13.2.2三角形的中线、角平分线、高 同步练习 2026--2027学年人教版八年级数学上册

13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 一、单选题 1．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，在中，为中线，则与的周长之差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在中，过点的线段交边于点，若与的面积相等，则线段是的（   ） A．高 B．垂线 C．角平分线 D．中线 5．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 6．如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 7．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 9．如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 10．如图，E是梯形下底的中点，且，则图中与阴影部分面积相等的三角形共有（    ）    A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 二、填空题 11．如图所示，在中，，，，，则边上的高的长为__________． 12．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积为______． 13．已知点，在轴上存在一点，使的面积为6，则点的坐标为______． 14．如图1，非遗传承人在制作三角形扎染布料时，用一根细绳从质地均匀的三角形布料上的点O处穿过，并将其悬挂起来，观察发现布料正好保持水平．如图2，取下布料后测得的面积为5，则的面积为_____． 15．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 三、解答题 16．如图，已知中，，．    (1)画边上的中线，并求长； (2)画边上的高，若，求的面积． 17．综合与实践 【主题】悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线相反方向竖直向下的重力的作用线； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点即为硬纸板的重心． 【实践探索】 (1)根据实践操作步骤，画出题图2中不规则形状硬纸板的重心； (2)我们在八年级学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，如图3，在中，、、分别是的三条中线，点是的重心； ①若的面积是6，则的面积是____________； ②通过测量，发现三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍，请用你所学的数学知识进行证明． 18．如图，在中，，，D为垂足． (1)求证：； (2)若，求的值 19．如图，，分别是的高，，，，求的长． 20．中，，，若的中线把的周长分成两部分的比是，求边，的长． 21．如图，的边上的高为，中线为边上的高为，已知． (1)求的面积； (2)求的长． 22．如图，在中，，，都是的高，且，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《13.2.2 三角形的中线、角平分线、高》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D B A B C A A 1．D 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项符合题意． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了三角形中线的有关计算，掌握三角形中线的定义是关键． 根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解． 【详解】解：的周长为， ∴， ∵是边上的中线， ∴，则， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为， 故选：A ． 3．C 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，先根据中线的定义得，再表示周长，即可得出答案． 【详解】∵是的中线， ∴． ∴与的周长之差是． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了三角形中的线段，三角形中线的性质，当线段将分为面积相等的和时，必为的中点，此时为中线． 【详解】解：与的面积相等，则线段是的中线， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 【详解】解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查三角形的面积、中线，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”得到阴影部分的面积与的面积的数量关系，从而求出的面积． 【详解】解：如图，点F是的中点， ∴的底是，的底是，即，而高相等， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即阴影部分的面积为． 故选：B． 8．C 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、中，是上的高，不是上的高，故本选项说法错误，符合题意； B、中，是上的高，说法正确，不符合题意； C、中，是上的高，说法正确，不符合题意；     D、中，是上的高，说法正确，不符合题意； 故选：A． 10．A 【分析】本题考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积问题，平行线间的距离，等底等高的两个三角形面积相等，证明四边形和四边形均为平行四边形，根据平行四边形的对角线，将平行四边形分得的两个三角形面积相等解答即可．特别是平行四边形的对角线，将平行四边形分得的两个三角形面积相等是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形是梯形， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴图中与阴影部分面积相等的三角形共有共6个， 故选：A． 11． 【分析】利用三角形的等面积法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高，熟练掌握等面积法求三角形的高是解题的关键． 12． 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键．根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，，进而可得，然后根据三角形中线的性质可得答案． 【详解】解：∵为中点，， ∴， 同理， ∴， ∵为中点， ∴． 故答案为：． 13．或 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，熟练掌握坐标与图形性质是解题的关键． 设点，根据题意可得，再由的面积为6，可得，即可求解． 【详解】解：设点， ∵， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：或4， ∴点C的坐标为或 故答案为：或 14．10 【分析】此题主要考查了三角形重心的定义，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键． 依题意得点O是的重心，则，，，根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，，由，得，进而得，再由，得，由此得，据此即可得出的面积． 【详解】解：依题意得：点O是的重心， ∴，，均为的中线， ∴，，， 根据等底同高的两个三角形的面积相等得：，设，，，， ∵，， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 15．/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．(1) 如图所示， (2)边上的高如图所示； 【分析】本题考查了线段中点和三角形面积的计算，熟练掌握三角形面积计算公式是解题的关键 （1）把线段分为两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点，根据是边上的中线即可求出； （2）是边的高，根据三角形面积=底高即可得到答案． 【详解】（1）解：是边上的中线，， 点D是线段的中点， ； （2）是边的高， ， ． 17．(1)如图所示，重心即为所求： (2)①2； ②证明： ∵、、是的中线， ∴、，， 、、 同理可证 被三条中线分成六个面积相等的小三角形 令到的高为 ， ∴三角形重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍． 【分析】本题考查了重心的概念、根据三角形中线求面积、三角形中位线定理、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）延长交于点，则重心即为所求； （2）①根据三角形中线的性质推出，，得到，即可求解； ②根据、、是的中线，可证明、、，通过等面积法可得，再次利用等面积法进行证明即可． 【详解】（1）略 （2）①解：∵、、分别是的三条中线， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； 故答案为：2； ②略 18．(1) 证明：在中，， ， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、同角的余角相等及根据三角形面积求高，解题的关键是灵活运用上述知识进行推理论证． （1）利用同角的余角相等即可证明； （2）根据三角形面积的不同表示方法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ． 19． 【分析】本题考查的是等面积法的应用，由等面积法可得，再进一步计算即可. 【详解】解：，分别是的高， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴． 20．，或， 【分析】此题主要考查了三角形的中线，解题的关键是掌握三角形中线的定义，并注意分类讨论．首先设，，则，根据的中线把的周长分成两部分的比是可得①；②，分两种情况进行计算即可． 【详解】解：如图：    利用，设，， ∵， ∴， ∵的中线把的周长分成两部分的比是， 则①当时， 由题意得：， 解得：， 则，； ②当时， 由题意得：， 解得：， 则，， 答：，或，． 21．(1)60 (2)24 【分析】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，熟练掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键： （1）求出的面积，再根据三角形的中线平分面积求出的面积； （2）利用面积公式求出的长即可． 【详解】（1）解：∵的边上的高为， ∴， ∵为的中线， ∴； （2）解：∵为的高， ∴， ∴． 22．12 【分析】本题考查了三角形面积公式的应用，熟练掌握三角形面积公式是解决本题的关键． 根据三角形面积公式，当是高，是底时，，当是高，是底时，，由此可求解． 【详解】解：当是高，是底时，的面积为， 当是高，是底时，也可表示为， ∴． 把，，代入上式， 可得，解得． ∴的长为12． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $