精品解析：河南省漯河市舞阳县2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷

河南省漯河市舞阳县2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的妵名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 人工智能企业徽标林立，下列徽标图案中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则代数式的值是（ ） A. 6 B. C. 3 D. 3. 用配方法解方程时，配方的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数的图象和性质，下列说法中不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 当时，随的增大而减小 D. 顶点是 5. 楚文化节以荆州为中心，以文物为眼，让世界看见——楚魂不老，浪漫依旧；文明有脉，生生不息．据统计，今年楚文化节期间，某网红景区第一天的游客人数为2万人次，第三天的游客人数达到3万人次．设游客人数从第一天到第三天的日平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点与点关于原点对称，则点在第（ ）象限． A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 7. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间（单位：s）的函数解析式是．则汽车刹车后到停下来所花的时间是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，若，，则的半径是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴是．下列结论中正确的是（ ） A. B. 方程的一个根在1与2之间 C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 时钟的时针不停地旋转，从上午时到上午时，时针旋转的旋转角是__________度． 12. 写出一个开口向上、顶点是的抛物线解析式为________（写出一个即可）． 13. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 14. 如图，是上的点，若，则的度数是_______度． 15. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，（1）当点在上时，若，则的度数为_____度，（2）为的中点，连接，若，则在旋转一周的过程中，线段长度的最小值为____． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解下列方程： （1）， （2）． 17. 如图，，求证． 18. 如图，的各个顶点的坐标分别是， （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后的． 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 20. 如图，直线经过点和，与抛物线在第一象限内交于点，的面积为1． （1）求抛物线解析式和直线解析式； （2）结合图象直接写出不等式的解集． 21. 如图，是的直径，平分分别与相交于点． （1）求证； （2）若，求的直径． 22. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元／盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元／盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元／盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元／盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）求出关于的函数解析式； （2）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （3）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 23. 【问题背景】如图，在中，，，点D，E在直线上，，试探究，，之间的数量关系． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E在边上时，将绕点顺时针旋转得到，连接，易证．根据以上信息填空： ①__________； ②线段，，之间的数量关系为__________； 【深入探究】（2）如图2，当点在边上，点在的延长线上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，当点在的延长线上，点是的三等分点，且时，若，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，设点的横坐标为． ①当点在线段（点不与点A，O重合）上运动时，过点作，垂足为，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出长度的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省漯河市舞阳县2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的妵名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 人工智能企业徽标林立，下列徽标图案中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； 故选：C． 2. 已知关于的一元二次方程的一个根是1，则代数式的值是（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将根代入方程，得到a与b的关系式，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3. 用配方法解方程时，配方的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，使用配方法将方程转化为完全平方形式即可． 【详解】解：∵， 移项得， 配方得， 即 ． 故选：B． 4. 关于二次函数的图象和性质，下列说法中不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 当时，随的增大而减小 D. 顶点是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，通过顶点式解析式分析开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数为， ∴，开口向下，故A正确； ∴对称轴为，故B正确； ∴顶点坐标为，故D正确； ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大，故C错误. 故选：C． 5. 楚文化节以荆州为中心，以文物为眼，让世界看见——楚魂不老，浪漫依旧；文明有脉，生生不息．据统计，今年楚文化节期间，某网红景区第一天的游客人数为2万人次，第三天的游客人数达到3万人次．设游客人数从第一天到第三天的日平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用---平均增长率，设日平均增长率为x，从第一天到第三天经过两天增长，第三天人数为第一天的倍，据此列方程即可． 【详解】解：设游客人数从第一天到第三天的日平均增长率为，根据题意得： ， 故选：D． 6. 已知点与点关于原点对称，则点在第（ ）象限． A. 四 B. 三 C. 二 D. 一 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标互为相反数）和平面直角坐标系中象限的判断． 根据关于原点对称的点的坐标关系，求出a和b的值，再判断点所在的象限． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴点在第四象限， 故选：A． 7. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间（单位：s）的函数解析式是．则汽车刹车后到停下来所花的时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，本题利用二次函数的顶点公式求最值，理解汽车停下来时距离最大是关键． 【详解】解：∵， ∴当时，s取得最大值， 即汽车刹车后到停下来所花的时间是秒， 故选：C． 8. 如图，中，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，连接，由垂径定理可得，再由圆周角定理即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，是的直径，若，，则的半径是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，连接，由圆周角定理可得，再证明为等边三角形，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 即的半径是， 故选：B． 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴是．下列结论中正确的是（ ） A. B. 方程的一个根在1与2之间 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下， ∴， 又抛物线与的正半轴相交， ∴， ∴，故A错误，不符合题意； ∵抛物线与轴的交点在和之间，且对称轴为， ∴根据对称性可得抛物线与轴的交点在0和1之间， ∴方程的一个根在0与1之间，故B错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴，故C错误； ∵方程的一个根在0与1之间， ∴当时，， 又，即， ∴，故D正确， 故选：D． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 时钟的时针不停地旋转，从上午时到上午时，时针旋转的旋转角是__________度． 【答案】 【解析】 【分析】先计算时钟钟面上每两个数字之间的度数，从上午时到上午时共旋转4个格，即可求得答案. 【详解】钟面上每两个数字间的度数为， ∵从上午时到上午时共旋转4个格， ∴， 故答案为：120. 【点睛】此题考查钟面的度数计算，确定钟面上每两个数字事件的度数是解题的关键. 12. 写出一个开口向上、顶点是的抛物线解析式为________（写出一个即可）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求函数解析式，根据抛物线的顶点坐标，可设解析式为顶点式，由开口向上可知，取即可得到解析式． 【详解】解：由题意，抛物线的顶点为，且开口向上，因此可设其解析式为，其中．取，得解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，应邀请________个球队参加比赛 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设应邀请个球队参加比赛，每个球除要和除自己以外的个球除进行次比赛，所以个球除进行单循环形式共需要进行场比赛，因为计划安排场比赛，所以可列方程，解方程即可求出球队的个数． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意可得： 解方程可得：，(舍去)， 答：应邀请个球队参加比赛． 故答案为： ． 14. 如图，是上的点，若，则的度数是_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可. 【详解】解:在优弧上任意找一点，连接． ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，（1）当点在上时，若，则的度数为_____度，（2）为的中点，连接，若，则在旋转一周的过程中，线段长度的最小值为____． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，由等边对等角和平行线的性质可推出，再由三角形内角和定理得到，据此可得答案； （2）先由勾股定理求解，由旋转的性质可得，由直角三角形斜边中线的性质得到，由可得，当点P在线段的延长线上时，有最小值，最小值为． 【详解】解：（1）由旋转性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：30； （2）∵连接， 在中，， ∴， 由旋转的性质可得，, ∵为的中点， ∴， ∵， ∴当点P在线段的延长线上时，有最小值，最小值为，即， 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 解下列方程： （1）， （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用配方法解答即可； （2）方程运用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，， 【小问2详解】 解： ， ， ∴，． 17. 如图，，求证． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∴. 【解析】 【分析】本题考查圆的性质，根据弧、弦、圆心角的关系可得，进而可得，即可得证． 【详解】 略 18. 如图，的各个顶点的坐标分别是， （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕原点逆时针旋转后的． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了原点对称作图，旋转作图，解题的关键在于正确掌握相关作图步骤． （1）根据对称的性质作出的对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据题意找出旋转中心和旋转方向，以及旋转角，再按照旋转作图步骤作出的对应点，再顺次连接对应点，即可解题． 【小问1详解】 解：关于原点对称的点；关于原点对称的点；关于原点对称的点 【小问2详解】 解：由题意可知，旋转后得到；旋转后得到；旋转后得到 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两个不相等的实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系． （1）根据题意可得，继而求得实数的取值范围； （2）由根与系数的关系，再结合条件求即可，注意结合进行取舍． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得， 的取值范围是； 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得到， ∵， ∴， 解得或， 由（1）知，故舍， ∴． 20. 如图，直线经过点和，与抛物线在第一象限内交于点，的面积为1． （1）求抛物线解析式和直线解析式； （2）结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）直线解析式为；抛物线的解析式为 （2）不等式的解集或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）将点代入直线表达式计算即可得出直线解析式；求出，代入抛物线解析式计算即可得出结果； （2）求出直线和抛物线的交点，结合函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为； ∵， ∴， ∵点在第一象限，的面积为1， ∴， ∴， 将代入直线可得：， 解得：， ∴， 将代入抛物线可得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：或， ∴直线与抛物线的两个交点坐标为和， 由图象可得：不等式的解集或． 21. 如图，是的直径，平分分别与相交于点． （1）求证； （2）若，求的直径． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵对应，对应， ∴． （2） 【解析】 【分析】主要考查角平分线的定义以及圆周角定理(同圆中相等的圆周角所对的弧相等)，等弧的性质、垂径定理，还结合勾股定理与方程思想解决线段长度计算问题，同时体现了圆性质与直角三角形知识的综合应用． （）利用角平分线的定义得到，再依据圆周角定理中“相等的圆周角所对的弧相等”，即可证明； （）由等弧推出垂直平分，结合已知条件求出的长度，设圆的半径为表示出，再在中利用勾股定理列方程求解半径，进而得到圆的直径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，且， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理：， 代入得：， 解得：， ∴的直径． 22. 中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．今年中秋节期间，某商家以50元／盒的价格购进一批某品牌月饼．在销售中，该商家发现售价定为80元／盒时，每天可售出100盒；售价每降低1元／盒时，每天可多售出5盒，设该品牌月饼售价降低元／盒时，商家每天销售该品牌月饼的利润为元． （1）求出关于的函数解析式； （2）要使每天销售该品牌月饼的利润为3120元，为了尽快减少库存，每盒月饼的售价应定为多少元？ （3）每盒月饼的售价定为多少元时，每天销售该月饼获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）74元 （3）75元，3125元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式是解题的关键： （1）根据总利润等于每盒利润乘以销量，列出函数关系式即可； （2）令，求出的值，即可； （3）利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，； 【小问2详解】 当时， 解得， ∵尽快减少库存， ∴，此时售价为（元）； 答：每盒月饼的售价应定为74元； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的开口向下，当时，函数有最大值为； 故当售价为元时，每天销售该月饼获得利润最大，为3125元． 23. 【问题背景】如图，在中，，，点D，E在直线上，，试探究，，之间的数量关系． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E在边上时，将绕点顺时针旋转得到，连接，易证．根据以上信息填空： ①__________； ②线段，，之间的数量关系为__________； 【深入探究】（2）如图2，当点在边上，点在的延长线上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，当点在的延长线上，点是的三等分点，且时，若，求的长． 【答案】（1）①；②； （2），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴， 如图：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，，，从而即可得出的度数；②证明，得出，求出，再由勾股定理可得即可得出结果； （2）由等腰直角三角形的性质可得，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，证明，得出，求出，再由勾股定理可得即可得出结果； （3）由等腰直角三角形的性质可得，，求出，，将绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，证明，得出，求出，再由勾股定理可得，求出，从而可得，进而得出，求解即可得出结果． 【详解】解：（1）①∵在中，，， ∴， 如图1，当点D，E在边上时，将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， ∵， ∴， ②由①可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：， ∴； （2） 略 （3）∵在中，，，， ∴，， ∴，， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得：， ∴， ∵点是的三等分点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，设点的横坐标为． ①当点在线段（点不与点A，O重合）上运动时，过点作，垂足为，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出长度的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①长度的最大值为，此时点的坐标为；②的取值范围为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）①求出，再利用待定系数法得出直线的解析式为，由题意可得，，，，则，证明为等腰直角三角形，结合对顶角相等得出，从而可得为等腰直角三角形，求出，再由二次函数的性质即可得出结果； ②由①可得，，则，结合题意可得，从而得出或，分别求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，设点的横坐标为． ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，的长度最大为， 此时， ∴长度的最大值为，此时点的坐标为； ②由①可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解可得：或， 解可得：， 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，等腰三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $