第07讲 直线与圆中的范围与最值问题（1大知识点+8大题型归纳+测试）-2026-2027学年高二上学期数学期中复习讲义（人教A版选择性必修第一册）

第07讲 直线与圆中的范围与最值问题 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 03 题型精讲 4 题型一、截距型 4 题型二、斜率型 5 题型三、距离型 7 题型四、弦长最值与范围 9 题型五、切线长最值与范围 11 题型六、角度最值与范围 14 题型七、阿氏圆 16 题型八、面积最值与范围 20 04 过关测试 23 直线与圆的最值与范围问题，核心是依托圆的几何性质，将问题转化为距离、位置关系或函数值域问题，常用四类方法求解。 一是几何距离法，处理圆上点到直线、定点的距离最值。核心结论：圆上点到直线的最短、最长距离为圆心到直线距离d分别减、加半径r；两圆上点的距离最值由连心线长加减两圆半径得到。 二是切线边界法，求解斜率、截距类范围问题。设目标直线方程，利用“直线与圆有公共点等价于圆心到直线距离≤半径”列不等式求解，临界值对应切线的斜率或截距。 三是弦长面积法，弦长公式为，圆心距d越小弦长越大，直径为最长弦；三角形面积最值结合弦长与高的最值，搭配基本不等式求解。 四是参数换元法，设圆的参数方程做三角换元，将目标式转化为三角函数值域问题，适用于线性目标函数的最值求解。 题型一、截距型 【典例1】（2026·江苏·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由， 则可设为参数，， 故，其中， 当时，取得最小值，最小值为． 故选：D． 【变式1-1】（2026·浙江杭州·二模）已知实数满足则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ，即圆心，半径， ， 可看到圆上的点到直线距离， 圆上的点到直线距离的最小值为 圆心到直线距离减去半径即， ， 圆上的点到直线距离的最小值为， 的最小值为 故选：A 【变式1-2】（2026·高二·河北唐山·阶段检测）实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】将变形可得， 可知圆心，半径. 令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值. 此时，圆心到直线的距离， 即，解得. 所以的最大值为. 故选：C 【变式1-3】（2026·高二·江西吉安·期末）已知满足，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可化为， 圆心为,半径为， 设， 则直线与圆有交点， 所以，解得，故选B． 题型二、斜率型 【典例2】（2026·高二·湖北·期中）若实数、满足条件，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，可得， 则直线与圆有公共点， 所以，，解得， 即的取值范围是. 故选：B. 【变式2-1】（2026·高二·重庆沙坪坝·阶段检测）已知实数 满足 ，则 的最大值为_____ 【答案】 【解析】设，其几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 整理得直线的方程为， 已知该圆的圆心为，半径，当直线为圆的切线时，圆心到直线的距离等于半径，即 ，得， 得 ，化简得，解得或，因此的最大值为，即的最大值为. 【变式2-2】（2026·高二·北京通州·期中）已知实数，满足，则的最大值为__________． 【答案】/ 【解析】可看作圆上的点与连线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值， ∴设直线方程，圆心，半径，圆心到直线距离， ∴，故最大值为. 故答案为：. 【变式2-3】（2026·高三·河南南阳·期末）已知实数满足，则的最小值为________. 【答案】 【解析】因为其表示圆心为，半径的圆， 又表示点与点构成直线的斜率， 数形结合可知，当且与点构成的直线与圆相切且斜率存在时，取得最小值， 此时满足上述要求的直线方程为，则，解得. 即的最小值为. 故答案为：. 题型三、距离型 【典例3】（2026·高二·福建厦门·阶段检测）若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，化为标准方程为， 所以点在以为圆心，为半径的圆上. 的几何意义是点到原点的距离的平方， 在平面直角坐标系中画出草图，分析可知， 当三点共线且在中间时， 距离取最小值为， 所以的最小值为. 【变式3-1】已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是以为圆心，3为半径的圆，，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 【变式3-2】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在复平面中对应点，， 即，表示点Z在以为圆心，以为半径的圆上. 表示点Z到原点的距离，所以的最小值即为圆M上的点Z到原点O的距离最小值，. 【变式3-3】（2026·高三·江苏徐州·期中）已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为实数、满足，则， ， 取点、、，则， ， 即， 当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立，即的最小值为. 题型四、弦长最值与范围 【典例4】（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【答案】C 【解析】由可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以， 故的最小值为． 【变式4-1】（2026·高三·湖南岳阳·开学考试）直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】圆C：的圆心，半径为2， 由直线l：为， ∴直线l过定点， 又，∴P在圆C内部， 当直线l与线段CP垂直时，弦AB的长最小， ∵， ∴弦AB长的最小值为. 故选：C. 【变式4-2】（2026·高二·天津·期末）若直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】可化为， 令，解得，所以恒过定点， 因为，所以点在圆内部， 设圆心到直线的距离为， 则弦长，为使最小，必有取最大值； 当时，， 当不垂直时，必有； 因此时，最小，此时. 故选：B. 【变式4-3】已知直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】直线，即，令，得， 因此直线过定点，圆圆心，半径， ，点在圆内，由圆的性质知，当且仅当直线时，取得最小值， 所以. 故选：C 题型五、切线长最值与范围 【典例5】（2026·高二·江西九江·阶段检测）过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，以为直径的圆：，展开：. 圆：.两式相减消去二次项，得到切点弦：. 因为在直线上，所以，即. 把代入：. 整理成参数分离形式： 令参数的系数与常数项同时为0：，解得，，即直线恒过定点. 定点在圆内部，动弦过，圆半径，弦长公式，为圆心到直线距离. 的最大值就是（当时），此时弦长最短： . 【变式5-1】已知点是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点坐标分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知当最小时，不经过点， 此时①， ②， 由①②可得，即， 所以当最小时，最小， 又因为点是直线上任意一点， 所以当时，取得最小值，且， 所以. 故选：B． 【变式5-2】（2026·高三·重庆·阶段检测）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的方程可化为， 设，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 而的最小值是圆心到直线的距离， 所以， 又，所以． 故选：B． 【变式5-3】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】圆的圆心， 圆心到直线的距离, 故直线与圆相离． 的最小值为． 题型六、角度最值与范围 【典例6】（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心C的坐标为，半径为1． 因为PA，PB为圆C的切线，切点分别为A，B， 所以，，，， 所以，． 当时，取最小值，，此时取最大值， 又，函数在上单调递增，即取最大值，此时取最大值， 又，所以． 【变式6-1】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心，半径， 依题意，， 显然当取得最小值时，取得最小值， 的最小值即为点到直线的距离，即， 所以. 故选：B 【变式6-2】（2026·高三·广西南宁·阶段检测）若点P是直线上的一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，当最小时，的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，可画如下示意图，其中，且， 要使最小，即最小，而， 若，则，此时，故. 故选：C 【变式6-3】（2026·高三·全国·单元测试）已知点为直线上的动点，过点作的切线，切点分别为，则当最小时，的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】的半径是2，圆心是，切线长， 根据四边形的面积为， 可知， 所以当取得最小值时，最小， 因为， 所以，此时， 又，则， 则，所以． 故选：C． 题型七、阿氏圆 【典例7】（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 【答案】10 【解析】设，由，可得：， 化简可得：，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆； 设点关于圆对应的阿波罗尼斯点为. 由阿波罗尼斯点的性质，对圆上任意点，为常数. 取圆上两点和： 所以，， 所以解得 所以，此时，即， 因此 由三角不等式：，当且仅当三点共线且在之间时取等号， 所以，即的最大值为. 【变式7-1】（2026·上海静安·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 【答案】 【解析】 如图所示，以的中点为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，． 设，则，整理得， 所以点的轨迹方程为． 则， 其中可看作圆上的点到原点的距离的平方， 所以， 所以，即的最大值为. 故答案为： 【变式7-2】（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆、点和点为圆上的动点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】设，令，则， 由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且， 设点，则， 整理得：， 比较两个方程可得，，，即，，点， 当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为. 故答案为：. 【变式7-3】（2026·高二·湖北荆州·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 题型八、面积最值与范围 【典例8】（2026·高二·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 【变式8-1】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 故选：A. 【变式8-2】（2026·高二·江苏镇江·期中）已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【解析】设，，因为， 所以，， 化简得：，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点. 到轴的最大距离为4， 所以的面积最大值为. 故选：B 【变式8-3】已知圆，圆分别是圆和圆上的动点，则由坐标原点和点A，B构成的三角形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知，所以，所以． 当点为的延长线与圆的交点时，取最大值，当点为的延长线与圆的交点时，取最大值， 并且当和均取最大值时，，此时的面积最大，其最大值为． 故选：A. 1．（2026·湖南湘西·三模）过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是圆的切线，所以， 所以是圆与以为直径的圆的公共弦，的中点为， 可得以为直径的圆的方程为①， 又因为②， ①与②相减得，直线，即， 由可得， 即过定点，点位于圆内部． 设圆心到直线的距离为，则， 当时，最大，最小， 由题可知，所以． 2．（2026·河北雄安·模拟预测）已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】B 【解析】圆，圆心，半径是圆的两条切线， ，由圆的知识可知四点共圆，且， . 又当的值最小，即时，取得最小值. 的最小值为. 3．（2026·高二·浙江·开学考试）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，其中一个切点为，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】根据题意，圆的圆心为，半径； 过点作圆的切线，切点为，则， 若切线长取得最小值，则取得最小值， 则当直线与直线垂直时，最小，此时， 则的最小值为， 故选：B． 4．（2026·四川宜宾·一模）曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图象是以为圆心的半径为的半圆， 当时，的图像是以为圆心的半径为的半圆， 最终的曲线如图一 ， 可以理解为点到直线的距离， 是上一点，所以原题等价于求上一点到直线的距离的最小值， 观察图象得在第一象限的部分到直线的距离更近， 对第一象限的圆弧，过圆心作的垂线，垂线长， 到的距离的最小值， 所以的最小值为. 5．（2026·高二·浙江杭州·期中）设点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的距离的最小值为. 6．（2026·高三·西藏拉萨·阶段检测）已知圆，点，经过点P的直线与圆C相交于A、B两点，则的最大值与最小值分别为（    ） A．6与4 B．6与 C．与4 D．9与 【答案】A 【解析】如图， 点在圆C内，经过点和点作直线交圆于点， 过点作直线的垂线，交圆于点，连接， 则， 故和为的最大值与最小值，其中， 因，则. 附注：下面说明为的最小值. 如图，过点另作直线，交圆于点，连接， 取的中点，连接， 则，且，因圆的半径为3， 在中，， 又，故， 从而， 故为的最小值. 7．（2026·高二·重庆·期中）已知实数满足方程，则（   ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为-20 D．的最大值为 【答案】C 【解析】由，得 对于A，令，则. 因为，所以当时，取得最小值，此时取得最小值，最小值为. 所以选项A不正确； 对于B，如图所示，表示以为圆心，3为半径的半圆，可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，所以的范围是. 所以选项B错误； 对于C，. 可看作是半圆上的点到点 的距离，如图所示，其最小值为. 所以的最小值为. 所以选项C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为. 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为. 所以，的最大值为. 所以的最大值为 所以选项D不正确. 故选：C. 8．（2026·高二·山西太原·期中）过点引直线与曲线相交于两点，则直线的斜率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】曲线方程可化为， 它表示以为圆心，2为半径的上半圆弧， 易知直线斜率存在，设直线方程为，即， 如图所示：直线的斜率应满足， 其中直线与相切于点， ，解得或（舍去），又， 所以. 故选：D. 9．（多选题）（2026·高二·安徽宿州·期中）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．直线与圆的位置关系与有关 B．直线截圆所得弦长最短时，直线的方程是 C．圆心到直线距离的最大值为2 D．直线截圆所得弦长范围是 【答案】BCD 【解析】 对于A，因为圆的圆心到直线的距离为， 而圆的半径为， 所以， 而， 所以，即直线与圆的位置关系一直相交，与无关，故A错误； 对于B，由弦长公式可知，若直线截圆所得弦长最短时，圆心到直线的距离应该最大， 而直线即过定点，所以当且仅当时，最大， 此时，解得， 所以此时直线的方程是，故B正确； 对于C，由B选项分析可知当时，最大，此时，故C正确； 对于D，由A选项分析可知，令，即， 从而， 当时， ， 当时， ，当且仅当时，， 当时， ，当且仅当时，， 综上所述，，从而直线截圆所得弦长，故D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）（2026·高二·江苏徐州·期中）已知直线l：（）和圆C：，则（   ） A．直线l始终过定点 B．直线l与圆C恒有两个公共点 C．圆心C到直线l的最大距离是 D．圆C截直线l所得弦长的范围是 【答案】BCD 【解析】对A，直线：整理为， 则，解得，所以直线始终过定点，故A不正确； 对B，对于圆C：，由于， 则直线过的定点在圆内，所以直线与圆恒有两个公共点，故B正确； 对C，圆C：，整理得，圆心，半径， 由于直线过的定点， 则当直线与直线相互垂直时，圆心到直线的距离最大， 最大距离为， 此时直线的斜率，则，即，解得，故C正确； 对D，设圆心到直线的距离为， 圆C截直线l所得弦长， 当直线经过圆心时，将代入直线l得， 解得，则，由C知， 对直线，当其斜率不存在时，此时，直线， 当直线的斜率存在时，即时，其斜率， 此时直线方程为，即，圆心到直线的距离， 再令圆心到直线的距离， 解得，则距离可以取到， 则，根据在上单调递减， 则圆C截直线l所得弦长的范围是，故D正确. 故选：BCD. 11．（2026·高三·安徽·开学考试）过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为________． 【答案】/0.6 【解析】圆的圆心为，半径，点到直线的距离， 连接，由切圆于点，得，， 则， 所以的最小值为. 12．已知点满足，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】由题意得，点在圆：上， 表示圆上的点与点连线的斜率，如图所示 设，和圆相切，切点分别为，， 半径，， ， 则的斜率为，的斜率为， 或， 即的取值范围是； 故答案为： 13．（2026·高二·广东梅州·期末）已知，满足，则的最小值是______. 【答案】/ 【解析】由可得：， 即点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 而可理解为原点与圆上的点的直线的斜率，如图. 由图知，当直线与圆相切时，取得最值， 易得此时直线的方程可设为， 由圆心到直线的距离为，解得或， 故的最小值是. 故答案为：. 14．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题，平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆叫阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P到A、B的距离之比为，当三点不共线时， 面积的最大值是______ 【答案】 【解析】建立平面直角坐标系，如图： 设，，， 则，化简得， 以为底，高为点P到轴的距离， 所以当取最大值时，的面积取得最大值． 显然当时，取得最大值， 此时. 所以面积的最大值是． 15．（2026·辽宁·模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________． 【答案】9 【解析】由为圆上一动点，得， 由为圆上一动点，得， 又. 因为，所以， 于是. 当共线且时取得最小值，即. 所以， 当共线时等号成立. 故答案为：9． 16．（2026·高二·四川成都·期中）已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为______． 【答案】/ 【解析】直线：即，过定点 直线：即，过定点 又，故， 则点在以线段为直径的圆上， 即点的轨迹为，即， 假设存在点，使恒成立，设 则，整理得， 与的轨迹对照得，解得， 即存在点，使，即， 所以， 即的最小值为. 故答案为：. 17．（2026·高二·福建福州·期中）阿波罗尼斯（古希腊数学家），证明过这样的一个命题：平面内与两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在中，，，当面积最大时，__________. 【答案】 【解析】 如图，以为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，设. 由正弦定理结合已知条件可得，，即， 所以有， 整理可得，， 即. 要使的面积最大，则点的纵坐标的绝对值取得最大值. 由可得，， 所以，点的纵坐标为或. 根据已知，不妨设点的纵坐标为，此时点坐标为， 所以. 故答案为：. 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 直线与圆中的范围与最值问题 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 03 题型精讲 4 题型一、截距型 4 题型二、斜率型 4 题型三、距离型 4 题型四、弦长最值与范围 5 题型五、切线长最值与范围 5 题型六、角度最值与范围 6 题型七、阿氏圆 6 题型八、面积最值与范围 7 04 过关测试 9 直线与圆的最值与范围问题，核心是依托圆的几何性质，将问题转化为距离、位置关系或函数值域问题，常用四类方法求解。 一是几何距离法，处理圆上点到直线、定点的距离最值。核心结论：圆上点到直线的最短、最长距离为圆心到直线距离d分别减、加半径r；两圆上点的距离最值由连心线长加减两圆半径得到。 二是切线边界法，求解斜率、截距类范围问题。设目标直线方程，利用“直线与圆有公共点等价于圆心到直线距离≤半径”列不等式求解，临界值对应切线的斜率或截距。 三是弦长面积法，弦长公式为，圆心距d越小弦长越大，直径为最长弦；三角形面积最值结合弦长与高的最值，搭配基本不等式求解。 四是参数换元法，设圆的参数方程做三角换元，将目标式转化为三角函数值域问题，适用于线性目标函数的最值求解。 题型一、截距型 【典例1】（2026·江苏·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·浙江杭州·二模）已知实数满足则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·河北唐山·阶段检测）实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·江西吉安·期末）已知满足，则的最大值为　　 A． B． C． D． 题型二、斜率型 【典例2】（2026·高二·湖北·期中）若实数、满足条件，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·高二·重庆沙坪坝·阶段检测）已知实数 满足 ，则 的最大值为_____ 【变式2-2】（2026·高二·北京通州·期中）已知实数，满足，则的最大值为__________． 【变式2-3】（2026·高三·河南南阳·期末）已知实数满足，则的最小值为________. 题型三、距离型 【典例3】（2026·高二·福建厦门·阶段检测）若，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（2026·高二·贵州贵阳·阶段检测）若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高三·江苏徐州·期中）已知实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四、弦长最值与范围 【典例4】（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【变式4-1】（2026·高三·湖南岳阳·开学考试）直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 【变式4-2】（2026·高二·天津·期末）若直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 题型五、切线长最值与范围 【典例5】（2026·高二·江西九江·阶段检测）过直线：上一点作圆：的两条切线，若切点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知点是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点坐标分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高三·重庆·阶段检测）已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高二·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六、角度最值与范围 【典例6】（2026·湖南衡阳·二模）已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·陕西商洛·模拟预测）已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·高三·广西南宁·阶段检测）若点P是直线上的一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，当最小时，的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高三·全国·单元测试）已知点为直线上的动点，过点作的切线，切点分别为，则当最小时，的值为（    ） A． B． C．1 D． 题型七、阿氏圆 【典例7】（2026·高二·湖南长沙·阶段检测）对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 【变式7-1】（2026·上海静安·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为_____________ 【变式7-2】（2026·高二·江苏泰州·阶段检测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆、点和点为圆上的动点，则的最大值为______. 【变式7-3】（2026·高二·湖北荆州·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 题型八、面积最值与范围 【典例8】（2026·高二·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·高二·江苏镇江·期中）已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 【变式8-3】已知圆，圆分别是圆和圆上的动点，则由坐标原点和点A，B构成的三角形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（2026·湖南湘西·三模）过一动点向圆作切线，切点分别为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北雄安·模拟预测）已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 3．（2026·高二·浙江·开学考试）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，其中一个切点为，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．3 4．（2026·四川宜宾·一模）曲线是一条形状优美的曲线，若是曲线上任意一点，的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·浙江杭州·期中）设点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高三·西藏拉萨·阶段检测）已知圆，点，经过点P的直线与圆C相交于A、B两点，则的最大值与最小值分别为（    ） A．6与4 B．6与 C．与4 D．9与 7．（2026·高二·重庆·期中）已知实数满足方程，则（   ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为-20 D．的最大值为 8．（2026·高二·山西太原·期中）过点引直线与曲线相交于两点，则直线的斜率范围为（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2026·高二·安徽宿州·期中）已知圆，直线，下列说法正确的是（    ） A．直线与圆的位置关系与有关 B．直线截圆所得弦长最短时，直线的方程是 C．圆心到直线距离的最大值为2 D．直线截圆所得弦长范围是 10．（多选题）（2026·高二·江苏徐州·期中）已知直线l：（）和圆C：，则（   ） A．直线l始终过定点 B．直线l与圆C恒有两个公共点 C．圆心C到直线l的最大距离是 D．圆C截直线l所得弦长的范围是 11．（2026·高三·安徽·开学考试）过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为________． 12．已知点满足，则的取值范围是________. 13．（2026·高二·广东梅州·期末）已知，满足，则的最小值是______. 14．阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题，平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆叫阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P到A、B的距离之比为，当三点不共线时， 面积的最大值是______ 15．（2026·辽宁·模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为________． 16．（2026·高二·四川成都·期中）已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为______． 17．（2026·高二·福建福州·期中）阿波罗尼斯（古希腊数学家），证明过这样的一个命题：平面内与两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在中，，，当面积最大时，__________. 2/2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $