专题03 直线及其方程（期中复习讲义·培优版）高二数学上学期人教A版

专题03 直线及其方程（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 求倾斜角、斜率的值（或范围） 题型二 斜率公式的重要应用 题型三 直线方程及其应用 题型四 两直线位置关系的应用 题型五 两点间的距离公式的应用 题型六 中点坐标公式的应用 题型七 直线过定点问题 题型八 点到直线的距离、两平行线间距离公式的应用 题型九 对称问题 题型十 光的反射问题 题型十一 距离之和或差的最值问题 题型十二 与角平分线、高线、中线有关的问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 直线的倾斜角与斜率 理解直线的倾斜角和斜率的概念. 基础必考点，常与其他知识综合 直线的方程 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式，培养直观想象与数学运算的核心素养. 高频考点，出现在各种题型中 两条直线平行与垂直 能根据斜率判定两条直线平行或垂直，培养直观想象和数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题，注意一般式下平行与垂直的充要条件 直线的交点坐标与距离公式 1、能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 2、掌握两点间的距离公式及应用，会运用坐标法证明简单的平面几何问题. 3、探索并掌握平面上点到直线的距离公式，掌握两条平行直线间的距离公式，会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离，提升数学运算的核心素养. 高频易错点，其中对称问题的处理极易出错 知识点01 直线的斜率和倾斜角 1、直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． (2)倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 2、直线的斜率 (1)斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． (2)倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、过两点的直线的斜率公式 经过两点、的直线的斜率公式为． 4、直线的斜率与方向向量的关系 若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 知识点02 直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线在x轴上的截距（也称横截距），在y轴上的截距（也称纵截距）. 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 知识点03 两直线平行与垂直的判定 1、利用斜率进行判断 （1）两条直线平行： ①对于两条不重合的直线，若其斜率分别为，则有． ②当直线不重合且斜率都不存在时，． ·易错点：两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况． （2）两条直线垂直： ①如果两条直线的斜率存在，设为，则有． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，． 2、利用一般式方程的系数进行判断 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 3、直线系方程 (1)过定点的直线系方程：，还可以表示为和． (2)平行于直线的直线系方程：． (3)垂直于直线的直线系方程：． (4)过两条已知直线交点的直线系方程：（不包括直线）和． 知识点04 三个距离公式 1、两点间的距离公式 两点之间的距离：． 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 ·易错点：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 题型一 求直线的倾斜角、斜率的值（或范围） 解｜题｜技｜巧 1.求直线的倾斜角的关键及两点注意 （1）关键：依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正方向所成的角. （2）两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 2、求直线倾斜角或斜率的取值范围 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)． 【典例1-1】（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，. 由图像可知，从方向转到方向须经过竖直方向，斜率的取值范围为或，即，A正确. 【典例1-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先讨论的情况，写出直线方程即可得倾斜角，再讨论的情况，将直线方程化为斜截式，根据斜率和倾斜角的关系用表示出，根据的范围即可求得的范围，两种情况的的范围取并集即可. 【详解】直线的方程为， 当()时，， 直线的方程为，此时直线的倾斜角为. 当()时，， 直线的方程可化为， 若倾斜角为，则斜率， 因为，所以， 所以， 又因为倾斜角， 所以， 综上所述，. 【变式1-1】（26-27高二上·河北·期中）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为. 由直线，得直线的斜率； 由，，得. 【变式1-2】（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可判断. 【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大； 倾斜角为钝角时，斜率为负，倾斜角越大，倾斜程度越小，斜率越大， 所以 故选： A. 【变式1-3】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 题型二 斜率公式的重要应用（三点共线与几何意义） 解｜题｜技｜巧 1、判断三点共线的方法 对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在. （1）若斜率都不存在，则三点共线. （2）若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线. 注意：若三点共线，则任意两点连线的斜率可能相等，也可能都不存在.解决这类问题时，首先要对斜率是否存在作出判断，必要时分情况讨论，然后下结论. 2、斜率的几何意义的应用 斜率的公式有明显的代数和几何特征，所以可以用于某些分式求范围或函数求值域、最值等问题中. 【典例2-1】（25-26高二上·山东德州·阶段检测）已知三点．若三点在同一条直线上，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的斜率相等求解即可. 【详解】由已知可得 因为三点在同一条直线上， 所以，即 解得， 故选：C. 【典例2-2】（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知点，，且是线段上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转变为斜率问题求解. 【详解】 如图所示，代表直线的斜率， 当和点重合时，， 当和点重合时，， 所以的取值范围为. 【变式2-1】若三点，，共线，则 ． 【答案】 【分析】法一：由三点共线有，应用斜率两点式列方程，整理即可得；法二：写出直线的截距式方程，根据在直线上代入整理即可得. 【详解】法一：因为，，三点共线，则， 所以，得，即； 法二：因为，，三点共线，则点在直线上， 其中直线的截距式方程为， 将点的坐标代入直线方程，得到，即. 【变式2-2】（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）若实数x，y满足，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据条件，求出x的范围，设，则与图象有交点，作出图象，分析即可得答案. 【详解】由题意，解得， 设，则与图象有交点， 当时，，当时，， 作出的图象，如图所示    由图象可得. 题型三 直线方程及其应用 解｜题｜技｜巧 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)． 易｜错｜警｜示 求直线方程时，要注意不要忽视直线斜率不存在的情况. 【典例3-1】求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【答案】(1)或． (2)或． 【分析】（1）法一：分和两种情况讨论，利用直线的截距式方程得到直线方程； 法二：因为截距相等，分直线斜率为和直线过原点两种情况讨论，得到直线方程； （2）法一：利用直线的截距式方程，，代入点，得到方程； 法二：根据等腰直角三角形得到直线的斜率为，利用直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】（1）法一：设直线在坐标轴上的截距为， ①当时，直线过点和，所以直线方程为，即． ②当时，直线方程为，代入点可得，即直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两坐标轴上截距相等，所以直线斜率为或直线过原点． ①当直线斜率为时，直线方程为，即． ②当直线过原点时，，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． （2）法一：因为可以围成三角形，所以在坐标轴上的截距均不为， 设直线方程为，因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以， 代入点可得或所以直线方程为或． 法二：因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线的斜率为， 又直线过定点，所以直线方程为， 即所求直线方程为或． 【典例3-2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【分析】（1）利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. （2）利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解. 【详解】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 【变式3-1】（26-27高二上·四川内江·阶段检测）已知直线l过点 (1)若直线l在x轴上的截距为1，求直线l的方程. (2)若直线l与直线垂直，求直线l的方程. (3)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) (3) 或 【分析】第一小问用截距式代入点求解即可；第二小问直接设垂直的直线系方程再代入求解；第三小问也用截距式代入点求解. 【详解】（1）设直线方程为，因为直线l过点且在x轴上的截距为1，所以，解得， 所以直线方程为，即 （2）设直线方程为，因为直线l过点，所以，解得， 所以直线方程为. （3）当直线过原点时，直线方程为. 当直线不过原点时设直线方程为， 因为直线l过点且在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，所以，解得， 所以直线方程为，即 【变式3-2】（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）(1)一条直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的倍时，求该直线方程； (2)一条直线经过点，与轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小（为坐标原点）时求该直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求已知直线倾斜角的正切值，通过二倍角正切公式得到所求直线斜率，结合点坐标用点斜式求直线方程； （2）设直线的截距式方程，代入点坐标后利用基本不等式求出面积最小时的截距，进而得到直线方程. 【详解】（1）设所求直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 将直线化为斜截式，可得其斜率， 由二倍角正切公式，所求直线的斜率， 因为直线过点，故直线方程为，整理为一般式得：. （2）设所求直线与轴正半轴交点为，与轴正半轴交点为，其中， 则直线的截距式方程为，将点代入方程得：， 的面积，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 对不等式两边平方得，即，因此， 即面积的最小值为，联立，解得， 代入截距式方程得，整理为一般式得：. 题型四 两直线位置关系的应用 解｜题｜技｜巧 1、过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 ①由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程. ②可利用如下待定系数法：与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0，再由直线所过的点确定C2. 2、对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论： 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔或 l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 3、常见的四大直线系方程 ①过定点P(x0，y0)的直线系A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0)，还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可视为x=x0). ②与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R，且m≠C). ③与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R). ④过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)，但不包括l2. 4、应用直线系方程的关注点 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时，一定要注意系数及符号的变化规律. 易｜错｜警｜示 判断两直线位置关系时，若直线方程中存在字母参数，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 【典例4-1】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线：，：，则（     ） A．，不可能重合 B．若，则 C．若，则 D．的倾斜角可能为0 【答案】AC 【详解】对于A选项，假设与重合，则存在非零实数，使得， 故，该方程组无解，故不可能重合，A正确. 对于B选项，当时，，，两直线垂直不平行； 当时，若，则两直线斜率相等，即，解得， 当时，满足要求； 当时，满足要求，所以，故B错误. 对于C选项，若，则，解得，故C正确. 对于D选项，若的倾斜角为0，则的斜率为0，当时，，倾斜角为； 当时，的斜率为，令无实数解，故的倾斜角不可能为0，D错误. 【典例4-2】（多选）（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是：. B．与直线平行 C．与直线垂直 D．直线恒过定点 【答案】BC 【分析】A选项根据斜截式方程的形式判断，BC选项根据两条直线的平行垂直的关系求解，D选项直接代入检验即可. 【详解】A选项，根据斜截式方程的定义，直线的斜截式方程是：，A选项错误； B选项，直线化为，与斜率一样，且，则两条直线平行，B选项正确； C选项，直线的斜率是，斜率为，且，于是两直线垂直，C选项正确； D选项，代入，直线不过点，D选项错误. 故选：BC 【变式4-1】（26-27高二上·广西钦州·阶段检测）下列结论错误的是（   ） A．若直线的斜率相等，则或与重合 B．若直线的斜率分别为，且，则 C．若直线的斜率都不存在，则 D．若直线的斜率不相等，则与不平行 【答案】BC 【详解】对于选项A，直线，的斜率相等，则或与重合，故A正确； 对于选项B，当直线的斜率时，有，故B错误； 对于选项C，若直线，的斜率都不存在，则或与重合，故C错误； 对于选项D，直线，的斜率不相等，则与不平行，故D正确. 【变式4-2】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【答案】BD 【分析】根据两直线的位置关系求解判断. 【详解】A错，当时，：，符合倾斜角为90°； B对，：过定点，而点也在：上，所以对任意的k，与都有公共点； C错，当时，：，然与：重合； D对，要使与垂直，则，即，显然不存在这样的k值． 故选：BD. 【变式4-3】（24-25高二上·新疆喀什·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程； (1)经过点； (2)与直线平行； (3)与直线垂直； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 (1)由两点即可求出斜率，由点斜式即可求直线的方程； (2)设与直线平行的直线的方程为，代点即可求得； (3)设与直线垂直的直线方程为，代点即可求得. 【详解】（1）根据题意有直线的斜率为，则直线的方程为， 整理有； （2）设与直线平行的直线的方程为，又因为经过点， 所以，即； （3）设与直线垂直的直线方程为，又因为经过点， 所以，即. 题型五 两点间的距离公式的应用 解｜题｜技｜巧 灵活应用两点间的距离公式不仅可求线段的长度，还常用于判断三角形形状、由距离求参数的值、证明几何问题等. 【典例5-1】（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，是直线l：上的两点，若，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】因为，是直线l：上的两点，所以，， ，即. 【典例5-2】函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】分析可知，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和，数形结合可知，当点、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【详解】因为， 所以，函数的几何意义为轴上的点到点、的距离之和， 即，如下图所示： 由图可知，当点、、三点共线时，取最小值， 且. 【变式5-1】（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 【变式5-2】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知两点，，点在轴上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点 C 在 x 轴上，A、B 两点均在 x 轴上方，属于同侧两点. 点 A 关于 x 轴的对称点 ，由对称性知 ， 故 . 根据两点之间线段最短，， 当且仅当 C 为直线 A'B 与 x 轴的交点时取等号 【变式5-3】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合对于解决部分数学问题有着事半功倍的效果．已知，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】将根式和转化为动点到正方形四个顶点的距离之和，将对角顶点对应的距离配对，利用三角不等式求下界，并检验能否同时取等． 【详解】设，取、、、，则四点构成边长为2的正方形，由两点间距离公式，题中根式和等于． 由线段长的三角不等式，，且，两式相加得原式． 当为两条对角线的交点，即时，同时在线段和上，两个不等式同时取等，所以原式的最小值为． 题型六 中点坐标公式的应用 解｜题｜技｜巧 应用中点坐标公式求解的问题主要有两类: (1)直接应用中点坐标公式求中点坐标问题,如已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求AB的中点M(x0,y0),则用公式解决. (2)应用中点坐标公式求解对称点的问题,用公式解决. 【典例6-1】 已知点A关于B(2,1)的对称点为C(-4,3),C关于D的对称点为E(-6,-3),求A,D的坐标及线段AD中点的坐标. 【分析】把中心对称问题转化为中点问题.由AC的中点是B,CE的中点是D,运用中点坐标公式可求解. 【详解】设A(x1,y1),由题意知AC的中点为B,所以=2,=1,所以x1=8,y1=-1,所以A(8,-1). 设D(x2,y2),由题意知D为CE的中点, 所以x2==-5,y2==0,所以D(-5,0). 所以线段AD中点的坐标为,即. 【点评】注意熟记以下与对称有关的结论:(1)若A,B两点关于点P对称，则点P是线段AB的中点. (2)若A,B两点关于直线l对称，则直线l是线段AB的垂直平分线,其中AB的中点也在直线l上. 【典例6-2】已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线交点为E(-3,4),求另外两顶点C、D的坐标. 【分析】 根据E为AC和BD的中点,利用中点坐标公式列方程组求解. 【详解】设C点坐标为(x1,y1),则由E为AC的中点得解得设D点坐标为(x2,y2),则由E为BD的中点得解得 故C点坐标为(-10,6),D点坐标为(-11,1). 【变式6-1】已知三边AB，BC，CA的中点分别为，，，则顶点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用中点坐标公式即可求解. 【详解】设，，， 因为三边AB，BC，CA的中点分别为，，， 由中点坐标公式可得，，，解得，，， 故顶点A的坐标为. 【变式6-2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,P为三角形内一点,且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2. 【分析】本题考查用坐标法证明平面几何问题,关键是把几何证明转化为代数运算.可利用题中的垂直关系建立坐标系、设点、计算. 【证明】如图,以CA所在的直线为x轴,点C为原点建立平面直角坐标系,设AC=3a(a>0),BC=3b(b>0),则C(0,0),A(3a,0),B(0,3b),设P(x,y). ∵S△PCA=S△PCB=S△PAB,S△PCA+S△PCB+S△PAB=S△ABC, ∴S△PCA=S△ABC,S△PBC=S△ABC, 即×3ay=××3a·3b,×3bx=××3a·3b,∴y=b,x=a. ∴适合条件的点P的坐标为(a,b). 此时,|PA|2=(3a-a)2+b2=4a2+b2, |PB|2=a2+(3b-b)2=a2+4b2,|PC|2=a2+b2, ∴|PA|2+|PB|2=5(a2+b2)=5|PC|2,结论成立. 题型七 直线过定点问题 解｜题｜技｜巧 1．.核心知识 含参数m直线方程整理成 定点满足方程组 2．方法技巧 (1)分离参数将式子整理成参数乘以式子加不含参数式子等于0,令两个式子分别等于0联立求定点坐标. (2)也可以代入两个特殊参数值求交点即为定点. 【变式7-1】（26-27高二上·浙江·阶段检测）直线经过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于含参数的直线恒过定点问题，我们可以将原式按参数合并整理：把直线方程展开， 将含的项和常数项分离得： ，该等式对任意都成立， 等价于两个括号内的项同时为，得到方程组： 解得即定点为. 【变式7-2】（26-27高二上·河北·阶段检测）方程所表示的直线恒过的定点坐标为_________． 【答案】 【详解】方程，即，由 可得， 所以方程所表示的直线恒过的定点坐标为． 题型八 点到直线的距离、两平行线间距离公式的应用 解｜题｜技｜巧 1．利用点到直线的距离公式求点线距时要注意： （1）直线必须先写成一般式 （2）分子一定要带绝对值分母根号内是A平方加B平方 2．利用两平行线间的距离公式求线线距时要注意： （1）两条直线x y的系数必须化成完全相同才可以套用公式； （2）也可以在一条直线上任取一点求该点到另一条直线距离. 【典例8-1】（25-26高二上·四川成都·期中）过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出的值，从而求出直线方程. 【详解】由题意得直线斜率存在，设直线方程为， 因为到直线距离相等， 所以， 解得：或， 所以直线方程为或， 整理得：或. 【典例8-2】（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线，，若，则两条平行直线之间的距离为________________________ 【答案】 【分析】根据两直线平行可得参数，进而可得平行线间距离. 【详解】由已知直线，，且， 则，解得或， 当时，直线，，即， 此时两平行线间距离； 当时，直线，，即，此时与重合，与题意不符， 综上所述，两平行线间距离. 【变式8-1】（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）直线与直线间的距离为_______． 【答案】/ 【详解】直线可化为， 所以直线与直线间的距离. 【变式8-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析，；(2)， 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 题型九 对称问题 解｜题｜技｜巧 对称问题的解决方法 （1）点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a-x，2b-y). （2）直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于点P的对称直线方程为A(2x0-x)+B·(2y0-y)+C=0. （3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. （4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 【典例9-1】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 【答案】A 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解得， 因为在直线上，代入即可得， 化简得的，即对称直线方程为. 【典例9-2】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）与直线l：关于直线m：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先联立两直线方程，求出原直线与对称轴的交点（该点在对称直线上）；再在原直线上任取一点，求它关于对称轴的对称点；最后求出对称直线方程即可. 【详解】联立直线与方程可得，解得，所以两直线交点为， 在直线上任取一点，设该点关于直线的对称点为，则根据对称点的性质可得， ，且点与点的中点在直线上，即， 解得，即对称点，所以对称直线的斜率， 则对称直线的方程为，即. 【典例9-3】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为__________． 【答案】 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，已知直线的斜率为， 两条互相垂直的直线斜率乘积为，所以，即， 因为两点的中点在直线上，所以，即， 联立，解得，即坐标为. 【变式9-1】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到直线与直线平行，从而得到，再根据直线上取一点，得到关于点的对称点，代入直线即可得到答案. 【详解】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得. 故选：C 【变式9-2】（26-27高二上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． (1)求直线方程； (2)求垂心关于直线的对称点坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得直线的斜率． 代入点斜式，得，所以． （2）由于在轴上，顶点到的高为． 又，所以过点且垂直于的高斜率为，其方程为． 两高交于． 设关于直线的对称点为． 由，得 ． 直线的方程为． 由对称性质，的中点在上，因此 ． 联立，解得，，所以关于直线的对称点坐标为． 题型十 光的反射问题 解｜题｜技｜巧 光的反射问题可转化为关于点或关于直线对称的问题，此时要注意入射光线和反射光线关于法线对称，关于镜面对称.. 【典例10】（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）光线自点射入，经直线：反射后经过点，同时还经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求入射点关于反射直线的对称点，推导反射光线所在直线方程，代入选项横坐标验证纵坐标是否匹配即可. 【详解】根据光线反射的性质，入射点关于反射直线的对称点在反射光线所在直线上. 设点关于直线的对称点为， 两点连线与直线垂直，直线斜率为，故两点连线斜率为，即； 两点中点在直线上，故. 联立解得，即反射光线过点. 已知反射光线还过点，计算得反射光线斜率， 由点斜式得反射光线方程为. 验证各选项： 当时，，A、B均不符合； 当时，，C不符合，D符合. 【变式10-1】（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知入射光线经过点，被直线l：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的一般式方程为______． 【答案】 【分析】先求点关于直线的对称点，再根据反射光线过和两点，用两点式求直线方程并整理为一般式. 【详解】设点关于直线的对称点为， 根据对称点的性质，可列方程组， 解得，即， 由反射的性质可知，反射光线经过点和，代入直线两点式方程得 ， 整理为一般式得. 【变式10-2】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（     ）    A．10 B． C． D．8 【答案】B 【分析】利用反射的性质，找到对称的点，将周长进行转化，求解即可。 【详解】设，，，则重心即， 设， 光线反射路径可展开为直线：关于：的对称点；关于：的对称点， 展开后，，，共线，且光线经过重心，因此，，三点共线， 即，，由共线得，解得或. 因为异于端点，所以，即. 则周长. 题型十一 距离之和或差的最值问题 解｜题｜技｜巧 1．定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短. 2．定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短. 【典例11-1】在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，作出关于直线的对称点， 作出关于轴的对称点， 连结，交直线于，交轴于， ，， 三角形的周长为线段的长， 由两点间线段最短得此时三角形的周长最小， 三角形的周长最小时，最小值为：． 【典例11-2】（26-27高二上·重庆黔江·月考）已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 由对称性可知，， 当可组成三角形时，根据三角形三边关系得到， 连接并延长，交于点，则此时， 即当三点共线时，取得最大值， 最大值为. 【变式11-1】（26-27高二上·北京·月考）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为.故选：C. 【变式11-2】（24-25高二上·重庆荣昌·期中）已知，则的最小值 . 【答案】 【分析】设点为直线上的动点，已知式几何意义为与的距离和与的距离之和，设点，求出关于直线的对称点，计算出即得． 【详解】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点， 则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 【变式11-3】已知直线：． (1)若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； (2)P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 【详解】（1）由直线m与平行，设直线m的方程为， 由m，之间的距离为，得，解得或， 所以直线m的方程为或. （2）设点关于直线：的对称点为， 则，解得，即， 而，当且仅当三点共线时取等号， 直线的方程为，即， 由，解得，点， 所以取得最大值时点P的坐标.    题型十二 与角平分线、高线、中线有关的问题 解｜题｜技｜巧 核心知识 中线：顶点到对边中点连线 高线：过顶点垂直对边 角平分线：角两边到角平分线夹角相等角平分线上点到两边距离相等 方法技巧 中线：先求中点坐标两点式写直线 高线：利用垂直求斜率结合定点写方程 角平分线：距离公式列方程舍去增根 【典例12】（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)直线经过点，点到的距离为，求直线的一般方程； (2)求的面积． 【答案】(1)或 (2)11 【分析】联立方程求得点；分斜率存在与否，利用点到直线距离求直线l方程; 由得斜率，写出方程；联立求中点，算出点到距离，代入面积公式求解. 【详解】（1）依题意得，点是直线与直线的交点， 由解得， 所以点的坐标是． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，所以，解得． 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或． （2）边上的高所在直线方程为， ，且，即， 的顶点，直线方程：， 即与联立，， 解得，的坐标为， 所以 点到直线的距离为， 所以的面积为． 【变式12-1】（26-27高二上·天津南开·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． (3)求的面积． 【答案】(1)A(3,4)(2)x+5y-9=0(3)7 【分析】（1）根据题意得到交点所在的两条直线，联立方程即可； （2）根据题意列出有关条件的式子，进行求解； （3）根据三角形面积公式，先求出有关量，代入公式即可. 【详解】（1）因为为边上的高，，所以， 过，得方程为，即， 联立方程，解得，故. （2）设，则中点， 由题意在上，在上，得，解得，即， 则， 由点斜式得直线方程为，整理得. （3）， 点到直线的距离， 所以. 【变式12-2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据垂直关系求出的直线方程，然后与平分线所在的直线联立即可求解； （2）根据对称关系求出点关于平分线所在直线的对称点，然后根据点的对称点和点坐标即可求解. 【详解】（1）设直线的方程为，把点代入直线方程可得， 所以直线的方程为，联立，解得， 即点的坐标为. （2）设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为，则直线的斜率为， 并且的中点在直线上， 即，解得，所以， ，所以直线的方程为，即. 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（     ） A．不存在 B．1 C．90 D．0 【答案】A 【详解】直线即，则直线垂直于轴，所以直线的倾斜角为，因此直线的斜率不存在. 2.（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选B. 3．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）直线的一个方向向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的方向向量求出直线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可. 【详解】由题意知，直线的斜率为， 故直线的方程为，整理得. 4．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 5．（25-26高二上·山西运城·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意有：，点的中点， 所以图纸的折痕所在的直线方程为，即，令，得，即， 又由轴与直线也正好重合，则点在直线上， 所以， 又因为直线与直线以及轴相交与点， 所以，代入，解得， 所以， 故选：D. 6．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是.    故选：B 7．(多选)（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论为何实数，直线：与直线：互相垂直 D．在，轴上的截距为，的直线可表示为 【答案】ABC 【分析】先由倾斜角求出斜率，再根据直线方向向量的概念求出斜率，即可判断选项A；根据直线定点的求解方式，求出定点坐标即可作出判断；根据是否为0即可判断选项C；由截距式不能表示截距为0的直线即可判断选项D. 【详解】对于A，由直线倾斜角为，则斜率； 若方向向量为，则斜率，所以选项A正确； 对于B，由，则，令，则， 所以，因此直线恒过定点，选项B正确； 对于C，因为，所以两直线垂直，选项C正确； 对于D，当截距为0时，截距式不适用，选项D错误. 8．(多选)（25-26高二上·全国·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 【答案】BD 【分析】令可判断A；利用平行线之间的距离公式可判断B；求出直线的斜率可判断C；由方程判断两直线的位置关系可判断D． 【详解】对于A，令得，直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，直线与直线平行，直线与直线之间的距离为，故B正确； 对于C，直线的斜率为，以为方向向量的直线的斜率为3，故C错误； 对于D，由，得，故D正确． 故选：BD. 9．（多选）（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知直线：，：，则下列说法正确的有（     ） A．若，则直线，之间的距离为 B．原点到直线的最大距离为 C．若直线不过第四象限，则 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 【答案】ABD 【分析】对A利用平行求出参数再结合两平行线距离公式求解，对B先将直线：，整理为，恒过定点， 再求原点到动直线最大距离，对C转化为斜率与纵截距范围判断直线经过的象限，对D分截距为和不为两类讨论截距相等的情况，逐一判断选项正误． 【详解】选项A，若，则斜率相等，斜率为，斜率为，故，即， 此时方程为，两平行线距离，A正确； 选项B，将变形为，可知恒过定点， 原点到的最大距离为原点到定点的距离（当时取等），，B正确； 选项C， 将写为斜截式，不过第四象限需满足斜率且纵截距， 解得，C错误； 选项D，截距相等分两种：①截距均为，得，符合； ②截距均不为，令得纵截距，令得横截距， ，解得，符合； 故或，D正确． 10．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线与垂直，则实数的值为__________. 【答案】 【详解】由与垂直，得，解得. 11．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 【答案】 【详解】设与平行的直线方程为， 联立，解得， 又因为点在直线上，即， 解得. 所以直线方程为. 12．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知点，，且是线段上一动点，则的取值范围为 【答案】 【详解】 如图所示，代表直线的斜率， 当和点重合时，， 当和点重合时，， 所以的取值范围为. 13.（25-26高一下·北京延庆·期中）已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题意，在平行四边形中，,,， 所以，， 所以，即. 14．（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线平行斜率相等，利用点斜式求解直线方程； （2）若截距为0，直线过原点，利用斜截式求解直线方程，若截距不为0，利用截距式求解直线方程. 【详解】（1）直线的斜率：， 故过点且与平行的直线方程斜率，且， 故直线方程为，即． （2）当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是， 所以直线方程为，即； 当截距不为0时，可设直线方程为：， 代入，得，， 故直线方程为， 综上得：直线方程为或． 15．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求一点的坐标，使得四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用垂直斜率关系式得出上的高的斜率再点斜式得出直线方程； （2）根据中点得出坐标，再应用已知两点得出直线即可； （3）先设点的坐标，再应用向量相等列式计算求解. 【详解】（1）直线的斜率为， 边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即． （2）记的中点为，的坐标为， 直线的斜率为， 边上的中线所在直线的方程为． （3）设点的坐标为， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以，即， 所以，， 故当为时，四边形为平行四边形． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 16．（26-27高二上·湖南·阶段检测）已知直线，，，的倾斜角分别为，，，，则（     ） A．最大 B．最大 C．最大 D．最大 【答案】B 【详解】直线的斜率为，即， 直线的斜率为，即， 直线的斜率为，即， 根据倾斜角的范围及正切函数的性质知， 直线的倾斜角， 综上，最大. 17．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由与没有公共点，可知，两条直线斜率相等， 先求的斜率，，，， 直线过，， ， 由，得，解得， 检验当时，：，：，两直线平行，符合题意. 18．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知的顶点分别为，，， 因为重心为三角形三个顶点对应坐标的平均数，即重心坐标为，即， 因为，则边上的高线斜率为， 因边上的高线过点，故其方程为，即①. 同理，则边上的高线斜率， 因边上的高线过点，故其方程为，即②. 由①，②联立，解得，，即的垂心坐标为. 由题意，欧拉线过重心和垂心，则的欧拉线方程为 即. 故选：D. 19．(多选)（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知直线：，下列说法正确的是（   ） A．原点关于的对称点的坐标是 B．直线关于的对称直线的方程是 C．直线关于点的对称直线的方程是 D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【分析】结合点关于直线对称、直线关于直线对称、直线关于点对称的性质，以及两直线垂直的斜率关系逐一验证各个选项． 【详解】选项A、设原点关于直线的对称点为， 满足两个条件：①线段中点在直线上， 即，化简得； ②两点连线与直线垂直，斜率乘积为， 即，化简得 联立方程解得， 所以原点关于的对称点的坐标是，选项A正确； 选项B、联立， 解得直线与的交点为，该点在对称直线上， 取上的点， 由选项A可知原点关于的对称点为， 过两点和的直线斜率为， 所以直线关于的对称直线的方程是，即，选项B正确； 选项C、直线关于点对称后与原直线平行，故斜率仍为2， 取直线：上的点，其关于的对称点为， 直线关于点的对称直线的方程是，即，选项C正确； 选项D、已知直线：， 则与直线垂直的直线斜率为， 所以过点，垂直于直线的直线的方程是，即，选项D错误． 20.（26-27高二上·四川内江·阶段检测）已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 【答案】 【分析】、在直线的同侧，可通过对称将距离和转化为(为点关于直线对称的点)，当为与直线的交点时，取得最小值. 【详解】设点关于直线对称的点为，则，解得，即点. 的最小值为. 21．（26-27高二上·上海长宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，；点在线段上并且平分，则点的坐标为______ 【答案】 【分析】由点的坐标可得的长度，再由角平分线定理以及定比分点公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，，点和点的横坐标相同，则， ， 因为平分，由角平分线定理可得， 即是线段上满足的点， 由定比分点规则代入比例计算可得横坐标， 纵坐标，所以点的坐标为. 22．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知的顶点，边上的高所在直线平行于直线，角的平分线所在直线l的方程为． (1)求点坐标； (2)求点关于直线的对称点的坐标； (3)求边所在的直线方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意设点，根据直线平行及直线垂直时的斜率关系，建立等量关系，即可求出点B坐标；（2）设，由角平分的性质可得，点A关于直线l的对称点在直线上，且中点在角平分线上，根据两个条件建立等量关系，即可求出的坐标；（3）利用直线的两点式方程直接求出直线方程即可. 【详解】（1）由角的平分线所在直线的方程为，设点，则， 设边上的高所在直线的斜率为，因为边上的高所在直线平行于直线，所以， 又因为垂直于高线，所以，即，解得，所以点坐标为； （2）由角平分线的性质可得，点关于的对称点在直线上， 设，则与的中点在直线上，且与直线垂直， 所以，解得，所以的坐标为； （3）由题可知直线即为直线，由（1）（2）分别知，， 则由两点式方程可得，化简整理得， 即边所在的直线方程为. 23．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知直线与直线，． (1)不管取何值，直线过定点，求定点的坐标； (2)若，求的值； (3)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1） 将直线的方程分离参数，令含项的系数和常数项均为0即可求解定点； （2）由可得，再代入检验即可求解； （3）将点的坐标代入直线的方程中，求出的值，从而可得点的坐标，然后再分直线的截距为0和不为0两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）直线可化为， 要使上式对任意恒成立，则，解得， 因此定点的坐标为． （2）因为，所以，解得或， 当时，，，即，此时，满足题意； 当时，，即，，此时重合，不满足题意. 综上所述，． （3）因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即， 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或． 24．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知的顶点，边上的高所在直线平行于直线，角的平分线所在直线l的方程为． (1)求点坐标； (2)求点关于直线的对称点的坐标； (3)求边所在的直线方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意设点，根据直线平行及直线垂直时的斜率关系，建立等量关系，即可求出点B坐标；（2）设，由角平分的性质可得，点A关于直线l的对称点在直线上，且中点在角平分线上，根据两个条件建立等量关系，即可求出的坐标；（3）利用直线的两点式方程直接求出直线方程即可. 【详解】（1）由角的平分线所在直线的方程为，设点，则， 设边上的高所在直线的斜率为，因为边上的高所在直线平行于直线，所以， 又因为垂直于高线，所以，即，解得，所以点坐标为； （2）由角平分线的性质可得，点关于的对称点在直线上， 设，则与的中点在直线上，且与直线垂直， 所以，解得，所以的坐标为； （3）由题可知直线即为直线，由（1）（2）分别知，， 则由两点式方程可得，化简整理得， 即边所在的直线方程为. 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 25．（2025·内蒙古赤峰·三模）出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点， ，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，的轨迹关于轴对称，也关于轴对称． 当时，， 即 画出此函数的图象，并结合对称性可得点的轨迹是如图所示的六边形． 由图可知，的最小值为图中点到直线的距离． 故选：A 26．（多选）（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，，，，，为线段上的动点，则（     ） A．点的坐标为 B．直线在轴上的截距为 C．直线与直线可能垂直 D．直线绕点逆时针旋转后，所得直线的倾斜角可能为锐角 【答案】ABD 【分析】作射线，利用平面几何知识可得，设，利用斜率可求出坐标判断A，根据直线方程判断B，利用向量的数量积不为0判断C，取特例计算旋转后直线的倾斜角判断D. 【详解】如图，作射线， 因为，所以. 又，所以. 设，则，且， 解得，所以点的坐标为，A正确； 由直线的方程为，可知直线在轴上的截距为，B正确； 设，则，，所以，则与不可能垂直，C错误； 连接，因为，所以直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角可取，此时直线绕点逆时针旋转后，所得直线的倾斜角为，D正确. 27．（2025高三·全国·专题练习）在直角坐标平面上，已知点，为线段上的动点，若恒成立，则正实数的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，又在线段上， 所以共线，且， 即， 又，，所以， 即， 整理得，将代入， 即恒成立，又， 所以，又， 解得，所以的最小值为. 28．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点． (1)若点P为线段AB的中点，求直线l的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E，F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)由题意，设，因为，点， 即， ∴，即，∴. 由轴，则. 直角梯形的顶点为， 上底，下底，高为2， 梯形的面积， 设动点，， 因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为， 四边形是梯形，其上底为，下底为，高为， 所以，即， 因此点的坐标为， 直线经过点和， 当时，其斜率， 则直线的方程为：，化简得， 去分母整理得， 上式对任意恒成立，因此需满足，解得， 所以，直线过定点； 当时，、，此时直线为，过点； 综上可得：直线必过定点. 【分析】（1）借助中点公式计算可得点、坐标，即可得直线l的方程； （2）设直线方程，代入点得到直线方程，然后得到交点坐标，由交点坐标计算三角形面积，然后利用基本不等式即可求出面积最小值； （3）设，利用得到，再设，根据四边形面积得到关系式，代回直线方程，求出定点得解． 【详解】（1）由点P为线段AB的中点，则有，即，， 故直线l的方程为，即； （2）当直线斜率不存在时，不存在点，舍去； 当直线斜率存在时，设，即， 由题意可知，∴， ∴， ∵时，∴， 当且仅当，即时取等号， ∴； （3）略 29．（23-24高二上·安徽亳州·期中）城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 【答案】(1) (2)，200平方米 【详解】（1）过作轴，垂足为， 由可知，直线OC的斜率， 直线OC的方程为， 因为点C到OA的距离为20米，设，故，可得， 因为，则为的中点，， 则，所以， 所以点P到OC的距离；    （2）因为，，得AC所在直线方程为， 设，因为点O与点B关于AC对称，故可得 得，，即， 所以所在直线方程为， ， 所以该口袋公园的总面积200平方米． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 直线及其方程（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 求倾斜角、斜率的值（或范围） 题型二 斜率公式的重要应用 题型三 直线方程及其应用 题型四 两直线位置关系的应用 题型五 两点间的距离公式的应用 题型六 中点坐标公式的应用 题型七 直线过定点问题 题型八 点到直线的距离、两平行线间距离公式的应用 题型九 对称问题 题型十 光的反射问题 题型十一 距离之和或差的最值问题 题型十二 与角平分线、高线、中线有关的问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 直线的倾斜角与斜率 理解直线的倾斜角和斜率的概念. 基础必考点，常与其他知识综合 直线的方程 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式，培养直观想象与数学运算的核心素养. 高频考点，出现在各种题型中 两条直线平行与垂直 能根据斜率判定两条直线平行或垂直，培养直观想象和数学运算的核心素养. 基础必考点，常出现在小题，注意一般式下平行与垂直的充要条件 直线的交点坐标与距离公式 1、能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标，会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 2、掌握两点间的距离公式及应用，会运用坐标法证明简单的平面几何问题. 3、探索并掌握平面上点到直线的距离公式，掌握两条平行直线间的距离公式，会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离，提升数学运算的核心素养. 高频易错点，其中对称问题的处理极易出错 知识点01 直线的斜率和倾斜角 1、直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． (2)倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 直线图示 2、直线的斜率 (1)斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． (2)倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、过两点的直线的斜率公式 经过两点、的直线的斜率公式为． 4、直线的斜率与方向向量的关系 若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 知识点02 直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线在x轴上的截距（也称横截距），在y轴上的截距（也称纵截距）. 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 知识点03 两直线平行与垂直的判定 1、利用斜率进行判断 （1）两条直线平行： ①对于两条不重合的直线，若其斜率分别为，则有． ②当直线不重合且斜率都不存在时，． ·易错点：两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况． （2）两条直线垂直： ①如果两条直线的斜率存在，设为，则有． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，． 2、利用一般式方程的系数进行判断 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 3、直线系方程 (1)过定点的直线系方程：，还可以表示为和． (2)平行于直线的直线系方程：． (3)垂直于直线的直线系方程：． (4)过两条已知直线交点的直线系方程：（不包括直线）和． 知识点04 三个距离公式 1、两点间的距离公式 两点之间的距离：． 2、点到直线的距离 点到直线的距离 特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离 3、两条平行线间的距离 已知是两条平行线，求间距离的方法： （1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离． （2）设，则与之间的距离 ·易错点：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等． 题型一 求直线的倾斜角、斜率的值（或范围） 解｜题｜技｜巧 1.求直线的倾斜角的关键及两点注意 （1）关键：依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正方向所成的角. （2）两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 2、求直线倾斜角或斜率的取值范围 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)． 【典例1-1】（26-27高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27高二上·河北·期中）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二 斜率公式的重要应用（三点共线与几何意义） 解｜题｜技｜巧 1、判断三点共线的方法 对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在. （1）若斜率都不存在，则三点共线. （2）若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线. 注意：若三点共线，则任意两点连线的斜率可能相等，也可能都不存在.解决这类问题时，首先要对斜率是否存在作出判断，必要时分情况讨论，然后下结论. 2、斜率的几何意义的应用 斜率的公式有明显的代数和几何特征，所以可以用于某些分式求范围或函数求值域、最值等问题中. 【典例2-1】（25-26高二上·山东德州·阶段检测）已知三点．若三点在同一条直线上，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【典例2-2】（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知点，，且是线段上一动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】若三点，，共线，则 ． 【变式2-2】（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）若实数x，y满足，则的取值范围是_____. 题型三 直线方程及其应用 解｜题｜技｜巧 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)． 易｜错｜警｜示 求直线方程时，要注意不要忽视直线斜率不存在的情况. 【典例3-1】求适合下列条件的直线方程： (1)过点且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 【典例3-2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【变式3-1】（26-27高二上·四川内江·阶段检测）已知直线l过点 (1)若直线l在x轴上的截距为1，求直线l的方程. (2)若直线l与直线垂直，求直线l的方程. (3)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程. 【变式3-2】（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）(1)一条直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的倍时，求该直线方程； (2)一条直线经过点，与轴的正半轴分别交于两点，当的面积最小（为坐标原点）时求该直线方程. 题型四 两直线位置关系的应用 解｜题｜技｜巧 1、过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法 ①由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程. ②可利用如下待定系数法：与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0，再由直线所过的点确定C2. 2、对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论： 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔或 l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 3、常见的四大直线系方程 ①过定点P(x0，y0)的直线系A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0)，还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可视为x=x0). ②与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R，且m≠C). ③与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(m∈R). ④过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R)，但不包括l2. 4、应用直线系方程的关注点 利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时，一定要注意系数及符号的变化规律. 易｜错｜警｜示 判断两直线位置关系时，若直线方程中存在字母参数，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 【典例4-1】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线：，：，则（     ） A．，不可能重合 B．若，则 C．若，则 D．的倾斜角可能为0 【典例4-2】（多选）（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是：. B．与直线平行 C．与直线垂直 D．直线恒过定点 【变式4-1】（26-27高二上·广西钦州·阶段检测）下列结论错误的是（   ） A．若直线的斜率相等，则或与重合 B．若直线的斜率分别为，且，则 C．若直线的斜率都不存在，则 D．若直线的斜率不相等，则与不平行 【变式4-2】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（    ） A．不存在k，使得的倾斜角为90° B．对任意的k，与都有公共点 C．对任意的k，与都不重合 D．对任意的k，与都不垂直 【变式4-3】（24-25高二上·新疆喀什·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程； (1)经过点； (2)与直线平行； (3)与直线垂直； 题型五 两点间的距离公式的应用 解｜题｜技｜巧 灵活应用两点间的距离公式不仅可求线段的长度，还常用于判断三角形形状、由距离求参数的值、证明几何问题等. 【典例5-1】（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知，是直线l：上的两点，若，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【典例5-2】函数的最小值为 ． 【变式5-1】（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【变式5-2】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知两点，，点在轴上，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合对于解决部分数学问题有着事半功倍的效果．已知，，则的最小值为________． 题型六 中点坐标公式的应用 解｜题｜技｜巧 应用中点坐标公式求解的问题主要有两类: (1)直接应用中点坐标公式求中点坐标问题,如已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求AB的中点M(x0,y0),则用公式解决. (2)应用中点坐标公式求解对称点的问题,用公式解决. 【典例6-1】 已知点A关于B(2,1)的对称点为C(-4,3),C关于D的对称点为E(-6,-3),求A,D的坐标及线段AD中点的坐标. 【典例6-2】已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线交点为E(-3,4),求另外两顶点C、D的坐标. 【变式6-1】已知三边AB，BC，CA的中点分别为，，，则顶点A的坐标为 ． 【变式6-2】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,P为三角形内一点,且S△PAB=S△PBC=S△PCA.求证:|PA|2+|PB|2=5|PC|2. 题型七 直线过定点问题 解｜题｜技｜巧 1．.核心知识 含参数m直线方程整理成 定点满足方程组 2．方法技巧 (1)分离参数将式子整理成参数乘以式子加不含参数式子等于0,令两个式子分别等于0联立求定点坐标. (2)也可以代入两个特殊参数值求交点即为定点. 【变式7-1】（26-27高二上·浙江·阶段检测）直线经过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（26-27高二上·河北·阶段检测）方程所表示的直线恒过的定点坐标为_________． 题型八 点到直线的距离、两平行线间距离公式的应用 解｜题｜技｜巧 1．利用点到直线的距离公式求点线距时要注意： （1）直线必须先写成一般式 （2）分子一定要带绝对值分母根号内是A平方加B平方 2．利用两平行线间的距离公式求线线距时要注意： （1）两条直线x y的系数必须化成完全相同才可以套用公式； （2）也可以在一条直线上任取一点求该点到另一条直线距离. 【典例8-1】（25-26高二上·四川成都·期中）过点引直线，使到它的距离相等，则此直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例8-2】（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知直线，，若，则两条平行直线之间的距离为________________________ 【变式8-1】（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）直线与直线间的距离为_______． 【变式8-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 题型九 对称问题 解｜题｜技｜巧 对称问题的解决方法 （1）点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a-x，2b-y). （2）直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0)和点P(x0，y0)， 则l关于点P的对称直线方程为A(2x0-x)+B·(2y0-y)+C=0. （3）点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. （4）求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 【典例9-1】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（  ） A． B．. C． D． 【典例9-2】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）与直线l：关于直线m：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【典例9-3】（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）点关于直线对称的点的坐标为__________． 【变式9-1】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（　　） A．2 B．1 C． D． 【变式9-2】（26-27高二上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． (1)求直线方程； (2)求垂心关于直线的对称点坐标． 题型十 光的反射问题 解｜题｜技｜巧 光的反射问题可转化为关于点或关于直线对称的问题，此时要注意入射光线和反射光线关于法线对称，关于镜面对称.. 【典例10】（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）光线自点射入，经直线：反射后经过点，同时还经过点（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知入射光线经过点，被直线l：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的一般式方程为______． 【变式10-2】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（     ）    A．10 B． C． D．8 题型十一 距离之和或差的最值问题 解｜题｜技｜巧 1．定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短. 2．定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短. 【典例11-1】在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为 ． 【典例11-2】（26-27高二上·重庆黔江·月考）已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 . 【变式11-1】（26-27高二上·北京·月考）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【变式11-2】（24-25高二上·重庆荣昌·期中）已知，则的最小值 . 【变式11-3】已知直线：． (1)若直线m与平行，且m，之间的距离为，求m的方程； (2)P为上一点，点，，求取得最大值时点P的坐标． 题型十二 与角平分线、高线、中线有关的问题 解｜题｜技｜巧 核心知识 中线：顶点到对边中点连线 高线：过顶点垂直对边 角平分线：角两边到角平分线夹角相等角平分线上点到两边距离相等 方法技巧 中线：先求中点坐标两点式写直线 高线：利用垂直求斜率结合定点写方程 角平分线：距离公式列方程舍去增根 【典例12】（26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为． (1)直线经过点，点到的距离为，求直线的一般方程； (2)求的面积． ． 【变式12-1】（26-27高二上·天津南开·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)求直线的方程． (3)求的面积． 【变式12-2】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）在中，的平分线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，已知点坐标为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（     ） A．不存在 B．1 C．90 D．0 2.（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 3．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）直线的一个方向向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 5．（25-26高二上·山西运城·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则（    ）. A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 7．(多选)（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）下列结论正确的有（    ） A．倾斜角为的直线的一个方向向量是 B．直线恒过定点 C．不论为何实数，直线：与直线：互相垂直 D．在，轴上的截距为，的直线可表示为 8．(多选)（25-26高二上·全国·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线在轴上的截距为1 B．直线与直线之间的距离为 C．直线的一个方向向量为 D．直线与直线垂直 9．（多选）（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知直线：，：，则下列说法正确的有（     ） A．若，则直线，之间的距离为 B．原点到直线的最大距离为 C．若直线不过第四象限，则 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 10．（26-27高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线与垂直，则实数的值为__________. 11．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为 . 12．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）已知点，，且是线段上一动点，则的取值范围为 13.（25-26高一下·北京延庆·期中）已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为 ，点的坐标为 ． 14．（26-27高二上·江苏泰州·阶段检测）已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的两倍的直线方程． 15．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程； (3)求一点的坐标，使得四边形为平行四边形． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 16．（26-27高二上·湖南·阶段检测）已知直线，，，的倾斜角分别为，，，，则（     ） A．最大 B．最大 C．最大 D．最大 17．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 19．(多选)（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知直线：，下列说法正确的是（   ） A．原点关于的对称点的坐标是 B．直线关于的对称直线的方程是 C．直线关于点的对称直线的方程是 D．过点，垂直于直线的直线的方程是 20.（26-27高二上·四川内江·阶段检测）已知点，点， P为直线上一动点，则 的最小值是____________. 21．（26-27高二上·上海长宁·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，，；点在线段上并且平分，则点的坐标为______ 22．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知的顶点，边上的高所在直线平行于直线，角的平分线所在直线l的方程为． (1)求点坐标； (2)求点关于直线的对称点的坐标； (3)求边所在的直线方程． 23．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知直线与直线，． (1)不管取何值，直线过定点，求定点的坐标； (2)若，求的值； (3)若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程． 24．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知的顶点，边上的高所在直线平行于直线，角的平分线所在直线l的方程为． (1)求点坐标； (2)求点关于直线的对称点的坐标； (3)求边所在的直线方程． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 25．（2025·内蒙古赤峰·三模）出租车几何，又称曼哈顿距离（ManhattanDistance），最早由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基在研究度量几何时提出，用以标明两点在各坐标轴上的绝对差之和.设点， ，则，两点之间的曼哈顿距离为.已知点，，动点满足，是直线上的动点，则的最小值为（） A． B． C． D． 26．（多选）（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，，，，，为线段上的动点，则（     ） A．点的坐标为 B．直线在轴上的截距为 C．直线与直线可能垂直 D．直线绕点逆时针旋转后，所得直线的倾斜角可能为锐角 27．（2025高三·全国·专题练习）在直角坐标平面上，已知点，为线段上的动点，若恒成立，则正实数的最小值为 ． 28．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点． (1)若点P为线段AB的中点，求直线l的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E，F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 29．（23-24高二上·安徽亳州·期中）城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $