3.3探索与表达规律（课时练习） -2026—2027学年北师大版数学七年级上册

3.3探索与表达规律（课时练习） 一、单选题 1．如图图形是同样大小的小五角星按一定规律组成的，按此规律排列，则第n个图形中小五角星的个数为（　　） A． B． C． D． 2．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（　　） A．37 B．38 C．41 D．44 3．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭8个这样的小正方形需要的小棒数量为（　　） A．22 B．25 C．28 D．30 4．对于每个正整数n，设f（n）表示n（n+1）的末位数字．例如：f（1）＝2（1×2的末位数字），f（2）＝6（2×3的末位数字），f（3）＝2（3×4的末位数字），…则f（1）+f（2）+f（3）+…f（2022）的值为（　　） A．4042 B．4048 C．4050 D．10 5．下列图形是按一定规律排列的．依照此规律，第⑥个图形需（　　）根火柴棒 A．40 B．41 C．42 D．43 6．如下数表是由从1 开始的连续自然数组成．下面所给的判断中，不正确的是（　　） A．表中第8行的最后一个数是64 B．第n行的第一个数是(n－1)2+1 C．第n行的最后一个数是n2； D．第n行共有2n个数 7．用围棋子按下面的规律摆放图形，则摆放第2023个图形需要围棋子的枚数是（　　） A．4047 B．6069 C．6070 D．6071 8．. 有94个数如下排列：第94个数是（     ） A．4 B．1 C．7 D．无法确定 9．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则从下到上前31个台阶上数的和为（     ） A．7 B．10 C．15 D．21 二、填空题 10．将按如图所示的规律摆放，则第个图形中有　 　个． 11．用木棒按如图所示的规律摆放图形，第n个图形需要木棒　 　根． 12．让我们轻松一下，做一个数字游戏 第一步取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，计算得……，依此类推，则　 　． 13．如图是一个宫格图，图中实线划分的区域是一个宫，共有4个宫，每一宫又被虚线分为四个小格．根据图中已经给的提示数字，在其他的空格上填入数字．使每个数字在每一行、每一列和每一宫中都只出现一次．则图中点A位置所填的数字为　 　． 14．观察下列球的排列规律（其中是实心球，是空心球）：从第1个球起到第2022个球止，共有实心球　 　个． 15．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设底面，第1个图案用了4块灰色的瓷砖，第2个图案用了6块灰色的瓷砖，第3个图案用了8块灰色的瓷砖，…，第个图案中灰色瓷砖块数为　 　. 16．小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律， （1）5条直线两两相交最多有　 　个交点； （2）n条直线两两相交最多有　 　个交点．（用含有字母n的式子表示，） 17．在2024年迎新联欢会上，数学老师和同学们做了一个游戏．她在A，B，C三个盘子里分别放了一些小球，，，记为．游戏规则如下：三个盘子中的小球数，则从小球最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操作．若，则　 　，　 　． 18．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第2022次输出的结果为　 　． 19．用棋子摆出如图所示的一组“口”字，照样子摆下去，摆第个“口”字需用棋子_____________枚． 20．给出一列数：，在这列数中，记第60个值等于1的项的序号为m，则　 　． 21．数学实践课中：一张纸片，第一次将其撕成四小片，以后每次都将其中一片撕成更小的四片，如此进行下去，撕到第2次手中共有7张纸片，问撕到第4次时，手中共有　 　张，撕到第n次时，手中共有　 　（用含有n的代数式表示）张． 22．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是=－1，－1的差倒数是=.已知a1=－，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，以此类推，则a2016=　 　 . 23．观察下列图形，它是把一个三角形分别连结这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图 )；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，...，将这种 做法继续下去(如图(2)， 图(3...)， 则图6中挖去三角形的个数为　 　 三、解答题 24．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5= ； （2）用含有n的代数式表示第n个等式：an= = （n为正整数）； （3）已知|ab－3|与|a－1|互为相反数，试利用上面的规律求下式的值． 25．用同样规格的黑，白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺宽为米的小路． （1）铺第6个图形用黑色正方形瓷砖 　　块，用白色正方形瓷砖 　　块； （2）按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖 　　块，用白色正方形瓷砖 　　块（用含n的代数式表示）； （3）在（2）的基础上，若黑，白两种颜色的瓷砖规格都为（长为米×宽米），若按照此方式铺满一段总面积为平方米的小路时，n是多少？ 26．如图，两叠规格相同的杯子整齐地叠放在桌面上． （1）按如图所示叠放时，相邻两个杯子杯口之间的高度相差______； （2）若个杯子按如图所示方式整齐叠放在桌面上． ①求这些杯子的顶部距离桌面的高度；（用含的代数式表示） ②当时，求这些杯子的顶部距离桌面的高度． 27．下列是用火柴棒拼出的一列图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： （1）第3个图中共有________根火柴；第4个图中共有________根火柴：第6个图中共有________根火柴； （2）第n个图形中共有________根火柴；（用含n的式子表示） （3）第2021个图形中共有多少根火柴？ 28．我国在数的发展上有辉煌的成就，中国古代的算筹计数法可追溯到公元前五世纪，算筹是竹制的小棍，摆法有纵式和横式两种（如图1）.以算筹计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……，这样纵横依次交替，零以空格表示.如3257表示成“ ”. ①请用算筹表示数23，701；（分别表示在答题卷的图2、图3中） ②用三根算筹表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），在答题卷的图4中摆出来，并在下方横线上填上所表示的数.（注：图4中的双方框个数过多）. 29．观察下面三行数 ，9，，81，…；① 1，，9，，…；② ，10，，82，…；③ （1）第①行数的第5个数为_____，第②行数的第5个数为_____，第③行数的第5个数为_____； （2）若设第一行的第个数是，则第二行的第个数是_____（用含的式子表示）； （3）设，，分别为第①②③行的第2024个数，求的值． 30．折叠纸面，若在数轴上 表示的点与 表示的点重合，回答以下问题： （1）数轴上 表示的点与 表示的点重合． （2）若数轴上 、两点间的距离为在 的左侧)，且 、两点经折叠后重合，求 、 两点表示的数是多少？ （3）如图，边长为 的正方形有一顶点 落在数轴上表示 的点处，将正方形在数轴上，向右滚动(无滑动)，正方形的一边与数轴重合记为滚动一次，求正方形滚动 次后，数轴上表示点 的数与折叠后的哪个数重合？ 31．观察下列各式，寻找规律： 已知x≠1，计算： （x﹣1）（1+x）＝x2﹣1 （x﹣1）（1+x+x2）＝x3﹣1 （x﹣1）（1+x+x2+x3）＝x4﹣1 （x﹣1）（1+x+x2+x3+x4）＝x5﹣1 … （1）根据上面各式可得规律：（x﹣1）（1+x+x2+x3+…+xn）＝　 　. （2）根据(1)中规律计算1+2+22+23+24+…+22018的值. （3）求314+315+…+3100的个位数字. 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵f（n）表示n（n+1）的末位数字， ∴f（1）＝2，f（2）＝6，f（3）＝2，f（4）＝0，f（5）＝0，f（6）＝2，f（7）＝6，f（8）＝2，…， ∴f（n）的结果每5次循环一次， ∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝10，2022÷5＝404…2， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2022）＝10×404+f（1）+f（2）＝4048， 故答案为：B． 【分析】先根据代数式求出规律f（n）的结果每5次循环一次，再结合2022÷5＝404…2，可得f（1）+f（2）+f（3）+…f（2022）＝10×404+f（1）+f（2），再计算即可。 5．【答案】C 6．【答案】D 【解析】【解答】解：根据数表可知：从1 开始的连续自然数按照如下规律排列：第1行有1个数，第2行有2×2-1=3个数，第3行有2×3-1=5个数，第4行有2×4-1=7个数，则第n行共有（2n-1）个数，且每行的最后一个数为此行行数的平方，所以A、B、C不符合题意；D符合题意， 故答案为：D. 【分析】观察数据的排列规律，可知第n行的最后一个数是n2；第n行共有（2n-1）个数；第n行的第一个数是 (n－1)2+1 ，据此可得出不正确的选项。 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】C 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】65 13．【答案】 14．【答案】607 15．【答案】2n+2 16．【答案】（1）10 （2） 【解析】【解答】解：（1）由题知， 2条直线相交最多产生的交点数为：1=1； 3条直线相交最多产生的交点数为：3=1+2； 4条直线相交最多产生的交点数为：6=1+2+3； 5条直线相交最多产生的交点数为：10=1+2+3+4； 故答案为：10. （2）以此类推，可得n条直线相交最多产生的交点数为： 1+2+3+...+n-1= 故答案为：. 【分析】依次求出2条，3条，4条，…，直线相交产生的最多交点数，发现规律即可解决问题． 17．【答案】； 【解析】【解答】解： ， ，，，，，，，，，……， 从开始每3次为一个周期循环， ， ， 故答案为：， 【分析】根据题意得到从开始每3次为一个周期循环，进而即可求解。 18．【答案】 19．【答案】 【解析】解答】解：∵直线 ， ∴由题可知，直线l与 x轴的夹角为30°， ∵点 ，即OA＝2， ∴ ， ∵∠AOA1＝30°， ∴∠A1AO＝60°， ∴∠AA1A2＝30°， ∴A1A2＝AA1cos30°， 同理，A2A3＝A1A2cos30°＝AA1cos230°， A3A4＝A2A3cos30°＝AA1cos330°， …， ∴ ， 当n＝2016时， ＝ ， 故答案为： . 【分析】根据题意分别求出线段AA1，A1A2，A2A3的长度，进而发现规律得到AnAn+1的长度，令n＝2016，即可求出线段A2016A2017的长. 20．【答案】7081 21．【答案】13；3n+1 【解析】【解答】解：从图中可以看出，当撕了1次时，手中有4张纸=3×1+1； 当撕了2次时，手中有7张纸=3×2+1； 当撕了3次时，手中有10张纸=3×3+1； … 可以发现：撕了几次后，手中纸的张数等于3与几的乘积加1． 所以，当撕了4次时，手中有3×4+1=13张纸． 设撕的次数为n，纸的张数为s，按照规律可得：s=3n+1． 故答案为：13；3n+1． 【分析】分别数出三个图形中正方形的个数，第二个和第三个图形中正方形的个数就是分别撕了一次和两次后手中纸的张数．撕了几次后，手中纸的张数等于3与几的乘积加1．如当撕了2次时，手中有7张纸=3×2+1；由此可得，撕了4次时，手中有3×4+1=13张纸；设撕的次数为n，纸的张数为s，按照（1）中的规律即可得出答案． 22．【答案】3 【解析】【解答】解：a1=- ， a2= = ，a3= =3， a4= = ，a5= = ，a6= =3， …… ∵2016÷3=672， ∴a2016=a3=3. 【分析】根据“差倒数”的定义先求出a1、a2， a3，a4，a5 ，a6的值，···，可得每3个数一循环，据此即可求解. 23．【答案】364 【解析】【解答】解：∵当n=1时，挖去三角形的个数是1个，即30个， n= 2时，挖去三角形的个数是4个=(30+31)个， n=3时，挖去三角形的个数是13个=(30+31+32)个， ∴图n中挖去三角形的个数是(30+31+32+···+3n)个， 所以图⑥中挖去三角形的个数是(30+31+32+···+36)个，= 364个. 故答案为：364. 【分析】分别得出前三项挖去的三角形的个数，据此总结出规律，即图n中挖去三角形的个数是(30+31+32+···+3n)个，根据规律把n=6代入计算即可. 24．【答案】（1）；（2），；（3） 25．【答案】（1）25，14 （2）， （3）16 26．【答案】（1） （2）①；② 27．【答案】（1）10；13；19 （2） （3）共有6064根火柴 28．【答案】解：如下图 【解析】【分析】根据题干提供的算筹 表示方法一一摆出即可。 29．【答案】（1），81， （2） （3）解：∵，，分别为第①②③行的第2024个数，∴， ∴ ． 【解析】解：（1）通过观察发现：第①行的第n个数学为；第②行的第n个数学为；第③行的第n个数学为； 所以第①行数的第5个数为，第②行数的第5个数为，第③行数的第5个数为． 故答案为：，81，． 解：（2）∵第②行数是第①行数相应的数乘，即， ∴设第一行的第个数是，第二行的第个数是． 故答案为：． 【分析】（1）观察可看出第①行的数，分别是的1次方，二次方，三次方，四次方…且偶数项是正数，奇数项是负数，用式子表示规律为：，再观察发现第②行是第①行的；第③行是在第①行的基础上加1，据此即可求解； （2）观察②两行的数与第①行的计算规律，把第②行数是第①行数相应的数乘，进而得到 第二行的第个数，即可解答； （3）分别求得第①②③行的2024个数，根据有理数乘方的计算公式，求得x，y，z的值，代入代数式计算，即可求解. （1）解：通过观察发现：第①行的第n个数学为；第②行的第n个数学为；第③行的第n个数学为； 所以第①行数的第5个数为，第②行数的第5个数为，第③行数的第5个数为． 故答案为：，81，． （2）解：∵第②行数是第①行数相应的数乘，即， ∴设第一行的第个数是，第二行的第个数是． 故答案为：． （3）解：∵，，分别为第①②③行的第2024个数， ∴， ∴ ． 30．【答案】（1） （2）； （3） 31．【答案】（1） （2）解：原式=(2-1)(1+2+22+23+24+…+22018)= （3）解： ∵的个位数字以3，9，7，1进行四次一个循环， ∴的个位数字为3，的个位数字为9， 所以的个位数字为7. 【解析】【解答】（1）根据规律可得：（x﹣1）（1+x+x2+x3+…+xn）＝， 故答案为：. （3）原式=314+315+…+3100=（1+3+32+……+314+315+…+3100）-（1+3+32+…+313）=， ∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243， ∴个位数按3，9，7，1进行循环， ∴原式的个位数字之和为：1+7+9+3+……+7+9=22×20-3=437， ∴314+315+…+3100的个位数字为7， 故答案为：7. 【分析】（1）根据题干中数据直接可得规律（x﹣1）（1+x+x2+x3+…+xn）＝，从而得解； （2）利用（1）的规律，将原式变形为 (2-1)(1+2+22+23+24+…+22018) ，再计算即可； （3）先求出规律：个位数按3，9，7，1进行循环，再求出原式的个位数字之和为：1+7+9+3+……+7+9=22×20-3=437，可得314+315+…+3100的个位数字为7，从而得解. 学科网（北京）股份有限公司 $