精品解析：江苏常州市第一中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

常州市第一中学高一数学月考卷 2026.10 一、单选题（本大题共有8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的并、补运算求结果即可. 【详解】由，则，故. 故选：A 2. 设，，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】，又，则，即，充分性成立， 若，取特殊值，此时，代入得， 不满足，必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 3. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数，使 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数，使 【答案】B 【解析】 【分析】判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案. 【详解】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题； 对选项B：是存在量词命题，当时， 成立，所以B正确； 对选项C：，故C为假命题； 对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题. 故选：B 4. 已知，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意知，方程有实数根，解出即可． 【详解】，方程有实数根，，解得.故选B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程有解的条件应用． 5. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D. 6. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将表达式中的“2”进行替换，将分式化为齐次式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，则的最大值为． 故选：D． 7. 关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式的解集是，即对于，恒成立，即，分和两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：不等式的解集是， 即对于，恒成立， 即， 当时，， 当时，， 因为， 所以， 综上所述. 故选：A. 8. 若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】先确定出的子集，然后根据集合中元素个数分类讨论，由此可求结果. 【详解】的所有子集有：； （1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，共组； （2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； 综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若，，则下面四个不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质直接推导可判断ABC；先将等价变形，然后由不等式性质推导可判断D. 【详解】由可得，所以∴，故A正确； 由可得，所以，即，∴，故B不正确； 因为，，所以，，所以，∴，故C正确； 由题可知 由于， 由上可知，，所以，所以，故D正确； 故选：ACD． 10. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，且，则实数为或 B. 当时，的最小值是 C. 不等式解集为或 D. 命题“”的否定是 【答案】ACD 【解析】 【详解】对选项A：∵ ，∴ 或 ， 解得 或 或 . 根据集合元素的互异性， 若 ，则 ，元素重复，舍去； 若 ，则 ，元素重复，舍去； 若 ，则 ，满足互异性，故 ，选项A错误. 对选项B：∵ ，∴ ， 则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为，选项B正确. 对选项C：不等式 等价于 ， 解得 或 ，选项C中将 纳入解集，忽略分母不为的要求，错误. 对选项D：全称命题的否定为特称命题，仅否定结论，不改变量词的限定范围， 故命题“”的否定为“”， 选项D中错误修改了限定范围为 ，错误. 11. 正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.利用已知条件消元换元，将双变量乘积式转化为单变量二次函数，借助二次函数对称轴求最值并验证取值合法性；B.代入条件统一变量，化简多项式为单变量二次函数，根据二次函数最值性质求解最小值；C.换元统一变量，对根式和整体平方变形，得到是上确界，取不到；D.对复杂分式拆分变形，结合定值条件构造齐次式，利用基本不等式求最值并严格验证取等条件. 【详解】依题意，得，所以，，得， A 选项，，令， 则，开口向下的二次函数，对称轴， 当时，，此时，满足条件，故A 正确； B 选项，因为，所以， 令，，开口向上的二次函数，对称轴， 当时，，此时，故 B 正确； C 选项，由，得，则， 令， 平方得， 设，， 因为，所以，故， 故，所以是上确界，不是可取到的最大值，故C 错误； D 选项，， ， 所以， 因为，所以， 记，则， 则， 由基本不等式得，当且仅当 ， 即即时取等号， 此时，得，， 满足， 即的最小值为，故D 正确. 三．填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，则集合A可用列举法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原方程变形为关于的表达式，结合为自然数的约束确定y的所有可取的值，逐一计算得到的全部符合条件的取值即可. 【详解】由可得，其中， 由于x是自然数，因此，即，结合y是自然数，可得y的可能取值为， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 因此集合A的所有元素为0,4,8，即. 13. 已知，．若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先解绝对值不等式得到集合，再根据必要不充分条件对应是的真子集，分为空集和非空集两类求解的范围后取并集. 【详解】绝对值不等式，等价于：  ，解得：  ，因此， 由“是的必要不充分条件”，可得 （即是的真子集），分两种情况讨论： 当时，满足 ，此时区间左端点大于右端点：  ，解得， 当时，需同时满足，三者取交集得， 综上所述，即的取值范围为. 14. 正实数，满足，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可. 【详解】依题意，因为， 所以， 所以， 即 ， 当且仅当，即,故取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可. 四．解答题（本小题共5小题，共77分，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设命题：，使得不等式恒成立；命题：，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分离参数，讨论函数的最值即可得到参数的范围；（2）命题有且只有一个是真命题转化为“命题为真命题，命题为假命题”或“命题为假命题，命题为真命题”，分类讨论即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为为真命题， 所以“，使得不等式恒成立” 即， 因为，当且仅当时取等号， 所以，解得. 【小问2详解】 若命题为真命题，则 对，不等式有解， 所以， 由一次函数单调性可知，， 所以，解得. 所以情况一：当命题为真命题，命题为假命题时， . 情况二：当命题为假命题，命题为真命题时， . 综上所述，实数的取值范围为. 16. 已知集合或，，． （1）若，求和； （2）若命题：，为假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） 或， （2） 或 【解析】 【分析】（1）代入求出集合，再根据并集、补集、交集定义运算； （2）特称命题为假，则，对集合分空集、非空两类讨论，列不等式求解. 【小问1详解】 当时，，集合或， 所以或， 因为， 所以； 【小问2详解】 因为为假，所以， ①若，则，解得； ②若，则，解得， 因为，所以，解得， 又，所以， 综上，实数的取值范围是或. 17. 某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆左侧离中心x厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据监测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用.已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.065. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值. 【答案】（1）y= （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，当时，，代入上式，得，可得表达式． （2）化简函数y，利用基本不等式求解最小值即可. 【小问1详解】 由题意得， 由时，，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为. 18. 已知二次函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解法分类讨论求解即可； （2）根据一元二次不等式解法结合题意分类讨论求解即可； （3）由题意参变分离可得对恒成立，换元令，可得，利用基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为， 综上：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 19. 已知有限集，若A中的元素满足，则称A为“完美集”．例如，集合的元素满足，故为“完美集”． （1）已知是“完美集”，求的值； （2）若是“完美集”，且，，求的取值范围； （3）记为集合A中元素的个数．若集合A是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值． 【答案】（1）； （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）利用“完美集”的定义，列方程求解即可； （2）利用“完美集”的定义，结合基本不等式求解即可； （3）利用分类讨论思想，把方程问题转化为不等式问题进行变形讨论研究即可得解. 【小问1详解】 由是“完美集”可得：，解得：； 【小问2详解】 是“完美集”，且，，则， 故，即得，当且仅当时取等号， 故的取值范围是. 【小问3详解】 不妨设中的元素为满足的正整数， 结合得，， 即，再由于， 所以当时，有，由于是正整数，则， 再由“完美集”定义得：，显然无解，即当时，不存在“完美集”； 当时，结合上面结论可得：，又由于是不相等正整数，则只有， 再由“完美集”定义得：，解得，即当时，仅存在一个“完美集”为； 当时，由且这些元素都是正整数又可得： ，即有， 因为，由于， 所以，即， 这与相矛盾，所以当时，不存在“完美集”； 综合上述可得：每一个元素都为正整数的“完美集”仅有一个， 所以的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市第一中学高一数学月考卷 2026.10 一、单选题（本大题共有8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数，使 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数，使 4. 已知，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 若，，则下面四个不等式成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，且，则实数为或 B. 当时，的最小值是 C. 不等式解集为或 D. 命题“”的否定是 11. 正实数，满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三．填空题（本小题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，则集合A可用列举法表示为________． 13. 已知，．若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围为________． 14. 正实数，满足，则的最小值为___________． 四．解答题（本小题共5小题，共77分，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设命题：，使得不等式恒成立；命题：，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知集合或，，． （1）若，求和； （2）若命题：，为假命题，求实数的取值范围． 17. 某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆左侧离中心x厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据监测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用.已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.065. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值. 18. 已知二次函数． （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立．求实数的取值范围． 19. 已知有限集，若A中的元素满足，则称A为“完美集”．例如，集合的元素满足，故为“完美集”． （1）已知是“完美集”，求的值； （2）若是“完美集”，且，，求的取值范围； （3）记为集合A中元素的个数．若集合A是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $