专题2.2 直线的方程期中复习讲义（课本为主）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.2 直线的方程（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题2.2 直线的方程（期中复习讲义） 1 知识点1 点斜式与斜截式 1 知识点2 两点式与截距式 1 知识点3 直线的一般式及其互化 1 知识点4 直线过定点问题 2 【题型1 由条件写出直线方程（点斜式、斜截式）】 2 【题型2 一般式互化与由一般式求斜率、截距】 2 【题型3 截距问题（截距式）】 3 【题型4 含参直线过定点】 3 【题型5 综合：由位置条件求直线方程】 4 【综合·培优提升】 4 【重难点】 ★重点： 1. 五种形式——点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 及其互化 2. 由一般式求斜率 与截距 3. 含参直线过定点的求法． ▲难点： 1. 各形式的适用条件（不能表示哪些直线） 2. 一般式与特殊式互化中的细节 3. 截距为零、截距互为相反数等分类讨论 4. 含参直线整理成关于参数的恒等式求定点． 知识点1 点斜式与斜截式 【重难点】 ★重点： 1. 、 ▲难点： 1. 两者都不能表示斜率不存在（垂直于 x 轴）的直线． （1）点斜式：过点 且斜率为 k 的直线方程为 ． （2）斜截式：斜率为 k、在 y 轴上截距为 b 的直线方程为 （b 即直线与 y 轴交点的纵坐标）． （3）局限：两种形式均要求斜率存在，故不能表示垂直于 x 轴的直线（如 ）． 知识点2 两点式与截距式 【重难点】 ★重点： 1. 、 ▲难点： 1. 两点式要求 且 2. 截距式要求直线不过原点且不平行于坐标轴（）． （1）两点式：过 、（ 且 ）的直线：． （2）截距式：在 x 轴、y 轴截距分别为 a、b（）的直线：． （3）注意：截距是坐标值，可正可负也可为零 （1）截距式不适用于过原点或平行于坐标轴的直线． 知识点3 直线的一般式及其互化 【重难点】 ★重点： 1. 一般式 （A、B 不同时为 ） 2. 由一般式求斜率与截距 ▲难点： 1. 把两点式、截距式等化为一般式的代数运算 2. 化为斜截式时除以 B 的前提 ． （1）一般式：（ 不全为 ）可表示平面内任意直线． （2）斜率与截距（B≠0 时）：斜率 ，在 y 轴截距 ，令 得 x 轴截距 （ 时）． （3）互化：特殊式均可化为一般式 （1）一般式当 时可化为斜截式 ． 知识点4 直线过定点问题 【重难点】 ★重点： 1. 将含参直线方程整理为关于参数的恒等式，令参数项系数与常数项同时为 求定点 ▲难点： 1. 正确展开并分离参数，避免符号错误． （1）方法：形如 的直线恒过方程组 、 的解（定点）． （2）步骤：按参数合并同类项 → 令各系数为 解二元一次方程组得定点坐标． （3）特例： 恒过定点 ． 【题型1 由条件写出直线方程（点斜式、斜截式）】 【例1】过点 且斜率 的直线方程为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 由点斜式 ，整理得 ． 答案：（或 ）． 【变式1-1】过点 且斜率 的直线方程（化为一般式）为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，两边乘 得 ，即 ． 答案：． 【变式1-2】斜率为 ，且在 y 轴上截距为 的直线方程为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 由斜截式 ．答案：（或 ）． 【变式1-3】过点 且倾斜角为 的直线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，由点斜式 ，整理得 ． 答案：． 【题型2 一般式互化与由一般式求斜率、截距】 【例2】将 化为斜截式，并求其斜率与 y 轴截距． 【答案】见【详解】。 【详解】 由 得 ，即 ． 故斜率 ，y 轴截距 ．答案：；斜率 ；截距 ． 【变式2-1】直线 的斜率、x 轴截距、y 轴截距分别为 ______、______、______． 【答案】见【详解】。 【详解】 化为 ，斜率 ；令 得 （x 截距）； 令 得 （y 截距）．答案：；；． 【变式2-2】直线 的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判定依据：斜率 ，故 。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式2-3】求经过 、 两点的直线方程（化为一般式）． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，由点斜式 ，整理得 ． 答案：． 【题型3 截距问题（截距式）】 【例3】求过 和 两点的直线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 两截距分别为 、，由截距式 ，即 ， 整理得 ，即 ．答案：． 【变式3-1】在 x 轴、y 轴上的截距分别为 和 的直线方程为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 由截距式 ，即 ，整理得 ． 答案：． 【变式3-2】直线过点 且在两坐标轴上的截距相等（均不为 ），其方程为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 设截距为 a（），则 ，即 ． 代入 得 ，故方程为 ．答案：． 【变式3-3】直线在两坐标轴上的截距之和为 ，且过点 ，求直线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 设截距为 a、b，则 且 ． 由 代入得 ，两边乘 得 ，即 ，整理 ，解得 ，对应 ． 方程为 ，即 或 ．答案：两解（分别对应于 的截距式）． 【题型4 含参直线过定点】 【例4】证明直线 （）恒过定点，并求该定点坐标． 【答案】见【详解】。 【详解】 按 m 整理：． 令 且 ，解得 ，． 故直线恒过定点 ．答案：恒过定点 ． 【变式4-1】直线 （）恒过定点 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 由点斜式结构知直线恒过定点 ．答案：． 【变式4-2】证明直线 恒过定点，并求之． 【答案】见【详解】。 【详解】 按 a 整理：． 令 且 ，相加得 ，，代回得 ． 故恒过定点 ．答案：恒过定点 ． 【变式4-3】无论 k 为何值，直线 恒过定点，求该定点． 【答案】见【详解】。 【详解】 按 k 整理：． 令 且 ，由第一式 代入第二式得 ，即 ，，．故定点 ．答案：． 【题型5 综合：由位置条件求直线方程】 【例5】求过点 且在两坐标轴上截距之和为 的直线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 情形一：截距均不为 ，设 ，由 得 ，方程 ．过 得 ，方程为 ． 情形二：截距均为 （直线过原点），设 ，过 得 ，方程为 ，其两截距均为 ，和也为 ，符合． 故所求直线有两条： 与 ． 【变式5-1】过点 且平行于直线 的直线方程为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 平行则斜率 ，由点斜式 ，得 ，即 ． 答案：． 【变式5-2】过点 且垂直于直线 的直线方程为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 已知直线斜率 ，垂线斜率 ，由点斜式 ， 整理得 ．答案：． 【变式5-3】求过点 且在 x 轴和 y 轴上截距相等的直线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 情形一：截距不为 且相等，设 即 ，过 得 ，方程 ． 情形二：截距均为 （过原点），设 ，过 得 ，方程 ，其两截距均 ，相等．故所求为 或 ． 【综合·培优提升】 【培优1】证明直线 （）恒过定点，并求该定点． 【答案】见【详解】。 【详解】 按 m 整理：． 令 且 ，相加得 ，，代回得 ． 故恒过定点 ．答案：恒过定点 ． 【培优2】直线 l 过点 且不过原点，在两坐标轴上的截距互为相反数，求 l 的方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 x 截距为 a，则 y 截距 （），方程 ，即 a．过 得 ，故方程为 ． （过原点情形 虽过 但被“不过原点”排除）答案：． 【培优3】直线在 x 轴、y 轴上的截距之差为 （即 x 截距比 y 截距小 ），且过点 ，求直线方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 y 截距为 b，则 x 截距 ，截距式 ． 代入 ：，两边乘 得 ，即 ，整理 ，解得 或 ． 时 ，方程 即 ； 时 ，方程 即 ． 答案： 或 ． 【培优4】已知直线 l：，求 k 的取值范围使 l 与直线 的交点在第一象限． 【答案】见【详解】。 【详解】 联立： 代入 得 ，即 ，；．第一象限要求 且 ． ⇒ ⇒ ；此时分母为负， ⇒ ⇒ ． 取交集得 ．答案：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 直线的方程（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题2.2 直线的方程（期中复习讲义） 1 知识点1 点斜式与斜截式 1 知识点2 两点式与截距式 1 知识点3 直线的一般式及其互化 1 知识点4 直线过定点问题 2 【题型1 由条件写出直线方程（点斜式、斜截式）】 2 【题型2 一般式互化与由一般式求斜率、截距】 2 【题型3 截距问题（截距式）】 2 【题型4 含参直线过定点】 3 【题型5 综合：由位置条件求直线方程】 3 【综合·培优提升】 3 【重难点】 ★重点： 1. 五种形式——点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 及其互化 2. 由一般式求斜率 与截距 3. 含参直线过定点的求法． ▲难点： 1. 各形式的适用条件（不能表示哪些直线） 2. 一般式与特殊式互化中的细节 3. 截距为零、截距互为相反数等分类讨论 4. 含参直线整理成关于参数的恒等式求定点． 知识点1 点斜式与斜截式 【重难点】 ★重点： 1. 、 ▲难点： 1. 两者都不能表示斜率不存在（垂直于 x 轴）的直线． （1）点斜式：过点 且斜率为 k 的直线方程为 ． （2）斜截式：斜率为 k、在 y 轴上截距为 b 的直线方程为 （b 即直线与 y 轴交点的纵坐标）． （3）局限：两种形式均要求斜率存在，故不能表示垂直于 x 轴的直线（如 ）． 知识点2 两点式与截距式 【重难点】 ★重点： 1. 、 ▲难点： 1. 两点式要求 且 2. 截距式要求直线不过原点且不平行于坐标轴（）． （1）两点式：过 、（ 且 ）的直线：． （2）截距式：在 x 轴、y 轴截距分别为 a、b（）的直线：． （3）注意：截距是坐标值，可正可负也可为零 （1）截距式不适用于过原点或平行于坐标轴的直线． 知识点3 直线的一般式及其互化 【重难点】 ★重点： 1. 一般式 （A、B 不同时为 ） 2. 由一般式求斜率与截距 ▲难点： 1. 把两点式、截距式等化为一般式的代数运算 2. 化为斜截式时除以 B 的前提 ． （1）一般式：（ 不全为 ）可表示平面内任意直线． （2）斜率与截距（B≠0 时）：斜率 ，在 y 轴截距 ，令 得 x 轴截距 （ 时）． （3）互化：特殊式均可化为一般式 （1）一般式当 时可化为斜截式 ． 知识点4 直线过定点问题 【重难点】 ★重点： 1. 将含参直线方程整理为关于参数的恒等式，令参数项系数与常数项同时为 求定点 ▲难点： 1. 正确展开并分离参数，避免符号错误． （1）方法：形如 的直线恒过方程组 、 的解（定点）． （2）步骤：按参数合并同类项 → 令各系数为 解二元一次方程组得定点坐标． （3）特例： 恒过定点 ． 【题型1 由条件写出直线方程（点斜式、斜截式）】 【例1】过点 且斜率 的直线方程为 ______． 【变式1-1】过点 且斜率 的直线方程（化为一般式）为 ______． 【变式1-2】斜率为 ，且在 y 轴上截距为 的直线方程为 ______． 【变式1-3】过点 且倾斜角为 的直线方程． 【题型2 一般式互化与由一般式求斜率、截距】 【例2】将 化为斜截式，并求其斜率与 y 轴截距． 【变式2-1】直线 的斜率、x 轴截距、y 轴截距分别为 ______、______、______． 【变式2-2】直线 的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】求经过 、 两点的直线方程（化为一般式）． 【题型3 截距问题（截距式）】 【例3】求过 和 两点的直线方程． 【变式3-1】在 x 轴、y 轴上的截距分别为 和 的直线方程为 ______． 【变式3-2】直线过点 且在两坐标轴上的截距相等（均不为 ），其方程为 ______． 【变式3-3】直线在两坐标轴上的截距之和为 ，且过点 ，求直线方程． 【题型4 含参直线过定点】 【例4】证明直线 （）恒过定点，并求该定点坐标． 【变式4-1】直线 （）恒过定点 ______． 【变式4-2】证明直线 恒过定点，并求之． 【变式4-3】无论 k 为何值，直线 恒过定点，求该定点． 【题型5 综合：由位置条件求直线方程】 【例5】求过点 且在两坐标轴上截距之和为 的直线方程． 【变式5-1】过点 且平行于直线 的直线方程为 ______． 【变式5-2】过点 且垂直于直线 的直线方程为 ______． 【变式5-3】求过点 且在 x 轴和 y 轴上截距相等的直线方程． 【综合·培优提升】 【培优1】证明直线 （）恒过定点，并求该定点． 【培优2】直线 l 过点 且不过原点，在两坐标轴上的截距互为相反数，求 l 的方程． 【培优3】直线在 x 轴、y 轴上的截距之差为 （即 x 截距比 y 截距小 ），且过点 ，求直线方程． 【培优4】已知直线 l：，求 k 的取值范围使 l 与直线 的交点在第一象限． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $