精品解析：河南新郑市苑陵中学2026-2027学年上学期九年级数学过程性学业评价(一)

新郑市苑陵中学2026-2027学年上学期九年级数学 过程性学业评价（一） （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每题3分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）．解题关键：紧扣定义，从“未知数个数、最高次数、是否为整式方程”三个方面逐一分析选项即可． 【详解】解：A：∵ 展开得 ，移项得 ，即 ，满足一元二次方程定义． B：∵ 中，a可能为0，故不一定是一元二次方程． C：∵ 含有分式，不是整式方程． D：∵ 中未知数最高次数为3，不是二次方程． 故选：A． 2. 如图，在中，点E，D，F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若且，则四边形是正方形 C. 若，则四边形是菱形 D. 如果，则四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【详解】解：，，  四边形是平行四边形，故A选项正确，不符合题意； 若，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； 如果，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形是矩形，故D选项正确，不符合题意； 若且，根据等腰三角形三线合一性质可知平分， 平行四边形是菱形，但不能判定是正方形（除非），故B选项错误，符合题意． 3. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的根及因式分解法解一元二次方程，将已知根代入方程求出m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可，熟练掌握求解方法是解题关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入方程得， 即， 解得， 则原方程为， 因式分解得， ∴或， 故方程的另一个根为． 故选：B． 4. 等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 2或4 D. 12或16 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况讨论：已知边长2为等腰三角形的腰长，或已知边长2为等腰三角形的底边长，分别计算k的值，再用三角形三边关系验证，得到符合条件的结果． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为2，另外两边长是方程的两个实根， ∴分两种情况讨论： ①当边长2为腰长时，方程有一个根为， 把代入方程得， 解得， 此时方程为， ∴， 解得， ∴另一根为，三角形三边长为， ∵ ，不满足三角形三边关系，此情况舍去； ②当边长2为底边长时，两腰是方程的两个实根，即方程有两个相等实根， ∴， 解得， 此时方程的根为，三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上，的值为16． 5. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件表示出2026年的增长率，再依次推导各年研发经费，最终根据2026年研发经费列出方程． 【详解】解：∵设2025年研发经费的增长率为，2026年研发经费的增长率比2025年高， ∴2026年研发经费的增长率为． ∵2024年研发经费为2000万元， ∴2025年研发经费为万元， ∴2026年研发经费为万元． 又∵2026年研发经费为2310万元， ∴列方程得． 7. 如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程的定义以及根判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根，需满足二次项系数不为零且判别式大于零． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 且， 其中， ∴ ， 解得：， 又 ∵ ， ∴ ， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，，，P为上任一点，过点P作于点E，于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，三角形面积及勾股定理，解题关键是通过转化思想，根据三角形面积的不同计算方法列方程解决．由，，根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中， ，，且，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，四边形是菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，轴对称性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】解：菱形，， ，， ∴关于直线对称， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴三点共线时，取得最小值，且最小值为， 菱形，， ∴，，， ∴都是等边三角形， 点是的中点， ∴， 点， ， ，， ， 的最小值为6， 故的最小值为6； 二、填空题（每题3分） 11. 已知，，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据比例关系设参数表示各字母，代入已知等式求解，再计算的值． 【详解】解：设 ，，则，，， ， ，解得， ． 12. 用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 【详解】解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 13. “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据比例关系列式计算即可． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为， 由题意得，， 解得， ∴该兵马俑的眼睛到下巴的距离为． 14. 已知m，n是方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是利用韦达定理求出两根之和与两根之积，再代入分式变形后的式子计算． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴代入得； 故答案为：． 15. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可． 【详解】解：当时， ∵四边形矩形， ∴，则， 由平行线分线段成比例可得：， 又∵M为对角线的中点， ∴， ∴， 即：， ∴， 当时， ∵M为对角线的中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵四边形矩形， ∴，则， ∴ ∴， 综上，的长为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题（75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式把化简后进行因式分解得，解出即可得答案. （2）把根据十字相乘法分解因式得，解出即可得答案. （3）把的右边根据提公因式法分解因式，再移项后进行因式分解得，解出即可得答案. 【小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： 或 ， 【小问3详解】 解： 或 ， 17. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，分别为，中点，顺次连接点，，，．     （1）求证：四边形是矩形． （2）当，时，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点，分别为，中点， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行线的性质，勾股定理，三角形中线的性质，平行四边形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，再由线段中点的定义可得，则可证明，据此可证明结论； （2）可证明，利用勾股定理可求出的长，进而求出的长，求出，再根据三角形中线的性质即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴ 解得：或（舍去）； ∴， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴． 18. 定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】（1） （2）当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． （3）或，或 【解析】 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 19. 如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． （1）求证：； （2）若，求BD的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， 又， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理： （1）根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而根据平角的定义求出的度数，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ． 20. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务三 该零件月销售利润能达到20000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】任务一： 任务二：50元 任务三：不能，理由： 设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到20000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到20000元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量该车间4月份生产数量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； 任务二：设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定结论； 任务三：设该零件的实际售价n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【详解】解：任务一：设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； 任务二：设该零件的实际售价m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵尽可能让消费者得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； 任务三：略 21. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键． 22. 如图，在和中，点B，D，E在同一条直线上，． （1）求证； （2）连接，若，则____________． 【答案】（1） 证明：设的交点为F， ， ， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用判定定理证明即可； （2）根据，得到对应边成比例，利用两边成比例且夹角相等证明，即可． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（三边成比例、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 解得， 故答案为：． 23. 已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 （2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 （3）如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 【答案】（1）1 （2） （3）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据正方形及直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得到，即可求得答案； （2）先根据矩形及直角三角形的性质证明，再根据相似三角形的性质求得答案； （3）先证明，得到，再证明，可得，所以，即可证明结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新郑市苑陵中学2026-2027学年上学期九年级数学 过程性学业评价（一） （满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（每题3分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，点E，D，F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. 若且，则四边形是正方形 C. 若，则四边形是菱形 D. 如果，则四边形是矩形 3. 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形一边长为2，它的另外两边长是关于的一元二次方程的两实根，则的值为（ ） A. 12 B. 16 C. 2或4 D. 12或16 5. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 杭州某公司开展低空经济飞行器研发，2024年研发经费为2000万元，2026年研发经费达2310万元．已知2026年研发经费的增长率比2025年研发经费的增长率高．设2025年研发经费的增长率为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，在矩形中，，，P为上任一点，过点P作于点E，于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 二、填空题（每题3分） 11. 已知，，则的值为______． 12. 用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 13. “黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦始皇陵兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为______m．（结果保留根号） 14. 已知m，n是方程的两个根，则______． 15. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______． 三、解答题（75分） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） 17. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，分别为，中点，顺次连接点，，，．     （1）求证：四边形是矩形． （2）当，时，求的面积． 18. 定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 19. 如图，在中，，点D，E在边上（在的左边），且． （1）求证：； （2）若，求BD的长． 20. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务三 该零件月销售利润能达到20000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 21. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 22. 如图，在和中，点B，D，E在同一条直线上，． （1）求证； （2）连接，若，则____________． 23. 已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 （2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 （3）如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $