专题06 抛物线（期中复习讲义，12大核心题型）高二数学上学期人教A版

专题06 抛物线（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线的定义及其标准方程 掌握抛物线的定义及其标准方程,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题，掌握定义的转化是关键 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程 学会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 直线与抛物线的位置关系 掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在大题第（1）问 抛物线的弦长、焦点弦、中点弦问题 能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦等问题,提升直观想象的核心素养. 重难必考点，利用韦达定理、点差法、抛物线定义突破弦长公式、中点弦、焦点弦问题 知识点01 抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线， 而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点02 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 注：（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左); （3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. 知识点03 焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 知识点04 抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 知识点05 四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点06 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 知识点07 直线与抛物线相交弦长问题 1、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 知识点08 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦的常考性质 假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为 . 性质1、,. 性质2、抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则. 注：一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 .于是，若恒过定点. 性质3、已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 （1）. （2）. 性质4、已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则. 性质5、（1）以AB为直径的圆与准线相切. （2）以为直径的圆与切于焦点； （3）以焦半径为直径的圆与轴相切； （4）以焦半径为直径的圆与与轴相切； 题型一 抛物线的定义及其辨析（含焦半径公式） 解｜题｜技｜巧 焦半径问题 1、抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线定义求. 【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 2．（24-25高二下·上海闵行·期末）抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以的最小值也即是到准线的距离的最小值， 当与原点重合时，到准线的距离最小为， 也即是的最小值为. 故选：A 3．（24-25高二上·河南·期末）已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】因为拋物线的焦点是，所以， 因为点在抛物线上，所以． 故选：C． 4．（24-25高二上·福建南平·期末）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由条件结合抛物线定义列方程求可得结论. 【详解】抛物线的准线方程为， 点到直线的距离为， 因为点与焦点的距离为， 所以， 所以. 故选：B. 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】作于D点，交y轴于A点，分析之间的关系，结合抛物线定义即可求解． 【详解】记抛物线的准线为， 如图，作于D点，交y轴于A点，则， 因为，所以为的中点， 所以， ，解得． 故选：A． 题型二 抛物线的焦点与准线 解｜题｜技｜巧 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 1．（24-25高二上·贵州黔南·月考）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把抛物线方程化成标准方程，再根据抛物线的性质确定其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：. 其焦点坐标为：. 故选：A 2．（23-24高二上·河南郑州·月考）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线方程化为标准方程，可求得准线方程. 【详解】由，即得，所以即， 所以准线方程为. 故选：A. 3．（24-25高二下·广东·月考）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，得，从而抛物线方程为，即可求解. 【详解】由题知，解得，所以抛物线， 则的准线方程为， 故选：B. 4．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出准线方程，由题意建立等式，求得准线，从而得到焦点坐标. 【详解】由题已知点到抛物线：的准线的距离为5,则抛物线准线方程为，则焦点为， 故选：A． 题型三 抛物线的标准方程 解｜题｜技｜巧 求抛物线标准方程的方法 ①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； ②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 1．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设抛物线的方程为，根据焦点坐标求出，求出抛物线的标准方程. 【详解】设抛物线的方程为， 因为抛物线的焦点是， 所以，所以， 所以抛物线的标准方程为. 故选：A. 2．（24-25高二上·天津河西·月考）准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】因为抛物线的准线为， 所以抛物线的焦点在上，开口向下，且，即，故抛物线的标准方程为， 故选：D. 3．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据抛物线的定义求解． 【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为． 故选：C． 4．已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据已知条件可得点M坐标，代入抛物线方程求解即可. 【详解】因为抛物线的准线方程是，而点M到准线的距离为6， 所以点M的横坐标是. 所以点M的坐标为， 又因为点M在抛物线上， 所以32=2p，解得p=8或p=4， 故该抛物线的标准方程为或. 故选：D. 5．已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分或（）两种情况讨论，由面积列方程即可求解 【详解】由题意得，当时，，解得； 当或时，，解得，所以抛物线的方程是或. 故选：C. 6．已知抛物线，过的焦点且斜率为2的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，若点的纵坐标为4，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线，可知焦点为，准线为，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程组，根据韦达定理可得，，结合题意可得点的纵坐标为4，进而得到，进而求解. 【详解】由抛物线，可知焦点为，准线为， 设直线的方程为，，， 联立方程组，可得， 所以，， 以为直径的圆与抛物线的准线相切于点， 设的中点为，则有， 因为点的纵坐标为4，所以点的纵坐标为4， 即，则， 又， 所以，即抛物线的标准方程为. 故选：D. 题型四 抛物线的轨迹方程求法 解｜题｜技｜巧 求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程. 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据已知条件及抛物线的定义即可求解. 【详解】表示点到点的距离； 表示点到直线的距离. 因为， 所以点到点的距离等于点到直线的距离， 所以的轨迹为抛物线. 故选：C. 2．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 3．已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出点M的坐标，利用已知条件列出方程化简即得. 【详解】设，依题意得， 动点到的距离比点到轴的距离的大2， 则，即， 所以的轨迹方程是或， 故选：C 4．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线和圆，若圆M与直线l相切，与圆C相外切，圆M的圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设M的坐标，利用直线与圆、圆与圆的位置关系结合抛物线的定义计算即可. 【详解】设，圆M的半径为r，易知则由题意可知， 即圆心M到定直线的距离比到定点的距离少1， 则圆心M到定直线的距离与到定点的距离相等， 所以M的轨迹为抛物线，以为准线，即. 故选：B 5．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得. 【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 6．（24-25高二上·全国·课前预习）设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，，根据可得，根据可得，代入即可得结果. 【详解】设，，， 则，，， 因为， 则， 又因为，则，即， 可得，即． 故点的轨迹方程是． 故答案为：. 题型五 抛物线中的距离最值问题 解｜题｜技｜巧 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,这一相互转化关系会给解题带来方便.要注意灵活运用定义解题. 1．已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 【答案】B 【分析】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义，结合图形求解即可． 【详解】抛物线的焦点为，准线方程是， 过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为， ∵点在抛物线上，∴根据抛物线的定义得， ∴，当且仅当共线时取等号， ∴的最小值为8． 故选：A． 3．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由周长为，若垂直于抛物线准线于，结合抛物线定义得，进而确定周长最小值. 【详解】由周长为，若垂直于抛物线准线于，    所以，而， 所以，要使周长最小， 即最小，仅当三点共线时，取最小值为7， 所以最小周长为12. 故选：C 4．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的定义可知，设于点N，，当三点共线且M在中间时，取得最小值，再结合点到直线的距离公式计算可得. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知. 设于点，则.当三点共线，且在中间时，取得最小值. 由抛物线，得，所以的最小值为. 故选：B. 5．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．13 B．9 C．11 D．10 【答案】D 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离. 【详解】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则. 当垂直于抛物线准线时，最小， 此时记线段与圆的交点为，因为，准线为， 则的最小值为.    故选：D 6．（24-25高二下·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程可得其所过定点，根据两直线位置关系可得其焦点的轨迹，根据抛物线的定义与圆外一点到圆上点的距离最值问题，结合图象，可得答案. 【详解】直线，即，可知直线过定点； 直线，即，可知直线过定点； 且，则， 可知点在以为直径的圆上，此时圆心为，半径． 因为抛物线的焦点为，准线为， 且点是抛物线上一动点，则，即， 可得， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 即， 所以的最小值为． 故选：B． 题型六 抛物线在实际问题中的应用 解｜题｜技｜巧 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 1．（23-24高二上·新疆阿克苏·月考）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】根据给定条件，设出抛物线方程，利用待定系数法求出抛物线方程即可得解. 【详解】依题意，设该抛物线的方程为，显然点在此抛物线上， 因此，解得， 所以该抛物线的焦点到准线距离为10. 故选：C 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 3．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解. 【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示， 由题意可得. 设抛物线的标准方程为，于是，解得. 所以抛物线的焦点到顶点的距离为，即光源到反射镜顶点的距离为. 故选：B. 4．（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，即可得到抛物线方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】 取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线方程为，将点代入抛物线方程， 可得，则抛物线方程为，行车宽度，将代入抛物线方程， 可得，所以限度为. 故选：B 题型七 抛物线的简单几何性质 解｜题｜技｜巧 1、为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. 2、不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近对称轴的平行线. 1．抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求得抛物线C的方程，即可得出抛物线C的准线方程. 【详解】∵抛物线C与抛物线关于轴对称， ∴抛物线C的方程为， ∴抛物线C的准线方程是. 故选：C. 2．抛物线的通径长为（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求得抛物线的标准方程，然后根据通径的知识求得正确答案. 【详解】抛物线，即， 可得，因此通径长为. 故选：C 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为（    ） A．5 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】设与轴的交点为，易知轴．设点，，由菱形的性质得到，即可得到. 【详解】设与轴的交点为，易知轴． 设点，．如图，由于四边形为菱形，，所以，所以．不妨设，则，解得． 在中，，所以菱形的周长为． 故选：D 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦半径公式算出A，B的坐标，求出直线AB的方程，进而证明A，B，F三点共线，最后利用计算即可． 【详解】由题意可知，，不妨设点，，且点A在第一象限，如图， 则，， 则，，故， 所以直线的方程为， 令得，即A，B，F三点共线， 所以． 故选：C． 5．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】设位于第一象限，由焦半径公式得到方程，求出，得到，从而求出三角形面积. 【详解】不妨设位于第一象限，则，解得， 故，所以的面积为. 故答案为：8 6．（24-25高二上·辽宁·期中）过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则 ． 【答案】3 【分析】焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出，即得解. 【详解】抛物线的准线方程为. 设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′， 则有， ∵M到y轴距离为1，∴， 所以． 故答案为：3 题型八 直线与抛物线的位置关系（含弦长和相切） 解｜题｜技｜巧 1、直线与抛物线交点个数的判断方法(以开口向右的情形为例) 设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0. （1）若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点. （1）若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 2、求抛物线弦长问题的方法 ①一般弦长公式. 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,则|AB|=·|x1-x2|=·|y1-y2|. 1．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】首先得，然后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦长公式列方程即可求解. 【详解】因为直线经过点，则，由得， 则，故，所以． 故选：D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立曲线方程后借助焦点弦公式计算即可得. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以，解得， 所以直线l的斜率为.    故选：B. 3．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线被曲线截得的线段的长是 ． 【答案】/ 【分析】联立方程，利用弦长公式计算即可. 【详解】设直线与曲线交于点， 将代入整理得：， 则有， 故. 故答案为： 4．（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【分析】分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合根的判别式得到方程，求出答案. 【详解】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求， 当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得， ， 令，解得， 故，即. 故答案为：或 5．写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 . 【答案】（写对一个方程即可） 【详解】如图，当直线斜率为0时，与抛物线有唯一公共点，此时方程为； 当斜率不为0时，设的方程为， 联立消去，整理得：， 因为直线与抛物线有唯一公共点，所以， 解得或，所以为或， 即或. 综上，过点且与抛物线有唯一公共点的直线方程为： 或或. 故答案为：（或或）.    6．设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程即可得准线方程， （2）根据两点斜率公式，求解直线方程，联立与抛物线方程，即可根据韦达定理以及焦点弦公式求解. 【详解】（1）因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为 （2）因为在的准线上，所以，即， 易得的坐标为，此时， 因为，所以，解得， 所以的方程为，设，， 联立消去并整理得，由韦达定理得， 所以 7．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线：的焦点到其准线的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过F的直线与抛物线相交于两点，在处分别作抛物线的切线，两条切线的交点为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点到其准线的距离为，解得，即可得出答案； （2）设，，，直线方程为，联立抛物线的方程，得关于的一元二次方程，结合韦达定理可得，，利用导数的几何意义可得切线的斜率，写出切线的方程，同理可得，抛物线在点处的切线方程，联立上述两切线方程，解得，，计算，即可得出答案． 【详解】（1）抛物线C的焦点为，准线方程为， 所以焦点F到其准线的距离为， 因为，解得. 所以抛物线C的方程为. （2）由题意，直线AB的斜率一定存在，设其方程为， 代入抛物线方程，整理得. 设，，， 则，. 函数的导数为，故抛物线在点A处的切线方程为，化简得， 同理，抛物线在点B处的切线方程为， 联立上述两切线方程，解得，， 因为，， 所以， 所以. 题型九 抛物线中的面积问题 1．（24-25高二上·四川内江·期末）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程； (2)设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 【答案】(1)F的坐标为，准线方程为； (2) 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线方程进行求解即可； （2）先求出点M的坐标，得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理、焦点弦长公式和三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）因为抛物线C的方程为， 所以抛物线C焦点F的坐标为，准线方程为； （2）    因为在抛物线C的准线上，所以，即， 此时，因为，所以，解得， 所以直线l的方程为， 设，， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为 则 2．（24-25高二上·山西晋城·月考）已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，点在上. (1)求抛物线的方程； (2)若是抛物线上第一象限内的一点，过线段AF的中点向轴引垂线，垂足为点，且，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线过点代入求参得出抛物线方程即可； （2）先设点的坐标，再结合两点间距离公式计算得出，再根据四边形图形特征计算面积即可. 【详解】（1）因为抛物线：过点， 所以，，则抛物线方程为. （2）由题可得，设，则，，， 所以，. 因为，所以，解得或（舍）， 故，，，. 又点，，所以，又， 所以四边形是平行四边形， 设为坐标原点，所以四边形的面积为. 3．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线的定义即可求出抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程消去，然后利用韦达定理结合面积公式即可求解. 【详解】（1）由已知有：动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线 的方程为. （2）设，显然直线的斜率不为0，可设直线， 联立， 则，， 所以， 原点到直线的距离为：， 所以，解得， 所以直线的方程为：或. 4．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知抛物线经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，且在抛物线上，求的最小值； (3)若过点的直线与圆相切，且直线与抛物线有两个不同的交点，求（为坐标原点）的面积. 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）将点代入，求得值，从而求得抛物线的标准方程. （2）由在抛物线上及抛物线的性质可知到F的距离与Q到准线的距离相等，故仅当垂直于准线时有最小值. （3）设直线的方程，由直线与圆相切，圆心到直线距离的等于半径，求得，再联立直线与抛物线方程，利用韦达定理与弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得到AB的距离为，最后根据三角形面积公式，代入的值即可求得的面积. 【详解】（1）因为抛物线经过，故，所以， 所以抛物线的方程. （2） 在抛物线上， 到F的距离与Q到准线的距离相等，设为. 的最小值转化为的最小值， 易知当垂直于准线时，取到最小值， ， 所以的最小值为. （3） 当AB斜率不存在时，，显然不合题意. 当AB斜率存在时，设直线的方程为，即， 与圆相切，   ， 联立直线与抛物线方程得：， 设， ， ， 到AB的距离为， . 5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 【答案】(1)8 (2)32 【分析】（1）根据抛物线的定义求出p的值，求出直线l的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解； （2）设直线l的方程为：，，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出和的值，再利用基本不等式求出四边形的面积的最小值． 【详解】（1）由题意可得，所以， 得抛物线C的方程为：，焦点为， 直线l的方程为：， 联立方程，消去y得， 设，则， 得弦长． （2）设直线l的方程为：，， 联立方程，消去x得， 设，则， 所以， 同理可得， 所以四边形的面积为： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为： 题型十 抛物线中的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 “中点弦”问题的两种解题策略 （1）点差法:将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由k=(x1≠x2)求斜率,再由点斜式求解. （1）传统法:设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,从而求斜率. 1．（24-25高二下·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 2．已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（   ）. A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】设，由直线方程与抛物线方程联立消去后利用韦达定理得，从而可得中点横坐标，也即可求得中点到准线的距离． 【详解】由题意抛物线标准方程为，，， ∴焦点为，准线方程为， 直线方程为，代入抛物线方程整理得， 设，则， 设中点为，则， ∴到准线的距离为． 故选：A． 3．（24-25高二上·广西玉林·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法即可求解斜率，进而根据点斜式求解直线方程. 【详解】设,则， 故， 由于的中点为，故，因此, 故直线方程为，即， 经检验，直线与抛物线相交，满足条件. 故选：C 4．已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则(    ) A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【分析】设的中点为，则﹒根据A和B在抛物线上，满足抛物线方程得到两个方程，两个方程作差即可得到直线l斜率，故可得直线l方程，从而可求M的横坐标，从而可求． 【详解】焦点为，p＝4，设的中点为， ∴， ∴，即，故， 由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，故， 故，∴， ∴． 故选：D． 5．已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 . 【答案】2 【分析】根据点差法求得直线AB的斜率，并验证判别式大于零. 【详解】设，代入抛物线，得， 则①， 因为两点A，B关于点对称，则， 所以由①得， 直线AB的斜率为2. 则直线AB：与代入抛物线联立，得，，解得. 所以直线AB的斜率为2. 故答案为：2. 6．已知抛物线上有两个不同的点，线段的垂直平分线交轴于点，且的最大值为6，则 ． 【答案】2 【分析】涉及中点弦，用中点的坐标以及（点差法）表示线段的垂直平分线的斜率，结合题意可列方程消去参数得，，结合三角形三边关系得的最大值，进一步可列方程求出. 【详解】设，线段的中点为，易知直线的斜率存在且不为0． 设直线的斜率为，则， 故． 则． 设的焦点为，连接，则有． 又因为的最大值为6， 所以根据抛物线性质和三角形三边关系知，，等号成立当且仅当为焦点弦； 则． 故答案为：2. 题型十一 抛物线中的焦点弦问题 解｜题｜技｜巧 1、解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题. 2、焦点弦长 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. 1．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】D 【分析】设出直线方程，联立，得到两根之和，两根之积，并得到，从而得到 【详解】由题意得，当的斜率为0时，不满足要求， 设直线的方程为，联立得， 设， 则， 故， 则. 故选：D 2．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，联立直线与抛物线方程，即可得到的横坐标，结合焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】    由于，直线方程为， 联立方程，消去得， 显然，得， 所以，即. 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 4．（24-25高二下·甘肃兰州·开学考试）如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点，，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得． 【详解】 如图，分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，， 设，则由得：， 由抛物线定义得：， 由此可知在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 由抛物线定义得：，，， ，从而得， ， 解得. 故选：B 5．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据焦点弦的性质结合，得出，根据图形特征得出即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设直线的倾斜角为，作垂直于点，作垂直于点，过作的垂线交于点， 因为， 所以， 同理， 因为，那么，解得， 所以，， 所以是的中位线，所以. 故选：C. 6．（24-25高二上·四川绵阳·月考）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与'轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】设，由抛物线定义，，结合相似图形性质可得， 然后再由抛物线定义及相似图形性质可得与关系，即可得答案. 【详解】由题及图，设准线与x轴交点为D，过A，B向准线做垂线， 与y轴，准线分别交于G，C，H ，E. 则，设， 由抛物线定于可得. 因，则. 又O为DF中点，准线与y轴平行，则S为FT中点，. 又，结合抛物线定义可得： ， 则. 故选：B 题型十二 抛物线中的定值、定点问题 1．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据，代入化简求解轨迹方程即可； （2）设直线的方程为，设，联立方程组，得到韦达定理形式，最后表达出，求解即可. 【详解】（1）设，则，且， 因为，所以，即， 所以点的轨迹方程为：，是以为焦点开口向上的抛物线. （2）过点作直线，与曲线交于两点，显然直线的斜率存在， 且，设直线的方程为，设， 则， 联立方程组，得， ，直线与曲线一定有两个交点， 其中， . 故为定值. 2．（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】(1)； (2)8 (3)证明见解析，定点坐标为 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，所以抛物线为； （2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案； （3）设出直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之积，根据得到方程，求出，得到恒过的定点. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 则，即，所以抛物线为； （2）直线的方程为，联立抛物线Γ和直线l的方程：， 得．，设， 由韦达定理得， 故. （3）由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程． 联立抛物线Γ和直线的方程：，化简可得：， 则．由韦达定理可得， 又由已知，则． 此时直线恒过点． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)为定值－12． 【分析】（1）算出四点对应的抛物线方程，注意到对应的一样，可得，在抛物线上，从而在椭圆上，即可得抛物线与椭圆方程； （2）联立抛物线与直线方程，由根与系数的关系可判断是否为定值． 【详解】（1）将四个点代入抛物线方程解得的值分别为， 注意到对应的一样，所以，在抛物线上， 故抛物线的方程为． 为椭圆上的点， 则， 所以椭圆的方程为． （2）是定值． 理由如下：如图，设，    联立． ，由根与系数的关系得， 又因为，所以，同理． ， 所以为定值． 4．已知抛物线的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，设线段的中点分别为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据焦半径公式即可求解， （2）联立直线与抛物线的方程，结合中点坐标公式可得，，即可根据斜率公式，以及点斜式求解直线方程得解. 【详解】（1）的准线方程为， 因为点在上，且，即，得， 所以的方程为． （2）由（1）知，设． 设的方程为，代入，得． 所以，则， 代入，得，所以． 因为，所以的方程为，同理可得． 当时，，直线． 当时，， 直线的方程为， 即， 整理得． 所以直线过定点． 5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与过点的直线l交于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过点且不过点的直线与抛物线交于C，D两点，若直线PC，PD的斜率都存在且分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.     【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）设直线l的方程为，联立抛物线方程，由向量垂直的坐标表示即可求解； （2）设出直线直线CD方程为，与抛物线联立，利用韦达定理、斜率公式即可求出定值. 【详解】（1） 设过点的直线l的方程为， 令，，联立，得， 则，， 故， 又，， 由，则， 则，故抛物线C的方程为； （2）由，显然，过点的直线斜率不为0， 故设直线CD方程为，，， 由，得， ， 解得或， 则，， 故， ， 又，， 所以 ， 故为定值. 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二上·江苏淮安·月考）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义直接求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程可得，解得， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B 2．已知点在抛物线上，F是抛物线C的焦点．若，则（   ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】A 【分析】由抛物线的定义即可求解； 【详解】根据抛物线的定义，得，解得． 将点的坐标代入，得或（舍去） 故选：A 3．（24-25高二上·重庆·期末）若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入点的坐标可得，即可得标准方程求解. 【详解】将代入可得，解得， 故抛物线的标准方程为， 故准线方程为， 故选：A 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程． 【详解】直线与y轴的交点为， 所以抛物线C的焦点为，故，解得， 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等， 故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上， 故轨迹为， 故选：A 6．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【详解】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 7．（24-25高二上·广东广州·期末）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线过抛物线焦点以及斜率为，表示出直线方程，然后联立抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦性质，即可求出线段长度. 【详解】由题知，抛物线方程为， 所以抛物线焦点为， 所以该直线方程为， 即， 联立，得， 设，则， 所以. 故选：A 8．（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A．20 B．13 C．16 D．34 【答案】B 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标与准线方程，结合题意作图，可得答案. 【详解】由抛物线，则其焦点，准线， 分别过作，垂足分别为，如下图： 由图可得. 故选：B. 9．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案. 【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知， 设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离， 则,解得．      故选：A 10．（23-24高二上·山东枣庄·月考）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（    ） A． B．2 C．或2 D．以上都不是 【答案】B 【分析】设，得到，求得，再由，两式相减，得到，得出方程，即可求解. 【详解】设，因为中点的横坐标为，则， 可得， 又由，两式相减得到，可得， 可得，解得或， 联立方程组，整理得， 由，解得，所以. 故选：B. 11．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据可得，再根据韦达定理即可求出的坐标，进而可求解. 【详解】 抛物线的焦点， 设，假设， 显然弦所在的直线的斜率存在且不等于零， 设弦所在的直线方程为， 联立，消去可得，， 所以， 因为，所以，则， 所以，解得，所以， 所以， 所以弦的中点的坐标为， 所以弦的中点轴的距离为， 故选:C. 12．（25-26高二上·全国·单元测试）设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】解法一：根据抛物线定义以及角度关系，构造方程即可解得；解法二：利用结论，直接代入角度计算即可得出结果. 【详解】解法一：如图所示，过点作AB垂直准线于点，过焦点作FD垂直AB于点． 由题意可知． 根据抛物线的定义知． 在中，， 又，所以， 解得． 解法二：由结论（为直线AF的倾斜角）得．    故选：C. 13．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由轴，可得点坐标，即可求出. 【详解】抛物线，焦点， 当轴时，，则，解得， 即或，如下图， 不妨取，则， 所以． 故选：D 14．（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心的坐标为，半径为，则， 又动圆与直线相切，即到直线的距离为， 所以到直线的距离为， 所以到的距离与到直线的距离相等， 所以的轨迹为抛物线，其焦点为， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将问题转化为到定点与定直线的距离相等，从而得解. 15．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合圆的性质求出最小值. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由抛物线定义得， 圆的圆心，半径，则， 因此， 当且仅当分别是线段与抛物线和圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 16．（23-24高二上·江苏南京·月考）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用抛物线方程运算即可得解. 【详解】解：    如上图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则， 设抛物线方程，将点代入抛物线方程解得：， ∴抛物线方程为， ∵行车道总宽度， ∴将代入抛物线方程，解得：， ∴车辆通过隧道的限制高度为， 故选：C. 17．已知点为抛物线的焦点，点在的准线上，点在上，若，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，则，可得，则，进而，即可求得. 【详解】如图，过作于， 由抛物线的定义知， 又，则， 设，则， 因为，则， 所以. 由于轴，所以， 则， 则， 所以，则. 故选：D.    18．（24-25高二下·重庆·月考）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为.若，则到轴的距离为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出，，然后利用勾股定理列出方程即可求得结果. 【详解】如图，不妨设点在轴上方，准线与轴交于点， 因为点在抛物线上，所以，， 又，为正三角形，， 又，在中，，即， 解得或（舍去），所以到轴的距离为. 故选：A. 19．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求得弦长. 【详解】   如图作垂直于准线，垂足为，可知设， 直线的斜率为得，， 则，由勾股定理得：， 即，化简得：， 解得或， 当直线斜率存在时，设为，与抛物线联立消元得： ，设交点，则， 而， 当直线斜率不存在时，， 综上，， 由得，此时. 由得，此时. 故选：D. 20．（24-25高二上·广西南宁·月考）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点， 则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出抛物线的方程为，设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，从而求出的最小值即可. 【详解】 因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为， 设直线的方程为：，不妨设， 联立方程，整理得，则， 故，又， 则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 故选：A. 21．（25-26高二上·全国·课后作业）已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 【答案】 【分析】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，不妨取在第一象限，根据对称性求出点坐标，代入抛物线方程中可得答案． 【详解】抛物线和其上的等边三角形都关于轴对称，则两点关于轴对称， 轴是等边三角形边的垂直平分线，不妨取在第一象限， 如图，由，，得， 将代入抛物线方程中得， 所以，抛物线方程为． 故答案为：. 22．（24-25高二下·上海·月考）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据抛物线的定义和圆的性质，转化成三点一线，即可求出最小值. 【详解】根据题意，抛物线的准线为，设点到准线的距离为，则， 设圆心为点，则点到准线的距离为5， 结合图象可知，则 当且仅当点与点重合，三点共线且点在之间时，等号成立. 故答案为：4. 23．已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据中点坐标以及点差法即可求解斜率，进而由点斜式求直线方程. 【详解】因为在抛物线内部，又，所以是的中点. 设，所以，即， 又在抛物线上，所以，两式作差，得，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为：    24．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，的面积为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】解法一：分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式和三角形的面积公式可得出关于、的方程组，即可解得的值； 解法二：设抛物线的焦点为，直线的倾斜角为，利用抛物线的焦点弦长公式以及面积公式可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【详解】解法一：易知抛物线的焦点为，    若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，由得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 所以，即，① 因为， 即，②． 由①②得，，所以； 解法二：设抛物线的焦点为，直线的倾斜角为， 若直线与轴重合，则该直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为，由得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 因为 ①， ，，解得，， 所以，②， 联立①②可得， 故答案为：. 25．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段PM的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹交于A，B两点，且的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的坐标为，则的坐标为，代入抛物线方程计算即可；（2）直曲联立，借助韦达定理和面积公式计算即可. 【详解】（1）设的坐标为，则的坐标为 又点在抛物线上，故即 （2）设直线的方程为， 联立方程组得：，有， 则， 解得： 所以直线的方程为，即： 26．已知抛物线的焦点到准线的距离为2. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求出，即可得解； （2）根据，将点的坐标用的坐标表示，再根据点在上，代入即可得解. 【详解】（1）由抛物线的定义可知，焦点到准线的距离为，故， 所以的方程为； （2）由（1）知，设，则， 因为，所以，可得， 又点在抛物线上，所以，即， 化简得，则点的轨迹方程为． 27．（24-25高二下·四川内江·开学考试）已知抛物线：（）的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，当轴时，， (1)求抛物线的方程及的坐标； (2)设是抛物线的准线上一点，当到直线的距离最大时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入可得，进而求出，即可求解； （2）由（1）知，确定当时点到直线的距离最大，根据两直线的位置关系和直线的点斜式方程求出的方程，联立抛物线方程。利用韦达定理和抛物线的定义求出，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】（1）当轴时，的横坐标均为，代入方程， 得，所以，又，则，解得， 所以抛物线的方程为，； （2）由（1）知，抛物线的准线为，所以，即. 当时，点到直线的距离最大， 又，所以，所以直线的斜率为1， 得直线方程为，即， 由，得，设， 则. 由抛物线的定义知，又， 所以. 28．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【详解】（1）依题意，，得，所以抛物线C的方程为． （2）设，联立，得． 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 29．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1． (1)求抛物线的方程； (2)直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）由椭圆的定义可得准线到轴的距离为，从而求出； （2）依题意直线，的斜率均存在，且不为0，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可表示出，同理可得，再由及基本不等式计算可得. 【详解】（1）抛物线：的焦点为，准线为， 由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离， 再由到焦点的距离比到轴的距离大1，可得准线到轴的距离为， 即，可得， 抛物线的方程为：． （2）由（1）可得焦点， 由题意直线，的斜率均存在，且不为0， 设直线的方程为，，， 联立整理得， 可得，， 由抛物线的性质可得， 同理可得， ， 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 30．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由可得，进而可得； （2）设方程为，联立，可得，进而可得； （3）设，可得直线方程为，由，，可得，进而可得. 【详解】（1）由抛物线的定义知：， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，，因为的斜率不为，设方程为，， 联立，得， 所以， 又由，得，所以方程为，即. （3）由（2）知：， 因为，所以方程为， 即：，又因为， 所以， 故直线方程为， 所以直线经过点. 31．（24-25高二上·重庆·月考）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)直线l过定点，证明见解析. 【分析】（1）根据焦半径公式结合题设条件可得关于的方程组，求出解后可得抛物线方程； （2）设，，则可用坐标表示直线，根据可得，由此可证直线l过定点. 【详解】（1）由题意得：，解得，所以抛物线C的方程为. （2）由（1）得，设，， 则， 则，直线l的方程为， 则， 所以直线l过定点. 32．（24-25高二上·广西河池·月考）设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2． (1)求抛物线的方程； (2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用点到圆上点的最大距离为2，求出，可得答案； （2）设设的方程为，，与抛物线方程联立，由结合韦达定理可得答案． 【详解】（1）点到圆上点的最大距离为， 即，得， 故抛物线C的方程为． （2）由题意可知， 设的方程为，， 联立方程，得， 易得，由根与系数的关系得， ， 所以 ， 所以， 侧直线与直线的倾斜角互补，所以． 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是由韦达定理判断. 33．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【分析】（1）由对称的点为，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程； （2）设直线PQ的方程为，且，.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得.又由题可得M的纵坐标，然后由，经整理后可得定值. 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点.当时，的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据抛物线定义，结合已知条件，求得抛物线方程；再设出直线斜率和方程，联立抛物线方程，结合三角形面积，从而求得直线方程，进而由韦达定理求得结果. 【详解】因为抛物线上一点到其准线的距离为3， 所以，解得，所以抛物线的标准方程为． 由抛物线的方程可知，焦点，根据题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线，，． 由消去整理得，， 所以，．又， 所以， 解得， 则，， 则． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据三角形面积，结合韦达定理求得直线斜率，同时要注意熟练掌握抛物线焦半径公式，属综合中档题. 2．已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将转化为的形式，寻求定点，使得恒成立，转化为，当且仅当在一条直线上时，取得最小值，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为， 又由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 设定点，满足成立，且 即恒成立， 其中，代入两边平方可得： ，解得， 所以定点满足恒成立， 可得， 如图所示，当且仅当在一条直线上时， 此时取得最小值， 即， 设，满足， 所以， ， 当时，等号成立， 故选：C. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将所求转化为三点共线时，线段的长的问题，结合抛物线方程即可求解. 3．（23-24高二上·湖北武汉·月考）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（    ） A．的准线为 B．的最小值为 C．以为直径的圆与轴相切 D．若且，则 【答案】B 【分析】根据抛物线性质可得的准线为，即A错误；利用抛物线定义由基本不等式可求得B正确；由直线与圆的位置关系可得以为直径的圆与轴相交，即C错误；由可得。利用向量夹角的坐标表示可求得，即D错误. 【详解】对于选项A，由抛物线的焦点可得， 所以，即的准线为，故A错误； 对于B，如下图所示： 设直线的方程为，； 联立直线与抛物线方程可得， 可得； 由抛物线定义可得； 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立；即B正确； 对于C，以为直径的圆的圆心为, 此时圆心到轴的距离为， 而， 所以以为直径的圆与轴相交，即C错误； 对于D，易知，由可知点在的垂直平分线上，所以； 由即可得，如下图所示： ，所以， 同理可得，可得， 所以，即D错误； 故选：B 【点睛】方法点睛：在求解夹角问题时可利用平面向量的坐标表示，利用数量积的符号确定夹角的大小或取值范围. 4．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）（多选题）设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线交C于A，B两点，过点A，B分别作准线的垂线，对应垂足分别为点M，N，连接MF，NF，则（   ） A．若A，B两点的纵坐标分别为，，则 B．若，则直线AF的斜率 C．若，则的面积为 D．记，，的面积分别为，，，则 【答案】BCD 【分析】对于A，设直线，，，联立可得，对于B，由可得，继而得到点坐标，再利用斜率公式求解即可；对于C，先求，再由可解得，可得轴，再利用求解即可；对于D，由题不妨设点A在第一象限，分别表示出证明即可. 【详解】选项A：设直线，与抛物线联立， 整理得，设，， ，故选项A错误； ， 选项B：结合题意及抛物线的定义，有， 故，代入抛物线，得， 则.故选项B正确. 选项C：， , 解得，直线，则轴， 此时.故选项C正确. 选项D：不妨设点A在第一象限，， 同理，，而， 故， 结合选项A运算的联立，， 故. 而，则.故选项D正确.    故选：BCD. 5．（24-25高二下·广西河池·期末）（多选题）已知抛物线，的顶点均在上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的三个顶点到轴的距离之和为 C．的周长小于 D．当点的纵坐标为时，的面积为 【答案】ACD 【分析】利用重心坐标公式结合抛物线的焦半径公式可得出关于的方程，解出的值，可判断A选项；求出的三个顶点横坐标之和，可判断B选项；利用三角形三边关系可判断C选项；求出点的坐标，可得出线段的中点的坐标，利用点差法可求得直线的方程，将该直线方程与抛物线方程联立，结合三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】设点、、，易知点， 因为的重心为抛物线的焦点，由重心坐标公式可得， 所以， 对于A选项，， 因为，解得，A对； 对于B选项，易知，且， 所以的三个顶点到轴的距离之和为，B错； 对于C选项，因为，，， 取等号时，当且仅当点在线段上时， 取等号时，当且仅当点在线段上时， 取等号时，当且仅当点在线段上时， 故的周长为， 上述三个等号不可能同时取得，故， 即的周长小于，C对； 对于D选项，抛物线的方程为，由题意可得，则， 所以，，则，， 故线段的中点为， 因为，两式作差得， 故直线的斜率为， 故直线的方程为，即，即， 联立得，即，解得，， 故， 因为点到直线的距离为， 故，D对. 故选：ACD. 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 【答案】 【分析】设方程为，与抛物线方程联立求出点的坐标，进而求得直线方程，求得点的坐标，由抛物线定义表示出，利用基本不等式求解. 【详解】设方程：，则，求得， 则方程：， 所以，即， 所以，解得， 所以, 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：    7．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【分析】（1）将代入，结合，则，得到C的方程为； （2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，求出的面积，进而利用求出半径； （3）由角平分线得到，设，，结合，得到方程，联立与得两根之和，两根之积，代入上式，求出，从而求出直线AB过定点． 【详解】（1）因为抛物线C：经过点，所以， 解得或， 又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以，则，则C的方程为． （2）设，． 由得，，则 ， ． 因为点到直线AB的距离， 所以的面积， 所以． （3）是，定点坐标为， 因为EF平分，所以， 设，， 则， 因为，，所以， 整理得， 则， 即．① 将代入，得， 则 代入①可得， 因为，所以，即， 所以直线方程为， 所以直线AB过定点． 8．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析；定点； (3)为定值，定值为4 . 【分析】（1）根据已知及抛物线的定义求得，即可得抛物线方程； （2）设直线l方程为，联立抛物线并应用韦达定理得，再由及，，联立所得求参数值，进而确定直线所过的定点； （3）设直线AM的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，、得到、，再由三角形面积公式得到，结合（2）即可得结论. 【详解】（1）由题设； （2）设直线l方程为，且，， 联立直线l与抛物线，消去x，得，故， 因为，且，， 所以，则直线l方程为，过定点； （3）由题设，Q在直线AM上， 设直线AM的方程为，与抛物线方程联立为， 设，所以，即， 设，同理得，即， ，因为，所以， 因为，，所以，而，，， 所以， 因此为定值，定值为4. 【点睛】关键点点睛：第三问，、，设直线并联立抛物线，应用韦达定理得到、，且为关键. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 抛物线（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线的定义及其标准方程 掌握抛物线的定义及其标准方程,培养数学抽象的核心素养. 基础必考点，常出现在小题，掌握定义的转化是关键 由抛物线方程求焦点坐标和准线方程 学会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题 直线与抛物线的位置关系 掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题,提升数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在大题第（1）问 抛物线的弦长、焦点弦、中点弦问题 能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦等问题,提升直观想象的核心素养. 重难必考点，利用韦达定理、点差法、抛物线定义突破弦长公式、中点弦、焦点弦问题 知识点01 抛物线的定义 1、定义：把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2、抛物线集合表示：． 3、要点辨析： （1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线， 而是过点F垂直于直线l的一条直线． （2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性， 故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质． 知识点02 抛物线的标准方程 1、抛物线四种标准方程 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 注：（1）已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； （2）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左); （3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上, 若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上), 若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下). （4）准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. 知识点03 焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 注：①在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． ②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷． 知识点04 抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 知识点05 四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点06 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况： 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例： （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 知识点07 直线与抛物线相交弦长问题 1、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 知识点08 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦的常考性质 假设抛物线方程为.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，其坐标分别为 . 性质1、,. 性质2、抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，则. 注：一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 .于是，若恒过定点. 性质3、已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 （1）. （2）. 性质4、已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若弦中点的坐标为，则. 性质5、（1）以AB为直径的圆与准线相切. （2）以为直径的圆与切于焦点； （3）以焦半径为直径的圆与轴相切； （4）以焦半径为直径的圆与与轴相切； 题型一 抛物线的定义及其辨析（含焦半径公式） 解｜题｜技｜巧 焦半径问题 1、抛物线，． 2、抛物线，． 3、抛物线，． 4、抛物线，． 1．（24-25高二上·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·上海闵行·期末）抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（24-25高二上·河南·期末）已知拋物线的焦点是，点在抛物线上，则（   ） A． B． C．5 D．3 4．（24-25高二上·福建南平·期末）已知抛物线：的焦点为，若上的点与焦点的距离为，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 题型二 抛物线的焦点与准线 解｜题｜技｜巧 由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法 1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参数，从而得焦点坐标与准线方程，要注意； 2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴． 1．（24-25高二上·贵州黔南·月考）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南郑州·月考）抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东·月考）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则的准线方程为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知点到抛物线：的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 题型三 抛物线的标准方程 解｜题｜技｜巧 求抛物线标准方程的方法 ①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数； ②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为或. 1．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津河西·月考）准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（    ） A． B． C．或 D． 6．已知抛物线，过的焦点且斜率为2的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，若点的纵坐标为4，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型四 抛物线的轨迹方程求法 解｜题｜技｜巧 求轨迹方程一般有两种方法:一是直接法,根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程;二是定义法,利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线,再根据抛物线的性质写出方程. 1．（23-24高二上·重庆·期末）已知点满足，则点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 2．（24-25高二上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知直线和圆，若圆M与直线l相切，与圆C相外切，圆M的圆心M的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 6．（24-25高二上·全国·课前预习）设，点在轴上，点在轴上，且，，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为 ． 题型五 抛物线中的距离最值问题 解｜题｜技｜巧 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,这一相互转化关系会给解题带来方便.要注意灵活运用定义解题. 1．已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 2．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，定点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 4．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为（  ） A．13 B．9 C．11 D．10 6．（24-25高二下·湖南·开学考试）在平面直角坐标系中，已知直线与交于点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型六 抛物线在实际问题中的应用 解｜题｜技｜巧 抛物线的实际应用问题,关键是建立坐标系,将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标,从而求得抛物线方程,再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论. 1．（23-24高二上·新疆阿克苏·月考）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（    ） A． B．5 C．10 D．20 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 3．探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏泰州·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（    ） A． B． C． D． 题型七 抛物线的简单几何性质 解｜题｜技｜巧 1、为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论. 2、不能把抛物线看作是双曲线的一支.虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴,但抛物线却越来越接近对称轴的平行线. 1．抛物线C与抛物线关于轴对称，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的通径长为（    ） A．8 B．4 C． D． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线，为轴正半轴上一点，为坐标原点，线段的垂直平分线交抛物线于两点，若四边形为菱形，且，则菱形的周长为（    ） A．5 B． C．8 D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知O为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，A，B是C上位于x轴异侧的两点，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，过作轴的垂线，垂足为．若，则的面积为 ． 6．（24-25高二上·辽宁·期中）过抛物线焦点的直线交于两点，线段中点到轴距离为1，则 ． 题型八 直线与抛物线的位置关系（含弦长和相切） 解｜题｜技｜巧 1、直线与抛物线交点个数的判断方法(以开口向右的情形为例) 设直线l:y=kx+m,抛物线y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2+bx+c=0. （1）若a≠0, 当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,无交点. （1）若a=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 2、求抛物线弦长问题的方法 ①一般弦长公式. 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,则|AB|=·|x1-x2|=·|y1-y2|. 1．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线，直线经过抛物线的焦点，且与相交于，两点．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线被曲线截得的线段的长是 ． 4．（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 5．写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 . 6．设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 7．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线：的焦点到其准线的距离为. (1)求抛物线的方程； (2)过F的直线与抛物线相交于两点，在处分别作抛物线的切线，两条切线的交点为，证明：. 题型九 抛物线中的面积问题 1．（24-25高二上·四川内江·期末）设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A、B两点. (1)求F的坐标和抛物线C的准线方程； (2)设在抛物线C的准线上，若，求的面积. 2．（24-25高二上·山西晋城·月考）已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，点在上. (1)求抛物线的方程； (2)若是抛物线上第一象限内的一点，过线段AF的中点向轴引垂线，垂足为点，且，求四边形的面积. 3．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程. 4．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知抛物线经过点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，且在抛物线上，求的最小值； (3)若过点的直线与圆相切，且直线与抛物线有两个不同的交点，求（为坐标原点）的面积. 5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 题型十 抛物线中的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 “中点弦”问题的两种解题策略 （1）点差法:将两个交点的坐标代入抛物线的方程,作差,由k=(x1≠x2)求斜率,再由点斜式求解. （1）传统法:设直线方程,并与抛物线的方程联立,消去x(或y)得关于y(或x)的一元二次方程,由根与系数的关系,得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍,从而求斜率. 1．（24-25高二下·陕西西安·期末）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（    ）． A． B． C． D． 2．已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（   ）. A．4 B． C．8 D． 3．（24-25高二上·广西玉林·期中）已知是抛物线上的两点，且线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则(    ) A．6 B．7 C．9 D．10 5．已知抛物线上两点A，B关于点对称，则直线AB的斜率为 . 6．已知抛物线上有两个不同的点，线段的垂直平分线交轴于点，且的最大值为6，则 ． 题型十一 抛物线中的焦点弦问题 解｜题｜技｜巧 1、解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题. 2、焦点弦长 设AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,即求抛物线的焦点弦长,通常是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点. 1．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为，直线过焦点与该抛物线相交于两点，为坐标原点，则的值是（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 2．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且从上到下与依次交于两点，，则（    ） A． B．2 C． D．3 3．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·甘肃兰州·开学考试）如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点，，，若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．（24-25高二上·四川绵阳·月考）已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与'轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（   ） A． B．2 C． D．3 题型十二 抛物线中的定值、定点问题 1．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 2．（24-25高二下·上海·期中）已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线Γ上两个不同的点． (1)求抛物线Γ的方程； (2)若直线斜率为1，且过点F，求线段的长度； (3)设直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）已知椭圆和抛物线．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：，． (1)求椭圆和抛物线的方程； (2)设为实数，已知点，直线与抛物线交于两点，记直线的斜率分别为，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 4．已知抛物线的焦点为，点在上，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，设线段的中点分别为，证明：直线过定点． 5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与过点的直线l交于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过点且不过点的直线与抛物线交于C，D两点，若直线PC，PD的斜率都存在且分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.     期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二上·江苏淮安·月考）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．已知点在抛物线上，F是抛物线C的焦点．若，则（   ） A．4 B．2 C．8 D． 3．（24-25高二上·重庆·期末）若抛物线过点，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东广州·期末）斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知为抛物线上一动点，定点，则的最小值为（    ） A．20 B．13 C．16 D．34 9．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（    ）    A．50m B． C．55m D． 10．（23-24高二上·山东枣庄·月考）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（    ） A． B．2 C．或2 D．以上都不是 11．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知抛物线，弦过抛物线的焦点且满足，则弦的中点到轴的距离为（    ） A． B．3 C． D．4 12．（25-26高二上·全国·单元测试）设为抛物线：的焦点，点在上，且在第一象限，若直线AF的倾斜角为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 13．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知是抛物线上一动点，若点到轴的距离为，到圆上的动点的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高二上·江苏南京·月考）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（   ）      A． B． C． D． 17．已知点为抛物线的焦点，点在的准线上，点在上，若，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（24-25高二下·重庆·月考）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为.若，则到轴的距离为（ ） A． B． C． D．2 19．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过且与交于两点，若直线的斜率为，则（   ） A．5 B． C． D． 20．（24-25高二上·广西南宁·月考）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于两点， 则的最小值为 （    ） A． B． C． D． 21．（25-26高二上·全国·课后作业）已知为抛物线上的两点，若是边长为的等边三角形，为坐标原点，则抛物线方程为 ． 22．（24-25高二下·上海·月考）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 . 23．已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为 . 24．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于、两点，若，的面积为，则实数的值为 ． 25．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段PM的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹交于A，B两点，且的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 26．已知抛物线的焦点到准线的距离为2. (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求点的轨迹方程. 27．（24-25高二下·四川内江·开学考试）已知抛物线：（）的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，当轴时，， (1)求抛物线的方程及的坐标； (2)设是抛物线的准线上一点，当到直线的距离最大时，求的面积. 28．（24-25高二下·河南漯河·期末）已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． (1)求抛物线C的方程； (2)求证为定值． 29．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1． (1)求抛物线的方程； (2)直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值． 30．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线过定点，并求该定点坐标. 31．（24-25高二上·重庆·月考）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于两点，设直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点. 32．（24-25高二上·广西河池·月考）设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2． (1)求抛物线的方程； (2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：． 33．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点.当时，的值为（    ） A． B． C． D．8 2．已知点分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 3．（23-24高二上·湖北武汉·月考）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（    ） A．的准线为 B．的最小值为 C．以为直径的圆与轴相切 D．若且，则 4．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）（多选题）设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线交C于A，B两点，过点A，B分别作准线的垂线，对应垂足分别为点M，N，连接MF，NF，则（   ） A．若A，B两点的纵坐标分别为，，则 B．若，则直线AF的斜率 C．若，则的面积为 D．记，，的面积分别为，，，则 5．（24-25高二下·广西河池·期末）（多选题）已知抛物线，的顶点均在上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（    ） A． B．的三个顶点到轴的距离之和为 C．的周长小于 D．当点的纵坐标为时，的面积为 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上两点，．则的最小值为 7．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 8．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于，两点，，点O为坐标原点，. (1)求抛物线C的方程; (2)证明：直线l过定点，并求出该定点坐标; (3)若点，直线AQ，BQ分别与抛物线C相交于M，N两点异于A，B两点，记的面积为，记的面积为，试判断是否为定值，若为定值，则求出此定值;若不为定值，请说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $