的长度与铁圈的半径相等．先将滑杆的左端套在处，再将整根滑杆沿着铁圈按逆时针方向移动，使得滑杆的右端移动到点处，在此过程中滑杆的中点移动的路径长为________． 【变式22-1】（2026·广东广州·二模）如图，的直径为，是弧上一动点，半径垂直于，，垂足为．当点从运动到的过程中，点运动的路径长为（） A． B． C． D． 【变式22-2】（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B顺时针旋转至①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至②位置……以此类推，这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和为（   ） A． B． C． D． 【变式22-3】（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，在中，，，点M在以为直径的半圆O上从点A运动到点B时停止，连接，点N是的中点，则点N的运动路径长为_____________． 【题型23 扇形面积与动点路径综合问题】 【例23】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，…；按此规律，则的值为________________． 【变式23-1】（2026·河南周口·二模）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（   ） A．2π B．3π C．4π D． 【变式23-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式23-3】（2025·江苏盐城·二模）如图，两个大小完全相同的直角三角板、，已知，，平分交于点G，M为边的中点．起初边放置在上，点E与点C重合，后拖动三角板，点E沿的延长线方向滑至处，点D沿方向随之滑至C处，则运动中线段所扫过的图形面积为___________________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $