3.3探索与表达规律课时练习2026-2027学年北师大版七年级上册数学

**基本信息** “3.3探索与表达规律”同步练通过基础、提升、综合三层设计，覆盖数字、图形、表格规律，培养抽象能力与推理意识，适配新授课巩固与适度拓展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|数字/图形简单规律（如选择1、填空6）|通过具体实例观察，夯实规律识别基础| |提升|数列/表格复杂规律（如选择5、填空10）|结合递推关系，发展归纳推理能力| |综合|规律综合应用（如解答14-15）|联系实际情境，强化模型意识与应用能力|

3.3探索与表达规律 课时练习 一.选择题：（每小题5分，共25分） 1. 观察下列各数：1，1，，，，…按你发现的规律计算这列数的第7个数为（　　） A. B. C. D. 2.在某月的日历表中，竖列取连续的三个数字，它们的和可能是( ) A. 18 B. 38 C. 75 D. 33 3.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是(　　) A. M＝mn B. M＝n(m＋1) C. M＝mn＋1 D. M＝m(n＋1) 4.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定x的值为（　　） A. 135 B. 170 C. 209 D. 252 5.一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，an=（n为不小于2的整数），则a2015=（　　） A. B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2 二、填空题(每题5分，共25分) 6. 观察下列各式： 13＝12 13＋23＝32 13＋23＋33＝62 13＋23＋33＋43＝102 … 猜想13＋23＋33＋…＋103＝_____. 7. 观察下列等式：×2＝＋2，×3＝＋3，×4＝＋4，…，设n为自然数，则第n个式子可表示为_______． 8.如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需________根火柴 9.下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是________． 1 2 3 5 8 13 a … 2 3 5 8 13 21 34 … 10.一列数：a1，a2，a3，…an，…，其中a1=，a2=，且当n≥3时，an﹣an﹣1=（an﹣1﹣an﹣2），用含n的式子表示an的结果是_______． 三、解答题(共50分) 11. （1）填空21﹣20=2（　　），22﹣21=2（　　），23﹣22=2（　　）… （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； （3）运用上述规律计算：20﹣21﹣22﹣…﹣22014+22015． 12.如图a是一个三角形，分别连接这个三角形三变的中点得到图b，在分别连接图b中间的小三角形三边中点，得到图c，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题： 图a 图b 图c （1）将下表填写完整 图形编号 1 2 3 4 5 …… 三角形个数 1 5 9 (2)在第n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示） 13.研究下列等式，你会发现什么规律？ 1×3+1=4=22 2×4+1=9=32 3×5+1=16=42 4×6+1=25=52 … 设n为正整数，请用n表示出规律性的公式来. 14.有规律排列的一列数：2,4,6,8,10,12，…，它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示；则有规律排列的一列数：1，－2,3，－4,5，－6,7，－8，… (1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？ (2)它的第100个数是多少？ (3)2025是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？ 15.已知平面内任意三个点都不在同一直线上，过其中任两点画直线。 （1）若平面内有三个点，一共可以画几条直线？ （2）若平面内有四个点，一共可以画几条直线？ （3）若平面内有五个点，一共可以画几条直线？ （4）若平面内有n个点，一共可以画几条直线？ （解析卷） 一.选择题：（每小题5分，共25分） 1. 观察下列各数：1，1，，，，…按你发现的规律计算这列数的第7个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】试题解析：1，1，，，，…整理为 ，，，，，… 可发现这列数的分子为奇数排列用2n-1表示，而分母恰是2n-1， 当n=7时，2n-1=13，2n-1=127，所以这列数的第7个数为：， 故选B． 2.在某月的日历表中，竖列取连续的三个数字，它们的和可能是( ) A. 18 B. 38 C. 75 D. 33 【答案】D 【解析】试题分析：设第一个数字为x，则第二个数字为x＋7，第3个数字为x＋14，所以3个数的和为x＋(x＋7)＋(x＋14)＝3x＋21，由图中可以看出，最小的3个数相加得24，最大的3个数相加为72，剩下选项中，只有33减去21后，能被3整除， 故选：D. 3.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是(　　) A. M＝mn B. M＝n(m＋1) C. M＝mn＋1 D. M＝m(n＋1) 【答案】D 【解析】试题分析：根据数的特点，上边的数与比左边的数大1的数的积正好等于右边的数，然后写出M与m、n的关系即可． 解：∵1×（2+1）=3， 3×（4+1）=15， 5×（6+1）=35， …， ∴M=m（n+1）． 故选D． 4.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定x的值为（　　） A. 135 B. 170 C. 209 D. 252 【答案】C 【解析】试题解析：∵a+（a+2）=20， ∴a=9， ∵b=a+1， ∴b=a+1=9+1=10， ∴x=20b+a =20×10+9 =200+9 =209 故选C． 5.一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，an=（n为不小于2的整数），则a2015=（　　） A. B. 2 C. ﹣1 D. ﹣2 【答案】B 【解析】试题解析：因为 ，所以 ， ， ，……， ，故本题应选B. 二、填空题(每题5分，共25分) 6. 观察下列各式： 13＝12 13＋23＝32 13＋23＋33＝62 13＋23＋33＋43＝102 … 猜想13＋23＋33＋…＋103＝_____. 【答案】552 【解析】试题分析：13=12 13+23=（1+2）2=32 13+23+33=（1+2+3）2=62 13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102 13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552． 解：根据数据可分析出规律为从1开始，连续n个数的立方和=（1+2+…+n）2 所以13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552． 7. 观察下列等式：×2＝＋2，×3＝＋3，×4＝＋4，…，设n为自然数，则第n个式子可表示为_______． 【答案】×(n＋1)＝＋(n＋1) 【解析】试题分析：规律：等式左右只有左边是“×”而右边是“＋”的差别；分数的分子和整数相同；分子比分母总是大1；分母按正整数排列．所以第n个式子为：×(n＋1)＝＋(n＋1). 故答案为：×(n＋1)＝＋(n＋1) 8.如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需________根火柴 【答案】157 【解析】根据第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，得出规律第n个图案需n（n+3）+3根火柴，再把11代入即可求出答案． 解：根据题意可知： 第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3， 第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3， 第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3， …， 第n个图案需n（n+3）+3根火柴， 则第11个图案需：11×（11+3）+3=157（根）； “点睛”此题主要考查图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题，难度一般偏大，属于难题. 9.下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是________． 1 2 3 5 8 13 a … 2 3 5 8 13 21 34 … 【答案】21 【解析】寻找表中第一行的数字的规律： 1+2=3； 2+3=5； 3+5=8； …… 从第三个数起，这个数是前两个数值之和。 a=13+5=21。 10.一列数：a1，a2，a3，…an，…，其中a1=，a2=，且当n≥3时，an﹣an﹣1=（an﹣1﹣an﹣2），用含n的式子表示an的结果是__． 【答案】 【解析】试题解析：因为 ， 所以， 则 ， . 三、解答题(共50分) 11. （1）填空21﹣20=2（　　），22﹣21=2（　　），23﹣22=2（　　）… （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； （3）运用上述规律计算：20﹣21﹣22﹣…﹣22014+22015． 【答案】证明见解析 【解析】试题分析：⑴按照有理数的乘方运算法则求值即可. ⑵ . ⑶先将式子降幂排列，然后依照上述规律进行计算即可. 试题解析： （1）21﹣20=2﹣1=1=20，22﹣21=4﹣2=2=21，23﹣22=8﹣4=4=22，故答案为0、1、2. （2）∵ 21﹣20=20，22﹣21=21，23﹣22=22， ∴ 2 n﹣2 n﹣1=2 n﹣1； 证明：∵ 2 n﹣2 n﹣1=2×2 n﹣1﹣2 n﹣1=2 n﹣1×（2﹣1）=2 n﹣1， ∴ 2 n﹣2 n﹣1=2 n﹣1成立． （3）20﹣21﹣22﹣…﹣22014+22015=22015﹣22014﹣22013﹣…﹣21+20=22014﹣22013﹣…﹣21+20 =22013﹣22012﹣…﹣21+20=…=22﹣21+20=21+20=2+1=3. 12.如图a是一个三角形，分别连接这个三角形三变的中点得到图b，在分别连接图b中间的小三角形三边中点，得到图c，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题： 图a 图b 图c （1）将下表填写完整 图形编号 1 2 3 4 5 …… 三角形个数 1 5 9 (2)在第n个图形中有多少个三角形（用含n的式子表示） 【答案】（1）13，17（2）1＋4（n－1）＝4n－3 【解析】试题分析：仔细分析图形的变化即可发现：每一个图形中的三角形的数目均比上一个图形中的三角形数目多4个，根据这个规律即可解决问题. （1）表格中依次填13，17； （2）在第n个图形中有1＋4（n－1）＝4n－3个三角形. 13.研究下列等式，你会发现什么规律？ 1×3+1=4=22 2×4+1=9=32 3×5+1=16=42 4×6+1=25=52 … 设n为正整数，请用n表示出规律性的公式来. 【答案】n（n+2）+1=（n+1）2 【解析】试题分析:观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方. 试题解析:等式的左边是,等式的右边是,所以用n表示出规律性的公式: . 14.有规律排列的一列数：2,4,6,8,10,12，…，它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示；则有规律排列的一列数：1，－2,3，－4,5，－6,7，－8，… (1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？ (2)它的第100个数是多少？ (3)2025是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？ 【答案】(1) (－1)n＋1n(n是正整数) (2)－100(3)2025是其中的第2025个数 【解析】试题分析：观察这个有规律的数我们可发现，它的所有的奇数都是正数，所有的偶数都是负数，那么我们可以表示出它的第n项的数就应该是（-1）n+1n（n是正整数），当n是奇数时，n+1是偶数，（-1）n+1n就是正数，当n是偶数时，n+1是奇数，（-1）n+1n就是负数，符合了这个数列的规律．可以根据这个规律来求出各问的答案． 试题解析：(1)它的每一项可以用式子(－1)n＋1n(n是正整数)表示； (2)它的第100个数是：(－1)100＋1×100＝－100； (3)当n＝2025时，(－1)2025＋1×2025＝2025，所以2025是其中的第2025个数． 15.已知平面内任意三个点都不在同一直线上，过其中任两点画直线。 （1）若平面内有三个点，一共可以画几条直线？ （2）若平面内有四个点，一共可以画几条直线？ （3）若平面内有五个点，一共可以画几条直线？ （4）若平面内有n个点，一共可以画几条直线？ 【答案】（1）3（2）4×3÷2（3）5×4÷2（4）n（n－1）÷2 【解析】试题分析：根据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上四点的直线有6条，按此规律，即可得到平面内有n个点，可画的直线数. （1）平面内有三个点，一共可以画2+1=3条直线； （2）平面内有四个点，一共可以画3+2+1=4×3÷2=6条直线； （3）平面内有五个点，一共可以画4+3+2+1=5×4÷2=10条直线； （4）平面内有n个点，一共可以画（n-1）+…+4+3+2+1=条直线． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $