精品解析：天津市实验中学西青学校2026-2027学年高一上学期10月阶段练习数学试卷

实验中学西青学校2026-2027学年第一学期10月阶段练习 高一年级数学学科 （时长100分钟 满分120分） 一、单选题：（本题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列各式中：①；②；③；④，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对①：是不含任何元素的集合，是含有个元素的单元素集合，二者不相等，故①错误；  对②：由空集的基本性质可知，空集是任意集合的子集，因此成立，故②正确； 对③：集合为数集，元素为两个实数、；集合为点集，唯一元素是有序实数对， 二者元素类型、个数均不相同，不满足集合相等的条件，故③错误； 对④：是元素，是包含元素的集合，正确关系为，故④错误； 综上，正确的式子仅有个. 2. 已知全集，集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交运算及补集运算即可求解. 【详解】由于集合，， 故 ， 所以. 3. 已知表示集合和关系的图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】阴影部分对应的集合为，， 又，所以，共有个元素. 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果. 【详解】由题意知，该命题的否定为，. 5. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可判断. 【详解】∵，∴，∴； 又∵，当时，， ∴是的充分不必要条件. 故选：A. 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】作差法判断A；利用不等式性质判断BC，对D选项取特殊值验证即可. 【详解】对于A，因为，所以， 得，错误； 对于B，由，得，， 由同向不等式的可加性得，即，故B错误； 对于C，因为，，所以，， 在两边同时乘以，得，即，故C正确； 对于D，取，满足，此时，故D错误. 7. 已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知或，， 要使得，则集合的区间必须包含，故. 8. 已知命题，，如果命题p的否定是真命题，那么a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题p的否定：，，为真命题， 若，则不恒成立； 若，则，得， 故a的范围是 9. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知集合，集合，若，则实数等于______． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，集合，且，所以，解得. 11. 若，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】设，则， 所以，解得，即. 因为，所以，由，可得. 所以， 所以，即的取值范围为. 12. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】关于的不等式的解集为空集， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 13. 已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】若“”是“”的充分条件，等价于是的子集，列不等式组即可求解. 【详解】“”是“”的充分条件，所以， 因为，， 所以，解得，即 所以的取值范围是. 14. 若集合中至多有一个元素，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据讨论方程解的情况，即得结果. 【详解】 当时，方程为一元一次方程，解得，此时，满足集合至多有一个元素的条件； 当时，方程为一元二次方程，集合至多有一个元素等价于该方程无实根或有两个相等的实根， 即判别式，而， 令，解得， 综上，的取值范围是. 15. 给出下列四个命题 ①若，则； ②，的非空真子集的个数为； ③已知,则是的必要不充分条件； ④满足为的真子集且条件的集合的个数为个. 其中真命题为______． 【答案】①④ 【解析】 【详解】对于①，因为，且，所以，故，①对； 对于②，因为集合，所以的非空真子集的个数为，②错； 对于③，若，则，可得，即“”“”， 若，则，可得，即“”“”， 所以，“”是“”的充要条件，③错； 对于④，满足为的真子集且条件的集合可以是、、， 故满足条件的集合的个数为，④对. 三、解答题：（本题共5小题，共0分） 16. 已知，， （1）求 （2）求 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】先求出集合，根据集合的交、并运算定义求解即可. 【小问1详解】 因为，， 故. 【小问2详解】 由（1），得，， 故. 17. 设. （1）当时，比较的大小； （2）当时，比较的大小. 【答案】（1） （2）①当时，，则； ②当时，，则； ③当时，，则. 【解析】 【分析】（1）利用作差法比较的大小；（2），再对分类讨论得解. 【详解】（1）当时，， 则， 所以. （2）， ①当时，，则； ②当时，，则； ③当时，，则. 【点睛】本题主要考查比较实数大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18. 已知关于x的不等式． （1）当，时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为或，求a，b的值． 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【小问1详解】 当，时，可化为， 解得或， 故不等式的解集为或； 【小问2详解】 由题意可得，且是方程的两根， 则，，得. 19. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为． （1）若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小； （2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由已知得，篱笆总长为，利用基本不等式即可求出最小值；（2）根据条件得，然后令，展开化简，利用基本不等式即可求出最小值. 【小问1详解】 由已知可得，篱笆总长为． 又因为，当且仅当，即时等号成立． 所以当时，可使所用篱笆总长最小． 【小问2详解】 由已知得， 又因为， 所以，当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值是． 20. 已知集合，集合． （1）若集合不为空集且，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由并集条件转化为子集关系，结合为非空集合，列出不等式组求解； （2）先写出的补集，命题为真等价于集合与无交集，分为空集和非空集合两类讨论，最后取并集得到的取值范围． 【小问1详解】 由，得， 因为集合不为空集，所以， 解得，即， 所以实数的取值范围为； 【小问2详解】 由，得或， 由命题“，”是真命题，得， ①当时，满足， 此时，解得， 所以， ②当时，即， 由，得或，解得或， 所以， 综上，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学西青学校2026-2027学年第一学期10月阶段练习 高一年级数学学科 （时长100分钟 满分120分） 一、单选题：（本题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列各式中：①；②；③；④，正确的个数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知表示集合和关系的图如图所示，则阴影部分表示的集合的元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 7. 已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知命题，，如果命题p的否定是真命题，那么a的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 已知集合，集合，若，则实数等于______． 11. 若，，则的取值范围为______． 12. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 13. 已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数m的取值范围为______． 14. 若集合中至多有一个元素，则a的取值范围是______． 15. 给出下列四个命题 ①若，则； ②，的非空真子集的个数为； ③已知,则是的必要不充分条件； ④满足为的真子集且条件的集合的个数为个. 其中真命题为______． 三、解答题：（本题共5小题，共0分） 16. 已知，， （1）求 （2）求 17. 设. （1）当时，比较的大小； （2）当时，比较的大小. 18. 已知关于x的不等式． （1）当，时，求不等式的解集； （2）若不等式的解集为或，求a，b的值． 19. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为． （1）若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小； （2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值． 20. 已知集合，集合． （1）若集合不为空集且，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $