精品解析：上海市位育中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

2025-2026学年上海市徐汇区民办位育中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，那么下列结论正确的是（） A. B. C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由比例关系设参数表示变量，代入各选项验证即可． 【详解】解：∵， ∴设，，（）． A、，，∵，∴A错误． B、，该值随变化，不一定等于，∴B错误． C、的值取决于，不一定为2,3,5，∴C错误． D、，∴D正确． 故选：D． 2. 在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么下列说法错误的是（） A. 周长缩小为原来的 B. 面积缩小为原来的 C. 各内角的大小保持不变 D. 各边中线的长缩小为原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设原锐角的三边分别为a，b，c，变化后的三角形三边分别为， 各边长都缩小为原来的， 则， 根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似， ∴变化前后的两个三角形相似，且相似比为， 原三角形周长， 变化后三角形周长， 所以周长缩小为原来的，故A不符合题意； 根据相似三角形面积比等于相似比的平方， 相似比为， 面积比为， ∴变化后三角形面积缩小为原来的，而不是，故B符合题意； 根据相似三角形的性质：相似三角形对应角相等， 变化前后的两个三角形相似， 各内角的大小保持不变，故C不符合题意； 根据相似三角形对应中线的比等于相似比， 相似比为， 各边中线的长缩小为原来的，故D不符合题意； 故选：B． 3. 如果抛物线的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点是它的最低点得到抛物线开口向上，则，即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的顶点是最低点， ∴二次项系数， ∴ ． 故选：C． 4. 如图，小位用两根长度不等的木条可测得花瓶内口径的宽度．如果，且量得，则的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先连接，先根据“两边成比例且夹角相等”得∽，进而得出，此题可解． 【详解】解：连接， ， ∴， 即． ， ∽， ． 又， ， 即宽度为： 故选：． 5. 如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键． 由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断B，C，D，由两个角对应相等的两个三角形相似可判断A，从而可得答案． 【详解】解：，， ， ，， ， 能判定相似的是， 故选：． 6. 如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（ ） A. 与的面积相同，且与平行 B. 与的面积相同，且与不平行 C. 与的面积相同，且与平行 D. 与的面积相同，且与不平行 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线、重心，三角形面积，由题意可得，利用三角形重心性质可得，进而可得，即可判断结论A正确． 【详解】解：内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6， ， 的重心为G， ， ， 点D、G到的距离相等，且位于的同侧， ，故结论A正确；结论B错误； 又，， ∴，故选项C、D错误， 故选：A． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段， 由线段比例中项的定义，可得，代入已知数据求解． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项，且，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 8. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 9. 已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】设第二个矩形较长的一边长是a，根据相似多边形的性质得出，再求出a即可． 【详解】解：设第二个矩形较长的一边长是a， ∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4， ∴， 解得∶， 即第二个矩形较长的一边长是， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质（相似多边形的对应边的比相等）是解此题的关键． 10. 已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为27，那么的最短边的长是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质， 先计算的周长，再根据相似三角形的周长比等于相似比，求出相似比，最后利用相似比求最短边． 【详解】解：∵的周长为，且与相似，的周长为27， ∴周长比为， ∴相似比为． ∵的最短边为2， ∴的最短边为． 故答案为：6． 11. 已知，如果它们的面积比为，那么对应高的比为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质， 相似三角形的面积比等于相似比的平方，而对应高的比等于相似比． 【详解】解：∵，面积比为， ∴相似比为， ∴对应高的比为． 故答案为：． 12. 在中，点D、E分别在边上，，如果，AD：：3，那么的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 由，根据平行线分线段成比例定理，可得，结合题意可求，从而求出，再根据求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴设，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如果将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，那么平移后所得抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减，进行解答即可． 【详解】解：抛物线， 平移后所得新抛物线的表达式是：， 即：， 故答案为：． 14. 二次函数的图象上有两个点、，如果，那么a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 通过计算点和处的函数值，代入条件，得到不等式，求解可得的取值范围． 【详解】解：由二次函数， 当时，， 当时，， 由，得， 化简得，即， ，得． 故答案为：． 15. 如图，在中，，于D，如果，那么的值是________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明，则，设，，则，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ， ， ， 设，，则， ， 故答案为：． 16. 如图，在梯形中，，点E、F分别在边上，且，如果，，，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定， 作，可得四边形和四边形都是平行四边形， 再求出，然后说明，进而得到，最后根据得出答案． 【详解】解：作交于点P，交于点Q， ， 四边形和四边形都是平行四边形，， ，． ， ． ， ． ， ∽， ， ， ． 故答案为：． 17. 定义：在同一平面内，如果两条线段所在直线形成的夹角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．如图，在中，点D、E分别在边、上，于D，与相交于点若边是边的双关联线段，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作于点H，如图所示：证明是直角三角形，直角三角形，得出，证明，根据边是边的双关联线段，得出，，根据，设，则，在中，得出，则，由勾股定理得，，，在中，，设，则，由勾股定理得：，则，，，表示出，证明，得出，则，可得，即可求解． 【详解】解：过点E作于点H，如图所示： ， 是直角三角形， 于D， ， 直角三角形，， ， 边是边的双关联线段， ，， ， 设，则， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， 设，则， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ， 点H是的中点， ∵， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 18. 【模型构建】如图1，已知，如果，那么，我们把这种图形叫做“一线三等角”． 【探究应用】如图2，在梯形中，，，，点E在边上，，P、Q分别是边的中点．如果，且，那么的长为________． 【答案】7 【解析】 【分析】延长，过点D作，垂足为F，根据题意四边形为矩形，取的中点，连接，得到是等边三角形得出，根据示例得出，然后根据对应边成比例，求出相关线段的长度，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长，过点D作，垂足为F，根据题意四边形为矩形． 取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又， 根据“一线三等角”模型，， ， 在中，假设，则， 由勾股定理可得，, ， ，，． 过点P作的垂线，G为垂足，则 是的中点， 是梯形的中位线，，，， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知：． （1）如果，，，求c、d的值； （2）求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：设，则，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握比例的基本性质． （1）利用比例的基本性质进行求解即可； （2）利用比例的基本性质进行证明即可． 【小问1详解】 解：，且，， ， ， ， ， 解得， ， 、d的值分别为3、； 【小问2详解】 略 20. 二次函数的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是 （1）填空： ①抛物线的对称轴为直线______； ②图象与x轴的另一个交点坐标为______． （2）如果该函数图象经过点，求它的顶点坐标． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质， 对于（1），根据抛物线中对称轴为解答；再根据抛物线的对称性求出另一个交点； 对于（2），将两个点的坐标代入关系式，再根据顶点式求出顶点坐标． 【小问1详解】 解：①， 抛物线的对称轴为直线 故答案为： ②抛物线的对称轴为直线，它与x轴的一个交点坐标是， 图象与x轴的另一个交点坐标为 故答案为： 【小问2详解】 解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 它的顶点坐标为 21. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，，， （1）求的长； （2）如果点A到的距离为8，求四边形的面积． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证即可得解； （2）利用面积比是相似比的平方即可得解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题可知， ，且相似比为， ， 同理可得， ． 22. 如图，在中，，点D在边上，且，， （1）求的长； （2）将绕着点B旋转，使点D与点A重合，此时点C的对应点记为点E，与交于点F，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合两个三角形的高相等，它们的面积的比等于底的比，即，则，又因为，，则，证明，把数值代入进行计算，即可作答． （2）根据旋转的性质，得，，根据相似三角形的性质得，再证明，得，，即，得．即可作答． 【小问1详解】 解：∵，两个三角形的高相等，它们的面积的比等于底的比， ， ，， ， ， 即， 解得， ； 【小问2详解】 解：旋转后图形如图， 由题可知，， ，， 由（1）知 ， ， ， ， ， ， ， 又， ． 23. 如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，，点E在边上，且满足． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 又， ； （2） 证明：，， 为等腰直角三角形， ，， ，， 由（1）知， ， ， ， ，即， ，即， 由（1）知， ，即， ． 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，证明三角形相似是解题的关键． （1）根据，得出，证明，得出，从而得出，结合，即可证明； （2）证明为等腰直角三角形，得出，，从而得出，，由（1）知，从而得，证明，得出，从而得，由（1）知，则，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点抛物线与直线的图像交于B、C两点（点C在B点左侧），且，抛物线的顶点为 （1）求该抛物线的表达式； （2）将抛物线沿着平行于x轴的直线l翻折，翻折后得新抛物线．设原抛物线与x轴的交点为E、F，且的重心G恰好落在直线l上，求翻折后新抛物线的表达式； （3）平移原抛物线，将顶点D移至直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点的记作点，当时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先利用直线的解析式求得，，作轴于M，则，得出，即可求得，把代入直线解析式求得C的纵坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的表达式； （2）把解析式化成顶点式求得顶点坐标，进一步求得抛物线于x轴的交点，即可求得的重心G的坐标，得出直线l的表达式，利用轴对称的性质求得新抛物线的顶点坐标，即可求得翻折后的函数解析式； （3）设，则平移后的抛物线为，令，求得，则，然后分两种情况，利用三角函数的定义求得t的值，进而即可求得的长． 【小问1详解】 解：如图1，作轴于M，则， 直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ，， ，， ， ∴， ， ， 点的横坐标为， 把代入得，， ， 把B、C的坐标代入得， 解得， 该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：， ， 令，则， 整理得， 解得，， ，， 的重心G为，即， 直线l为：， 关于直线l的对称点为， 翻折后新抛物线的表达式为 【小问3详解】 解：如图2，当D在y轴的左侧时， 点在直线上， 设， 平移后的抛物线为， 令，则， ， ， ， ， ， 解得， ； 如图3，当D在y轴的右侧时，则， 解得 ， 综上，的长为或 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，直角三角函数，三角形的重心高等，掌握上述知识点是解题的关键． 25. 已知，在中，，，点E在直线上，射线与射线交于点G，过点C作于H，射线交直线于点 （1）如图，当点E在射线上时， ①求证：； ②当点E恰好为边的中点时，求的值； （2）射线与射线交于点M，当，且与相似时，请直接写出的长． 【答案】（1） ①证明：，， ， ， ， ，，即， ， ， ， 在平行四边形中，，， ， ， ， ，， ； ② （2）3或 【解析】 【分析】（1）①依次证明，，，结合相似三角形的性质可得结论； ②设，则，，可得，，，进一步结合勾股定理与相似三角形的性质可得答案. （2）分两种情况画图讨论：如图，当点E在点C上方时，此时，则，当点E在点C下方时，此时，结合相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质进一步求解即可. 【小问1详解】 ① 略 ②如图， 设，则，， ， ∽， ， ，， 由勾股定理可得，， 在中，， ∴， 由勾股定理可得， ， ， ， ∽， . 【小问2详解】 解：，， ； 如图，当点E在点C上方时， 此时，则， 在中，， ， ， ， ， 由（1）知， ， ∵， ∴，， ， ， ， ∴， ∴ 为直角三角形， ∵， 为等腰直角三角形， ； 当点E在点C下方时， 此时， 同理可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ，即， 解得， 过E作于点Q， 则为等腰直角三角形， ， 点Q、M重合， 为等腰直角三角形， ； 综上，的长为3或. 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，二次根式的化简，等腰直角三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市徐汇区民办位育中学九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，那么下列结论正确的是（） A. B. C. ，， D. 2. 在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么下列说法错误的是（） A. 周长缩小为原来的 B. 面积缩小为原来的 C. 各内角的大小保持不变 D. 各边中线的长缩小为原来的 3. 如果抛物线的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小位用两根长度不等的木条可测得花瓶内口径的宽度．如果，且量得，则的宽度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知在中，点D在边上，那么下列条件中，能判定相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，内部有一点D，且、、的面积分别为10、8、6．若的重心为G，则下列叙述正确的是（ ） A. 与的面积相同，且与平行 B. 与的面积相同，且与不平行 C. 与的面积相同，且与平行 D. 与的面积相同，且与不平行 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且，，则________． 8. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 9. 已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是______． 10. 已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为27，那么的最短边的长是________． 11. 已知，如果它们的面积比为，那么对应高的比为_________． 12. 在中，点D、E分别在边上，，如果，AD：：3，那么的长为________． 13. 如果将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移5个单位，那么平移后所得抛物线的表达式为________． 14. 二次函数的图象上有两个点、，如果，那么a的取值范围是________． 15. 如图，在中，，于D，如果，那么的值是________． 16. 如图，在梯形中，，点E、F分别在边上，且，如果，，，那么的长是________． 17. 定义：在同一平面内，如果两条线段所在直线形成的夹角是，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．如图，在中，点D、E分别在边、上，于D，与相交于点若边是边的双关联线段，且，则_________． 18. 【模型构建】如图1，已知，如果，那么，我们把这种图形叫做“一线三等角”． 【探究应用】如图2，在梯形中，，，，点E在边上，，P、Q分别是边的中点．如果，且，那么的长为________． 三、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知：． （1）如果，，，求c、d的值； （2）求证：． 20. 二次函数的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是 （1）填空： ①抛物线的对称轴为直线______； ②图象与x轴的另一个交点坐标为______． （2）如果该函数图象经过点，求它的顶点坐标． 21. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，，， （1）求的长； （2）如果点A到的距离为8，求四边形的面积． 22. 如图，在中，，点D在边上，且，， （1）求的长； （2）将绕着点B旋转，使点D与点A重合，此时点C的对应点记为点E，与交于点F，求的值． 23. 如图，在中，，点F在边上，点D在的延长线上，，点E在边上，且满足． （1）求证：； （2）如果，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点抛物线与直线的图像交于B、C两点（点C在B点左侧），且，抛物线的顶点为 （1）求该抛物线的表达式； （2）将抛物线沿着平行于x轴的直线l翻折，翻折后得新抛物线．设原抛物线与x轴的交点为E、F，且的重心G恰好落在直线l上，求翻折后新抛物线的表达式； （3）平移原抛物线，将顶点D移至直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点的记作点，当时，求的长． 25. 已知，在中，，，点E在直线上，射线与射线交于点G，过点C作于H，射线交直线于点 （1）如图，当点E在射线上时， ①求证：； ②当点E恰好为边的中点时，求的值； （2）射线与射线交于点M，当，且与相似时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $