专题九 双曲线与抛物线《真题淬炼·题型通关》期中讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版高二上期中专项复习 · 专题九 双曲线与抛物线 全国各地市期中真题精选 · 4 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 双曲线定义与标准方程 双曲线定义与标准方程 · 双曲线应用（冷却塔） · 圆锥曲线标准方程判定 · 双曲线焦点三角形内切圆 2026巴蜀中学期中 4 题 双曲线离心率与渐近线 离心率 · 双曲线几何性质与渐近线 · 由离心率求渐近线 · 椭圆与双曲线离心率互为倒数 · 双曲线焦点三角形求离心率 2026长郡中学期中 5 题 抛物线定义与标准方程 抛物线定义与切线 · 抛物线准线方程 · 抛物线定义与标准方程 2026杭州二中期中 3 题 焦点弦与焦点三角形 抛物线焦点弦 · 抛物线定义与焦点弦长 · 抛物线焦点弦（AF=AM） · 双曲线焦点三角形内心与重心 2026长郡中学期中 4 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 双曲线定义：平面内与两定点距离之差的绝对值为常数（小于 且不为零）的点的轨迹，即 ；当差为正时只得到一支。 2. 双曲线标准方程：焦点在 轴 （），焦点在 轴时两项对调；恒有 。 3. 渐近线：焦点在 轴时为 ，焦点在 轴时为 ；等轴双曲线 的离心率为 。 4. 抛物线定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （）距离相等的点的轨迹；定点为焦点，定直线为准线。 5. 抛物线四种标准方程：（开口向右）、、、（），一次项变量定开口方向。 ▍二、法则与公式 1. 双曲线离心率 ；离心率与渐近线斜率互相确定：。 2. 共渐近线的双曲线系：（），已知渐近线求方程时优先。 3. 抛物线焦点与准线： 的焦点 、准线 ；通径长 。 4. 抛物线焦半径：抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离（定义转化），是求最值与消参的核心。 5. 双曲线焦半径： 在右支时 等，两端点距离范围受支的位置限制。 ▍三、方法技巧 1. 求双曲线方程两定：先由渐近线或焦点位置定形式，再用待定系数法；共渐近线时设 系方程最简。 2. 求离心率：把条件（渐近线斜率、三角形边角关系）化为 、、 的齐次方程，解出 并核对 。 3. 抛物线上点到焦点距离：一律转化为到准线的距离，利用"读出横坐标（或纵坐标）"快速求解最值与定值。 4. 抛物线焦点弦：联立后用韦达定理写端点坐标关系，配合 、 快速得弦长与位置结论。 5. 双曲线"给渐近线给离心率"型：由渐近线斜率得 ，与 联立。 ▍四、易错警示 1. 定义漏绝对值或范围： 必须满足 ，否则轨迹是两条射线（）或不存在；求轨迹必须检验。 2. 与椭圆记混：双曲线中 最大，，方向不能反。 3. 渐近线斜率与焦点位置错配：焦点在 轴时渐近线是 ，直接套 会错，建议用"令方程右端为 0"的方法推渐近线。 4. 抛物线开口与方程符号： 的焦点在 轴负半轴，准线在正半轴，符号与开口方向必须对应。 5. 抛物线定义用错方向：到焦点距离应转化为到准线距离（不是反过来随意替换），转化时准线坐标符号要写对。 　双曲线定义与标准方程 方法要领　定义中注意差为定值 且 ；焦点位置看系数符号，渐近线可用共渐近线设方程 。 【例】（2026巴蜀中学期中 18）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，其离心率为 ，焦点到渐近线的距离为 ，点 （）是直线 上一点，直线 、 的斜率分别是 、， 是坐标原点。 (1)求双曲线 的标准方程； (2)是否存在实数 ，使得 为定值？若存在，求出 及该定值；若不存在，请说明理由； (3)若直线 与双曲线相交于 、 两点，求出点 的坐标，使得 。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026南京五校共同体期中 8）如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为 2 的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.已知该冷却塔的上口半径为 cm，下口半径为 cm，高为 cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2025三明二中期中 9）已知曲线 ，则下列选项正确的有（　　）（多选） A．若 ，则 为椭圆 B．若 为焦点在 轴上的椭圆，则 C．若 为双曲线，则 D．若 ，则 为焦点在 轴上的双曲线 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026杭州二中期中 7）双曲线 的右支上一点 在第一象限，， 分别为双曲线 的左、右焦点，若 的内切圆 与 轴相切， 为双曲线 的左顶点，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　双曲线离心率与渐近线 方法要领　渐近线斜率 ，离心率与渐近线互化：等轴 ；条件化齐次式后解 的方程取符合范围的根。 【例】（2026长郡中学期中 7）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，， 为双曲线右支上的任意一点，若 的最小值为 ，则双曲线离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026长郡中学期中 3）已知双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则 的离心率为（　　） A．2 B． C． D．3 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026宁波六校联盟期中 4）双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026辽宁七校协作体期中 5）已知椭圆的方程为 ，且离心率与双曲线 的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2025三明二中期中 5）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为 左支上一点，满足 ， 与 的右支交于点 ，若 ，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　抛物线定义与标准方程 方法要领　抛物线四种标准方程看开口方向定系数符号；定义把到焦点距离转化为到准线距离，是求最值与轨迹的关键。 【例】（2026杭州二中期中 10）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 ， 为抛物线上一个动点，，则（　　）（多选） A． 的坐标为 B． 的最小值为 2 C．若 ，则过 与抛物线相切的直线的方程为 D． 的最小值为 3 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026南宁三中期中 2）抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026长郡中学期中 13）已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 、直线 的距离之和的最小值是 ______ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　焦点弦与焦点三角形 方法要领　焦点弦性质（如 ）与端点坐标关系要熟；抛物线上点到焦点距离常转化为到准线距离。 【例】（2026长郡中学期中 6）如图，过抛物线 的焦点 的直线 （斜率为正）交抛物线于 ， 两点（其中点 在第一象限），交其准线于点 ，若 ，，则 到抛物线的准线的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026南宁三中期中 15）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 . (1)求抛物线的方程； (2)过焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，若 ，求直线 的方程. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026南京五校共同体期中 11）已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于 两点，其中 在第一象限，点 ，若 ，则（　　）（多选） A．直线 的斜率为 B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026东北育才学校期中 10）若双曲线 ，， 分别为左、右焦点，设点 为双曲线上第一象限内的动点，点 为 的内心，点 为 的重心，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．双曲线 的离心率为 B．点 的运动轨迹为双曲线的一部分 C．若 ，，则 D．存在点 ，使得 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026雅礼教育集团期中 1）抛物线 的准线方程是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（6分）（2026巴蜀中学期中 3）已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 ，且 ，则抛物线的方程为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（6分）（2025抚顺四方高中期中 5）如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过 的直线与 分别在第一、二象限交于 ， 两点， 的内切圆半径为 ，若 ，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（6分）（2026巴蜀中学期中 6）已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026雅礼教育集团期中 10）已知抛物线 上两点 ，， 为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．抛物线的准线方程为 B．若直线 过 ，且 轴，则 C．若直线 过 ，则 D．若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为 2 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（6分）（2026巴蜀中学期中 10）已知 是抛物线 的焦点，不过原点的直线 与抛物线相交于 、 两点，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．若直线 过点 ，则 的最小值为 2 B．若直线 过点 ，点 在第一象限，，则直线 的倾斜角为 C．若 ，线段 的中点为 ，则 到 轴的距离的最小值是 2 D．若直线 过点 ，则原点在以线段 为直径的圆内 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7．（6分）（2023湖南师大附中期中 12）已知双曲线 的左、右两个顶点分别为 ，，左、右两个焦点分别为 ，， 是双曲线上异于 ， 的一点，给出下列结论，其中正确的是（　　）（多选） A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得直线 ， 的斜率的绝对值之和 C．使得 为等腰三角形的点 有且仅有四个 D．若 ，则 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2026雅礼教育集团期中 13）若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则实数 的值为 ______ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 9．（6分）（2023湖南师大附中期中 15）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点.若 ，，则 的离心率为 ______ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 10．（6分）（2026雅礼教育集团期中 14）已知过双曲线 上一点 的切线方程为 。若 为双曲线 上的动点，，，直线 与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点（点 在第一象限）， 与 在同一条渐近线上，则 的最小值为 ______ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2025抚顺四方高中期中 19）已知点 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线交双曲线右支于 ， 两点，点 在第一象限。 (1)求点 横坐标的取值范围； (2)线段 交圆 于点 ，记 ，， 的面积分别为 ，，，求 的最小值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．（15分）（2026重庆一中期中 16）已知抛物线 过点 ，其焦点为 ，若 . (1)求 的值以及抛物线 的方程； (2)过点 斜率为 的直线交抛物线于 ， 两点，求 面积的取值范围. ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 高二学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高二上期中专项复习 · 专题九 双曲线与抛物线 全国各地市期中真题精选 · 4 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 双曲线定义与标准方程 双曲线定义与标准方程 · 双曲线应用（冷却塔） · 圆锥曲线标准方程判定 · 双曲线焦点三角形内切圆 2026巴蜀中学期中 4 题 双曲线离心率与渐近线 离心率 · 双曲线几何性质与渐近线 · 由离心率求渐近线 · 椭圆与双曲线离心率互为倒数 · 双曲线焦点三角形求离心率 2026长郡中学期中 5 题 抛物线定义与标准方程 抛物线定义与切线 · 抛物线准线方程 · 抛物线定义与标准方程 2026杭州二中期中 3 题 焦点弦与焦点三角形 抛物线焦点弦 · 抛物线定义与焦点弦长 · 抛物线焦点弦（AF=AM） · 双曲线焦点三角形内心与重心 2026长郡中学期中 4 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 双曲线定义：平面内与两定点距离之差的绝对值为常数（小于 且不为零）的点的轨迹，即 ；当差为正时只得到一支。 2. 双曲线标准方程：焦点在 轴 （），焦点在 轴时两项对调；恒有 。 3. 渐近线：焦点在 轴时为 ，焦点在 轴时为 ；等轴双曲线 的离心率为 。 4. 抛物线定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （）距离相等的点的轨迹；定点为焦点，定直线为准线。 5. 抛物线四种标准方程：（开口向右）、、、（），一次项变量定开口方向。 ▍二、法则与公式 1. 双曲线离心率 ；离心率与渐近线斜率互相确定：。 2. 共渐近线的双曲线系：（），已知渐近线求方程时优先。 3. 抛物线焦点与准线： 的焦点 、准线 ；通径长 。 4. 抛物线焦半径：抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离（定义转化），是求最值与消参的核心。 5. 双曲线焦半径： 在右支时 等，两端点距离范围受支的位置限制。 ▍三、方法技巧 1. 求双曲线方程两定：先由渐近线或焦点位置定形式，再用待定系数法；共渐近线时设 系方程最简。 2. 求离心率：把条件（渐近线斜率、三角形边角关系）化为 、、 的齐次方程，解出 并核对 。 3. 抛物线上点到焦点距离：一律转化为到准线的距离，利用"读出横坐标（或纵坐标）"快速求解最值与定值。 4. 抛物线焦点弦：联立后用韦达定理写端点坐标关系，配合 、 快速得弦长与位置结论。 5. 双曲线"给渐近线给离心率"型：由渐近线斜率得 ，与 联立。 ▍四、易错警示 1. 定义漏绝对值或范围： 必须满足 ，否则轨迹是两条射线（）或不存在；求轨迹必须检验。 2. 与椭圆记混：双曲线中 最大，，方向不能反。 3. 渐近线斜率与焦点位置错配：焦点在 轴时渐近线是 ，直接套 会错，建议用"令方程右端为 0"的方法推渐近线。 4. 抛物线开口与方程符号： 的焦点在 轴负半轴，准线在正半轴，符号与开口方向必须对应。 5. 抛物线定义用错方向：到焦点距离应转化为到准线距离（不是反过来随意替换），转化时准线坐标符号要写对。 　双曲线定义与标准方程 方法要领　定义中注意差为定值 且 ；焦点位置看系数符号，渐近线可用共渐近线设方程 。 【例】（2026巴蜀中学期中 18）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，其离心率为 ，焦点到渐近线的距离为 ，点 （）是直线 上一点，直线 、 的斜率分别是 、， 是坐标原点。 (1)求双曲线 的标准方程； (2)是否存在实数 ，使得 为定值？若存在，求出 及该定值；若不存在，请说明理由； (3)若直线 与双曲线相交于 、 两点，求出点 的坐标，使得 。 【答案】(1)；(2)存在实数 ，定值为 ；(3) 或 。 【分析】(1)由 与焦点到渐近线距离 ，结合 解出 ；(2)利用 把 整理为 ，令 即得定值；(3)设 与双曲线联立，用韦达定理表示 ，解出 后回代直线 求 。 【详解】解：(1)由题知双曲线的焦点在 轴上，故焦点为 ，，渐近线方程为 。 ∵ 离心率为 ，焦点到渐近线的距离为 ， ∴ ，又 ， ∴ ，，， ∴ 双曲线的标准方程为 。 (2)由(1)知 ，。∵ 点 是直线 上一点，∴ 。 ∴ ，， ∴ 。 把 代入，得上式 。 ∴ 当 ，即 时， 为定值， ∴ 存在实数 ，使得 为定值 。 (3)设直线 的方程为 ，，， 联立 ，得 。 ∵ 直线 与双曲线相交于 、 两点，∴ ，且 恒成立。 由韦达定理得 ，。 又 ，， ∴ ， 把韦达定理结果代入并化简，得 。 由 ，得 ，整理得 ， 解得 或 ，均满足判别式条件。 当 时，，解得 ，，即 ； 当 时，，解得 ，，即 。 ∴ 当点 的坐标为 或 时，。 【练1】（2026南京五校共同体期中 8）如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为 2 的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.已知该冷却塔的上口半径为 cm，下口半径为 cm，高为 cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（　　） A． cm B． cm C． cm D． cm 【答案】C 【分析】建系设双曲线方程，由离心率得 ，把上、下口两点坐标代入方程，用塔高为 8 列方程解出 ，最小直径即 . 【详解】解：以虚轴为 轴、实轴为 轴建系，设双曲线方程为 ， 由离心率为 得 ， ∴，即 ， 由题意知上、下口对应点 ，，其中 ，， 把 代入方程得 ，即 ， 把 代入方程得 ，即 ， ∵塔高为 ，∴，即 ， ∴，两边平方得 ， ∴，解得 ，即 ， 冷却塔的最小直径为腰部直径 .故选：C. 【练2】（2025三明二中期中 9）已知曲线 ，则下列选项正确的有（　　）（多选） A．若 ，则 为椭圆 B．若 为焦点在 轴上的椭圆，则 C．若 为双曲线，则 D．若 ，则 为焦点在 轴上的双曲线 【答案】BD 【分析】根据方程表示椭圆、双曲线的分母符号条件列不等式组，逐项判断. 【详解】对于 A，若方程表示椭圆，则 ， 解得 或 ，当 时方程为 表示圆，A 错误； 对于 B，若 为焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，B 正确； 对于 C，若 为双曲线，则 ，解得 或 ，C 错误； 对于 D，当 时，，，方程为 ，表示焦点在 轴上的双曲线，D 正确. 故选：BD. 【练3】（2026杭州二中期中 7）双曲线 的右支上一点 在第一象限，， 分别为双曲线 的左、右焦点，若 的内切圆 与 轴相切， 为双曲线 的左顶点，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义和切线长定理推出内心 的横坐标为 ，再由内切圆与 轴相切得 的坐标，由点斜式求直线方程. 【详解】解：设内切圆与 轴的切点为 ，， 与内切圆的切点分别为 ，， 由双曲线定义 ， 由切线长定理 ，，， ∴， 设内心 的横坐标为 ，则切点 的横坐标也为 ， ∴，解得 ，即 在定直线 上， 由 得 ，，， ∵内切圆 与 轴相切，∴内切圆半径等于圆心横坐标 ， ∵ 在第一象限，∴圆心 在 轴上方，∴，又 ， ∴，直线 的方程为 ，即 .故选：D. 　双曲线离心率与渐近线 方法要领　渐近线斜率 ，离心率与渐近线互化：等轴 ；条件化齐次式后解 的方程取符合范围的根。 【例】（2026长郡中学期中 7）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，， 为双曲线右支上的任意一点，若 的最小值为 ，则双曲线离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设 ，由定义得 ，将 化为 ，用基本不等式求最小值；再由右支上 讨论取等条件可否成立，得 的范围。 【详解】解：设 。∵ 在双曲线右支上，由双曲线的定义得 ，∴ 。 ∴ 。 ∵ ，由基本不等式得 ，当且仅当 时取等号， 此时 取得最小值 ，与题设一致。 ∵ 为右支上任意一点，而右支上 的最小值为 （ 运动到右顶点处）， ∴ 要使 能取到，需 ，即 ， ∴ 。 又双曲线的离心率满足 ，∴ 。 故选：D。 【练1】（2026长郡中学期中 3）已知双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则 的离心率为（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由一条渐近线与直线 平行得 ，再由 求离心率。 【详解】解：双曲线 的渐近线方程为 。 ∵ 双曲线的一条渐近线与直线 （即 ）平行，两直线平行则斜率相等， ∴ 。 ∵ ，∴ ， 即双曲线的离心率为 。 故选：C。 【练2】（2026宁波六校联盟期中 4）双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 求 ，再写渐近线方程. 【详解】解：∵离心率 ，∴， ∴，即 ， ∴双曲线的渐近线方程为 .故选：D. 【练3】（2026辽宁七校协作体期中 5）已知椭圆的方程为 ，且离心率与双曲线 的离心率互为倒数，则下列椭圆方程不满足上述条件的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出双曲线离心率为 2，得椭圆离心率为 ，即 ，逐项验证. 【详解】解：双曲线 的离心率 ， ∴椭圆的离心率 ， 椭圆 中 ，， ∴，解得 ， 对于 A，，，，符合； 对于 B，，，，不符合； 对于 C，，，，符合； 对于 D，，，，符合. 故选：B. 【练4】（2025三明二中期中 5）已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点， 为 左支上一点，满足 ， 与 的右支交于点 ，若 ，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两个角的关系得 为等边三角形，结合双曲线定义求出 ，，再在 中用余弦定理列齐次方程求 . 【详解】解：∵，，且 三点共线， ∴ 的三个内角均为 ，为等边三角形，∴， 由双曲线定义 ，而 ， ∴， 又 在右支上，∴，得 ， 在 中由余弦定理得 ， ∴，即 .故选：D. 　抛物线定义与标准方程 方法要领　抛物线四种标准方程看开口方向定系数符号；定义把到焦点距离转化为到准线距离，是求最值与轨迹的关键。 【例】（2026杭州二中期中 10）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 ， 为抛物线上一个动点，，则（　　）（多选） A． 的坐标为 B． 的最小值为 2 C．若 ，则过 与抛物线相切的直线的方程为 D． 的最小值为 3 【答案】ACD 【分析】由抛物线方程直接求焦点判断 A；取通径验证 的最小值判断 B；设切线斜率联立判别式为零求切线判断 C；由抛物线定义把 转化为 到准线的距离，利用垂线段最短求 的最小值判断 D. 【详解】对于 A，由 得 ，∴焦点 ，A 正确； 对于 B，当 为通径时 最小，此时 ，交点为 ，， ∴ 的最小值为 4 而不是 2，B 错误； 对于 C，设切线方程为 （），联立 ， 消去 得 ， ∵相切，∴，解得 ， ∴切线方程为 ，即 ，C 正确； 对于 D，抛物线的准线为 ，过 作 垂直于准线，垂足为 ， 由抛物线定义 ，∴， 当 三点共线时取等号，此时 ，， ∴ 的最小值为 3，D 正确.故选：ACD. 【练1】（2026南宁三中期中 2）抛物线 的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 得 ，开口向上时准线为 . 【详解】解：抛物线 可写成 的形式，其中 ，即 ， ∵抛物线开口向上，焦点在 轴正半轴，∴准线方程为 .故选：D. 【练2】（2026长郡中学期中 13）已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 、直线 的距离之和的最小值是 ______ 【答案】3 【分析】抛物线 的焦点为 ，准线为 。由抛物线定义把 到 的距离写成 ，则距离之和为 ，其最小值为焦点 到 的距离加 。 【详解】解：由题意，抛物线 的焦点为 ，准线为 。 设动点 到直线 、、 的距离分别为 、、。 ∵ 准线 与直线 平行且相距 ，∴ 。 又由抛物线的定义得 ，∴ ，∴ 。 点 到直线 的距离为 。 由折线长不小于直线段长，得 ， 当且仅当点 在过 且垂直于 的直线上、且位于 与垂足之间时等号成立（此时抛物线上存在这样的点 ）。 ∴ ，即动点 到直线 、直线 的距离之和的最小值是 。 故答案为：3。 　焦点弦与焦点三角形 方法要领　焦点弦性质（如 ）与端点坐标关系要熟；抛物线上点到焦点距离常转化为到准线距离。 【例】（2026长郡中学期中 6）如图，过抛物线 的焦点 的直线 （斜率为正）交抛物线于 ， 两点（其中点 在第一象限），交其准线于点 ，若 ，，则 到抛物线的准线的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】分别过 、 作准线的垂线，由抛物线定义把焦半径转化为到准线的距离，结合 得 ，再在 中求出 ，最后由 解出 。 【详解】解：分别过点 、 作准线的垂线，垂足分别为 、，记准线与对称轴的交点为 。 设 ，则 。 ∵ 抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，∴ ，。 在 中，。 ∵ 直线 与准线所成的角相同，且 、 均沿准线方向， ∴ 。 ∵ 、、 共线且点 在 与 之间， ∴ 。 在 中，， ∴ ，解得 。 ∵ 焦点 在 与 之间，∴ 。 在 中，， 而 （同为直线 与准线方向的夹角），∴ ，解得 ， 即 到抛物线的准线的距离为 。 故选：B。 【练1】（2026南宁三中期中 15）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 . (1)求抛物线的方程； (2)过焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，若 ，求直线 的方程. 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)由抛物线定义 求 ；(2)设 联立抛物线，由 建立方程解 . 【详解】解：(1)由抛物线定义，， ∵，，∴，解得 ， ∴抛物线的方程为 . (2)由 (1) 知焦点 ， 若直线 斜率不存在，则 ，，，不合题意， ∴设 ，，， 联立 ，消去 得 ， 判别式 ，且 ， 由抛物线定义 ， 由 解得 ，即 ， ∴直线 的方程为 . 【练2】（2026南京五校共同体期中 11）已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于 两点，其中 在第一象限，点 ，若 ，则（　　）（多选） A．直线 的斜率为 B． C． D． 【答案】AD 【分析】作 ，由 得 为 中点，从而确定 的坐标，求 判断 A；联立直线用韦达定理求 判断 B；用正切和角公式计算 与 判断 C；以 为底用韦达定理求面积判断 D. 【详解】对于 A，作 ，垂足为 ，设 ，， ∵，∴，又 ，，∴， ∴，代入 得 ， ∴，即直线 的斜率为 ，A 正确； 对于 B，直线 ，联立 ， 得 ，∴，， 由焦点弦性质 ， 由 得 ， 解得 或 （舍），∴，B 错误； 对于 C，，， 由 得 ， ∴，， ∴， ， ∵，∴，C 错误； 对于 D， ，D 正确. 故选：AD. 【练3】（2026东北育才学校期中 10）若双曲线 ，， 分别为左、右焦点，设点 为双曲线上第一象限内的动点，点 为 的内心，点 为 的重心，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．双曲线 的离心率为 B．点 的运动轨迹为双曲线的一部分 C．若 ，，则 D．存在点 ，使得 【答案】ACD 【分析】由方程求 判断 A；由切线长定理与双曲线定义求内心横坐标判断 B；当 时求出 坐标，由向量分解求 判断 C；用等面积法表示内切圆半径，由 建立方程判断 D. 【详解】由 得 ，，，∴，A 正确； 设 ，，内切圆与 ，， 分别切于 ， 由切线长定理 ，，， 由双曲线定义 ，即 ，又 ， 解得 ，∴切点 的横坐标为 ， 由 知 的横坐标恒为 ，即 在定直线 上运动，B 错误； 当 时，结合 得 ，，， ∴，得 ，同理 ， 设直线 ，直线 ，联立解得 ， 由等面积法 ，解得内切圆半径 ，∴， ∴，，， 由 得 ，解得 ，， ∴，C 正确； 设 ，则重心 ， 由等面积法 ，得 ， 若 ，则 与 纵坐标相等，即 ，得 ， 又 ，联立得 ， ∴，解得 ，， 即存在点 使得 ，D 正确.故选：ACD. 　专题过关检测（限时40分钟 · 满分90分） 一、单选题（每小题6分） 1．（6分）（2026雅礼教育集团期中 1）抛物线 的准线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 得 ，抛物线开口向上，准线方程为 。 【详解】解：由抛物线 知其开口向上，，即 ， ∴ 该抛物线的准线方程是 。 故选：D。 2．（6分）（2026巴蜀中学期中 3）已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 ，且 ，则抛物线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过 作 轴的垂线，由 与 求出 的坐标（用 表示），代入抛物线方程解出 即可；也可用抛物线定义 快速求解。 【详解】解：过 作 轴，垂足为 。 ∵ ，∴ 。 在 中，，， ∴ 。 将 代入 ， 得 ，即 ， ∴ ，解得 或 （舍去）， ∴ 抛物线的方程为 。 （另解：由抛物线定义，，即 ，直接解得 。） 故选：C。 3．（6分）（2025抚顺四方高中期中 5）如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过 的直线与 分别在第一、二象限交于 ， 两点， 的内切圆半径为 ，若 ，则 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线定义和内切圆切线长定理，证得 ，用勾股定理求出 ，再由余弦定理求 ，即可得离心率。 【详解】解：设 ，内切圆圆心为 ，内切圆在 、、 上的切点分别为 、、， 由切线长定理得 ，，。 ∵ 且 在双曲线上，由双曲线的定义得 ，∴ 。 在 中，由切线长定理得 ，而 ， ∴ ， ∴ 四边形 中 ，是正方形， ∴ ，即 。 ∴ ，解得 ，∴ 。 ∴ ，而 ，∴ 。 在 中，由余弦定理得 ， ∴ ，∴ 。 故选：D。 4．（6分）（2026巴蜀中学期中 6）已知 、 是双曲线 的左、右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 是正三角形及双曲线（渐近线）关于 轴的对称性得 ，从而 ，在直角三角形中用边角关系求 ． 【详解】解：双曲线焦点在 轴上，，（）． ∵ 是正三角形，∴ ； ∵ 在 轴上，由双曲线与渐近线的对称性得 ， ∴ ，即 是 斜边 的中点， ∴ （直角三角形斜边中线等于斜边一半的逆定理），∴ ． ∵ 在第一象限的渐近线 上，∴ ，即 ． 在 中，，∴ ，即 ， ∴ ， ∴ 渐近线方程为 ． 故选：B． 二、多选题（每小题6分） 5．（6分）（2026雅礼教育集团期中 10）已知抛物线 上两点 ，， 为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．抛物线的准线方程为 B．若直线 过 ，且 轴，则 C．若直线 过 ，则 D．若 ，则 的中点到 轴距离的最小值为 2 【答案】ABD 【分析】由 得 ，可判断 A、B；设 与抛物线联立，用韦达定理可判断 C；对 D，当 过焦点时 取等，联立后用 表示中点横坐标求最小值。 【详解】解：由 可知抛物线的焦点在 轴正半轴上，且 。 对于 A，抛物线的准线方程为 ，故 A 正确； 对于 B，∵ 直线 过 且 轴，把 代入 ，解得 ， ∴ ，故 B 正确； 对于 C，由上知 ，∵ 直线 的斜率不能为 ，设其方程为 ， 代入 ，可得 ， 由韦达定理得 ，故 C 错误； 对于 D，由图知 ，当且仅当 经过点 时等号成立。 设直线 的方程为 ，代入 ，可得 ， 则 ，由韦达定理得 ，。 ∵ ， 又 ，∴ ，即 。 设 的中点为 ，则 ， 而 即点 到 轴的距离， ∴ 当 ， 时， 的中点到 轴的距离取最小值 ，故 D 正确。 故选：ABD。 6．（6分）（2026巴蜀中学期中 10）已知 是抛物线 的焦点，不过原点的直线 与抛物线相交于 、 两点，则下列说法正确的是（　　）（多选） A．若直线 过点 ，则 的最小值为 2 B．若直线 过点 ，点 在第一象限，，则直线 的倾斜角为 C．若 ，线段 的中点为 ，则 到 轴的距离的最小值是 2 D．若直线 过点 ，则原点在以线段 为直径的圆内 【答案】BCD 【分析】设 联立方程，得 ，由 可判定 A；由焦半径公式求出 可判定 B；分 过焦点与不过焦点两种情况讨论 到 轴的距离可判定 C；由抛物线定义得以 为直径的圆与准线相切，再比较 与半径可判定 D。 【详解】解：由抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，设 ，。 对于 A，根据抛物线的定义，，，则 。 设 ，联立 ，整理得 ， 则 ，∴ ， ∴ ，即 的最小值为 ，故 A 错误； 对于 B，由抛物线的定义，，解得 ，则 。 ∵ 点 在第一象限，∴ ，即 ， ∴ ， 设倾斜角为 ，则 ，∴ ，故 B 正确； 对于 C，当直线 过焦点 时，，∴ ， ∴ ，即 到 轴的距离为 ； 当直线 不过焦点 时，， 由 得 ，∴ ，即 到 轴的距离大于 。 综上， 到 轴的距离的最小值为 ，故 C 正确； 对于 D，由直线 过焦点 ，过 、 分别作准线的垂线，垂足分别为 、， 根据抛物线的定义，，，且 。 过 中点 作准线的垂线，垂足为 ，则 ， ∴ 以 为直径的圆与准线相切。 设 ，由 A 知 ，， ∴ ，， ∴ ，∴ ， ∴ 原点在以 为直径的圆的圆内，故 D 正确。 故选：BCD。 7．（6分）（2023湖南师大附中期中 12）已知双曲线 的左、右两个顶点分别为 ，，左、右两个焦点分别为 ，， 是双曲线上异于 ， 的一点，给出下列结论，其中正确的是（　　）（多选） A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得直线 ， 的斜率的绝对值之和 C．使得 为等腰三角形的点 有且仅有四个 D．若 ，则 【答案】AD 【分析】由双曲线的定义与垂直平分线的性质判断 ；由点在双曲线上得 ，再用基本不等式并检验等号能否成立判断 ；按等腰三角形的分类，结合双曲线上点的横坐标范围与对称性计数判断 ；由数量积为 得 ，再计算 判断 . 【详解】解：设 ，半焦距为 ，则 ，且双曲线上点的横坐标满足 . 对于 A：若 在双曲线左支上，由双曲线的定义得 ， ∴ 等价于 ， 而 只需点 在线段 的垂直平分线 上， ∵，∴，该垂直平分线与双曲线左支必有交点， ∴存在点 使得 ，A 正确； 对于 B：由 在双曲线上得 ， ∴， 即 与 同号，∴， 当且仅当 时取等号，此时直线 与渐近线平行，与双曲线仅交于点 ，这样的点 不存在，等号取不到， ∴ 恒成立，B 错误； 对于 C：若 ，则 在线段 的垂直平分线（即 轴）上，与 矛盾，不成立； 若 或 ，由双曲线关于坐标轴的对称性，四个象限各有 个满足条件的点， ∴使得 为等腰三角形的点 共有 个，C 错误； 对于 D：∵， ∴，即 ， ∴，D 正确. 故选：AD. 三、填空题（每小题6分） 8．（6分）（2026雅礼教育集团期中 13）若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则实数 的值为 ______ 【答案】8 【分析】先由双曲线方程求出右焦点坐标，再由 的焦点为 列方程求 。 【详解】解：双曲线 中，，∴ ，右焦点为 。 ∵ 抛物线 即 ，其焦点为 ， 由焦点重合得 ，解得 。 故答案为：8。 9．（6分）（2023湖南师大附中期中 15）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点.若 ，，则 的离心率为 ______ 【答案】 【分析】由 得 为线段 的中点，结合 为 的中点知 是 的中位线，从而 ；设出 的坐标，由 在渐近线上且 解出 的横坐标，再由垂直条件得 ，即可求离心率. 【详解】解：∵，∴ 为线段 的中点， 又 为 的中点，∴ 为 的中位线，∴， 不妨设 在渐近线 上，则 ，此时 在渐近线 上， ∵，∴， 即 ，∴，解得 ， ∴. ∵，且 ，， ∴，即 ， ∴，∴， ∴双曲线的离心率 . 10．（6分）（2026雅礼教育集团期中 14）已知过双曲线 上一点 的切线方程为 。若 为双曲线 上的动点，，，直线 与双曲线的两条渐近线分别交于 ， 两点（点 在第一象限）， 与 在同一条渐近线上，则 的最小值为 ______ 【答案】-2 【分析】由切线方程知 是双曲线过点 的切线，且线段 的中点为 ；由渐近线 知 ；将 用中点 改写为 ，结合 在渐近线上放缩，再求 的最大值即可。 【详解】解：∵ 在双曲线 上，∴ ，即 ，且 。 由题意， 是双曲线 过点 的切线。 双曲线 的渐近线方程为 ，两条渐近线互相垂直，∴ 。 联立 ，解得 ， ∴ ； 联立 ，解得 ， ∴ 。 ∴ 线段 的中点为 。 ∵ ，， ∴ 。 ∵ ，∴ 点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ， 而 为 的中点，∴ 点 到直线 的距离为 。 ∵ 在渐近线 上，∴ ，即 ， ∴ ， 当且仅当 （ 为 在该渐近线上的射影）时取等号。 又 ，∴ ， 当且仅当 ，即 为双曲线右顶点 时取等号， ∴ ， ∴ 的最小值为 。 四、解答题（每小题15分） 11．（15分）（2025抚顺四方高中期中 19）已知点 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线交双曲线右支于 ， 两点，点 在第一象限。 (1)求点 横坐标的取值范围； (2)线段 交圆 于点 ，记 ，， 的面积分别为 ，，，求 的最小值。 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)设 ，由定比分点把 坐标代入双曲线，用 表示 即得范围；(2)用 与 的面积比转化为线段比，结合焦半径 、 与基本不等式求最小值。 【详解】解：(1)由双曲线 即 可得焦点 。 设 ，，，则 。 根据向量定比分点公式得 。 将 坐标代入双曲线得 ，， 把第二式两边乘 后与第一式相减， 得 。 又 ，∴ ， ∴ ，与 联立，解得 。 ∵ ，∴ ，故点 横坐标的取值范围是 。 (2)由 可得 ，。 ∵ 在双曲线上，， ∴ 。 由双曲线的定义 ，得 。 ∵ 圆 的圆心为 ，半径为 ，且 在线段 上， ∴ 。 记直线 与直线 的夹角为 ，由三角形面积公式（共角顶 ）得 ，， ∴ 。 又由 得 ，， ∴ 。 把 代入，，， ∴ ； 又 与 同高（公共顶点 ，底边在同一直线上）， ∴ 。 ∴ 。 ∵ ，由基本不等式得 ，当且仅当 时取等号， ∴ 的最小值为 。 12．（15分）（2026重庆一中期中 16）已知抛物线 过点 ，其焦点为 ，若 . (1)求 的值以及抛物线 的方程； (2)过点 斜率为 的直线交抛物线于 ， 两点，求 面积的取值范围. 【答案】(1)，；(2). 【分析】(1)由抛物线定义 与点 在抛物线上联立求 ；(2)设 （），联立得韦达定理，用弦长公式与点到直线距离表示面积，由函数单调性求取值范围. 【详解】解：(1)抛物线的焦点为 ，准线为 ， 由抛物线定义 ， 又点 在抛物线上，∴，即 ， 联立 ，解得 ，即 ， ∴ 的值为 ，抛物线 的方程为 . (2)由 (1) 知 ，，设 ，， 设直线 ，其中 ， 联立 ，消去 得 ， 判别式 ，且 ，， ∴， 点 到直线 的距离 ， ∴， 设 ，，∵ 在 上单调递增， 且 ，， ∴ 面积的取值范围为 . 期中专项复习 · 高二教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $