专题3.1 椭圆期中复习讲义（课本为主） -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题3.1 椭圆（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题3.1 椭圆（期中复习讲义） 1 知识点1 椭圆的定义（第一定义与第二定义） 1 知识点2 椭圆的标准方程 1 知识点3 椭圆的几何性质 2 知识点4 离心率与准线 2 知识点5 椭圆的焦半径公式 2 【题型1 由椭圆定义求轨迹】 2 【题型2 求椭圆的标准方程】 3 【题型3 求椭圆的离心率】 4 【题型4 椭圆的几何性质应用】 4 【题型5 直线与椭圆相交（弦长与中点）】 5 【综合·培优提升】 6 【重难点】 ★重点： 1. 椭圆的两种定义 2. 焦点在 x 轴与 y 轴的标准方程 与 （）及 3. 椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率 与准线 4. 焦半径公式与通径． ▲难点： 1. 根据已知条件（焦点位置、顶点、离心率、过定点等）灵活设方程求 2. 椭圆几何性质的综合应用 3. 直线与椭圆联立后的弦长、中点弦（点差法）与最值计算． 知识点1 椭圆的定义（第一定义与第二定义） 【重难点】 ★重点： 1. 第一定义的“”条件 2. 第二定义的“到定点与定直线距离之比”． ▲难点： 1. 定义中常数 的取值范围 2. 第二定义与离心率 e 的联系． （1）第一定义：平面内与两个定点 的距离之和等于常数 （）的点的轨迹叫做椭圆 （1）这两个定点叫焦点，两焦点间的距离 叫焦距．若 轨迹为线段 （2）若 无轨迹． （2）第二定义：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l（）的距离之比为常数 e（）的点的轨迹是椭圆 （1）定点 F 为焦点，定直线 l 为准线． （3）椭圆上任一点 P 满足 ，这是处理椭圆问题的基本等量关系． 知识点2 椭圆的标准方程 【重难点】 ★重点： 1. 两种形式及 、． ▲难点： 1. 判断焦点在哪个坐标轴上（比较分母大小，“谁大焦点在谁轴”）． （1）焦点在 x 轴上：（），焦点 ，其中 ． （2）焦点在 y 轴上：（），焦点 ． （3）判定方法：看 、 分母谁大，分母大的对应字母所在轴即为焦点轴． （4）若中心在原点、焦点在坐标轴但未指明焦点轴，常设 （）或分情况讨论． 知识点3 椭圆的几何性质 【重难点】 ★重点： 1. 范围、对称性、顶点、长轴短轴 2. （注意与双曲线 不同）． ▲难点： 1. 的几何意义区分（a 最长，c 为半焦距，b 为短半轴）． （1）范围：焦点在 x 轴时 ， （1）焦点在 y 轴时 ，． （2）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴、原点都对称 （1）坐标轴是对称轴，原点是对称中心． （3）顶点：长轴端点 （或 ）、短轴端点 （或 ） （1）长轴长 ，短轴长 ． （4）焦距：，满足 ． 知识点4 离心率与准线 【重难点】 ★重点： 1. 的几何意义（e 越大椭圆越扁） 2. 准线方程． ▲难点： 1. 由 e 求 的比例关系 2. 准线的写法． （1）离心率 ，因为 ，故 （2）e 越接近 椭圆越扁，越接近 越圆． （3）由 e 可得 ，，常用 ． （4）准线：焦点在 x 轴时准线方程 （1）焦点在 y 轴时 ． （5）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长 ，是过焦点的最短弦． 知识点5 椭圆的焦半径公式 【重难点】 ★重点： 1. 焦点在 x 轴时 ，（左加右减）． ▲难点： 1. 左、右焦半径符号与 的关系 2. 焦点在 y 轴时的形式． （1）焦点在 x 轴，，设 ，则 ，． （2）两焦半径之和 （3）积 ． （4）焦点在 y 轴时：上焦点 上，下焦点 下． （5）用焦半径可快速处理“已知到焦点距离求坐标”等问题． 【题型1 由椭圆定义求轨迹】 【例1】已知 ，动点 P 满足 ，求 P 的轨迹方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 由椭圆第一定义，，得 ；焦距 ，得 。 于是 。焦点在 x 轴上，故轨迹方程为 ． 答案：． 【变式1-1】已知 ，动点 P 满足 ，则椭圆的标准方程为______． 【答案】见【详解】。 【详解】 得 ， 得 ，。 焦点在 x 轴，方程为 ．答案：． 【变式1-2】动点 P 到两定点 的距离之和为 ，则 P 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定依据：，，。焦点在 y 轴上（定点在 y 轴），标准方程为 ，即 。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【变式1-3】已知 ，且 ，则动点 P 的轨迹（　　） A．是椭圆 B．是线段 C．不存在 D．是两条直线 【答案】C 【分析】判定依据：椭圆要求 ，这里 ，不满足定义条件， 无轨迹。 【详解】 A：是椭圆。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：是线段 。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：不存在。由判定依据计算/推理可知该项正确。 D：是两条直线。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 C． 【题型2 求椭圆的标准方程】 【例2】已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且过点 和 ，求标准方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 过点 说明长轴端点为 ，故 ； 过点 说明短轴端点为 ，故 。 焦点在 x 轴，标准方程为 ．答案：． 【变式2-1】已知椭圆焦点在 y 轴上，焦距为 ，长轴长为 ，求标准方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，，。 焦点在 y 轴，方程为 ．答案：． 【变式2-2】椭圆 的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判定依据：化为标准式 ，，，； 焦点在 x 轴。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式2-3】已知椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴的一个端点为 ，离心率 ，求标准方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 长轴端点 得 ；由 得 ，。 方程为 ．答案：． 【题型3 求椭圆的离心率】 【例3】已知椭圆 中，焦距 ，短轴长 ，求离心率 e． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，，，。故 ．答案：． 【变式3-1】椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判定依据：，。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式3-2】已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，求离心率 e． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，，故 ． 答案：． 【变式3-3】椭圆 的离心率为 ，求 m 的值． 【答案】见【详解】。 【详解】 分两种情况：若 （焦点在 x 轴），则 ， ，解得 ； 若 （焦点在 y 轴），则 ，，解得 。 故 或 ．答案： 或 ． 【题型4 椭圆的几何性质应用】 【例4】求椭圆 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 。长轴长 ，短轴长 ； 焦点 ；顶点 ；离心率 ； 准线 ．答案：见解析． 【变式4-1】椭圆 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判定依据：，焦点在 x 轴，准线 。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式4-2】椭圆 的焦点为 ，P 为椭圆上一点且 ，求 的面积． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，则 ，且 。由 得 ，。面积 。 也可直接用公式 ．答案：． 【变式4-3】椭圆 的左焦点为 ，若椭圆上一点 P 满足 ，求点 P 的横坐标． 【答案】见【详解】。 【详解】 。 由左焦半径 得 ，解得 ．答案：． 【题型5 直线与椭圆相交（弦长与中点）】 【例5】直线 与椭圆 相交于 两点，求弦长 ． 【答案】见【详解】。 【详解】 联立：，乘以 得 ，整理 。 设两根 ，则 ，， 。 由弦长公式 ．答案：． 【变式5-1】直线 与椭圆 相交于 两点，求弦长 ． 【答案】见【详解】。 【详解】 代入 ：，。 故 ．答案：． 【变式5-2】椭圆 ，弦 的中点为 ，求直线 的斜率． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，由点差法：，即 ( 。 因中点 ，，代入得 ，故斜率 ．答案：． 【变式5-3】直线 与椭圆 有两个不同的交点，求 k 的取值范围． 【答案】见【详解】。 【详解】 联立：，整理 。 有两个不同交点需 ：，故 ，即 ．答案：． 【综合·培优提升】 【培优1】已知椭圆 ， 为焦点，P 为椭圆上一点且 ，证明：． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，则 。 在 中由余弦定理：，即 。 又 ，两式相减得 ，故 。 面积 ． 【培优2】已知椭圆 ，直线 l 过右焦点 且斜率为 ，与椭圆交于 ，求 及 的面积（ 为左焦点）． 【答案】见【详解】。 【详解】 直线 l：。 联立 ，乘以 得 ，整理 。 设两根 ，则 ，， 。弦长 。 点 到直线 的距离 ，故 ．答案：，面积． 【培优3】已知椭圆 ，点 P 在椭圆上运动，求 的取值范围（ 为焦点）． 【答案】见【详解】。 【详解】 焦点在 x 轴，。 由焦半径公式，。 因 ，，故当 时取最大值 ，当 时取最小值 。取值范围为 ．答案：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 椭圆（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题3.1 椭圆（期中复习讲义） 1 知识点1 椭圆的定义（第一定义与第二定义） 1 知识点2 椭圆的标准方程 1 知识点3 椭圆的几何性质 2 知识点4 离心率与准线 2 知识点5 椭圆的焦半径公式 2 【题型1 由椭圆定义求轨迹】 2 【题型2 求椭圆的标准方程】 3 【题型3 求椭圆的离心率】 3 【题型4 椭圆的几何性质应用】 3 【题型5 直线与椭圆相交（弦长与中点）】 3 【综合·培优提升】 4 【重难点】 ★重点： 1. 椭圆的两种定义 2. 焦点在 x 轴与 y 轴的标准方程 与 （）及 3. 椭圆的范围、对称性、顶点、焦点、离心率 与准线 4. 焦半径公式与通径． ▲难点： 1. 根据已知条件（焦点位置、顶点、离心率、过定点等）灵活设方程求 2. 椭圆几何性质的综合应用 3. 直线与椭圆联立后的弦长、中点弦（点差法）与最值计算． 知识点1 椭圆的定义（第一定义与第二定义） 【重难点】 ★重点： 1. 第一定义的“”条件 2. 第二定义的“到定点与定直线距离之比”． ▲难点： 1. 定义中常数 的取值范围 2. 第二定义与离心率 e 的联系． （1）第一定义：平面内与两个定点 的距离之和等于常数 （）的点的轨迹叫做椭圆 （1）这两个定点叫焦点，两焦点间的距离 叫焦距．若 轨迹为线段 （2）若 无轨迹． （2）第二定义：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 l（）的距离之比为常数 e（）的点的轨迹是椭圆 （1）定点 F 为焦点，定直线 l 为准线． （3）椭圆上任一点 P 满足 ，这是处理椭圆问题的基本等量关系． 知识点2 椭圆的标准方程 【重难点】 ★重点： 1. 两种形式及 、． ▲难点： 1. 判断焦点在哪个坐标轴上（比较分母大小，“谁大焦点在谁轴”）． （1）焦点在 x 轴上：（），焦点 ，其中 ． （2）焦点在 y 轴上：（），焦点 ． （3）判定方法：看 、 分母谁大，分母大的对应字母所在轴即为焦点轴． （4）若中心在原点、焦点在坐标轴但未指明焦点轴，常设 （）或分情况讨论． 知识点3 椭圆的几何性质 【重难点】 ★重点： 1. 范围、对称性、顶点、长轴短轴 2. （注意与双曲线 不同）． ▲难点： 1. 的几何意义区分（a 最长，c 为半焦距，b 为短半轴）． （1）范围：焦点在 x 轴时 ， （1）焦点在 y 轴时 ，． （2）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴、原点都对称 （1）坐标轴是对称轴，原点是对称中心． （3）顶点：长轴端点 （或 ）、短轴端点 （或 ） （1）长轴长 ，短轴长 ． （4）焦距：，满足 ． 知识点4 离心率与准线 【重难点】 ★重点： 1. 的几何意义（e 越大椭圆越扁） 2. 准线方程． ▲难点： 1. 由 e 求 的比例关系 2. 准线的写法． （1）离心率 ，因为 ，故 （2）e 越接近 椭圆越扁，越接近 越圆． （3）由 e 可得 ，，常用 ． （4）准线：焦点在 x 轴时准线方程 （1）焦点在 y 轴时 ． （5）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长 ，是过焦点的最短弦． 知识点5 椭圆的焦半径公式 【重难点】 ★重点： 1. 焦点在 x 轴时 ，（左加右减）． ▲难点： 1. 左、右焦半径符号与 的关系 2. 焦点在 y 轴时的形式． （1）焦点在 x 轴，，设 ，则 ，． （2）两焦半径之和 （3）积 ． （4）焦点在 y 轴时：上焦点 上，下焦点 下． （5）用焦半径可快速处理“已知到焦点距离求坐标”等问题． 【题型1 由椭圆定义求轨迹】 【例1】已知 ，动点 P 满足 ，求 P 的轨迹方程． 【变式1-1】已知 ，动点 P 满足 ，则椭圆的标准方程为______． 【变式1-2】动点 P 到两定点 的距离之和为 ，则 P 的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】已知 ，且 ，则动点 P 的轨迹（　　） A．是椭圆 B．是线段 C．不存在 D．是两条直线 【题型2 求椭圆的标准方程】 【例2】已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且过点 和 ，求标准方程． 【变式2-1】已知椭圆焦点在 y 轴上，焦距为 ，长轴长为 ，求标准方程． 【变式2-2】椭圆 的焦点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴的一个端点为 ，离心率 ，求标准方程． 【题型3 求椭圆的离心率】 【例3】已知椭圆 中，焦距 ，短轴长 ，求离心率 e． 【变式3-1】椭圆 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，求离心率 e． 【变式3-3】椭圆 的离心率为 ，求 m 的值． 【题型4 椭圆的几何性质应用】 【例4】求椭圆 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率和准线方程． 【变式4-1】椭圆 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】椭圆 的焦点为 ，P 为椭圆上一点且 ，求 的面积． 【变式4-3】椭圆 的左焦点为 ，若椭圆上一点 P 满足 ，求点 P 的横坐标． 【题型5 直线与椭圆相交（弦长与中点）】 【例5】直线 与椭圆 相交于 两点，求弦长 ． 【变式5-1】直线 与椭圆 相交于 两点，求弦长 ． 【变式5-2】椭圆 ，弦 的中点为 ，求直线 的斜率． 【变式5-3】直线 与椭圆 有两个不同的交点，求 k 的取值范围． 【综合·培优提升】 【培优1】已知椭圆 ， 为焦点，P 为椭圆上一点且 ，证明：． 【培优2】已知椭圆 ，直线 l 过右焦点 且斜率为 ，与椭圆交于 ，求 及 的面积（ 为左焦点）． 【培优3】已知椭圆 ，点 P 在椭圆上运动，求 的取值范围（ 为焦点）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $