天津市第二南开学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

策马扬鞭数学练习二 考试时间：100分钟 满分：120分 一．单选题（每题3分，共36分） 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象上最低点的坐标是（ ） A． B． C． D． 3．下列关于的方程中，一定有实数根的是（ ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A． B． C． D． 5．若，是方程的两个根，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ） A． B． C． D． 7．将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（ ） A． B． C． D． 8．如果三点、、在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A． B． C．或 D．或 10．如图，在边长为的正方形中，动点从点出发沿的方向以的速度运动；同时，动点从点出发沿的方向以的速度运动．当点到达点时，点，同时停止运动．设的面积为，运动时间为，下列能大致反映与之间函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 11．如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法： ①； ②； ③当时，随的增大而减小； ④（为任意实数）． 其中正确的个数有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 12．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（ ） A． B． C． D． 二．填空题（每题3分，共18分） 13．若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是________． 14．已知抛物线，图象的开口向________，顶点坐标为________，当________时，随的增大而减小． 15．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球运动时间（秒）之间的函数关系式是，则小球运动到的最大高度为________米． 16．在函数中，当时，随的增大而增大，则的取值范围是________． 17．如图，平行于轴的直线分别交函数与的图象于、两点，过点作轴的平行线交的图象于点，直线，交的图象于点，则________． 18．抛物线经过，两点． （1）则抛物线的解析式________________________________； （2）如图，设抛物线的顶点为，直线与轴交于点，与直线交于点．现将抛物线平移，保持顶点在直线上．若平移后抛物线与射线（含端点）只有一个公共点，则它的顶点横坐标的取值范围是___________________________． 三．解答题（共7道大题，共66分） 19．（8分）解方程． （1） （2） 20．（8分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若此方程的两根分别为、，且，求的值． 21．（10分）二次函数（，，为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … … … … （1）该二次函数解析式为________，________，________； （2）请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）根据图象直接回答下列问题： ①当________时，有最________值（填“大”或“小”），该最值是________； ②若该二次函数图象上有两点和，比较和的大小，其结果是：________（填，或）； ③当时，的值为________； ④当时，则的取值范围是________． 22．（10分）点，都在二次函数的图象上，且，若该二次函数的图象经过点，则 （1）________，该二次函数的表达式为________________________；将该二次函数的表达式化为顶点式是________； （2）该二次函数的图象的对称轴为________，顶点坐标为________； （3）若，则________；（填“”“”或“”） （4）若，求点的坐标； 23．（10分）用一条长的绳子围成一个矩形： （1）若围成的矩形面积为，求该矩形的长和宽． （2）能围成一个面积为的矩形吗？若能，求出它的长和宽；若不能，请求出能围成矩形的最大面积． 24．（10分）某商家以每盒元的价格购进一批盒装草莓，经市场调查发现：在一段时间内，草莓的日销售量（盒）与每盒售价（元）满足一次函数关系，其图象如下图所示： （1）求关于的函数关系式； （2）根据市场的定价规则，草莓的售价每盒不得高于元，当售价定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动，顾客每购买一盒草莓可以获得元的现金奖励，商家想在日销售量不少于盒的基础上，使日销售最大利润为元，求此时的值． 25．（10分）已知抛物线（，为常数，）与轴交于点，顶点为，且过点． （1）求抛物线解析式和点，的坐标； （2）点在该抛物线上（与点，不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②连接，当时，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $