精品解析：福建漳州市长泰第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

长泰二中2026-2027学年高二上月考1数学试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方向向量确定直线的斜率，利用直线点斜式方程进行求解即可. 【详解】由于直线的方向向量为，故直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 故选：A． 2. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合图象应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】直线倾斜角为，当时，其斜率，函数的图象如图， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，则， 所以． 故选：C 3. 等差数列，，，，，则是这个数列的第（    ）项 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出等差数列的通项公式，再计算求出项数. 【详解】由等差数列前几项可得，该等差数列首项为，公差为， 则该等差数列通项公式， 令，则，则是这个数列的第项. 4. 已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式对各选项分析即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，这是关于的二次函数，且该二次函数图象过原点. 当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确，当时，是过原点的抛物线上的点，所以选项A，D正确. 故选：C. 5. 在等比数列中，若，则（ ） A. 3 B. C. 9 D. 27 【答案】A 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得：，可得， 所以. 6. 设是等差数列的前项和，是数列的前项和.若，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 则， 所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 7. 若，，则直线的图象只能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一般式方程转化为截距式方程，根据斜率与截距的取值，可得答案. 【详解】由题意，，将方程转化为，易知，， 故选：D. 8. 已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取） A. 第6天 B. 第7天 C. 第8天 D. 第9天 【答案】C 【解析】 【分析】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、，依题意得到、的通项公式，即可求出、，再由得到，最后根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、（即天后树的总长度）， 则，， 所以， ， 由，可得， 即，即， 解得或（舍去）， 由则，因为， 即，又，所以的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键是利用等比数列求出公式求出天后树的总长度，从而得到不等式，再结合指数函数的性质解得. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 存在m使得直线的倾斜角为 C. 若，则 D. 不存在实数m使得 【答案】AC 【解析】 【详解】令，则，得，则直线恒过点，故A正确； ，则斜率为，故不存在m使得直线的倾斜角为，故B错误； 若，则，得， 若，则，此时两直线平行，故，故C正确； 若，则，则，故存在实数m使得，故D错误. 10. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，故C错误； 由B选项可得，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 11. 斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推式判断A、B、D；根据B的结论，结合累加法判断C； 【详解】由题设，，，A错； 由，则，故，B对； 由，结合B的结论有，，，， 所以，C对； ，D对； 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 与向量垂直，且经过点的直线的一般式方程为________. 【答案】 【解析】 【详解】因为所求直线与向量垂直， 所以所求直线的斜率为2， 又所求直线经过点， 所以所求直线的方程为，即. 13. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，故可看出是公差为2的等差数列，然后求出对应的首项即可得到答案 【详解】由可得， 所以是公差为2的等差数列， 因为的首项为，所以， 故数列的通项公式为 故答案为： 14. 对于数列，记，则数列为数列的一阶差数列，记，则数列为数列的二阶差数列．以此类推，可得到数列的阶差数列．若的阶差数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列．已知数列是二阶等差数列，，且二阶差数列中，，则_____． 【答案】2023 【解析】 【分析】先利用高阶等差数列的性质，将数列问题转化为二次函数问题，再通过待定系数法求解即可. 【详解】由二阶等差，设，则 ，即． 联立， 即，解得 所以， 所以． 故答案为：2023 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知点和直线. （1）若直线经过点P，且，求直线的一般式方程； （2）若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般式方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解； （2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解. 【小问1详解】 由直线的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为， 又直线经过点，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 若直线经过原点，设直线方程为，代入可得； 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，故直线方程为； 综上，直线的方程为或. 16. 已知等差数列的公差为，前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使得的的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的前项和公式建立方程组，解得数列的首项和公差，即可得到等差数列的通项公式； （2）由（1）可得等差数列的前项和，然后即可得到，从而求出该数列的前项和，然后代入条件中的不等式，解二次不等式即可求得的范围，根据题意即可得到其最小值. 【小问1详解】 由于， 故解得 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 则数列是以4为首项，3为公差的等差数列； 所以. 由，得， 即， 则，或， 又因为，所以的最小值为4. 17. 已知等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前48项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程求解等比数列的公比和首项，进而求得通项公式； （2）通过裂项求和求解 【小问1详解】 设公比为，由，有，解得. 又由，有，解得. 故，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由， 有. 18. 近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达，每年年底扣除运营成本万元，再将剩余资金继续投入直播平合. （1）若，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？ （2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到万元） 【答案】（1）936万元 （2）3000万元 【解析】 【分析】（1）用表示第年年底扣除运营成本后直播平台的资金，然后根据已知计算可得； （2）由已知写出，然后由求得的范围． 【小问1详解】 记为第年年底扣除运营成本后直播平台的资金， 则， 故第3年年底扣除运营成本后直播平台的资金为936万元. 【小问2详解】 ， 由，得， 故运营成本最多控制在万元， 才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元. 19. 记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）若等差数列满足，，，求的前项和. （3）设数列 满足 ，其前 项和为 .若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由结合题设可得，然后由与关系可得答案； （2）记的公差为，由题设并验证可得，然后由错位相减法可得答案. （3）由（1）求出的 的通项公式 ，分类讨论 和 ，利用裂项相消法求出 的表达式后，利用其单调性求出范围，即可解出 的最小值. 【小问1详解】 由，可知是公比为的等比数列，故， 当时，，，故， 由得，又，所以， 故； 【小问2详解】 记的公差为，由可知， 由得，即， 整理得，即，解得或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意， 故的通项公式为.所以， 当时，，， 两式相减，得到， 又注意到时，，满足， 故. 【小问3详解】 由（1）可知， ， 由， 当 时，，，则 ； 当 时，，，则； 所以， 因为 ，所以 ，故 ， 因此 恒成立，又因为随着 增大， 增大， 减小， 而当时，. 若不等式 对任意的 恒成立，则需 ，即 ， 因为 为整数，所以 的最小值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长泰二中2026-2027学年高二上月考1数学试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 3. 等差数列，，，，，则是这个数列的第（    ）项 A. B. C. D. 4. 已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，若，则（ ） A. 3 B. C. 9 D. 27 6. 设是等差数列的前项和，是数列的前项和.若，则等于（    ） A. B. C. D. 7. 若，，则直线的图象只能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取） A. 第6天 B. 第7天 C. 第8天 D. 第9天 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过点 B. 存在m使得直线的倾斜角为 C. 若，则 D. 不存在实数m使得 10. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 11. 斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 与向量垂直，且经过点的直线的一般式方程为________. 13. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为__________． 14. 对于数列，记，则数列为数列的一阶差数列，记，则数列为数列的二阶差数列．以此类推，可得到数列的阶差数列．若的阶差数列是非零常数列，则称数列为阶等差数列．已知数列是二阶等差数列，，且二阶差数列中，，则_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知点和直线. （1）若直线经过点P，且，求直线的一般式方程； （2）若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般式方程. 16. 已知等差数列的公差为，前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使得的的最小值. 17. 已知等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前48项和. 18. 近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达，每年年底扣除运营成本万元，再将剩余资金继续投入直播平合. （1）若，在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？ （2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底扣除运营成本后资金达到3000万元？（结果精确到万元） 19. 记为各项均为正数的数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）若等差数列满足，，，求的前项和. （3）设数列 满足 ，其前 项和为 .若不等式 对任意的 恒成立，求整数 的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $