3.3 探索与表达规律（分层作业15题） 《典例全解·题型通关》2026-2027学年北师大版七年级数学上册

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 3.3 探索与表达规律（分层作业15题） 一、选择题 1．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察可知，右上角的数左下角的数，左下角的数左上角的数，根据右上角的数求的值，再判断出右下角的数左下角的数与右上角的数的积左上角的数，得到，即可求解． 【详解】如图， ∵左下角的数依次为，右上角的数依次为， ∴右上角的数左下角的数，即，解得：， ∵左上角的数依次为，左下角的数依次为， ∴左下角的数左上角的数，即，解得：， ∵根据()可得：， 根据()可得：， 根据()可得：， ∴推出第()个式子为：， ∴． 2．现有一个循环小数0.231853185……，小数点后第100位上的数是（     ） A．3 B．5 C．8 D．1 【答案】C 【分析】先确定该循环小数的不循环部分和循环节，再通过计算余数得到第100位对应的数字． 【详解】解：观察循环小数，可得小数点后第1位是不循环数字，从第2位开始循环，循环节为，循环节长度为， ∵ 求小数点后第位的数字，先减去不循环的位，剩余位数为 ， ∴ 计算得，余数为，说明第位对应循环节的第个数字， ∵ 循环节的第个数字是， ∴ 小数点后第位上的数是． 3．的值在以下两数之间（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察算式各项的结构，每一项的分子比分母大1，可将每一项拆为整数1与一个分子为1的分数的和，再利用裂项相消法计算，拆分公式为，消去中间项得到结果后即可判断结果所在范围． 【详解】解： ， 又， 则原式在之间． 4．如图，下列图形是一组按照某种规律摆放而成的图案，则第8个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点的个数为；第2个图形共有圆点的个数为；第3个图形共有圆点的个数为；…；则第n个图形共有实心圆的个数为，进而得出答案． 【详解】解：第1个图形共有圆点的个数为； 第2个图形共有圆点的个数为； 第3个图形共有圆点的个数为； ……； 则第n个图形共有实心圆的个数为， 故图⑧中圆点的个数是：． 5．1883 年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称作康托尔集． 如图，取一条长度为 1 的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段．．．将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称作康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别计算出四个阶段留下的线段的长度之和，进而得出答案． 【详解】解：前四个阶段变化特点如下： 根据第一阶段时余下的线段的长度之和是； 第二阶段时，余下的线段的长度之和是； 第三阶段时，余下的线段的长度之和是； 第四阶段时，余下的线段的长度之和是． 二、填空题 6．假如2024个人排成一排，并按1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1、1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1……这样循环报数，这第2024个人所报的数是( )这2024个人所报的所有数的和是( )． 【答案】 1 6624 【分析】先确定报数的周期，观察报数序列找到重复单元的长度，计算每个周期内所有数的和．因为要得到第2024个人的报数，所以用2024除以周期长度，得到余数，根据余数对应周期内的位置确定报数．如果要计算所有数的和，那么先算完整周期的个数，用完整周期个数乘以单个周期的和，再加上余下不足一个周期的数的和即可． 【详解】解：循环周期11，组（无余数）， 第2024个数为1； 一个周期所有数的和： ， 总和． 7．若一列数依次为，即这列数从第二个数开始，后一个数总是前一个数的2倍加1，则这列数中的第9个数为______． 【答案】 【分析】根据题意给出的递推关系，总结该列数的规律，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：由题意可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ．．．， 可推得第个数为， 则第个数为． 8．在某种运算编程的程序中，如图，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12……那么第2022次输出的结果为________． 【答案】12 【分析】先计算出前几次的输出结果，从而发现输出结果的循环规律，利用周期性规律，计算即可得出结果． 【详解】解：若开始输入的x值为48， 则第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， 第10次输出的结果为， 第11次输出的结果为， 第12次输出的结果为， ……， 由此可得，从第次起，结果按照，，，，，这个数进行循环， ∵， ∴第2022次输出的结果为． 9．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 【答案】 【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解． 【详解】解：由题意知，，，，…，， 剩下部分面积为， ∴． 10．如图所示的是一组用“”组成的图案，每个图案的的总数用S来表示，当时；当时，；当时，······，当时，_____． 【答案】676 【分析】根据已知的图形中点的个数得出变化规律进而求出即可． 【详解】解：∵时图中有个点， 时图中有个点， 时图中有个点， 时图中有个点， …， ∴第n个图形中有个点， 即：， 当时，，解得：． 三、解答题 11．计算： 【答案】 【分析】本题考查了分数的化简．先观察分子分母的规律，分子分母每一项都有相同的倍数关系，可以提取公因式进行化简． 【详解】解：原式 ． 12．阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 13．观察下图圆圈中数字的排列规律，解答后面的问题． (1)图5中，_____，_____； (2)请画出第个图，并在各圆圈中填入合适的数．（用含的代数式表示，不用说理） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了数字类和图形类的变化探究，找到变化规律是解题的关键； （1）根据数字变化找到规律即可计算出的值； （2）根据规律画图即可. 【详解】解：（1）将图案分成“上面圆圈”，“左侧圆圈”和“右侧圆圈”， 由图可知第个图案，第个图案，第个图案，第个图案中，“上面圆圈”里面的数分别为，，，，⋯， 第个图案，第个图案，第个图案，第个图案中，“左侧圆圈”里面的数分别为，，，，⋯， 第个图案，第个图案，第个图案，第个图案中，“右侧圆圈”里面的数分别为，，，，⋯， 所以通过观察可知，第个图案中“右侧圆圈”里面所表示的数为， “上面圆圈”里面所表示的数为， 把代入，得，， 故答案为：，；…… （2）由（1）可得第个图中“上面圆圈”，“左侧圆圈”和“右侧圆圈”里面所表示的数分别为，，， 所以答案如图所示： 上图即为所求． 14．观察下列有规律的三行数： −2 4 −8 16 −32 64…； 0 6 −6 18 −30 66…； 0 12 −12 36 −60 132…； (1)第一行的第n个数是 ； (2)观察第一行和第二行每个对应位置上的数的关系，写出第二行的第n个数； (3)在第二行中，是否存在连续的三个数，且它们的和恰好等于198？若存在，请求出这三个数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，这三个数分别为：66，，258 【分析】（1）根据数字变化得出结论即可； （2）根据数字变化得出结论即可； （3）列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第一行数的第n个数是， （2）由（1）知，第二行每个对应位置上的数都比第一行大2， ∴第二行的第n个数是， （3）存在，理由如下： 由题意得： 解得：， ∴，，， 即这三个数分别为：66，，258． 15．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面： (1)观察图形，填写下表： 图形 （1） （2） （3） … 黑色瓷砖的块数 4 7 … 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 … (2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为________；黑白两种瓷砖的总块数为________（用含n的代数式表示） (3)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多3020块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10，35 (2)， (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的变化规律． （1）观察图形可得出第三个图形的黑色瓷砖数量和黑白两种瓷砖数量的总数； （2）通过观察图形找出黑色瓷砖块数、黑白瓷砖总块数的规律即可列出代数式； （3）结合（2）的代数式列出方程，求解方程判断是否为整数，若为整数，则能，否则不能． 【详解】（1）解：由图形（3）可知，黑色瓷砖的块数为10，白色瓷砖的块数为25， ∴黑白两种瓷砖的总块数为， 故答案为：10，35． （2）解：根据表格中的信息可得出：第n个图形中黑色瓷砖的块数为，黑白两种瓷砖的总块数为， 故答案为：，． （3）解：不能， 理由：假设白色瓷砖的块数比黑色瓷砖的块数多3020块，则可得： ，即， 解得： ∵n为整数， ∴假设不成立，故不能． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 3.3 探索与表达规律（分层作业15题） 一、选择题 1．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值为（     ）． A． B． C． D． 2．现有一个循环小数0.231853185……，小数点后第100位上的数是（     ） A．3 B．5 C．8 D．1 3．的值在以下两数之间（     ）． A． B． C． D． 4．如图，下列图形是一组按照某种规律摆放而成的图案，则第8个图中圆点的个数是（     ） A． B． C． D． 5．1883 年，康托尔用以下的方法构造的这个分形，称作康托尔集． 如图，取一条长度为 1 的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下两段，这称为第一阶段；然后将剩下的两段再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，这称为第二阶段．．．将这样的操作无限地重复下去，余下的无穷点就称作康托尔集．那么经过第四个阶段后，留下的线段的长度之和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．假如2024个人排成一排，并按1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1、1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1……这样循环报数，这第2024个人所报的数是( )这2024个人所报的所有数的和是( )． 7．若一列数依次为，即这列数从第二个数开始，后一个数总是前一个数的2倍加1，则这列数中的第9个数为______． 8．在某种运算编程的程序中，如图，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12……那么第2022次输出的结果为________． 9．将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，…，第n次对折后得到的图形面积为，则________． 10．如图所示的是一组用“”组成的图案，每个图案的的总数用S来表示，当时；当时，；当时，······，当时，_____． 三、解答题 11．计算： 12．阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 13．观察下图圆圈中数字的排列规律，解答后面的问题． (1)图5中，_____，_____； (2)请画出第个图，并在各圆圈中填入合适的数．（用含的代数式表示，不用说理） 14．观察下列有规律的三行数： −2 4 −8 16 −32 64…； 0 6 −6 18 −30 66…； 0 12 −12 36 −60 132…； (1)第一行的第n个数是 ； (2)观察第一行和第二行每个对应位置上的数的关系，写出第二行的第n个数； (3)在第二行中，是否存在连续的三个数，且它们的和恰好等于198？若存在，请求出这三个数；若不存在，请说明理由． 15．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面： (1)观察图形，填写下表： 图形 （1） （2） （3） … 黑色瓷砖的块数 4 7 … 黑白两种瓷砖的总块数 15 25 … (2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为________；黑白两种瓷砖的总块数为________（用含n的代数式表示） (3)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多3020块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $