精品解析：福建泉州市石狮市石光中学2026-2027学年高一上学期10月阶段考试数学试卷

石光中学2026级高一年上学期阶段考试卷（数学科） 考试时间长度：120分钟　　总分：150分　　命题人：邱尚程　林蔓　蔡佳杏 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 2. 方程组的解构成的集合是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出二元一次方程组的解，然后用集合表示出来. 【详解】∵ ∴ ∴方程组的解构成的集合是{（1，1）} 故选C． 【点睛】本题考查集合的表示法：注意集合的元素是点时，一定要以数对形式写． 3. 下列四个函数中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两个函数表示同一函数，必须定义域相同、对应关系也相同，逐项看定义域． 【详解】A项，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数； B项，，定义域为，与相同，是同一函数； C项，，对应关系不同，不是同一函数； D项，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数． 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和值域求得集合，再逐一判断各选项即可. 【详解】由有意义，可得，即， 由，可得， 故，故A错误；B正确； ，故C错误； 显然不是集合的子集，故D错误. 故选：B. 5. 如图是函数的图象，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先从函数图象读取内层自变量对应的函数值，再判断该函数值所属区间，利用对应区间上直线的两点求出解析式，继续代入求值，最终得到复合函数结果. 【详解】由图象知， 当时，图象是过，的线段， 设该段的解析式为，， 则，解得， 所以，， 于是， 即. 6. 函数 A. 有最小值，无最大值 B. 有最大值，无最小值 C. 有最小值，有最大值2 D. 无最小值，也无最大值 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法得到，则，将该式代入函数中，得，根据配方法求得最值即可． 【详解】设，则，则，整理之后可得，，当时，，无最大值，故选A 【点睛】本题考查换元法、配方法求函数最值，使用换元法时需注意新设的的取值范围 7. 若命题：“存在，使得”为假命题，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】命题为假等价于对任意都有，参变分离可得对恒成立，结合基本不等式求最值即可. 【详解】因为命题为假命题，所以对任意，恒成立， 即对恒成立． 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以的最大值为． 8. 已知集合，，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由得且，用韦达定理把、用一个参数表示，再由分类讨论． 【详解】由得且， 由得，即；由得． 设的另一元素为，则，，即，，代入得． 此时中的方程为，即， 分解得，所以的元素为和． 由且，可知中的元素必属于， 因为，所以，即，得或． 当时，，，； 当时，，，． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合是同一个集合 D. 已知命题；命题，则和都是真命题 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，表示空集，不含任何元素，而是一个包含了一个元素的集合， 两者不是同一个集合，故A错误； 对于B，表示的元素一定属于，表示全集中不在中的元素构成的集合， 则也表明的元素一定属于，因此，故B正确； 对于C，：自变量是的取值，，该集合是， ：函数值的取值，集合是，故C错误； 对于D，对于命题，取，发现是假命题，则是真命题； 对于命题，取时成立，则是真命题，故D正确； 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数的单调递增区间为 D. 若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数解析式代值计算即可判断A；根据分段函数解析式，分别求得值域，求并集即可判断B；画出函数图象即可判断CD． 【详解】A选项，，A选项正确； B选项，当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以函数的值域为，B选项正确； C选项，由图象可知，函数的单调递增区间为，所以C选项错误； D选项，由图可知，若有三个不等实根，则直线与图象有三个不同交点，由数形结合得，当时符合，故D选项正确． 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 即，得到，解得．故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为8，故C正确， 对于D，因为恒成立，且，， 所以恒成立，而 ， 令，则可化为， 令，则， 化简得， 而该一元二次方程一定有实数根，得到， 解得，当时，， 故，故即， 得到，则的最小值为，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合.若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由得，求出并验证. 【详解】因为，所以，解得或， 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，不符合题意. 故的值为. 故答案为：. 13. 已知，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】设，整理得， 则，解得， 因此． 由，不等式两边同乘，得； 由，不等式两边同乘，得. 两个不等式同向相加得，即， 故的取值范围是． 14. 设函数的定义域和值域都是，则________. 【答案】1或 【解析】 【分析】易得，然后再分别讨论，，三种情况即可求解． 【详解】因为是偶函数且，易得， （1）当时， 即，解得，即； （2）当时，此时值域，所以此时，此时，且，即，解得，所以； （3）当时，即 解得，此时不符合题意舍去； 综上所述：或者． 故答案为：1或． 【点睛】此题考查二次函数定义域和值域结合问题，分情况讨论每个区间上的情况，属于较难题目． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）若，求和； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），或； （2）． 【解析】 【分析】（1）将代入求出集合，再根据交集、补集、并集的定义运算； （2）由可得，分与两种情况讨论，列不等式求解参数范围． 【小问1详解】 当时，集合， 又，所以，或， 故或． 【小问2详解】 因为，所以． 当时，，解得，符合题意； 当时，需，即，且，解得， 所以． 综上，的取值范围为． 16. 已知命题，，命题，. （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意命题为真命题，即在时恒成立，可求实数的取值范围； （2）由为真命题的条件求的范围，结合为真命题时的范围，可求实数的取值范围. 【小问1详解】 命题为假命题，则命题为真命题，即在时恒成立， 所以，即实数的取值范围是. 【小问2详解】 命题，， 为真命题，则，解得， 又由（1）可知，命题为真命题时，， 所以命题和均为真命题，实数的取值范围为. 17. 若函数满足 （1）求的解析式； （2）若在区间[－1，1]上不等式有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将换成，即可得到关于与的方程组，解得即可； （2）依题意在上有解，令，根据二次函数的性质求出在上的最大值，即可求出参数的取值范围； 【小问1详解】 解：因为， 所以 联立方程组 ∴. 【小问2详解】 解：由题意：在有解，即在上有解. 令，其对称轴为， ∴在区间上是减函数， ∴， ∴. 18. 建造一个容积为、深为的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为元和元． （1）求总造价（单位：元）关于底边一边长（单位：）的函数解析式，并指出函数的定义域； （2）如果要求总造价不超过元，求的取值范围； （3）求总造价的最小值． 【答案】（1）；（2）时，总造价不超过元；（3），总造价最小为1760元． 【解析】 【分析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式； （2）解不等式可得； （3）由函数单调性可得最小值． 【详解】（1）底边一边长，另一边长为， ∴， ∴； （2），解得； 时，总造价不超过元； （3）记，设，则， ∴，即，递减，同理时，递增， 所以函数在上递减，在上递增， ∴时，． ∴，总造价最小为1760元． 【点睛】本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值． 19. 已知函数，且满足. （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）设函数，若在上有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得关于的方程恰有4个不同 的正根，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上为增函数；证明见解析；（2）；（3）. 【解析】 【分析】(1)由与可得,再判断函数在上的单调性即可. (2)根据(1)中的单调性,再求解在上的单调性,再根据函数性质进行范围分析即可. (3)将方程化简为,利用复合函数零点的方法,先分析关于的二次函数的根的问题,再根据零点存在性定理列式求不等式即可. 【详解】（1）由，得或0. 因为，所以，所以. 当时，，任取，且， 则 ， 因为，则，， 所以在上为增函数； （2）由（1）可知，在上为增函数,当时， 同理可得在上为减函数，当时，. 所以； （3）方程可化为， 即. 设,方程可化为. 要使原方程有4个不同的正根， 则方程在有两个不等的根， 则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题以及函数值范围的问题,同时也考查了复合函数零点问题以及零点存在性定理,属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石光中学2026级高一年上学期阶段考试卷（数学科） 考试时间长度：120分钟　　总分：150分　　命题人：邱尚程　林蔓　蔡佳杏 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 方程组的解构成的集合是 A. B. C. D. 3. 下列四个函数中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图是函数的图象，的值为（ ） A. B. C. D. 6. 函数 A. 有最小值，无最大值 B. 有最大值，无最小值 C. 有最小值，有最大值2 D. 无最小值，也无最大值 7. 若命题：“存在，使得”为假命题，则实数的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合是同一个集合 D. 已知命题；命题，则和都是真命题 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数的单调递增区间为 D. 若方程有三个不等实根，则实数t的取值范围是 11. 已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为1 C. 若，则的最小值为8 D. 若恒成立，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合.若，则______. 13. 已知，，则的取值范围是______． 14. 设函数的定义域和值域都是，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）若，求和； （2）若，求的取值范围． 16. 已知命题，，命题，. （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 17. 若函数满足 （1）求的解析式； （2）若在区间[－1，1]上不等式有解，求实数m的取值范围. 18. 建造一个容积为、深为的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为元和元． （1）求总造价（单位：元）关于底边一边长（单位：）的函数解析式，并指出函数的定义域； （2）如果要求总造价不超过元，求的取值范围； （3）求总造价的最小值． 19. 已知函数，且满足. （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （2）设函数，若在上有两个不同的零点，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得关于的方程恰有4个不同 的正根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $