专题3.2 双曲线（期中复习讲义）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题3.2 双曲线（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题3.2 双曲线（期中复习讲义） 1 知识点1 双曲线的定义 1 知识点2 双曲线的标准方程 1 知识点3 实轴、虚轴与渐近线 2 知识点4 离心率与等轴双曲线 2 知识点5 焦半径（补充） 2 【题型1 求双曲线的标准方程】 2 【题型2 求双曲线的渐近线】 2 【题型3 求双曲线的离心率】 3 【题型4 双曲线的几何性质】 3 【题型5 直线与双曲线】 3 【综合·培优提升】 4 【重难点】 ★重点： 1. 双曲线第一定义 （） 2. 焦点在 x 轴与 y 轴的标准方程 、 及 3. 实轴 、虚轴 、渐近线、离心率 、等轴双曲线． ▲难点： 1. 双曲线“焦点在哪轴看正项（正项对应焦点轴）” 2. 渐近线方程与焦点位置的对应 3. 离心率与渐近线斜率的互化 4. 直线与双曲线相交的判别式与渐近线限制． 知识点1 双曲线的定义 【重难点】 ★重点： 1. 差的绝对值 ，且 ． ▲难点： 1. 与 的大小讨论（ 为两条射线， 无轨迹）． （1）第一定义：平面内与两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹叫双曲线 （1）两定点叫焦点，焦距 ． （2）若 ，轨迹是以 为端点的两条射线 （3）若 无轨迹． （4）双曲线上点 P 满足 （5）当 P 在右支时 ，在左支时 ． 知识点2 双曲线的标准方程 【重难点】 ★重点： 1. （焦点 x 轴）与 （焦点 y 轴），． ▲难点： 1. （与椭圆不同） 2. 判断焦点轴看正项． （1）焦点在 x 轴：（），焦点 ，． （2）焦点在 y 轴：（），焦点 ． （3）判定： 项系数为正、 项系数为负时焦点在 x 轴（“正项定焦点轴”）． （4）中心在原点未定焦点轴时，可设 （）． 知识点3 实轴、虚轴与渐近线 【重难点】 ★重点： 1. 实轴长 、虚轴长 2. 焦点在 x 轴渐近线 ． ▲难点： 1. 焦点在 y 轴时渐近线为 （注意分子是 a）． （1）实轴：两顶点间线段，长 （1）虚轴：长 （虚轴端点 或 ）． （2）焦点在 x 轴：渐近线方程 （1）令标准式右边为 即得 ． （3）焦点在 y 轴：渐近线 ． （4）渐近线是双曲线无限接近但不相交的直线，也是判断直线与双曲线是否相交的重要参照． 知识点4 离心率与等轴双曲线 【重难点】 ★重点： 1. 2. 等轴双曲线 ，． ▲难点： 1. 由渐近线斜率反求 e 2. 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直． （1）离心率 ，因 故 （2）e 越大双曲线开口越阔． （3）由 e 得 ，，故 ． （4）等轴双曲线（实虚轴相等 ）：，，渐近线 互相垂直． （5）若渐近线为 ，则 ，可互相转化求 e． 知识点5 焦半径（补充） 【重难点】 ★重点： 1. 焦点在 x 轴右支上点 ，，（）． ▲难点： 1. 左右支公式不同，注意 的范围． （1）焦点在 x 轴：P 在右支（）时 ， （1）P 在左支（）时 ，． （2）通径（过焦点垂直于实轴的弦）长为 ． （3）焦半径公式常用于求双曲线上点到焦点距离的最值． 【题型1 求双曲线的标准方程】 【例1】已知双曲线的焦点为 ，实轴长为 ，求标准方程． 【变式1-1】已知双曲线焦点在 y 轴上，焦距为 ，虚轴长为 ，求标准方程． 【变式1-2】双曲线 的标准方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】已知双曲线中心在原点、焦点在 x 轴上，且过点 和 ，求标准方程． 【题型2 求双曲线的渐近线】 【例2】求双曲线 的渐近线方程． 【变式2-1】双曲线 的渐近线方程是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】求双曲线 的渐近线方程． 【变式2-3】已知双曲线的渐近线为 ，且一个焦点为 ，求标准方程． 【题型3 求双曲线的离心率】 【例3】求双曲线 的离心率 e． 【变式3-1】等轴双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知双曲线的实轴长等于虚轴长，求离心率 e． 【变式3-3】已知双曲线的渐近线方程为 ，求离心率 e． 【题型4 双曲线的几何性质】 【例4】求双曲线 的顶点、焦点、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线和准线方程． 【变式4-1】双曲线 的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】双曲线 上一点 P 在右支上，求 的值． 【变式4-3】已知双曲线 的离心率 ，求其渐近线的斜率． 【题型5 直线与双曲线】 【例5】直线 与双曲线 相交于 两点，求弦长 ． 【变式5-1】直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A． B． C． D．无数 【变式5-2】直线 与双曲线 相交于两点，求 m 的取值范围． 【变式5-3】双曲线 ，弦 的中点为 ，求直线 的斜率． 【综合·培优提升】 【培优1】求双曲线 的通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长． 【培优2】双曲线 上一点 P 在右支上且横坐标为 ，求 ． 【培优3】已知双曲线的离心率 ，且过点 ，求标准方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 双曲线（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题3.2 双曲线（期中复习讲义） 1 知识点1 双曲线的定义 1 知识点2 双曲线的标准方程 1 知识点3 实轴、虚轴与渐近线 2 知识点4 离心率与等轴双曲线 2 知识点5 焦半径（补充） 2 【题型1 求双曲线的标准方程】 2 【题型2 求双曲线的渐近线】 3 【题型3 求双曲线的离心率】 3 【题型4 双曲线的几何性质】 4 【题型5 直线与双曲线】 5 【综合·培优提升】 5 【重难点】 ★重点： 1. 双曲线第一定义 （） 2. 焦点在 x 轴与 y 轴的标准方程 、 及 3. 实轴 、虚轴 、渐近线、离心率 、等轴双曲线． ▲难点： 1. 双曲线“焦点在哪轴看正项（正项对应焦点轴）” 2. 渐近线方程与焦点位置的对应 3. 离心率与渐近线斜率的互化 4. 直线与双曲线相交的判别式与渐近线限制． 知识点1 双曲线的定义 【重难点】 ★重点： 1. 差的绝对值 ，且 ． ▲难点： 1. 与 的大小讨论（ 为两条射线， 无轨迹）． （1）第一定义：平面内与两个定点 的距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹叫双曲线 （1）两定点叫焦点，焦距 ． （2）若 ，轨迹是以 为端点的两条射线 （3）若 无轨迹． （4）双曲线上点 P 满足 （5）当 P 在右支时 ，在左支时 ． 知识点2 双曲线的标准方程 【重难点】 ★重点： 1. （焦点 x 轴）与 （焦点 y 轴），． ▲难点： 1. （与椭圆不同） 2. 判断焦点轴看正项． （1）焦点在 x 轴：（），焦点 ，． （2）焦点在 y 轴：（），焦点 ． （3）判定： 项系数为正、 项系数为负时焦点在 x 轴（“正项定焦点轴”）． （4）中心在原点未定焦点轴时，可设 （）． 知识点3 实轴、虚轴与渐近线 【重难点】 ★重点： 1. 实轴长 、虚轴长 2. 焦点在 x 轴渐近线 ． ▲难点： 1. 焦点在 y 轴时渐近线为 （注意分子是 a）． （1）实轴：两顶点间线段，长 （1）虚轴：长 （虚轴端点 或 ）． （2）焦点在 x 轴：渐近线方程 （1）令标准式右边为 即得 ． （3）焦点在 y 轴：渐近线 ． （4）渐近线是双曲线无限接近但不相交的直线，也是判断直线与双曲线是否相交的重要参照． 知识点4 离心率与等轴双曲线 【重难点】 ★重点： 1. 2. 等轴双曲线 ，． ▲难点： 1. 由渐近线斜率反求 e 2. 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直． （1）离心率 ，因 故 （2）e 越大双曲线开口越阔． （3）由 e 得 ，，故 ． （4）等轴双曲线（实虚轴相等 ）：，，渐近线 互相垂直． （5）若渐近线为 ，则 ，可互相转化求 e． 知识点5 焦半径（补充） 【重难点】 ★重点： 1. 焦点在 x 轴右支上点 ，，（）． ▲难点： 1. 左右支公式不同，注意 的范围． （1）焦点在 x 轴：P 在右支（）时 ， （1）P 在左支（）时 ，． （2）通径（过焦点垂直于实轴的弦）长为 ． （3）焦半径公式常用于求双曲线上点到焦点距离的最值． 【题型1 求双曲线的标准方程】 【例1】已知双曲线的焦点为 ，实轴长为 ，求标准方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 焦点在 x 轴，；，。 方程为 ．答案：． 【变式1-1】已知双曲线焦点在 y 轴上，焦距为 ，虚轴长为 ，求标准方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，，。 焦点在 y 轴，方程为 ．答案：． 【变式1-2】双曲线 的标准方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判定依据：两边除以 得 。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式1-3】已知双曲线中心在原点、焦点在 x 轴上，且过点 和 ，求标准方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 过 得顶点为 ，故 。 设方程 ，代入 ：。 方程为 ．答案：． 【题型2 求双曲线的渐近线】 【例2】求双曲线 的渐近线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 焦点在 x 轴，，渐近线 ．答案：． 【变式2-1】双曲线 的渐近线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定依据：，焦点在 x 轴，渐近线 。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【变式2-2】求双曲线 的渐近线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 焦点在 y 轴，，渐近线 ．答案：． 【变式2-3】已知双曲线的渐近线为 ，且一个焦点为 ，求标准方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 焦点在 x 轴，渐近线斜率 。 又 ，，得 ，，。 方程为 ．答案：． 【题型3 求双曲线的离心率】 【例3】求双曲线 的离心率 e． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，．答案：． 【变式3-1】等轴双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定依据：等轴双曲线 ，，。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【变式3-2】已知双曲线的实轴长等于虚轴长，求离心率 e． 【答案】见【详解】。 【详解】 实轴长=虚轴长，为等轴双曲线，，． 答案：． 【变式3-3】已知双曲线的渐近线方程为 ，求离心率 e． 【答案】见【详解】。 【详解】 分两种情况：若焦点在 x 轴，则 ，， ，； 若焦点在 y 轴，则 ，，。 故 或 ．答案： 或 ． 【题型4 双曲线的几何性质】 【例4】求双曲线 的顶点、焦点、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线和准线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 。顶点 ；焦点 ；实轴长 ，虚轴长 ； 离心率 ；渐近线 ；准线 ．答案：见解析． 【变式4-1】双曲线 的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定依据：焦点在 y 轴，，焦点 。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【变式4-2】双曲线 上一点 P 在右支上，求 的值． 【答案】见【详解】。 【详解】 P 在右支，由定义 ．答案：． 【变式4-3】已知双曲线 的离心率 ，求其渐近线的斜率． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，。 焦点在 x 轴，渐近线斜率 ．答案：． 【题型5 直线与双曲线】 【例5】直线 与双曲线 相交于 两点，求弦长 ． 【答案】见【详解】。 【详解】 代入 ：，。 故 ．答案：． 【变式5-1】直线 与双曲线 的交点个数为（　　） A． B． C． D．无数 【答案】A 【分析】判定依据：代入：，无解，即直线与双曲线无交点（ 平行于渐近线 ）。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：无数。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式5-2】直线 与双曲线 相交于两点，求 m 的取值范围． 【答案】见【详解】。 【详解】 联立：，整理 。 相交于两点需 ：，故 ， 即 ．答案：． 【变式5-3】双曲线 ，弦 的中点为 ，求直线 的斜率． 【答案】见【详解】。 【详解】 点差法： 。 中点 得 ，代入得 ，故 ．答案：． 【综合·培优提升】 【培优1】求双曲线 的通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，右焦点 。 令 ：，。故通径长 ； 亦可由公式 验证．答案：． 【培优2】双曲线 上一点 P 在右支上且横坐标为 ，求 ． 【答案】见【详解】。 【详解】 。 P 在右支，焦半径 ，。 亦可由 与两焦点距离关系验证． 答案：，． 【培优3】已知双曲线的离心率 ，且过点 ，求标准方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，。 设焦点在 x 轴：，代入 ： ，。方程为 。 设焦点在 y 轴：，代入 ： ，。方程为 。 答案： 或 。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $