《第四章一元一次方程整理与提升（单元小结）》提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年苏科版七年级数学上提优宝典 《第四章一元一次方程整理与提升（单元小结）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.精准掌握方程、一元一次方程的定义与标准形式，理解等式两条基本性质，能区分整式方程与非整式方程，建立方程模型概念。 2.熟练掌握解方程五步流程，能依据等式性质推理每一步变形依据，能从复杂文字情境中提炼不变量、等量关系，完成建模推理。 3.规范完成去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1全套运算，规避符号、漏乘、漏项、分母处理等计算漏洞，提升解方程准确率。 4.熟练解决和差倍分、行程、工程、销售利润、配套调配、分段计费 㩐 必考实际模型，掌握直接设元、间接设元技巧，能检验结果实际合理性。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.一元一次方程的定义辨析、方程解的判定。 2.等式的基本性质及方程变形的正确应用。 3.解一元一次方程完整五步解法，规范运算格式。 4.列方程解应用题六步解题规范（审、设、列、解、验、答）。 5.六大核心应用模型：和差倍分、行程、工程、销售、配套、分段计费。 （二）难点 1.含参数一元一次方程：利用定义求字母参数取值（易错：系数不为0条件）。 2.解方程复杂易错点：去分母漏乘整数项、分子多项式漏括号、移项不变号。 3.复杂情境隐藏等量关系挖掘（变化前后相等、总量不变、差值不变）。 4.区分直接设元与间接设元，解决多未知量、多阶段综合应用题。 5.应用题实际意义检验：人数、物品数、时间必须为正整数。 ) 三．知识精析 模块一 等式与方程基础概念 （一）等式的概念 1.定义：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。例如：3+2=5、2x+1=5、a+b=b+a 都是等式。 2.等式可以分为三类： （1）恒等式：无论字母取何值，等式都成立（如a+b=b+a） （2）条件等式：只有字母取特定值时，等式才成立（如2x+1=5） （3）矛盾等式：无论字母取何值，等式都不成立（如x+1=x-1） 3.等式的性质 （1）等式的性质1 等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 符号表示：若a=b，则a±c=b±c。 （2）等式的性质2 等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式。 符号表示：若a=b，则ac = bc；若a=b且c≠0，则=。 （3）等式的对称性 若a=b，则b=a（例如：由x=3可得3=x）。 （4）等式的传递性 若a=b且b=c，则a=c（例如：由x=y，y=5可得x=5）。 （二）方程的概念 1.定义：含有未知数的等式叫做方程。 2.两个关键要素： （1）是等式（有“=”连接）； （2）含有未知数（字母，如x,y等）。示例：2x+1=5、3y=2y+5都是方程；而3+2=5是等式但不是方程（无未知数），2x+3不是等式也不是方程。 3.方程的解与解方程 （1）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数）。 （2）解方程：求出方程解的过程（是一个运算过程）。 （3）标准检验步骤 ①．把数值分别代入方程左边、右边； ②．分别计算结果； ③．若左边=右边，则是方程的解，反之不是。 4.列程基本步骤 （1）审题：找出题目已知量、未知量； （2）设元：一般直接设所求量为x； （3）找等量：抓住“相等、和、差、倍、比”关键词； （4）列式：根据等量关系列出方程。 （三）三类式子的区别（必考辨析） （1）代数式：不含等号、不等号，只用运算符号连接数与字母，无相等关系。 （2）等式：含有“=”，表示左右两边数量相等。 （3）方程：同时满足两个条件：①是等式 ②含有未知数 【口诀】：有等有未知，才是方程 模块二 一元一次方程及其解法 （一）一元一次方程完整定义与标准形式 1.一元一次方程的定义及其理解 （1）定义：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1、等号两边均为整式的方程。 （2）三要素（缺一不可）： ①．整式方程 方程分母中不能含有未知数，未知数只能出现在分子、常数项、系数位置。反例：=2，分母有未知数y，属于分式方程，不是一元一次方程。 ②．一元（只含1个未知数） 整个方程只能出现一种字母（如只出现x，或只出现y），不能同时有x、y等多个字母。 反例：x+2y=1，同时含x、y两个未知数，是二元方程。 ③．一次（未知数最高次数为1） 未知数右上角不能写平方、立方等指数，未知数本身次数只能是1。 反例：x2=4，x次数为2，是一元二次方程。 （3）补充隐藏限制（易错点） ①．未知数系数不能为0，如：(m-2)x+5=0 是一元一次方程，则m-2≠0，即m≠2；若系数为0，式子变为常数等式，不再含未知数。 ②．不含绝对值、根号内带未知数，如：|x|+1=3、=2，不属于标准一元一次方程。 2.一元一次方程的标准形式 ax+b=0(a≠0)，其中：a是一次项系数，a≠0是核心前提；b为常数。 3.含参方程判定规则 若(m-2)x|m|-1+3=0是一元一次方程： ① 未知数次数：|m|-1=1 ② 一次项系数：m-2≠0 （二）一元一次方程的解法（五大核心步骤，必考规范） 1.去分母 （1）依据：等式性质2 （2）方法：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数 （3）核心要求： ① 不含分母的常数项必须同步乘，禁止漏乘； ② 分子是多项式时，整体添加括号。 2.去括号 （1）依据：乘法分配律、去括号法则 （2）规则：括号前是正号，去括号不变号；括号前是负号，括号内全部变号。 3.移项 （1）依据：等式性质1 （2）规则：移项必变号，不移项不变号； （3）常规操作：含未知数的项移左边，常数项移右边。 4.合并同类项 将左右两边同类项合并，化为最简形式：ax=b。 5.系数化为1 （1）依据：等式性质2 （2）方法：方程两边同时除以未知数系数a （3）注意：系数为负数时，结果符号跟随正确；除数、被除数不颠倒。 （三）两类提优重点题型 1.已知解求参数 将方程的解代入原方程，得到关于参数的新一元一次方程，解方程求出参数值。 例.（2026·连云港连云二模）若x=2是方程ax+4=10的解，则a=____。 2.同解方程问题 两个方程解相同：先解不含参数的方程，再将解代入含参数方程求参数。 例：关于x的方程与的解相同，则 ． 模块三 列一元一次方程解应用题 （一）列方程解应用题通用六步法（必考、中考规范） 1.审：审题 通读题干，区分已知量、未知量，梳理题目中的变化关系、不变量、对比关系，锁定唯一核心等量关系。 2.设：设未知数 （1）直接设元：求什么设什么（基础题首选） （2）间接设元：所求量复杂，设中间变量更简便（提优、压轴题常用） 【规范书写】：设……为x，带单位 3.列：列方程 根据等量关系，用含x的代数式表示所有相关数量，列出一元一次方程。 4.解：解方程 按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1步骤规范求解。 5.验：双重检验（提优核心） （1）代入方程检验是否为方程的解； （2）结合实际情境检验（人数、物品数、时间不能为负数、小数）。 6.答：规范作答 完整回应题目问题，带单位，语句通顺。 （二）解题核心思想：找等量关系 所有一元一次方程应用题只有三种底层模型： 1.总量模型：部分量 + 部分量 = 总量 2.差值模型：大量 − 小量 = 相差量 3.不变量模型：变化前数量 = 变化后数量（调配、倒水、增减变化高频） （三）常见应用题型核心公式 1.和差倍分问题 大数 = 小数×倍数 ± 差额 2.行程问题 路程 = 速度 × 时间 相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及：快路程 − 慢路程 = 初始距离 环形同地同向：路程差 = 一圈周长 3.工程问题 总工作量=1 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 合作效率 = 各效率之和 4.销售利润问题 利润 = 售价 − 进价 售价 = 标价 × 利润率 = × 100% （5）配套调配问题 根据配比：配套比例交叉相等（如2配3：3×甲总量=2×乙总量） （6）分段计费问题 总费用 = 第一段费用 + 第二段费用 + …… 核心：分界点分段计算，不跨段、不混算 （四）设元技巧（提优拔高） 1.题目问什么、最终求什么，优先直接设元； 2.出现“比、倍、占、增减、调配”复杂关系，优先间接设元； 3.多个未知量存在固定比例时，设一份为x。 A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025秋·盐城康居路初中月考）下列各式中，属于方程的是（ ） A.2x-5　 B.3+7=10　 C.2x+1=7　 D.3x-1>2 2.（2025秋·连云港期末）下列说法正确的是（ ） A.所有等式都是方程　 B.方程的解就是解方程 C.x=1是方程2x+1=3的解　 D.代数式是方程 3.（2026·泰州姜堰一模）根据等式性质，变形正确的是（ ） A.若a=b，则a+3=b-3 B.若a=b，则= C.若2a=3b，则a=b D.若a=b，则-4a=-4b 4.如图，已知相同形状的物体的质量是相等的，其中最左边的天平是平衡的，则右边三个天平中仍然平衡的是(     ) A.①②③ B.①③ C.①② D.②③ 5．已知是关于的一元一次方程，则的值为（  ） A． B． C． D．或 6.（2026泰州七年级阶段练习）解方程3(x-2)=12，去括号正确的是（ ） A.3x-2=12 B.3x-6=12 C.3x-2=36 D.3x-6=36 7．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 8．若a，b是有理数，关于x的方程有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程的解的情况是（   ） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 9.（2026·苏州吴中一模） 小明步行速度5km/h，先走0.5h，小亮骑车15km/h同路追赶，设小亮出发xh追上，方程正确的是（ ） A. 15x=5×0.5 B. 15x=5×0.5+5x C. 15x+5x=5×0.5 D. 15(x+0.5)=5x 10.（2024秋·盐城盐都期末） 计算程序：输入→减2→×4→+1，输出25，设输入x，方程是（ ） A. 4(x-2)+1=25 B. 4x-2+1=25 C. 4(x-2+1)=25 D. 4x-(2+1)=25 二．填空题（共30分） 11.（2025秋·盐城月考）已知x=3是方程2x+a=10的解，则a=_______。 12．若方程的解为，则k的值为 _______． 13．式子的值比的值大1，则x的值是__________． 14．对于有理数a，b规定运算：，则方程的解是_________． 15．对于两个非零有理数a、b， 规定，若， 则___________． 16．定义一种新运算：．若，则根据定义的运算求出的值为______． 17．关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为__________． 18.（2026·盐城亭湖二模） 甲单独处理数据18h完成，乙单独12h完成，甲先做8h，剩余甲乙合作xh，总工作量记为1，方程：________。 19．关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为__________． 20．为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民用水阶梯水价制度，每年水费计算方法为：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1820元，则该同学家这一年的用水量为__________． 某市居民用水阶梯水价表： 阶梯 户年用水量() 水价(元/) 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 三．解答题（共60分） 21．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．如图是一个计算程序，回答下列问题： (1)当时，请填写下列表格： 输入16 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 结果 8 4 … (2)当输入一个数x后，第1次得到的结果为6，则输入的这个数x的值是 ． 23. 已知关于x的方程x＋＝3＋的两个解是x1＝3，x2＝； 又已知关于x的方程x＋＝4＋的两个解是x1＝4，x2＝＝； 又已知关于x的方程x＋＝5＋的两个解是x1＝5，x2＝； …， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于x的方程x＋＝c＋的两个解是x1＝c，x2＝；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）.小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1) 关于x的方程x＋＝11＋的两个解是x1＝　　　　和x2＝　　　　； (2) 已知关于x的方程x＋＝12＋，则x的两个解是多少？ 24.（26-27七年级上·全国·单元测试）某手工社团承接校园文创礼盒的铁质包装盒制作任务． （1）1个包装盒由1个盒身和2个盒底组成，用1张铁皮可制作40个盒身或70个盒底．现有150张铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套？ （2）该社团接到一批包装盒加急订单，若由社团A小组单独完成需12天，B小组单独完成需18天．现在A，B两个小组一起制作4天后，剩下的任务由B小组单独完成，那么B小组还需要多少天才能完成全部订单？ 25.（25-26七年级上·广东揭阳·期末）某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． （1）求购进A，B两种玩偶各多少个？ （2）A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 26.（25-26七年级上·四川成都·期末）如图是2023年一月份的日历： （1）若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； （2）请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； （3）用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 27．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于x 的方程与是“和一方程”，求 m的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求 n 的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025秋·无锡惠山区期末）下列说法：①含有未知数的式子叫方程；②若ac=bc，则a=b；③x=0是方程；④一元一次方程只含一个未知数。正确的个数（ ） A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个 2.（2025泰州姜堰期末）若a+2b=b+4，利用等式性质，a+b的值是（ ） A.2　 B.4　 C.6　 D.8 3．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 5.（2026盐城七年级二模）解方程=1-，去分母正确的是（ ） A.4(2x-1)=1-3(x+2) B.4(2x-1)=12-3(x+2) C.4(2x-1)=12-3x+2 D.8x-1=12-3x-6 6.（2025泰州七年级月考）小明解方程3-(2x-5)=x，去括号得到3-2x-5=x，错误原因是（ ） A.漏乘系数 B.括号前负号，括号内第二项未变号 C.移项未变号 D.合并同类项错误 7.（2025秋·扬州邗江期末） 小明今年13岁，王老师45岁，设再过x年小明年龄是王老师的，方程是（ ） A. 13+x=×45 B. 13=(45+x) C. 13+x=(45+x) D. 3(13+x)=45 8.（2024秋·盐城盐都期末） 计算程序：输入→减2→×4→+1，输出25，设输入x，方程是（ ） A. 4(x-2)+1=25 B. 4x-2+1=25 C. 4(x-2+1)=25 D. 4x-(2+1)=25 9．下列方程的解法中，错误的个数是（   ） ①方程，移项，得； ②方程，去括号，得； ③方程去分母，得：； ④方程，系数化为1，得：． A．1 B．2 C．3 D．4 10．如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（  ） A．12 B． C．20 D． 二．填空题（共30分） 11.（2026泰州月考）在①2x=1；②3x-2；③5+7=12；④y-3=0；方程有________个。 12．已知，用S，h表示a，则 ． 13．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 14.（2025泰州期中）已知x=1是方程2ax+5=a-3的解，则a=________。 15．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 16.（2026·扬州邗江期末）配套生产：4个外壳配7个内芯，每名工人每天生产外壳8个或内芯14个，共45名工人，安排______人生产外壳刚好配套。 17.（2025秋·盐城阜宁期末）试卷共25题，答对得4分，不答0分，答错扣1分，小明一共得80分，其中3题未答，则答对______题。 18.（2026·南京浦口一模） 鸡兔同笼50头，140足，兔______只。 19．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 20．乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事．在圆柱形玻璃杯中已有定量的水，将大小相同的石子一个个慢慢投入其中．图①，②，③分别为投入2个，3个，10个石子后的水位情况，当投入10个石子时，水位恰好到达水杯的高度．若水位高度为，则此时杯中投入了___________个石子． 三．解答题（共60分） 21．检验括号中的数是否为方程的解． (1)（，）； (2)（，）． 22.（2025徐州新沂期末）解下列方程 (1) 9x+6=5x-10 (2)3(4x-2)=2(5x+3) (3)； (4)． 23．根据下图所示的程序回答问题：    (1)你认为输入的两个数a和b是什么关系时，其输出结果为0？________； (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是：________； (3)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，被墨水污染的那个数为：________． 24.（25-26六年级下·山东东营·期末）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． （1）小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 25.（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）探究与应用： 【问题背景】教材中提到，一元一次方程是解决实际问题的重要工具，生活中很多方案选择问题都可通过列方程求解． 【问题提出】某班级组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，租金为每辆240元．班级共有学生135人，教师5人，共140人． （1）若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，需要多少辆？ （2）若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，求甲、乙两种客车各租用多少辆？ （3）在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存在，请说明理由． 26．定义：关于x的方程与（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”．例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与（a为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______． (2)若关于x的方程（b为不等于0的常数）的解为，求b的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于x的方程（c为不等于0的常数）的解为，请直接写出它的“反对方程”的解． 27.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读并解决相应问题： 【问题发现】 在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为3，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于s，则称点P为点A、B的“s和点”，如图1，若点P表示的数为，有点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5和点” （1）填空：如图2，若点P表示的数为1，则s的值为 ． 【类比探究】类比探究 （2）若点Q为数轴上点A、B的“7和点”，求点Q对应的数； 【拓展延伸】 （3）若点P在数轴上运动（不与点A、B重合），满足点P到点A的距离等于点P到点B的距离的，且此时点P为点A、B的“s的和点”，求点P表示的数及s的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版七年级数学上提优宝典 《第四章一元一次方程整理与提升（单元小结）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.精准掌握方程、一元一次方程的定义与标准形式，理解等式两条基本性质，能区分整式方程与非整式方程，建立方程模型概念。 2.熟练掌握解方程五步流程，能依据等式性质推理每一步变形依据，能从复杂文字情境中提炼不变量、等量关系，完成建模推理。 3.规范完成去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1全套运算，规避符号、漏乘、漏项、分母处理等计算漏洞，提升解方程准确率。 4.熟练解决和差倍分、行程、工程、销售利润、配套调配、分段计费 㩐 必考实际模型，掌握直接设元、间接设元技巧，能检验结果实际合理性。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.一元一次方程的定义辨析、方程解的判定。 2.等式的基本性质及方程变形的正确应用。 3.解一元一次方程完整五步解法，规范运算格式。 4.列方程解应用题六步解题规范（审、设、列、解、验、答）。 5.六大核心应用模型：和差倍分、行程、工程、销售、配套、分段计费。 （二）难点 1.含参数一元一次方程：利用定义求字母参数取值（易错：系数不为0条件）。 2.解方程复杂易错点：去分母漏乘整数项、分子多项式漏括号、移项不变号。 3.复杂情境隐藏等量关系挖掘（变化前后相等、总量不变、差值不变）。 4.区分直接设元与间接设元，解决多未知量、多阶段综合应用题。 5.应用题实际意义检验：人数、物品数、时间必须为正整数。 ) 三．知识精析 模块一 等式与方程基础概念 （一）等式的概念 1.定义：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。例如：3+2=5、2x+1=5、a+b=b+a 都是等式。 2.等式可以分为三类： （1）恒等式：无论字母取何值，等式都成立（如a+b=b+a） （2）条件等式：只有字母取特定值时，等式才成立（如2x+1=5） （3）矛盾等式：无论字母取何值，等式都不成立（如x+1=x-1） 3.等式的性质 （1）等式的性质1 等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 符号表示：若a=b，则a±c=b±c。 （2）等式的性质2 等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，所得结果仍是等式。 符号表示：若a=b，则ac = bc；若a=b且c≠0，则=。 （3）等式的对称性 若a=b，则b=a（例如：由x=3可得3=x）。 （4）等式的传递性 若a=b且b=c，则a=c（例如：由x=y，y=5可得x=5）。 （二）方程的概念 1.定义：含有未知数的等式叫做方程。 2.两个关键要素： （1）是等式（有“=”连接）； （2）含有未知数（字母，如x,y等）。示例：2x+1=5、3y=2y+5都是方程；而3+2=5是等式但不是方程（无未知数），2x+3不是等式也不是方程。 3.方程的解与解方程 （1）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数）。 （2）解方程：求出方程解的过程（是一个运算过程）。 （3）标准检验步骤 ①．把数值分别代入方程左边、右边； ②．分别计算结果； ③．若左边=右边，则是方程的解，反之不是。 4.列程基本步骤 （1）审题：找出题目已知量、未知量； （2）设元：一般直接设所求量为x； （3）找等量：抓住“相等、和、差、倍、比”关键词； （4）列式：根据等量关系列出方程。 （三）三类式子的区别（必考辨析） （1）代数式：不含等号、不等号，只用运算符号连接数与字母，无相等关系。 （2）等式：含有“=”，表示左右两边数量相等。 （3）方程：同时满足两个条件：①是等式 ②含有未知数 【口诀】：有等有未知，才是方程 模块二 一元一次方程及其解法 （一）一元一次方程完整定义与标准形式 1.一元一次方程的定义及其理解 （1）定义：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1、等号两边均为整式的方程。 （2）三要素（缺一不可）： ①．整式方程 方程分母中不能含有未知数，未知数只能出现在分子、常数项、系数位置。反例：=2，分母有未知数y，属于分式方程，不是一元一次方程。 ②．一元（只含1个未知数） 整个方程只能出现一种字母（如只出现x，或只出现y），不能同时有x、y等多个字母。 反例：x+2y=1，同时含x、y两个未知数，是二元方程。 ③．一次（未知数最高次数为1） 未知数右上角不能写平方、立方等指数，未知数本身次数只能是1。 反例：x2=4，x次数为2，是一元二次方程。 （3）补充隐藏限制（易错点） ①．未知数系数不能为0，如：(m-2)x+5=0 是一元一次方程，则m-2≠0，即m≠2；若系数为0，式子变为常数等式，不再含未知数。 ②．不含绝对值、根号内带未知数，如：|x|+1=3、=2，不属于标准一元一次方程。 2.一元一次方程的标准形式 ax+b=0(a≠0)，其中：a是一次项系数，a≠0是核心前提；b为常数。 3.含参方程判定规则 若(m-2)x|m|-1+3=0是一元一次方程： ① 未知数次数：|m|-1=1 ② 一次项系数：m-2≠0 （二）一元一次方程的解法（五大核心步骤，必考规范） 1.去分母 （1）依据：等式性质2 （2）方法：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数 （3）核心要求： ① 不含分母的常数项必须同步乘，禁止漏乘； ② 分子是多项式时，整体添加括号。 2.去括号 （1）依据：乘法分配律、去括号法则 （2）规则：括号前是正号，去括号不变号；括号前是负号，括号内全部变号。 3.移项 （1）依据：等式性质1 （2）规则：移项必变号，不移项不变号； （3）常规操作：含未知数的项移左边，常数项移右边。 4.合并同类项 将左右两边同类项合并，化为最简形式：ax=b。 5.系数化为1 （1）依据：等式性质2 （2）方法：方程两边同时除以未知数系数a （3）注意：系数为负数时，结果符号跟随正确；除数、被除数不颠倒。 （三）两类提优重点题型 1.已知解求参数 将方程的解代入原方程，得到关于参数的新一元一次方程，解方程求出参数值。 例.（2026·连云港连云二模）若x=2是方程ax+4=10的解，则a=____。 【答案】：3 【解析】：把x=2代入得2a+4=10，2a=6，a=3。 2.同解方程问题 两个方程解相同：先解不含参数的方程，再将解代入含参数方程求参数。 例：关于x的方程与的解相同，则 ． 【答案】2 【解析】解方程，移项得，合并同类项得，系数化为1得． 将代入方程，得，即．移项得，合并同类项得，系数化为1得．故答案为：2． 模块三 列一元一次方程解应用题 （一）列方程解应用题通用六步法（必考、中考规范） 1.审：审题 通读题干，区分已知量、未知量，梳理题目中的变化关系、不变量、对比关系，锁定唯一核心等量关系。 2.设：设未知数 （1）直接设元：求什么设什么（基础题首选） （2）间接设元：所求量复杂，设中间变量更简便（提优、压轴题常用） 【规范书写】：设……为x，带单位 3.列：列方程 根据等量关系，用含x的代数式表示所有相关数量，列出一元一次方程。 4.解：解方程 按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1步骤规范求解。 5.验：双重检验（提优核心） （1）代入方程检验是否为方程的解； （2）结合实际情境检验（人数、物品数、时间不能为负数、小数）。 6.答：规范作答 完整回应题目问题，带单位，语句通顺。 （二）解题核心思想：找等量关系 所有一元一次方程应用题只有三种底层模型： 1.总量模型：部分量 + 部分量 = 总量 2.差值模型：大量 − 小量 = 相差量 3.不变量模型：变化前数量 = 变化后数量（调配、倒水、增减变化高频） （三）常见应用题型核心公式 1.和差倍分问题 大数 = 小数×倍数 ± 差额 2.行程问题 路程 = 速度 × 时间 相遇：甲路程 + 乙路程 = 总路程 追及：快路程 − 慢路程 = 初始距离 环形同地同向：路程差 = 一圈周长 3.工程问题 总工作量=1 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 合作效率 = 各效率之和 4.销售利润问题 利润 = 售价 − 进价 售价 = 标价 × 利润率 = × 100% （5）配套调配问题 根据配比：配套比例交叉相等（如2配3：3×甲总量=2×乙总量） （6）分段计费问题 总费用 = 第一段费用 + 第二段费用 + …… 核心：分界点分段计算，不跨段、不混算 （四）设元技巧（提优拔高） 1.题目问什么、最终求什么，优先直接设元； 2.出现“比、倍、占、增减、调配”复杂关系，优先间接设元； 3.多个未知量存在固定比例时，设一份为x。 A卷·基础过关 （时间：60分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.（2025秋·盐城康居路初中月考）下列各式中，属于方程的是（ ） A.2x-5　 B.3+7=10　 C.2x+1=7　 D.3x-1>2 【答案】：C 【解析】：方程定义：含有未知数的等式。A代数式，B无未知数，D是不等式。 2.（2025秋·连云港期末）下列说法正确的是（ ） A.所有等式都是方程　 B.方程的解就是解方程 C.x=1是方程2x+1=3的解　 D.代数式是方程 【答案】：C 【解析】：A等式不一定含未知数；B概念区分：解是数值，解方程是过程；D代数式无等号。 3.（2026·泰州姜堰一模）根据等式性质，变形正确的是（ ） A.若a=b，则a+3=b-3 B.若a=b，则= C.若2a=3b，则a=b D.若a=b，则-4a=-4b 【答案】：D 【解析】：A两边加减不一致；B缺少c≠0条件；C两边乘的数字不同；D等式两边同乘-4，符合性质2。 4.如图，已知相同形状的物体的质量是相等的，其中最左边的天平是平衡的，则右边三个天平中仍然平衡的是(     ) A.①②③ B.①③ C.①② D.②③ 【答案】B 【解析】因为最左边的天平是平衡的，所以2个球的重量=4个圆柱的重量；①中1个球的重量=2个圆柱的重量，根据等式的性质，即可得到①是平衡的；②中，2个球的重量≠2个圆柱的重量，可得到②是不平衡的；③中，2个球的重量+1个圆柱的重量=5个圆柱的重量，根据等式的性质，即可得到③是平衡的；综上所述，平衡的是①③，故选：B． 5．已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】∵是关于的一元一次方程，∴且，解得，∴的值为4． 6.（2026泰州七年级阶段练习）解方程3(x-2)=12，去括号正确的是（ ） A.3x-2=12 B.3x-6=12 C.3x-2=36 D.3x-6=36 【答案】：B 【解析】：乘法分配律，3x-3×2，得到3x-6=12。 7．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意得：，将代入上述方程得：，解得，则原方程为，方程两边乘12得：，即，整理得，移项、合并同类项得，解得，故选：B． 8．若a，b是有理数，关于x的方程有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程的解的情况是（   ） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】D 【解析】解方程，可得：，∵有至少两个不同的解，∴，，即，，把，代入中得：，∴方程无解．故选：D． 9.（2026·苏州吴中一模） 小明步行速度5km/h，先走0.5h，小亮骑车15km/h同路追赶，设小亮出发xh追上，方程正确的是（ ） A. 15x=5×0.5 B. 15x=5×0.5+5x C. 15x+5x=5×0.5 D. 15(x+0.5)=5x 【答案】：B 【解析】：追上时两人路程相等，小明总路程=先行0.5h路程+x小时步行路程，小亮路程15x。根据题意，得15x=5×0.5+5x 。 10.（2024秋·盐城盐都期末） 计算程序：输入→减2→×4→+1，输出25，设输入x，方程是（ ） A. 4(x-2)+1=25 B. 4x-2+1=25 C. 4(x-2+1)=25 D. 4x-(2+1)=25 【答案】：A 【解析】：严格按照程序分步运算，先算x-2，整体乘4再加1等于输出值。 二．填空题（共30分） 11.（2025秋·盐城月考）已知x=3是方程2x+a=10的解，则a=_______。 【答案】：4 【解析】：代入x=3，6+a=10，解得a=4。 12．若方程的解为，则k的值为 _______． 【答案】 【解析】把代入一元二次方程得， 解得，故答案为：． 13．式子的值比的值大1，则x的值是__________． 【答案】0 【解析】由题意得：，去分母得：， 去括号得：，移项合并得：，故答案为：0． 14．对于有理数a，b规定运算：，则方程的解是_________． 【答案】 【解析】已知等式利用题中的新定义化简得：，整理得： 移项合并得：，解得：，故答案为：． 15．对于两个非零有理数a、b， 规定，若， 则___________． 【答案】4 【解析】∵，∴， ∵∴，解得：，故答案为：4． 16．定义一种新运算：．若，则根据定义的运算求出的值为______． 【答案】 【解析】∵，∴，解得； 故答案为：2． 17．关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【答案】将代入原方程得：，， 方程可整理得：，即，解得：，关于x的方程的解为． 18.（2026·盐城亭湖二模） 甲单独处理数据18h完成，乙单独12h完成，甲先做8h，剩余甲乙合作xh，总工作量记为1，方程：________。 【答案】：+(+)x=1 【解析】：甲8小时工作量，合作效率+，两段工作量相加等于全部工作1。 19．关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【答案】将代入原方程得：，， 方程可整理得：，即，解得：，关于x的方程的解为． 20．为引导居民节约用水，某市出台了城镇居民用水阶梯水价制度，每年水费计算方法为：年交水费第一阶梯水价第一阶梯用水量第二阶梯水价第二阶梯用水量第三阶梯水价第三阶梯用水量．该市某同学家在实施阶梯水价制度后的第一年缴纳水费1820元，则该同学家这一年的用水量为__________． 某市居民用水阶梯水价表： 阶梯 户年用水量() 水价(元/) 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 【答案】300 【解析】根据表格知，，则该同学家的用水量包括第三阶梯费用． 设该同学这一年的用水量为，依题意得：，解得：答：该同学家这一年的用水量为．故答案为300． 三．解答题（共60分） 21．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1），移项得，，合并同类项得，，系数化为1得，； （2），去括号得，，移项得，， 合并同类项得，，系数化为1得，； （3），两边都乘以6得，，去括号得，， 移项、合并同类项得，，系数化为1得，； （4），两边都乘以4得，，去括号得，，移项、合并同类项得，，系数化为1得，． 22．如图是一个计算程序，回答下列问题： (1)当时，请填写下列表格： 输入16 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 结果 8 4 … (2)当输入一个数x后，第1次得到的结果为6，则输入的这个数x的值是 ． 解：（1）当开始输入的值时为偶数，所以第一次输出；当再次输入的值时为偶数，所以第二次输出；当再次输入的值时为偶数，所以第三次输出；当再次输入的值时为偶数，所以第四次输出； 当再次输入的值时为奇数，所以第五次输出，故答案为：2，1，4； （2）由题意得，或，∴或． 23. 已知关于x的方程x＋＝3＋的两个解是x1＝3，x2＝； 又已知关于x的方程x＋＝4＋的两个解是x1＝4，x2＝＝； 又已知关于x的方程x＋＝5＋的两个解是x1＝5，x2＝； …， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于x的方程x＋＝c＋的两个解是x1＝c，x2＝；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）.小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1) 关于x的方程x＋＝11＋的两个解是x1＝　　　　和x2＝　　　　； (2) 已知关于x的方程x＋＝12＋，则x的两个解是多少？ 解：(1) 11　 (2) 因为x＋＝12＋，所以x－1＋＝12＋－1，所以x－1＋＝11＋， 所以x1－1＝11，x2－1＝，所以x1＝12，x2＝. 24.（26-27七年级上·全国·单元测试）某手工社团承接校园文创礼盒的铁质包装盒制作任务． （1）1个包装盒由1个盒身和2个盒底组成，用1张铁皮可制作40个盒身或70个盒底．现有150张铁皮，用多少张做盒身、多少张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套？ （2）该社团接到一批包装盒加急订单，若由社团A小组单独完成需12天，B小组单独完成需18天．现在A，B两个小组一起制作4天后，剩下的任务由B小组单独完成，那么B小组还需要多少天才能完成全部订单？ 解：（1）设用张做盒身，则用张做盒底．根据题意得， ，，解得，∴做盒底的铁皮为（张）． 答：用70张做盒身，80张做盒底，才能让制作出的盒身与盒底恰好配套； （2）设B小组还需要天才能完成全部订单．根据题意得，， ，，解得，答：B小组还需要8天才能完成全部订单． 25.（25-26七年级上·广东揭阳·期末）某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． （1）求购进A，B两种玩偶各多少个？ （2）A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 解：（1）设购进A种玩偶个，，解得，， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）设B种玩偶打折前卖出个，，解得， 答：种玩偶打折前卖出个． 26.（25-26七年级上·四川成都·期末）如图是2023年一月份的日历： （1）若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）； （2）请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数，若不能，请说明理由； （3）用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是　　　　． 解：（1）设“”形框中的七个数中最中间一个数是，则其它六个数是，，，，，， 七个数的和是； （2）“”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由如下：设“”形框中的七个数中最中间一个数是，根据题意得：，解得，此时最大的数是，而日历中没有32， “”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168； （3）年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列，当，即时，框出的七个数的和的最大，最大为，故答案为：140． 27．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于x 的方程与是“和一方程”，求 m的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求 n 的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“和一方程”，求关于y的一元一次方程的解． 解：（1），解得：，，解得：， ∵方程与是“和一方程”，∴，解得：； （2）∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为，∵两个“和一方程”的解的差为7，∴或，解得：或； （3）解：，解得：，∵一元一次方程和是“和一方程”，∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为，∴方程的解为，∴． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025秋·无锡惠山区期末）下列说法：①含有未知数的式子叫方程；②若ac=bc，则a=b；③x=0是方程；④一元一次方程只含一个未知数。正确的个数（ ） A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个 【答案】：B 【解析】：①必须是等式；②c=0不成立；③④正确，共2个。 2.（2025泰州姜堰期末）若a+2b=b+4，利用等式性质，a+b的值是（ ） A.2　 B.4　 C.6　 D.8 【答案】：B 【解析】：两边同减b，a+b=4。 3．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示；B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示．C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示；D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示；故选：D． 4．如图，三个天平的托盘中，形状相同的物体质量相等．图①、②所示的两个天平处于平衡状态，若要使图③的天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（    ） A．4个球 B．5个球 C．6个球 D．7个球 【答案】D 【解析】由图①可得5个球+2个正方体=1个球+3个三棱锥，则2个正方体=3个三棱锥-4个球，由图②可得3个球+3个正方体=2个三棱锥+2个正方体，则1个正方体=2个三棱锥-3个球，那么2个正方体=4个三棱锥-6个球=3个三棱锥-4个球，故1个三棱锥=2个球， 那么1个正方体=2个三棱锥-3个球=4个球-3个球1个球，由图③可得天平左边为3个球+2个正方体+1个三棱锥=3个球+2个球+2个球=7个球，则天平右边应放7个球，故选：D． 5.（2026盐城七年级二模）解方程=1-，去分母正确的是（ ） A.4(2x-1)=1-3(x+2) B.4(2x-1)=12-3(x+2) C.4(2x-1)=12-3x+2 D.8x-1=12-3x-6 【答案】：B 【解析】：分母最小公倍数12，每一项同乘12，常数项1也要乘12，分子多项式整体加括号。 6.（2025泰州七年级月考）小明解方程3-(2x-5)=x，去括号得到3-2x-5=x，错误原因是（ ） A.漏乘系数 B.括号前负号，括号内第二项未变号 C.移项未变号 D.合并同类项错误 【答案】：B 【解析】：原式去括号应为3-2x+5=x，-5没有变成+5。 7.（2025秋·扬州邗江期末） 小明今年13岁，王老师45岁，设再过x年小明年龄是王老师的，方程是（ ） A. 13+x=×45 B. 13=(45+x) C. 13+x=(45+x) D. 3(13+x)=45 【答案】：C 【解析】：x年后小明年龄13+x，王老师年龄45+x，等量关系：小明年龄=王老师年龄×。 8.（2024秋·盐城盐都期末） 计算程序：输入→减2→×4→+1，输出25，设输入x，方程是（ ） A. 4(x-2)+1=25 B. 4x-2+1=25 C. 4(x-2+1)=25 D. 4x-(2+1)=25 【答案】：A 【解析】：严格按照程序分步运算，先算x-2，整体乘4再加1等于输出值。 9．下列方程的解法中，错误的个数是（   ） ①方程，移项，得； ②方程，去括号，得； ③方程去分母，得：； ④方程，系数化为1，得：． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①方程，移项应得，即；该项错误，符合题意；②方程，去括号应得，该项正确，不符合题意；③方程去分母，应得，即，该项错误，符合题意； ④方程，系数化为1应得，该项错误，符合题意；∴错误的个数是3个，故选：C． 10．如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，则的值为（  ） A．12 B． C．20 D． 【答案】B 【解析】解方程得．∵无论取任何有理数，方程与方程均为“美好方程”，∴对于所有有理数，方程的解均为． 将代入方程：，化简得：，两边同乘6：，即：，移项：， 整理：，∵该式对任意有理数恒成立，∴且， 解得：，，∴．故选：B． 二．填空题（共30分） 11.（2026泰州月考）在①2x=1；②3x-2；③5+7=12；④y-3=0；方程有________个。 【答案】：2 【解析】：①、④是方程。 12．已知，用S，h表示a，则 ． 【答案】 【解析】∵，∴，∴，故答案为：． 13．整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 【答案】 【解析】根据题意可得，当时，∴关于的方程的解是．故答案为：． 14.（2025泰州期中）已知x=1是方程2ax+5=a-3的解，则a=________。 【答案】：-8 【解析】：代入2a+5=a-3，解得a=-8。 15．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】 【解析】∵ 为一元一次方程，∴且，∴， 将，代入，得：，解得：. 16.（2026·扬州邗江期末）配套生产：4个外壳配7个内芯，每名工人每天生产外壳8个或内芯14个，共45名工人，安排______人生产外壳刚好配套。 【答案】20 【解析】7×8x=4×14(45-x)，解得x=20。 17.（2025秋·盐城阜宁期末）试卷共25题，答对得4分，不答0分，答错扣1分，小明一共得80分，其中3题未答，则答对______题。 【答案】21 【解析】设答对x，答错(22-x)，4x-(22-x)=80，5x=102，x=21。 18.（2026·南京浦口一模） 鸡兔同笼50头，140足，兔______只。 【答案】：20 【解析】：设兔x，鸡50-x，4x+2(50-x)=140，解得x=20。 19．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】 【解析】∵关于的一元一次方程的解为，∴当时，方程成立． 对于关于的一元一次方程，令，则方程化为，则该方程解为，即，解得．故答案为：． 20．乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事．在圆柱形玻璃杯中已有定量的水，将大小相同的石子一个个慢慢投入其中．图①，②，③分别为投入2个，3个，10个石子后的水位情况，当投入10个石子时，水位恰好到达水杯的高度．若水位高度为，则此时杯中投入了___________个石子． 【答案】8 【解析】设圆柱形玻璃杯的高度为，根据题意，投入3个石子时，水位的高度为，比①中的水位增高，此时多投了一个石子，继而得到投入一个石子水位上升，③比①多投了8个石子，水位升高， 根据题意，得，解得，当水位高度为，实际升高了， 此时增加的石子个数为：（个）故此时杯中投入了8个石子．故答案为：8． 三．解答题（共60分） 21．检验括号中的数是否为方程的解． (1)（，）； (2)（，）． 解：（1）当时，左边，左边右边，故不是方程的解， 当时，左边，左边右边，故是方程的解； （2）当时，左边，左边右边，故是方程的解， 当时，左边，左边右边，故不是方程的解． 22.（2025徐州新沂期末）解下列方程 (1) 9x+6=5x-10 (2)3(4x-2)=2(5x+3) (3)； (4)． 解：(1)移项：9x-5x=-10-6，合并：4x=-16，系数化1：x=-4 (2)去括号：12x-6=10x+6，移项：12x-10x=6+6，合并：2x=12，系数化1：x=6 答案：x=1 （3）去分母，得．去括号，得．移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得； （4）原方程可化为．去分母，得．去括号，得．移项及合并同类项，得．系数化为1，得． 23．根据下图所示的程序回答问题：    (1)你认为输入的两个数a和b是什么关系时，其输出结果为0？________； (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是：________； (3)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，被墨水污染的那个数为：________． 解：（1）由题意可得，，则，即输入的两个数a和b是互为倒数时，其输出结果为0；故答案为：互为倒数 （2）当小明输入和这两个数时，， 故答案为： （3）设，由题意可得，，解得或， 即被墨水污染的那个数为或11；故答案为：或11． 24.（25-26六年级下·山东东营·期末）暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． （1）小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ （2）请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 解：（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意得，,解得，则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）若购买20张团体票，则共需付款（元），若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元），∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 25.（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）探究与应用： 【问题背景】教材中提到，一元一次方程是解决实际问题的重要工具，生活中很多方案选择问题都可通过列方程求解． 【问题提出】某班级组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人，租金为每辆240元．班级共有学生135人，教师5人，共140人． （1）若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车，需要多少辆？ （2）若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，求甲、乙两种客车各租用多少辆？ （3）在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵，车辆数为正整数，∴单独租用甲客车需要辆；∵，车辆数为正整数，∴单独租用乙客车需要辆； （2）设租用甲客车辆，则租用乙客车辆，根据恰好坐满140人，列方程得，去括号得，移项合并得，解得， 则，即租用甲客车2辆，乙客车2辆； （3）在（2）的条件下，即租用甲客车2辆，乙客车2辆的总费用：（元）； 方案1：租0辆甲，5辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案2：租1辆甲，4辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案3：租3辆甲，1辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 方案4：租4辆甲，0辆乙，可乘坐总人数，总费用（元），； 对比所有方案可知，1080元为最低费用，因此不存在更省钱的租车方案． 26．定义：关于x的方程与（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”．例如：方程与互为“反对方程”；方程，通过转化可得，所以与互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与（a为不等于0的常数）互为“反对方程”，则______． (2)若关于x的方程（b为不等于0的常数）的解为，求b的值及它的“反对方程”的解； (3)若关于x的方程（c为不等于0的常数）的解为，请直接写出它的“反对方程”的解． 解：（1）与方程互为“反对方程”，； （2）∵关于的方程（为不等于0的常数）的解为，∴， ∴，∴，整理得：关于的方程的“反对方程”为，解得：； （3）∵关于x的方程（c为不等于0的常数）的解为，∴，∴，∴，整理得：，关于的方程的“反对方程”为， 解得：． 27.（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）阅读并解决相应问题： 【问题发现】 在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为3，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于s，则称点P为点A、B的“s和点”，如图1，若点P表示的数为，有点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5和点” （1）填空：如图2，若点P表示的数为1，则s的值为 ． 【类比探究】类比探究 （2）若点Q为数轴上点A、B的“7和点”，求点Q对应的数； 【拓展延伸】 （3）若点P在数轴上运动（不与点A、B重合），满足点P到点A的距离等于点P到点B的距离的，且此时点P为点A、B的“s的和点”，求点P表示的数及s的值． 解：（1）∵，，∴；故答案为5； （2）∵点Q为数轴上点A、B的“7和点”，∴，∵， ∴点Q不在线段上，故分两种情况： ①Q在线段左侧，设点Q表示的数为q，则，，∴， 解得； ②Q在线段右侧，设点Q表示的数为q，则，，∴，解得； 综上，点Q对应的数为或 （3）设点P表示的数为p，①当点P在点A左侧时，，，∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离的，∴，解得：， ∴； ②当点P在上时，，，∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离的，∴，解得：，∴； ③当点P在线段右侧，设点P表示的数为p，则，， ∵点P到点A的距离等于点P到点B的距离的，∴，解得：（不符合题意，舍去）； 综上，点P表示的数是时，；点P表示的数是0时，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $