《第二章 有理数 小结与思考 》提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

**基本信息** 苏科版七年级数学上《第二章有理数》单元复习提优卷，分A（基础过关）、B（强化提优）两卷，覆盖有理数概念、运算、科学记数法及实际应用，通过分层设计与真实情境提升运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|20题/60分|相反数（A1）、绝对值（A3）、数轴比较（B2）|结合文化（《九章算术》）、生活情境（微信账单）| |填空题|20题/60分|规律探究（A15）、非负数性质（A8）、新定义运算（B7）|融入符号意识（含字母绝对值）、创新题型（除方概念）| |解答题|13题/120分|混合运算（A21）、实际应用（A23零件检测）、动点问题（A25）|梯度分明，从基础计算到综合探究，培养推理能力与模型意识|

数学臻选·2026-2027学年苏科版七年级数学上提优宝典 《第二章有理数小结与思考（单元小结）》提优特训A·B卷 一．学习目标 ( 1.系统梳理全章知识，掌握有理数分类、数轴、相反数、绝对值、倒数核心概念；熟练掌握有理数加、减、乘、除、乘方以及混合运算，会用科学记数法表示大数，能解决有理数相关实际应用题、简单规律探究题 。 2.通过单元回顾，构建完整知识网络；经历概念辨析、运算训练、综合题型探究，掌握数形结合、分类讨论的思考方法，规范解题书写，提升运算准确率与综合解题能力 。 3 . 强化符号意识，能够区分易混淆概念；面对含字母绝对值、多情况问题主动进行分类讨论；能观察算式结构选用运算律简便运算，克服复杂计算畏难心理。 4.体会负数来源于现实生活，感受有理数在实际生活的应用价值；养成审题仔细、分步演算、做完检验的学习习惯，培养严谨细致的数学品质。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.有理数核心概念：有理数分类、数轴三要素，相反数、绝对值、倒数的概念与性质 。 2.有理数全套运算法则、运算律，有理数混合运算（含乘方、多层括号、分数小数）。 3.科学记数法；利用数轴比较大小，有理数简单实际应用。 （二）难点 1.绝对值的化简，含字母绝对值的分类讨论；非负数性质运用。 2.区分-a^n与(-a)^n，负数乘方的符号判断；多重符号化简。 3.混合运算中符号处理，除法没有分配律，简便运算易错点。 4.数形结合综合题、分类讨论题型、有理数规律探究题。 )三．知识梳理 ( （一） 有理数相关概念 1.正数与负数 大于0的数是正数；正数前加负号 “ - ” 为负数；0既不是正数，也不是负数，是正负数分界点。正负数用来表示具有相反意义的量，例上升与下降、收入与支出。 2.有理数分类 （1） 按定义（整数、分数）分类 （2）按正负性质分类 3.数轴 （1）定义： 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 （2） 性质： ① 一切有理数都可以用数轴上点表示 ； ② 数轴上右边的数总大于左边的数，可用来比较数的大小。 ) ( 4.相反数 （1）定义： 只有符号不同的两个数互为相反数；a的相反数是-a，0的相反数是0。 （2） 核心性质： ① a、b互为相反数 a+b=0； ② 互为相反数两数绝对值相等。 5.绝对值 （1）定义： 数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a| 。 （2） 非负 性： 距离不可能为负数，|a| ≥ 0（非负数）。 （3） 两个负数比较大小：绝对值大的反而小。 6.倒数 （1）定义： 乘积等于1的两个数互为倒数；a(a ≠ 0)倒数为 ； （2） 核心性质： ① 0没有倒数。 ② 若a、b互为倒数 ab=1。 （二） 有理数运算 1.加减法法则 （1） 加法法则： ① 同号相加，取相同符号，绝对值相加； ② 异号两数相加，取绝对值较大数符号，大绝对值减小绝对值； ③ 互为相反数两数相加等于0； ④ 一个数 加0仍得本身。 （2） 减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+(-b)。 【 技巧 】 ：全部改写为和的形式，利用交换律、结合律：相反数结合、同分母结合、正负分组、凑整简算。 2.乘除法法则 （1） 乘法法则： ① 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘； ② 几个非0数相乘，负因数个数为偶数结果正，奇数结果负； ③ 任何数乘0得0。 （2） 除法法则： ① 除以一个不为0数，等于乘这个数的倒数； ② 两数相除，同号得正，异号得负； ③ 0不能作除数。 3.乘方 （1）定义： 求n个相同因数积的运算叫做乘方，a n ，a是底数，n是指数。 （2） 重点辨析： ① -a n ：底数为a，代表a n 的相反数；(-a) n ：底数是-a，n个-a相乘。 例：-2 2 =-4；(-2) 2 =4。 （3） 符号规律： 正数任何次幂都是正数；负数奇次幂负，偶次幂正；0正整数次幂等于0。 4.有理数混合运算顺序 （1） 先乘方（三级），再乘除（二级），最后加减（一级）； （2） 同级运算，从左向右依次计算； （3） 有括号，先算括号内部，顺序：小括号 → 中括号 → 大括号。 ) ( （三） 科学记数法 1.定义： -般地，一个绝对值大于10的数可以写成a × 10 n 的形式，其中1 ≤ |a|<10,n是正数，这种记数法称为科学记数法(scientific notation)。 2.形式： 把大于10的大数写成 a × 10 n ； 3.要求： 1 ≤ |a| <10 ，n为正整数； 4.指数规律： n=原数整数位数-1； 5.逆向还原： 把a × 10 n 的小数点向右移动n位，得到原数。 （四） 有理数大小比较 1.数轴法： 右边数大于左边数； 2. 符号法： 正数＞0＞负数，正数大于一切负数； 3. 负数比较： 两个负数，绝对值大的数值反而小。 （五）常见条件翻译（大题必考） 1.a、b互为相反数 a+b=0 2.c、d互为倒数 cd=1 3.|x|=m(m>0) x=m 或 x=-m 4.A 2 +|B|=0 A=0，B=0（平方、绝对值均为非负数） ) A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一选择题（共30分） 1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【解析】的相反数是，故选：A． 2．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、B、C、D、．∵， ∴与标准质量偏差最小的是C．故选：C． 3．下列说法中正确的是（    ） A．若，则a=b B．互为相反数的两数之和为 C．零是最小的整数 D．数轴上的两个有理数，较大的数离原点较远 【答案】B 【解析】若，则a=b或a=-b，A选项不符合题意；互为相反数的两数之和为，正确，B选项符合题意；零不是最小的整数，负整数小于，没有最小整数，C选项不符合题意； 数轴上的两个有理数，较大的数在右边，与离原点远近无关，D选项错误，不符合题意．故选：B． 4.手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细 （正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（    ） 转账——来自天青色   微信红包——发给高原红     A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元 【答案】B 【解析】（元），小颖当天微信收支的最终结果是收入6元．故选：B． 5.如图是5个城市的国际标准时间（单位：时），那么北京时间1月12日上午9时对应的是（    ） A．伦敦时间1月12日凌晨2时 B．纽约时间1月12日晚上22时 C．多伦多时间1月11日晚上20时 D．汉城时间1月12日上午10时 【答案】D 【解析】A、北京时间1月12日上午9时对应的是伦敦时间1月12日凌晨1时，错误，不符合题意；B、北京时间1月12日上午9时对应的是纽约时间1月11日晚上20时，错误，不符合题意；C、北京时间1月12日上午9时对应的是多伦多时间1月11日晚上21时，错误，不符合题意；D、北京时间1月12日上午9时对应的是汉城时间1月12日上午10时，正确，符合题意，故选：D． 6．如果a，b是非零有理数，那么的值不可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【解析】当，时，原式；当，时，原式；当，时，原式；当，时，原式；∴原式的值不可能是1，故选：B． 7.如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点， 其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动， 那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（    ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【解析】由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（n为自然数）所对应的点重合的是点，能与数轴上的数字（n为正整数）所对应的点重合的是点，能与数轴上的数字（n为正整数）所对应的点重合的是点，能与数轴上的数字（n为正整数）所对应的点重合的是点DD， ∵，∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 8.若(x-3)2+|y+1|=0，则2x-3y的值为（ ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 【答案】：B 【解析】：平方与绝对值非负，相加为0则x-3=0，y+1=0，即x=3，y=-1；代入6+3=9。 9.用分配律计算(-24)×(-+)，正确展开式是（ ） A. -24× -24× +24× B. -24× +24× -24× C. -24× -24× -24× D. 24× -24× +24× 【答案】：B 【解析】：括号前为-24，乘进括号内每一项，负负得正，正负得负。 10.按如图所示的运算程序运算，若开始输入的值为，则最终输出的结果是． A. B．12 C．11 D．10 【答案】C 【解析】若开始输入的值为，∴∴∴最终输出的结果是11．故选：C． 二．填空题（共30分） 11．比较大小∶用“>”，“<”或“＝”填空∶_______． 【答案】> 【解析】​​，​∵​，即，∴​． 12．两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是82分， 小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作-3分，她得了_________分． 【答案】79 【解析】由题意得，平均成绩为82分，超过平均成绩记为正，低于平均成绩记为负，因此小英的实际成绩为分． 13．如图，在数轴上点表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知AB=5，则点B表示的数为__________． 【答案】-2 【解析】根据题意得：点表示的数是3，AB=5，∴点B表示的数是， 14．已知满足，则代数式的值是 ． 【答案】1 【解析】又可得：三数必一负两正，不防设：，代入原式计算即可． 15．观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32026的个位数字是　 　． 【答案】9 【解析】31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，……，∵2026÷4=502…2，∴32026的个位数字与第2个数的个数数相同，是9．故答案为：9． 16．按如图程序计算，如果输入的数是，那么输出的数是__________． 【答案】4 【解析】由题意得，，故答案为：4． 17．对于任意有理数a，b，规定一种新的运算：a*b＝a2＋b2－a－b＋1，则(－3)*5＝_ _． 【答案】33 【解析】(－3)*5＝(－3)2＋52－(－3)－5＋1＝9＋25＋3－5＋1＝33. 18．如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0，则数轴上的点3对应刻度尺上的______ ． 【答案】10 【解析】刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0，刻度尺上的长即为数轴上的个单位长度，又数轴上的点3在0的右边3个单位长度，对应数轴上的点表示的数是0，数轴上的点3对应刻度尺上的，故答案为： 19．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可） 【答案】 【解析】 20．如图，已知数轴上的点A表示的数为，点C表示的数为6，点B是的中点， 动点P从点A出发，以每秒 3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为3个单位长度. 【答案】5或2 【解析】∵数轴上的点A表示的数为，点C表示的数为6，点B是的中点，∴点B表示的数为，∴运动时间为t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点P与点Q之间的距离为3个单位长度，∴，即，∴或，解得：或2，∴当t为5秒或2秒时，点P与点Q之间的距离为3个单位长度．故答案为：5或2． 三．解答题（共60分） 21．计算： （1） （2） （3）21-49.5+10.2-2-3.5+19 （4） 解： (1) 原式 (2) 原式 （3）原式＝[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]＝50.2-55＝-4.8 （4）原式＝ 22.阅读材料，思考后请试着完成计算： 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？ 经过研究，这个问题的一般性结论是1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，其中n是正整数． 现在我们来研究一个类似的问题：1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝？ 观察下面三个特殊的等式： 1×2＝(1×2×3－0×1×2)； 2×3＝(2×3×4－1×2×3)； 3×4＝(3×4×5－2×3×4)． 将这三个等式的两边相加，可以得到1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5＝20. 读完这段材料，请计算： (1)1×2＋2×3＋…＋100×101； (2)1×2＋2×3＋…＋2026×2027. 解：(1)1×2＋2×3＋…＋100×101 ＝(1×2×3－0×1×2)＋(2×3×4－1×2×3)＋…＋(100×101×102－99×100×101) ＝(100×101×102－0×1×2)＝343400. (2)同理于(1)，原式＝(2026×2027×2028－0×1×2)＝2776130552.. 23．某工厂生产一批零件，标准长度为50 mm，超过标准长度的部分记为正数，不足的部分记为负数。抽检6个零件，记录如下（单位：mm）：+0.1，−0.3，+0.05，−0.2，0，+0.4。 （1）这6个零件中，哪个最符合标准？请说明理由； （2）哪个零件偏离标准最远？ （3）按与标准长度的接近程度，把这6个零件由近到远排列。 解：（1）第5个零件最符合标准。理由：|+0.1| = 0.1，|−0.3| = 0.3，|+0.05| = 0.05，|−0.2| = 0.2，|0| = 0，|+0.4| = 0.4，其中0最小，所以记录为0的第5个零件最符合标准。 （2）|+0.4| = 0.4最大，所以第6个零件偏离标准最远。 （3）由近到远依次为：0，+0.05，+0.1，−0.2，−0.3，+0.4。 24.已知|a| = 3，|b| = 5。 （1）若a > 0，b < 0，求a，b的值； （2）在（1）的条件下，在数轴上标出a，b，−a，−b对应的点，并把它们按从小到大的顺序用"<"连接； （3）若|a| = |b|，则a与b满足什么关系？ 解：（1）a > 0且|a| = 3，得a = 3；b < 0且|b| = 5，得b = −5。 （2）−a = −3，−b = 5。在数轴上从左到右依次标出−5（即b）、−3（即−a）、3（即a）、5（即−b）。排列为−5 < −3 < 3 < 5，即b < −a < a < −b。 （3）若|a| = |b|，则a与b相等或互为相反数。因为绝对值相等说明两点到原点的距离相等，两点可能重合（a = b），也可能分居原点两侧（a、b互为相反数）。 25．如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． (1)直尺的长为_________个单位长度； (2)若直尺在数轴上O、C间，且B、C两点之间的距离是O、A两点之间的距离的4倍，求此时A点对应的数； (3)设直尺以（2）中的位置为起点，以1个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒． ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值； ②当时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值． 解：（1）根据题意，可知，且，∴． 故答案为：20； （2）设A点对应的数为x，则B点对应的数为，根据题意得， 解得，即此时A点对应的数为8； （3）根据题意，点B表示的数为，点P表示的数为，点C表示的数为60，①由题意得且，解得，；②当时，点B表示的数为，点P表示的数为，点C表示的数为60，由题意得：或或，解得或或． 26．【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2②＝　 　；（﹣）③＝　 　； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　，（）⑥＝　 　． （3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33． 解：【初步探究】（1）2②＝2÷2＝1，（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣2， 故答案为：1，﹣2； 【深入思考】（2）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝（﹣3）×（﹣）×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3， （）⑥＝÷÷÷÷÷＝×5×5×5×5×5＝54，故答案为：（﹣）3，54； （3）122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33＝144÷（﹣3）2×（﹣）4﹣（﹣3）4÷27＝144÷9×﹣81÷27＝16×﹣3＝1﹣3＝﹣2． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．下列各数中，既是负数又是整数的是（　　） A．−2 B．− C．0 D．3 【答案】A 【解析】−2是负整数，符合题意；−是负分数；0是整数但不是负数；3是正整数。故选：A。 2．数轴上点A表示−2，点B表示−5，则（　　） A．点A在点B的右边 B．点A在点B的左边 C．两点重合 D．无法判断 【答案】A 【解析】因为−2 > −5，所以表示−2的点A在表示−5的点B的右边。故选：A。 3．绝对值等于3的数是（　　） A．3 B．−3 C．3或−3 D．以上都不对 【答案】C 【解析】绝对值等于3，即这个数对应的点到原点的距离是3，这样的点有原点两侧两个，表示的数是3或−3。故选：C。 4．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．−(+3)与+(−3) B．−(−3)与−(+3) C．|−3|与3 D．−|−3|与−3 【答案】B 【解析】−(+3) = −3，+(−3) = −3，两数相等；−(−3) = 3，−(+3) = −3，两数只有符号不同，互为相反数；|−3| = 3与3相等；−|−3| = −3与−3相等。故选：B。 5．在−(−2)，−|−2|，+(−2)，−(+2)，|−2|中，化简结果为2的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】−(−2) = 2，−|−2| = −2，+(−2) = −2，−(+2) = −2，|−2| = 2，结果为2的有−(−2)与|−2|，共2个。故选：B。 6．计算：的结果是（     ） A．2 B.-25 C.-7 D．以上都不是 【答案】B 【解析】． 7．对于任意有理数a、b，定义新运算．例如．则的值为（    ） A． B．17 C． D．1 【答案】C 【解析】∵新运算定义为，∴把，代入公式得：，故选：C． 8、生活中常用的十进制是用0-9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0-F来表示0-15，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（　） A．28 B．62 C．238 D．334 【答案】：D 【解析】：由题意得14E＝1×16×16+4×16+14＝334．故选：D． 9．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（    ） A. B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，当时，，输出的值为，故选：C． 10.如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（　　） ①B对应的数是2；②点P到达点B时，t＝3；③BP＝2时，t＝2；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【解析】利用数轴，结合方程及分类讨论思想求解．∵已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，∴B对应的数为：4﹣6＝﹣2；故①是不符合题意的；∵6÷2＝3，故②是符合题意的；∵当BP＝2时，t＝2或t＝4，故③是不符合题意的；∵在点P的运动过程中，MN＝3，故④是符合题意的；故选：D． 二．填空题（共30分） 11．如图是加工某零件的尺寸要求，现有的4件产品，直径尺寸（单位：mm）如下：45.04，44.09，44.98，45.01，则其中不合格的产品有____件． 【答案】2件 【解析】45.04：45.04>45.03 → 不合格，44.09：44.09<44.96 → 不合格，44.98：44.96≤44.98≤45.03 → 合格，45.01：44.96≤45.01≤45.03 → 合格。 12．如图，在数轴上，注明了四段的范围，其中第 （填序号）段上有三个整数． 【答案】② 【详解】根据图示，第①段上包含的整数是-4，-3，不符合题意；第②段上有三个整数，即-2，-10，符合题意；第③段上包含的整数是1，2，不符合题意；第④段上包含的整数是3，4，不符合题意；故答案为：② ． 13．若2026个数、、…、a2026满足下列条件：，，，…，，则a2026的值为_________. 【答案】 【解析】根据题意，，，，，，……∴从开始，每两个数为一个循环，偶数项为，奇数项为；∴a2026=， 14.计算结果等于=_________. 【答案】 【解析】分子上1﹣2+3﹣4+…﹣14+15=1+3+5+…15﹣（2+4+…14）=64﹣56=8， 分母上﹣2+4﹣6+8﹣…+28﹣30=4+8+12+…+28﹣（2+6+10+14+18+…+30）=﹣16， 所以原式＝.故选：D． 15．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2026＝　 　． 【答案】﹣ 【解析】a1＝﹣ a2＝＝； a3＝＝4； a4＝＝﹣，因而一下三个一次循环，故a2026＝﹣． 故答案是：﹣ 16．如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0，则数轴上的点3对应刻度尺上的______ ． 【答案】10 【解析】刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0，刻度尺上的长即为数轴上的个单位长度，又数轴上的点3在0的右边3个单位长度，对应数轴上的点表示的数是0，数轴上的点3对应刻度尺上的，故答案为： 17.有一种“24点”游戏，从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，将牌面上的数字进行运算（可使用加、减、乘、除、乘方或括号），每个数用且只用一次，使其结果为24．若抽取牌面数字为，，2，3，请写出一种运算等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】由题意，得，故答案为：（答案不唯一）． 18、如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 　 　． 【答案】244872 【答案】由三个等式，得到规律：5*3⊕6＝301848可知：5×6 3×6 6×（5+3），2*6⊕7＝144256可知：2×7 6×7 7×（2+6），9*2⊕5＝451055可知：9×5 2×5 5×（9+2）， ∴4*8⊕6＝4×6 8×6 6×（4+8）＝244872．故答案为：244872． 19. 规定图形表示运算，图形表示运算．则 + =_______（直接写出答案）． 【答案】-8 【解析】三角形：1-2-3=-4，方框：4-6-7+5=-4，求和：-4+(-4)=-8。 20．“数形结合”思想在数轴上得到充分体现，如在数轴上表示数5和的两点之间的距离，可列式表示为，或；表示数和的两点之间的距离可列式表示为．已知，则的最大值为______． 【答案】：4 【解析】：由题意可得：表示x与-3的距离和x与1的距离之和，表示y与-2的距离和y与3的距离之和，∴当-3≤x≤1时，有最小值，且为1-（-3）=4，当-2≤x≤3时，有最小值，且为3-（-2）=5，∵，∴=4，=5，∴x+y的最大值为：1+3=4，故答案为：4． 三．解答题（共60分） 21．计算： （1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13） （2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5） （3）（﹣8）+（﹣7.5）+（﹣21）+（+3） （4）（﹣24）×（﹣++） 解：（1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13）=24﹣22﹣10﹣13=2﹣23=﹣21； （2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5）=﹣1.5﹣5.5+4.25+2.75=﹣7+7=0； （3）（﹣8）+（﹣7.5）+（﹣21）+（+3）=﹣8﹣21﹣7.5+3.5=﹣30﹣4=﹣34； （4）（﹣24）×（﹣++）=﹣24×（﹣）﹣24×﹣24×=16﹣18﹣2=﹣4． 22．已知|a| = 4，|b| = 4，且a ≠ b；|c| = 2，且c在数轴上对应的点在原点的右侧。 （1）求a，b，c的值； （2）在数轴上标出a，b，c对应的点； （3）分别写出a，b，c的相反数； （4）把a，b，c及它们的相反数按从小到大的顺序用"<"连接。 解：（1）|a| = |b| = 4且a ≠ b，所以a、b一个为4、另一个为−4；|c| = 2且c > 0，所以c = 2。 不妨设a = 4，b = −4（或a = −4，b = 4），c = 2。 （2）在数轴上：−4（即b）在最左边，2（即c）在原点右侧，4（即a）在最右边。 （3）−a = −4，−b = 4，−c = −2。 （4）这六个数为4，−4，−4，4，2，−2，去掉重复后按从小到大排列：−4 < −2 < 2 < 4， 即b < −c < c < a（同时−a = b，−b = a）。 23．阅读下列材料，并解答问题． 计算：． 解法1思路：原式； 解法2思路：先计算原式的倒数，，故原式等于300． (1)解法1的思路对吗？答：__________． (2)请用解法2的思路计算：． (3)计算：． 解：（1）因为除数对括号内的加减运算和运算不具有分配律，所以思路不正确﹒故答案为：不对； （2）先计算原式的倒数，， 所以； （3）， 所以，所以原式﹒ 24、若两个有理数A、B满足A+B＝8，则称A、B互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”．回答下列问题： （1）求﹣5和2x的“吉祥数”； （2）若3x的“吉祥数”是﹣4，求x的值； （3）4|x|和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由． 解：（1）根据“吉祥数”的定义可得，﹣5的吉祥数为8﹣（﹣5）＝13，2x的“吉祥数”为8﹣2x，答：﹣5的吉祥数为13，2x的“吉祥数“为8﹣2x； （2）由题意得，3x﹣4＝8，解得x＝4，答：x的值是4； （3）不能，由题意得，4|x|+9＝8，则|x|＝﹣，因为任何数的绝对值都是非负数，所以4|x|和9不能互为“吉祥数”． 25、某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，要求每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入，如表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） +5 ﹣2 ﹣5 +15 ﹣10 +16 ﹣9 （1）该厂星期一生产工艺品的数量为　 　个； （2）本周产量中最多的一天比最少的一天多生产　 　个工艺品； （3）求该工艺厂在本周实际生产工艺品多少个？ （4）已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元，求该工艺厂在这一周应付出的工资总额是多少元？ 解：（1）该厂星期一生产工艺品的数量为 305个； （2）本周产量中最多的一天比最少的一天多生产16﹣（﹣10）＝26个工艺品， 故答案为：305，26； （3）根据题意得一周生产的工艺品数为：300×7+[5+（﹣2）+（﹣5）+15+（﹣10）+16+（﹣9）]＝2100+10＝2110（个）． 答：该厂这一周共生产工艺品2110个； （4）根据题意得：超额生产一个工艺品可得60+50元，少生产一个扣80元， ∴（5+15+16）×110+[（﹣2）+（﹣5）+（﹣10）+（﹣9）]×80＝36×110﹣26×80＝1880∴（2100﹣26）×60+1880＝126320 答：该工艺厂在这一周应付出的工资总额是126320元． 26、小明觉得像0.0000057这样的数写起来很麻烦，当他学习了科学记数法以后，发现0.0000057＝＝，所以发明了一种“类科学记数法”，比科学记数法，将0.000007写成5.7÷106． （1）将下列各数用“类科学记数法”表示，0.02＝　 　；0.000407＝　 　； （2）若一个数0.0……035用“类科学记数法”表示为3.5÷106，则原数中“0”的个数为 　 　； （3）比较大小：9÷108　 　1÷107，0.000106 　 　9.8÷105； （4）纳米是长度度量单位．1纳米＝1÷109米，一种病毒的直径平均为200纳米．200纳米这个数据用“类科学记数法”可表示为 　 　米． 解：（1）0.02＝2÷102，0.000407＝4.07÷104，故答案为：2÷102，4.07÷104； （2）∵3.5÷106＝0.0000035，∴原数中“0”的个数为6个，故答案为：6； （3）9÷108＝0.00000009，1÷107＝0.0000007，∵0.00000009＜0.0000007， ∴9÷108＜1÷107，9.8÷105＝0.000098，∵0.000106＞0.000098，∴0.000106＞9.8÷105， 故答案为：＜，＞； （4）∵1纳米＝1.0÷109米，∴200纳米＝200×1.0÷109＝2.0÷107米，故答案为：2.0÷107． 27．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． 解：（1）∵点表示的数为，∴点到点的距离与点到点的距离之和为， ∴点为点、的“格距点”，∴，故答案为：； （2）∵整点为点、的“格距点”，∴，即在线段上，∴整点所表示的数是，，，，，，共个，故答案为：； （3）①当在之间时，，点表示的数为：，此时； ②当在点左边时，，点P表示的数为：，此时． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版七年级数学上提优宝典 《第二章有理数小结与思考（单元小结）》提优特训A·B卷 一．学习目标 ( 1.系统梳理全章知识，掌握有理数分类、数轴、相反数、绝对值、倒数核心概念；熟练掌握有理数加、减、乘、除、乘方以及混合运算，会用科学记数法表示大数，能解决有理数相关实际应用题、简单规律探究题 。 2.通过单元回顾，构建完整知识网络；经历概念辨析、运算训练、综合题型探究，掌握数形结合、分类讨论的思考方法，规范解题书写，提升运算准确率与综合解题能力 。 3 . 强化符号意识，能够区分易混淆概念；面对含字母绝对值、多情况问题主动进行分类讨论；能观察算式结构选用运算律简便运算，克服复杂计算畏难心理。 4.体会负数来源于现实生活，感受有理数在实际生活的应用价值；养成审题仔细、分步演算、做完检验的学习习惯，培养严谨细致的数学品质。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.有理数核心概念：有理数分类、数轴三要素，相反数、绝对值、倒数的概念与性质 。 2.有理数全套运算法则、运算律，有理数混合运算（含乘方、多层括号、分数小数）。 3.科学记数法；利用数轴比较大小，有理数简单实际应用。 （二）难点 1.绝对值的化简，含字母绝对值的分类讨论；非负数性质运用。 2.区分-a^n与(-a)^n，负数乘方的符号判断；多重符号化简。 3.混合运算中符号处理，除法没有分配律，简便运算易错点。 4.数形结合综合题、分类讨论题型、有理数规律探究题。 )三．知识梳理 ( （一） 有理数相关概念 1.正数与负数 大于0的数是正数；正数前加负号 “ - ” 为负数；0既不是正数，也不是负数，是正负数分界点。正负数用来表示具有相反意义的量，例上升与下降、收入与支出。 2.有理数分类 （1） 按定义（整数、分数）分类 （2）按正负性质分类 3.数轴 （1）定义： 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可。 （2） 性质： ① 一切有理数都可以用数轴上点表示 ； ② 数轴上右边的数总大于左边的数，可用来比较数的大小。 ) ( 4.相反数 （1）定义： 只有符号不同的两个数互为相反数；a的相反数是-a，0的相反数是0。 （2） 核心性质： ① a、b互为相反数 a+b=0； ② 互为相反数两数绝对值相等。 5.绝对值 （1）定义： 数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a| 。 （2） 非负 性： 距离不可能为负数，|a| ≥ 0（非负数）。 （3） 两个负数比较大小：绝对值大的反而小。 6.倒数 （1）定义： 乘积等于1的两个数互为倒数；a(a ≠ 0)倒数为 ； （2） 核心性质： ① 0没有倒数。 ② 若a、b互为倒数 ab=1。 （二） 有理数运算 1.加减法法则 （1） 加法法则： ① 同号相加，取相同符号，绝对值相加； ② 异号两数相加，取绝对值较大数符号，大绝对值减小绝对值； ③ 互为相反数两数相加等于0； ④ 一个数 加0仍得本身。 （2） 减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数，a-b=a+(-b)。 【 技巧 】 ：全部改写为和的形式，利用交换律、结合律：相反数结合、同分母结合、正负分组、凑整简算。 2.乘除法法则 （1） 乘法法则： ① 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘； ② 几个非0数相乘，负因数个数为偶数结果正，奇数结果负； ③ 任何数乘0得0。 （2） 除法法则： ① 除以一个不为0数，等于乘这个数的倒数； ② 两数相除，同号得正，异号得负； ③ 0不能作除数。 3.乘方 （1）定义： 求n个相同因数积的运算叫做乘方，a n ，a是底数，n是指数。 （2） 重点辨析： ① -a n ：底数为a，代表a n 的相反数；(-a) n ：底数是-a，n个-a相乘。 例：-2 2 =-4；(-2) 2 =4。 （3） 符号规律： 正数任何次幂都是正数；负数奇次幂负，偶次幂正；0正整数次幂等于0。 4.有理数混合运算顺序 （1） 先乘方（三级），再乘除（二级），最后加减（一级）； （2） 同级运算，从左向右依次计算； （3） 有括号，先算括号内部，顺序：小括号 → 中括号 → 大括号。 ) ( （三） 科学记数法 1.定义： -般地，一个绝对值大于10的数可以写成a × 10 n 的形式，其中1 ≤ |a|<10,n是正数，这种记数法称为科学记数法(scientific notation)。 2.形式： 把大于10的大数写成 a × 10 n ； 3.要求： 1 ≤ |a| <10 ，n为正整数； 4.指数规律： n=原数整数位数-1； 5.逆向还原： 把a × 10 n 的小数点向右移动n位，得到原数。 （四） 有理数大小比较 1.数轴法： 右边数大于左边数； 2. 符号法： 正数＞0＞负数，正数大于一切负数； 3. 负数比较： 两个负数，绝对值大的数值反而小。 （五）常见条件翻译（大题必考） 1.a、b互为相反数 a+b=0 2.c、d互为倒数 cd=1 3.|x|=m(m>0) x=m 或 x=-m 4.A 2 +|B|=0 A=0，B=0（平方、绝对值均为非负数） ) A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一选择题（共30分） 1．中国古代数学著作《九章算术》就最早提到了负数，的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 2．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中正确的是（    ） A．若，则a=b B．互为相反数的两数之和为 C．零是最小的整数 D．数轴上的两个有理数，较大的数离原点较远 4.手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细 （正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（    ） 转账——来自天青色   微信红包——发给高原红     A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元 5.如图是5个城市的国际标准时间（单位：时），那么北京时间1月12日上午9时对应的是（    ） A．伦敦时间1月12日凌晨2时 B．纽约时间1月12日晚上22时 C．多伦多时间1月11日晚上20时 D．汉城时间1月12日上午10时 6．如果a，b是非零有理数，那么的值不可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 7.如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点， 其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动， 那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（    ） A．A B．B C．C D．D 8.若(x-3)2+|y+1|=0，则2x-3y的值为（ ） A. 3 B. 9 C. -3 D. -9 9.用分配律计算(-24)×(-+)，正确展开式是（ ） A. -24× -24× +24× B. -24× +24× -24× C. -24× -24× -24× D. 24× -24× +24× 10.按如图所示的运算程序运算，若开始输入的值为，则最终输出的结果是． A. B．12 C．11 D．10 二．填空题（共30分） 11．比较大小∶用“>”，“<”或“＝”填空∶_______． 12．两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是82分， 小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作-3分，她得了_________分． 13．如图，在数轴上点表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知AB=5，则点B表示的数为__________． 14．已知满足，则代数式的值是 ． 15．观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32026的个位数字是　 　． 16．按如图程序计算，如果输入的数是，那么输出的数是__________． 17．对于任意有理数a，b，规定一种新的运算：a*b＝a2＋b2－a－b＋1，则(－3)*5＝_ _． 18．如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0，则数轴上的点3对应刻度尺上的______ ． 19．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可） 20．如图，已知数轴上的点A表示的数为，点C表示的数为6，点B是的中点， 动点P从点A出发，以每秒 3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为3个单位长度. 三．解答题（共60分） 21．计算： （1） （2） （3）21-49.5+10.2-2-3.5+19 （4） 22.阅读材料，思考后请试着完成计算： 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1＋2＋3＋…＋100＝？ 经过研究，这个问题的一般性结论是1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，其中n是正整数． 现在我们来研究一个类似的问题：1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝？ 观察下面三个特殊的等式： 1×2＝(1×2×3－0×1×2)； 2×3＝(2×3×4－1×2×3)； 3×4＝(3×4×5－2×3×4)． 将这三个等式的两边相加，可以得到1×2＋2×3＋3×4＝×3×4×5＝20. 读完这段材料，请计算： (1)1×2＋2×3＋…＋100×101； (2)1×2＋2×3＋…＋2026×2027. 23．某工厂生产一批零件，标准长度为50 mm，超过标准长度的部分记为正数，不足的部分记为负数。抽检6个零件，记录如下（单位：mm）：+0.1，−0.3，+0.05，−0.2，0，+0.4。 （1）这6个零件中，哪个最符合标准？请说明理由； （2）哪个零件偏离标准最远？ （3）按与标准长度的接近程度，把这6个零件由近到远排列。 24.已知|a| = 3，|b| = 5。 （1）若a > 0，b < 0，求a，b的值； （2）在（1）的条件下，在数轴上标出a，b，−a，−b对应的点，并把它们按从小到大的顺序用"<"连接； （3）若|a| = |b|，则a与b满足什么关系？ 25．如图，数轴上，O点与C点对应的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． (1)直尺的长为_________个单位长度； (2)若直尺在数轴上O、C间，且B、C两点之间的距离是O、A两点之间的距离的4倍，求此时A点对应的数； (3)设直尺以（2）中的位置为起点，以1个单位/秒的速度沿数轴匀速向右移动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒． ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，求m的值； ②当时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两个点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值． 26．【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2②＝　 　；（﹣）③＝　 　； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　，（）⑥＝　 　． （3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．下列各数中，既是负数又是整数的是（　　） A．−2 B．− C．0 D．3 2．数轴上点A表示−2，点B表示−5，则（　　） A．点A在点B的右边 B．点A在点B的左边 C．两点重合 D．无法判断 3．绝对值等于3的数是（　　） A．3 B．−3 C．3或−3 D．以上都不对 4．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．−(+3)与+(−3) B．−(−3)与−(+3) C．|−3|与3 D．−|−3|与−3 5．在−(−2)，−|−2|，+(−2)，−(+2)，|−2|中，化简结果为2的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．计算：的结果是（     ） A．2 B.-25 C.-7 D．以上都不是 7．对于任意有理数a、b，定义新运算．例如．则的值为（    ） A． B．17 C． D．1 8、生活中常用的十进制是用0-9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0-F来表示0-15，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … 十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 … 例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（　） A．28 B．62 C．238 D．334 9．根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（    ） A. B． C． D． 10.如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（　　） ①B对应的数是2；②点P到达点B时，t＝3；③BP＝2时，t＝2；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 二．填空题（共30分） 11．如图是加工某零件的尺寸要求，现有的4件产品，直径尺寸（单位：mm）如下：45.04，44.09，44.98，45.01，则其中不合格的产品有____件． 12．如图，在数轴上，注明了四段的范围，其中第 （填序号）段上有三个整数． 13．若2026个数、、…、a2026满足下列条件：，，，…，，则a2026的值为_________. 14.计算结果等于=_________. 15．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，则a2026＝　 　． 16．如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0，则数轴上的点3对应刻度尺上的______ ． 17.有一种“24点”游戏，从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，将牌面上的数字进行运算（可使用加、减、乘、除、乘方或括号），每个数用且只用一次，使其结果为24．若抽取牌面数字为，，2，3，请写出一种运算等式： ． 18、如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 　 　． 19. 规定图形表示运算，图形表示运算．则 + =_______（直接写出答案）． 20．“数形结合”思想在数轴上得到充分体现，如在数轴上表示数5和的两点之间的距离，可列式表示为，或；表示数和的两点之间的距离可列式表示为．已知，则的最大值为______． 三．解答题（共60分） 21．计算： （1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13） （2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5） （3）（﹣8）+（﹣7.5）+（﹣21）+（+3） （4）（﹣24）×（﹣++） 22．已知|a| = 4，|b| = 4，且a ≠ b；|c| = 2，且c在数轴上对应的点在原点的右侧。 （1）求a，b，c的值； （2）在数轴上标出a，b，c对应的点； （3）分别写出a，b，c的相反数； （4）把a，b，c及它们的相反数按从小到大的顺序用"<"连接。 23．阅读下列材料，并解答问题． 计算：． 解法1思路：原式； 解法2思路：先计算原式的倒数，，故原式等于300． (1)解法1的思路对吗？答：__________． (2)请用解法2的思路计算：． (3)计算：． 24、若两个有理数A、B满足A+B＝8，则称A、B互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”．回答下列问题： （1）求﹣5和2x的“吉祥数”； （2）若3x的“吉祥数”是﹣4，求x的值； （3）4|x|和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由． 25、某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，要求每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入，如表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） +5 ﹣2 ﹣5 +15 ﹣10 +16 ﹣9 （1）该厂星期一生产工艺品的数量为　 　个； （2）本周产量中最多的一天比最少的一天多生产　 　个工艺品； （3）求该工艺厂在本周实际生产工艺品多少个？ （4）已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元，求该工艺厂在这一周应付出的工资总额是多少元？ 26、小明觉得像0.0000057这样的数写起来很麻烦，当他学习了科学记数法以后，发现0.0000057＝＝，所以发明了一种“类科学记数法”，比科学记数法，将0.000007写成5.7÷106． （1）将下列各数用“类科学记数法”表示，0.02＝　 　；0.000407＝　 　； （2）若一个数0.0……035用“类科学记数法”表示为3.5÷106，则原数中“0”的个数为 　 　； （3）比较大小：9÷108　 　1÷107，0.000106 　 　9.8÷105； （4）纳米是长度度量单位．1纳米＝1÷109米，一种病毒的直径平均为200纳米．200纳米这个数据用“类科学记数法”可表示为 　 　米． 27．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个； (3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $