精品解析：福建省福州市福清西山学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

福清西山学校高中部10月阶段检测高二数学试题 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线化为斜截式可得直线斜率，据此可得直线倾斜角. 【详解】设直线倾斜角为，，则直线斜率为， 结合倾斜角范围为，则. 2. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，解得． 所以． 3. 若圆的圆心为，且与轴相切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求出圆的标准式，从而再求出一般式. 【详解】由已知得圆的半径为，故圆的方程为， 即． 4. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】联立直线与， 可得方程组，解得，即两直线交点坐标为． 直线整理为斜截式为，则该直线斜率为． 已知两条互相垂直的直线斜率乘积为，设所求直线斜率为， 则，解得． 已知所求直线过点，斜率为，代入点斜式方程， 可得，整理为一般式，即． 5. 空间直线l经过点，且直线l的方向向量为，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可得，，直线l的方向向量为， 所以点P到直线l的距离为． 6. 在三棱柱中，D是BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用空间向量加减法计算求解. 【详解】． 7. 已知直线与直线互相平行，且两者之间的距离是，则等于 A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用两条直线平行，及两条平行线间的距离公式，可得方程组，解之即可得到结论. 【详解】直线与直线平行且两者之间的距离是， ，(负值舍去)， . 所以B选项是正确的. 【点睛】本题考查两条平行线间距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题. 8. 如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立对应的空间直角坐标系，设，，，再根据空间向量垂直的坐标表示得到，从而得到，进而根据二次函数的性质即可求出其取值范围． 【详解】以D为坐标原点，以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如下空间直角坐标系， 依题意设，，， 则，，，， 则，，， 因为平面，则，解得， 则，所以， 又函数，是开口向上，且对称轴为的二次函数， 又，则其在时取最小值，且最小值为；在，或时取最大值，且最大值为， 所以线段长度的取值范围为． 二、多选题 9. 已知空间向量，则（ ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】，故A正确； 假设，则，解得， 故，向量共面，不能作为空间基底，故B错误； ，则，故C正确； ， ，故D正确． 10. 过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于两点，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的方程为 B. C. 原点到直线的距离为 D. 线段的中点在直线上 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的方程及点坐标，再结合两点间的距离公式和点到直线距离公式逐项判断. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由直线过点，得，解得，直线， 由时，得点，由时，得点， 对于A，直线的方程为，故A正确； 对于B，因， 则，故B正确； 对于C，原点到直线的距离为，故C正确； 对于D，线段的中点为，此时， 故线段的中点不在直线上，故D错误. 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 点到直线距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将动点在线段上的位置用参数表示，从而把外接球直径、向量垂直条件、及点到直线距离等几何问题全部转化为关于的代数运算，其中外接球可通过补成长方体快速求解，垂直问题化为向量数量积为零，距离最值则归结为闭区间上二次函数的最值. 【详解】由题意以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系. 则，由动点在线段上， 可设，则， 所以，即. 对于A：将四棱锥补成长、宽、高分别为1，1，2的长方体，其外接球即为四棱锥的外接球，外接球直径等于长方体体对角线长， 即，所以， 所以外接球表面积为，故A正确； 对于B：因为， 所以， 令，得，故存在点使，故B正确； 对于C：因为，， 故， 因为二次函数在时取到最小值， 所以，故C错误； 对于D：直线即轴， 点到的距离为， 二次函数在时取最小值， 所以，故D正确. 三、填空题 12. 已知是直线的一个方向向量，则直线的斜率为_________. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得，直线的斜率为. 13. 求经过直线和的交点，且平行于直线的直线为_______. 【答案】 【解析】 【详解】联立和的方程，解得，，因此与的交点为， 直线的斜率为，因为与该直线平行，所以的斜率也为， 由点斜式代入交点，得，整理得. 14. 如图，直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解. 【详解】在直三棱柱中，，. 如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则. 则. 所以. 设异面直线和所成角为， 则， 异面直线和所成角的余弦值为. 四、解答题 15. 已知空间向量，． （1）若，求x； （2）设，，求； 【答案】（1）. （2） 或 . 【解析】 【分析】（1）由，利用即可求解； （2）由，得存在实数，使得，进而得，又由，解出即可求解； 【小问1详解】 由，所以，解得； 【小问2详解】 由，所以存在实数，使得，即， 又因为，所以，解得， 当时，，当时，； 16. 根据下列条件，求圆的标准方程． （1）圆心在，且过点； （2）圆心在直线：上，且过和点． 【答案】（1）圆的标准方程为 （2）圆的标准方程为 【解析】 【分析】（1）小问由圆心和圆上的点，可得圆的半径，根据两点间的距离公式，可计算出圆的半径，进而可得圆的标准方程； （2）小问首先设圆心为，半径为，由圆心在直线：上，可得，再根据圆过点和点，可得，由两点间的距离公式，可得，整理可得，联立方程组，解得，再将，代入，解得，最后可得圆的标准方程. 【小问1详解】 因为圆心在，且过点， 可得，圆的半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心为，半径为，圆的标准方程为. 因为圆心在直线：上，所以， 又因为圆过点和点，所以， 即， 两边平方可得，， 整理得，， 联立方程，，解得， 则， 综上所述，圆的标准方程为. 17. 如图，在长方体中，，E是边上的点，F是边上的点，． （1）求证: 平面； （2）求到平面的距离． 【答案】（1）以为原点，为正方向，建立如图所示空间直角坐标系. . 所以 因为 所以为平面CEF的法向量，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面法向量证明平面即可；（2）先写出平面的方程，再利用点到平面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以平面方程为， 即， 所以到平面的距离为 18. 已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）求的边上的高所在的直线方程． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据高线的性质，结合互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵，， ∴AB的斜率 ， ∴AB边高线斜率，又， ∴AB边上的高线方程为. 【小问2详解】 解：直线AB的方程为，即， 顶点C到直线AB的距离为， 又， ∴的面积 . 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，，，分别是线段，，，的中点，在平面内的射影为． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接，， 由题意知，分别是线段，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， ，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面． 所以平面， 又因为，所以平面平面， 所以平面 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理得到平面平面，再利用面面平行的性质即可得到平面； （2）以为坐标原点，，，正方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可； （3）求出平面的法向量，利用空间向量求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：平面，； 则以为坐标原点，，，正方向为，，轴正方向，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 点到平面的距离； 【小问3详解】 由（2）知：平面的一个法向量； ，， 设平面的法向量， ，令，得，， 平面的一个法向量是 设二面角为，由图知为锐角 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福清西山学校高中部10月阶段检测高二数学试题 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 2. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若圆的圆心为，且与轴相切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 空间直线l经过点，且直线l的方向向量为，则点到直线l的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱柱中，D是BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与直线互相平行，且两者之间的距离是，则等于 A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 8. 如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知空间向量，则（ ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 10. 过点且与直线平行的直线与轴、轴分别交于两点，则下列结论正确的是（    ） A. 直线的方程为 B. C. 原点到直线的距离为 D. 线段的中点在直线上 11. 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 点到直线距离的最小值为 三、填空题 12. 已知是直线的一个方向向量，则直线的斜率为_________. 13. 求经过直线和的交点，且平行于直线的直线为_______. 14. 如图，直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为________. 四、解答题 15. 已知空间向量，． （1）若，求x； （2）设，，求； 16. 根据下列条件，求圆的标准方程． （1）圆心在，且过点； （2）圆心在直线：上，且过和点． 17. 如图，在长方体中，，E是边上的点，F是边上的点，． （1）求证: 平面； （2）求到平面的距离． 18. 已知的三个顶点坐标分别为、、． （1）求的边上的高所在的直线方程． （2）求的面积． 19. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，，，分别是线段，，，的中点，在平面内的射影为． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $