专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中复习讲义）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中复习讲义） 1 知识点1 直线与圆的位置关系 1 知识点2 弦长公式与圆的切线 1 知识点3 圆与圆的位置关系 1 【题型1 直线与圆位置关系的判定】 2 【题型2 弦长问题】 2 【题型3 圆的切线方程】 2 【题型4 圆与圆的位置关系】 2 【题型5 综合：范围、最值与轨迹】 3 【综合·培优提升】 3 【重难点】 ★重点： 1. 直线与圆——几何法（比较 d 与 r）、代数法（判别式 ） 2. 弦长 3. 圆的切线（点切线、斜率切线） 4. 圆与圆的五种位置关系（比较圆心距与 ）． ▲难点： 1. 切线方程的求法（点在圆上用公式、点在圆外用 ） 2. 弦长公式的应用 3. 圆与圆位置关系中 d 与 、 的比较 4. 综合问题中的最值与范围． 知识点1 直线与圆的位置关系 【重难点】 ★重点： 1. 几何法 d 与 r 比较 2. 代数法 判别 ▲难点： 1. 几何法更简便，但需先求圆心到直线距离 d 2. 代数法联立后注意一元二次方程的判别式． （1）几何法：圆心到直线距离 d，半径 r： 相交， 相切， 相离． （2）代数法：联立得一元二次方程，判别式 相交， 相切， 相离． （3）选择：无需求交点时几何法优先 （1）求交点坐标时用代数法． 知识点2 弦长公式与圆的切线 【重难点】 ★重点： 1. 弦长 2. 过圆上点 的切线 3. 圆外一点切线用 求斜率 ▲难点： 1. 弦心距 d 是圆心到弦所在直线的距离 2. 圆外切线通常有两条（注意斜率不存在的情形）． （1）弦长：半弦长，故 （d 为弦心距）． （2）点切线（点在圆上）：圆心 、半径 r，过圆上 的切线：．特例 在 处切线为 ． （3）外点切线（点在圆外）：设切线斜率 k，利用圆心到切线距离 求出 k（一般有两组解）． 知识点3 圆与圆的位置关系 【重难点】 ★重点： 1. 比较圆心距 d 与 、： 外离 2. 外切 3. 相交 4. 内切 5. 内含 ▲难点： 1. 内切与内含的界限是 2. 相交条件为 ． （1）判定依据：设两圆圆心距 d，半径 、（）． （2）五种关系： 外离 （1） 外切 （2） 相交 （3） 内切 （4） 内含． 【题型1 直线与圆位置关系的判定】 【例1】判断圆 与直线 的位置关系． 【变式1-1】圆 与直线 的位置关系为 ______（填“相交/相切/相离”）． 【变式1-2】圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1-3】已知圆 与直线 相切，求 m 的值． 【题型2 弦长问题】 【例2】圆 被直线 截得的弦长为 ______． 【变式2-1】圆 被直线 截得的弦长为 ______． 【变式2-2】直线 被圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知圆的半径为 ，弦长为 ，求该弦的弦心距． 【题型3 圆的切线方程】 【例3】求圆 在点 处的切线方程． 【变式3-1】圆 过点 的切线方程为 ______． 【变式3-2】过点 向圆 引切线，求切线方程． 【变式3-3】自点 向圆 引切线，求切线长． 【题型4 圆与圆的位置关系】 【例4】判断两圆 ： 与 ： 的位置关系． 【变式4-1】圆 ： 与 ： 的位置关系为 ______． 【变式4-2】两圆外切时，圆心距 d 与两半径 、 的关系是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】判断 ： 与 ： 的位置关系． 【题型5 综合：范围、最值与轨迹】 【例5】直线 l 过定点 且与圆 有公共点，求 l 斜率的取值范围． 【变式5-1】圆 上的点到点 的距离的最大值与最小值分别为 ______、______． 【变式5-2】求圆 上的点 P 到直线 的最小距离． 【变式5-3】直线 与圆 相交，求实数 b 的取值范围． 【综合·培优提升】 【培优1】过点 向圆 引切线，求切线方程． 【培优2】圆 C： 与直线 l： 相交于 A、B，且 ，求 k． 【培优3】两圆 ： 与 ：，判断它们的位置关系及公切线条数． 【培优4】一动圆与圆 ： 外切，且与圆 ： 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中复习讲义） 1 知识点1 直线与圆的位置关系 1 知识点2 弦长公式与圆的切线 1 知识点3 圆与圆的位置关系 1 【题型1 直线与圆位置关系的判定】 2 【题型2 弦长问题】 2 【题型3 圆的切线方程】 3 【题型4 圆与圆的位置关系】 3 【题型5 综合：范围、最值与轨迹】 4 【综合·培优提升】 5 【重难点】 ★重点： 1. 直线与圆——几何法（比较 d 与 r）、代数法（判别式 ） 2. 弦长 3. 圆的切线（点切线、斜率切线） 4. 圆与圆的五种位置关系（比较圆心距与 ）． ▲难点： 1. 切线方程的求法（点在圆上用公式、点在圆外用 ） 2. 弦长公式的应用 3. 圆与圆位置关系中 d 与 、 的比较 4. 综合问题中的最值与范围． 知识点1 直线与圆的位置关系 【重难点】 ★重点： 1. 几何法 d 与 r 比较 2. 代数法 判别 ▲难点： 1. 几何法更简便，但需先求圆心到直线距离 d 2. 代数法联立后注意一元二次方程的判别式． （1）几何法：圆心到直线距离 d，半径 r： 相交， 相切， 相离． （2）代数法：联立得一元二次方程，判别式 相交， 相切， 相离． （3）选择：无需求交点时几何法优先 （1）求交点坐标时用代数法． 知识点2 弦长公式与圆的切线 【重难点】 ★重点： 1. 弦长 2. 过圆上点 的切线 3. 圆外一点切线用 求斜率 ▲难点： 1. 弦心距 d 是圆心到弦所在直线的距离 2. 圆外切线通常有两条（注意斜率不存在的情形）． （1）弦长：半弦长，故 （d 为弦心距）． （2）点切线（点在圆上）：圆心 、半径 r，过圆上 的切线：．特例 在 处切线为 ． （3）外点切线（点在圆外）：设切线斜率 k，利用圆心到切线距离 求出 k（一般有两组解）． 知识点3 圆与圆的位置关系 【重难点】 ★重点： 1. 比较圆心距 d 与 、： 外离 2. 外切 3. 相交 4. 内切 5. 内含 ▲难点： 1. 内切与内含的界限是 2. 相交条件为 ． （1）判定依据：设两圆圆心距 d，半径 、（）． （2）五种关系： 外离 （1） 外切 （2） 相交 （3） 内切 （4） 内含． 【题型1 直线与圆位置关系的判定】 【例1】判断圆 与直线 的位置关系． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆心 ，半径 ．，故直线与圆相交． 答案：相交． 【变式1-1】圆 与直线 的位置关系为 ______（填“相交/相切/相离”）． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆心 ，，，故相交． 答案：相交． 【变式1-2】圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】C 【分析】判定依据：圆心 到直线 的距离 ，故相离。 【详解】 A：相交。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：相切。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：相离。由判定依据计算/推理可知该项正确。 D：不确定。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 C． 【变式1-3】已知圆 与直线 相切，求 m 的值． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆配方：，圆心 ，半径 （需 ）．圆心到直线 ． 相切 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ．答案：． 【题型2 弦长问题】 【例2】圆 被直线 截得的弦长为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，，弦长． 答案：． 【变式2-1】圆 被直线 截得的弦长为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆心 ，，弦长 ．答案：． 【变式2-2】直线 被圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定依据：圆心 到 的距离 ，，弦长 。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【变式2-3】已知圆的半径为 ，弦长为 ，求该弦的弦心距． 【答案】见【详解】。 【详解】 半弦长，由 半弦长)² 得 ． 答案：． 【题型3 圆的切线方程】 【例3】求圆 在点 处的切线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 验证 P 在圆上：，成立． 由点切线公式得 ，即 ．答案：． 【变式3-1】圆 过点 的切线方程为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 验证 P 在圆上：，成立． 切线： ⇒ ⇒ ． 答案：． 【变式3-2】过点 向圆 引切线，求切线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 A 在圆外（）．设切线 ，即 ． 圆心到切线距离： ⇒ ⇒ ⇒ ． 故切线为 ，即 与 ．答案： 和 ． 【变式3-3】自点 向圆 引切线，求切线长． 【答案】见【详解】。 【详解】 切线长．答案：． 【题型4 圆与圆的位置关系】 【例4】判断两圆 ： 与 ： 的位置关系． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆心 、； 圆心 、．圆心距 ．，，因 ， 故两圆相交．答案：相交． 【变式4-1】圆 ： 与 ： 的位置关系为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 配方 ，圆心 、； 圆心 、． ，，，因 ，故相交．答案：相交． 【变式4-2】两圆外切时，圆心距 d 与两半径 、 的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判定依据：外切的充要条件是圆心距等于两半径之和，即 。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式4-3】判断 ： 与 ： 的位置关系． 【答案】见【详解】。 【详解】 配方 ，圆心 、； 圆心 、． ，，故 ，两圆外切．答案：外切． 【题型5 综合：范围、最值与轨迹】 【例5】直线 l 过定点 且与圆 有公共点，求 l 斜率的取值范围． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 l：，即 ． 有公共点 ⇔ 圆心到直线距离 ： ⇒ ⇒ ⇒ ．竖直直线 到圆心距离为 ，不满足．故 ． 答案：． 【变式5-1】圆 上的点到点 的距离的最大值与最小值分别为 ______、______． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆心 到 A 距离 ，半径 ，故最大距离， 最小距离．答案：；． 【变式5-2】求圆 上的点 P 到直线 的最小距离． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆心 O 到直线 ，半径 ，因 ，圆与直线相离， 最小距离．答案：． 【变式5-3】直线 与圆 相交，求实数 b 的取值范围． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆心 到直线 的距离 ． 相交 ⇔ ⇒ ⇒ ．答案：． 【综合·培优提升】 【培优1】过点 向圆 引切线，求切线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 P 在圆外（）．设切线 ，即 ． 圆心到切线距离： ⇒ ⇒ ⇒ ． 故切线为 ，即 与 ． 答案： 和 ． 【培优2】圆 C： 与直线 l： 相交于 A、B，且 ，求 k． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆配方得 ，圆心 ，半径 ． 弦长 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ， 即直线过圆心．将 代入 ： ⇒ ．答案：． 【培优3】两圆 ： 与 ：，判断它们的位置关系及公切线条数． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆心 、； 圆心 、．圆心距 ， ，故 ，两圆外切．外切时共有 条公切线（ 条外公切线、 条内公切线）．答案：外切；公切线 条． 【培优4】一动圆与圆 ： 外切，且与圆 ： 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 设动圆圆心 、半径为 r． 与 （圆心 、）外切：； 与 （圆心 、）内切（动圆在 内）：． 两式相加得 ． 即 M 到两定点 、 的距离之和为常数 ， 故轨迹为椭圆， ⇒ ，，． 轨迹方程：．答案：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $