专题2.3 直线的交点坐标与距离公式期中复习讲义（课本为主）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.3 直线的交点坐标与距离公式（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题2.3 直线的交点坐标与距离公式（期中复习讲义） 1 知识点1 直线的交点坐标 1 知识点2 两点间的距离 1 知识点3 点到直线的距离 1 知识点4 两条平行直线间的距离与对称 2 【题型1 求两直线的交点坐标】 2 【题型2 两点间的距离】 2 【题型3 点到直线的距离】 3 【题型4 两条平行直线间的距离】 4 【题型5 距离最值与对称】 4 【综合·培优提升】 5 【重难点】 ★重点： 1.两直线交点（联立方程组） 2.两点间距离 3.点到直线距离 4.两平行直线距离 5.对称与距离最值． ▲难点： 1.点到直线距离公式的分子绝对值与分母 2.两平行线距离要先化为同系数 3.距离最值常转化为点到直线（或点到点）的距离 4.对称问题的计算． 知识点1 直线的交点坐标 【重难点】 ★重点： 1.联立两直线方程求解即为交点 ▲难点： 1.无解表示平行（无交点），无穷多解表示重合 2.三条直线共点需先求两线交点再代入第三条． （1）求法：解二元一次方程组，所得 即两直线交点． （2）位置：唯一解⇔相交；无解⇔平行；无穷解⇔重合． （3）共点：三条直线共点 ⇔ 其中两条的交点满足第三条方程． 知识点2 两点间的距离 【重难点】 ★重点： 1. ▲难点： 1.坐标差的顺序不影响平方结果 2.利用距离判断三角形的形状（等边、等腰、直角）． （1）公式：、 间的距离 ． （2）特例：到原点的距离 ． （3）应用：比较三边长度判断三角形形状；利用勾股定理判定直角． 知识点3 点到直线的距离 【重难点】 ★重点： 1. ▲难点： 1.直线方程必须先化为一般式 再代入 2.分子要取绝对值． （1）公式：点 到直线 l： 的距离 ． （2）前提：直线须写成一般式，A、B 为对应系数． （3）几何意义：d 是点 P 到直线 l 的垂线段长度（最短距离）． 知识点4 两条平行直线间的距离与对称 【重难点】 ★重点： 1.平行线距离 （系数已统一为 ） 2.点关于点、关于直线对称 ▲难点： 1.两平行线必须化为 x、y 系数相同才能套公式 2.对称点的中点在对称轴上且连线与轴垂直． （1）平行线距离：： 与 ： 的距离 ．若系数不同，先化为相同系数． （2）点关于点对称：中点公式：若 M 为 P、P' 中点，则 ． （3）点关于直线对称：连线段被对称轴垂直平分（中点在轴上，连线斜率与轴斜率乘积为 ）． 【题型1 求两直线的交点坐标】 【例1】求直线 ： 与 ： 的交点坐标． 【答案】见【详解】。 【详解】 由 得 ，代入 ： ⇒ ⇒ ，． 故交点为 ．答案：． 【变式1-1】直线 与 的交点为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 由第二式 ，代入第一式： ⇒ ⇒ ， ．答案：． 【变式1-2】直线 与 的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判定依据：由 得 ，代入 得 ，，。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式1-3】三条直线 、、 交于同一点，求实数 a． 【答案】见【详解】。 【详解】 先解前两条：由 得 ，代入 得 ⇒ ⇒ ，，交点 ．代入第三条： ⇒ ．答案：． 【题型2 两点间的距离】 【例2】已知 、，则 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 ．答案：． 【变式2-1】已知 、，则 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 ．答案：． 【变式2-2】点 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判定依据：。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式2-3】已知 、、，判断 的形状． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，，． 因为 ，故 为等腰三角形（底边 ）． 答案：等腰三角形． 【题型3 点到直线的距离】 【例3】点 到直线 的距离为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 ．答案：． 【变式3-1】原点 到直线 的距离为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 ．答案：． 【变式3-2】点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定依据：。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【变式3-3】点 到直线 l 的距离为 ，且 l 经过原点，求 l 的方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 l：（ 不全为 ）． 由距离公式 ，平方得 ⇒ ⇒ ⇒ ． 若 ，则 l：（y 轴），验证 成立； 若 ，取 ，得 l：，验证 成立．故 l 的方程为 或 ． 【题型4 两条平行直线间的距离】 【例4】两平行直线 ： 与 ： 之间的距离为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 系数已统一，．答案：． 【变式4-1】直线 与 之间的距离为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 ．答案：． 【变式4-2】平行直线 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定依据：。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【变式4-3】求直线 与 之间的距离． 【答案】见【详解】。 【详解】 先将第二式乘 得 ，与第一式系数统一． ．答案：． 【题型5 距离最值与对称】 【例5】求点 到直线 l： 的最短距离． 【答案】见【详解】。 【详解】 点到直线的最短距离即垂线段长：． 答案：． 【变式5-1】点 关于点 的对称点 B 的坐标为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 M 为 中点，故 ．答案：． 【变式5-2】在直线 l： 上求一点 P，使它与原点的距离最小，并求此最小值． 【答案】见【详解】。 【详解】 原点 O 到直线 l 的垂足即为距离最小的点 P，最小距离 ． 过 O 且垂直于 l 的直线方向为 ，设 代入 l： ⇒ ⇒ ，故 ．答案：，最小值为 ． 【变式5-3】求点 关于直线 l： 的对称点 A'． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，则 中点 在 l 上： ⇒ ； 又 与 l 垂直，l 斜率为 ，故 斜率为 ，即 ⇒ ⇒ ．联立得 ⇒ ⇒ ，． 答案：． 【综合·培优提升】 【培优1】过点 的直线 l 与两坐标轴的正半轴围成三角形，求所围成三角形面积的最小值． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 l 在 x、y 轴正截距为 a、b（），则 l：， 且过 ：．面积 ． 由 ，得 ，； 等号当且仅当 ，即 、 时成立．故面积最小值为 ． 答案：． 【培优2】求点 到动直线 l：（）的距离的最大值． 【答案】见【详解】。 【详解】 先求直线族恒过的定点：按 m 整理 ，令 且 ，解得定点 ． 点 P 到该直线族的距离不超过 （当直线垂直于 时取到最大）． ． 故最大距离为 ．答案：． 【培优3】在直线 上求一点 P，使 P 到 和 的距离之和最小，并求最小值． 【答案】见【详解】。 【详解】 作 关于直线 （即 ）的对称点 A'． A 到轴垂足：过 A 且法向 的直线参数 ，代入得 ⇒ ，垂足 ，故 ． 最小距离和 ，此时 P 为 与 的交点： 方程 ，联立 ⇒ ⇒ ，，即 ．答案：，最小值为 ． 【培优4】在 x 轴上求一点 P，使 P 到 与 的距离相等． 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ．，． 相等得 ⇒ ．取正号无解； 取负号 ⇒ ⇒ ．故 ．答案：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 直线的交点坐标与距离公式（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题2.3 直线的交点坐标与距离公式（期中复习讲义） 1 知识点1 直线的交点坐标 1 知识点2 两点间的距离 1 知识点3 点到直线的距离 1 知识点4 两条平行直线间的距离与对称 2 【题型1 求两直线的交点坐标】 2 【题型2 两点间的距离】 2 【题型3 点到直线的距离】 2 【题型4 两条平行直线间的距离】 3 【题型5 距离最值与对称】 3 【综合·培优提升】 3 【重难点】 ★重点： 1. 两直线交点（联立方程组） 2. 两点间距离 3. 点到直线距离 4. 两平行直线距离 5. 对称与距离最值． ▲难点： 1. 点到直线距离公式的分子绝对值与分母 2. 两平行线距离要先化为同系数 3. 距离最值常转化为点到直线（或点到点）的距离 4. 对称问题的计算． 知识点1 直线的交点坐标 【重难点】 ★重点： 1. 联立两直线方程求解即为交点 ▲难点： 1. 无解表示平行（无交点），无穷多解表示重合 2. 三条直线共点需先求两线交点再代入第三条． （1）求法：解二元一次方程组，所得 即两直线交点． （2）位置：唯一解⇔相交 （1）无解⇔平行 （2）无穷解⇔重合． （3）共点：三条直线共点 ⇔ 其中两条的交点满足第三条方程． 知识点2 两点间的距离 【重难点】 ★重点： 1. ▲难点： 1. 坐标差的顺序不影响平方结果 2. 利用距离判断三角形的形状（等边、等腰、直角）． （1）公式：、 间的距离 ． （2）特例：到原点的距离 ． （3）应用：比较三边长度判断三角形形状 （1）利用勾股定理判定直角． 知识点3 点到直线的距离 【重难点】 ★重点： 1. ▲难点： 1. 直线方程必须先化为一般式 再代入 2. 分子要取绝对值． （1）公式：点 到直线 l： 的距离 ． （2）前提：直线须写成一般式，A、B 为对应系数． （3）几何意义：d 是点 P 到直线 l 的垂线段长度（最短距离）． 知识点4 两条平行直线间的距离与对称 【重难点】 ★重点： 1. 平行线距离 （系数已统一为 ） 2. 点关于点、关于直线对称 ▲难点： 1. 两平行线必须化为 x、y 系数相同才能套公式 2. 对称点的中点在对称轴上且连线与轴垂直． （1）平行线距离：： 与 ： 的距离 ．若系数不同，先化为相同系数． （2）点关于点对称：中点公式：若 M 为 P、P' 中点，则 ． （3）点关于直线对称：连线段被对称轴垂直平分（中点在轴上，连线斜率与轴斜率乘积为 ）． 【题型1 求两直线的交点坐标】 【例1】求直线 ： 与 ： 的交点坐标． 【变式1-1】直线 与 的交点为 ______． 【变式1-2】直线 与 的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】三条直线 、、 交于同一点，求实数 a． 【题型2 两点间的距离】 【例2】已知 、，则 ______． 【变式2-1】已知 、，则 ______． 【变式2-2】点 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知 、、，判断 的形状． 【题型3 点到直线的距离】 【例3】点 到直线 的距离为 ______． 【变式3-1】原点 到直线 的距离为 ______． 【变式3-2】点 到直线 的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】点 到直线 l 的距离为 ，且 l 经过原点，求 l 的方程． 【题型4 两条平行直线间的距离】 【例4】两平行直线 ： 与 ： 之间的距离为 ______． 【变式4-1】直线 与 之间的距离为 ______． 【变式4-2】平行直线 与 之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】求直线 与 之间的距离． 【题型5 距离最值与对称】 【例5】求点 到直线 l： 的最短距离． 【变式5-1】点 关于点 的对称点 B 的坐标为 ______． 【变式5-2】在直线 l： 上求一点 P，使它与原点的距离最小，并求此最小值． 【变式5-3】求点 关于直线 l： 的对称点 A'． 【综合·培优提升】 【培优1】过点 的直线 l 与两坐标轴的正半轴围成三角形，求所围成三角形面积的最小值． 【培优2】求点 到动直线 l：（）的距离的最大值． 【培优3】在直线 上求一点 P，使 P 到 和 的距离之和最小，并求最小值． 【培优4】在 x 轴上求一点 P，使 P 到 与 的距离相等． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $