期中复习专题05 圆的方程【知识清单+7大考点+强化训练】讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题05 圆的方程 知识点1： 圆的定义 在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 知识点2： 圆的标准方程 设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为： 知识点3： 圆的一般方程 圆方程为，圆心坐标：，半径： ①的系数相同，方程中无项 ②对于的取值要求： 当时，方程只有实数解．它表示一个点 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． ③二元二次方程，表示圆的充要条件是 ④以 为直径端点的圆的方程为 知识点4： 几种特殊位置的圆的方程 条件 方程形式 标准方程 一般方程 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 与轴相切 与轴相切 知识点5： 点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 知识点6： 求圆方程的方法 ①几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 ②待定系数法 I根据题意，选择标准方程或一般方程； II根据条件列出关于或的方程组； III解出或，代入标准方程或一般方程 ③相关点法（代入法） 若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系，可设点，用点P的坐标表示出来点，然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代入法）． ④换元法（参数方程法） 若圆心为点，半径为，则可将圆上的点换元为为．其中为参数， ． 知识点7： 阿波罗尼斯圆 设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线； 阿波罗尼斯圆性质 ①阿波罗尼斯圆圆心在直线上，圆心为 ，； ②阿波罗尼斯圆上任一点P都满足（且）； ③设阿波罗尼斯圆直径两端点分别为，则分别是线段的内分点和外分点，且 ，（且）：分别是的内角和外角平分线，且． 考点一 求圆的方程 考点二 由圆的一般方程确定圆心和半径 考点三 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 考点四 判断点与圆的位置关系及其求参 考点五 轨迹问题-圆 考点六 圆的方程中对称的问题 考点七 定点到圆上点的最值(范围) 考点一 求圆的方程 1．（26-27高二上·天津红桥·阶段检测）若圆的一条直径的端点是，，则此圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）的三个顶点分别是，，． (1)求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程； (2)判断圆是否为的外接圆． 3．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知圆C经过原点，且其圆心在直线上，则半径最小值的圆C的标准方程为______． 考点二 由圆的一般方程确定圆心和半径 5．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）圆的圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：与直线：（），则圆的圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）圆的半径为（     ） A． B．2 C． D．1 8．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 考点三 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 9．（26-27高二上·湖南·阶段检测）若方程表示圆，则实数的值可能为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）若方程表示圆，则实数的取值范围是______. 11．（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）若方程表示圆，则m的取值范围为__________. 考点四 判断点与圆的位置关系及其求参 13．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）（多选）下列各点中，在圆的内部的有（     ） A． B． C． D． 14．（26-27高二上·云南楚雄·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五 轨迹问题-圆 17．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 18．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则动点C的轨迹方程为________． 19．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 20．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 考点六 圆的方程中对称的问题 21．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 22．（25-26高二下·安徽铜陵·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 23．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）圆经过三点、、． (1)求圆的方程； (2)若圆与圆关于直线对称．求圆的方程． 24．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 考点七 定点到圆上点的最值(范围) 25．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 26．（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）圆C：上的点到坐标原点O的最小距离为（   ） A． B． C． D． 27．（2027高三·全国·专题练习）点和圆上的点的距离的最小值是________． 28．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 1．（26-27高二上·浙江·阶段检测）若圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京东城·期末）已知圆经过点，则圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26高二上·甘肃武威·期末）以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）方程表示的曲线长度为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 8．（25-26高二上·浙江台州·期末）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·河北沧州·期中）（多选）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 11．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．过点，的直线方程为 C．直线恒过定点 D．方程表示圆，则实数的取值范围为 12．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围为_______． 13．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 14．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是______． 15．（26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（1）已知圆的方程为．求实数的取值范围； （2）已知圆：与圆关于直线对称．求圆的标准方程． 16．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆的方程 知识点1： 圆的定义 在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 知识点2： 圆的标准方程 设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为： 知识点3： 圆的一般方程 圆方程为，圆心坐标：，半径： ①的系数相同，方程中无项 ②对于的取值要求： 当时，方程只有实数解．它表示一个点 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． ③二元二次方程，表示圆的充要条件是 ④以 为直径端点的圆的方程为 知识点4： 几种特殊位置的圆的方程 条件 方程形式 标准方程 一般方程 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 与轴相切 与轴相切 知识点5： 点和圆的位置关系 圆的标准方程为，圆心，半径为. 设所给点为，则 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆上 ⇔点在圆A上 点在圆上⇔ 点在圆内 ⇔点在圆A内 点在圆内⇔ 点在圆外 ⇔点在圆A外 点在圆外⇔ 知识点6： 求圆方程的方法 ①几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 ②待定系数法 I根据题意，选择标准方程或一般方程； II根据条件列出关于或的方程组； III解出或，代入标准方程或一般方程 ③相关点法（代入法） 若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系，可设点，用点P的坐标表示出来点，然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法（或称代入法）． ④换元法（参数方程法） 若圆心为点，半径为，则可将圆上的点换元为为．其中为参数， ． 知识点7： 阿波罗尼斯圆 设为平面上相异两定点，且，为平面上异于一动点且（且）则点轨迹为圆；特别的当，轨迹为中垂线； 阿波罗尼斯圆性质 ①阿波罗尼斯圆圆心在直线上，圆心为 ，； ②阿波罗尼斯圆上任一点P都满足（且）； ③设阿波罗尼斯圆直径两端点分别为，则分别是线段的内分点和外分点，且 ，（且）：分别是的内角和外角平分线，且． 考点一 求圆的方程 考点二 由圆的一般方程确定圆心和半径 考点三 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 考点四 判断点与圆的位置关系及其求参 考点五 轨迹问题-圆 考点六 圆的方程中对称的问题 考点七 定点到圆上点的最值(范围) 考点一 求圆的方程 1．（26-27高二上·天津红桥·阶段检测）若圆的一条直径的端点是，，则此圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知，圆心为直径端点，的中点， 圆心坐标：， 半径， 圆的标准方程为， 即. 2．（26-27高二上·河北石家庄·阶段检测）的三个顶点分别是，，． (1)求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程； (2)判断圆是否为的外接圆． 【答案】(1) (2)的外接圆就是圆． 【分析】（1）先求得的垂直平分线，与直线联立求得圆心，进而得出半径即可求解； （2）判断出点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】（1）的中点为，的斜率为， 故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立解得． 半径， 所以圆的标准方程为． （2）因为， 所以，，三点均在圆上， 所以的外接圆就是圆． 3．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 所以无论取多少，当时， 为 所以，以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 4．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）已知圆C经过原点，且其圆心在直线上，则半径最小值的圆C的标准方程为______． 【答案】 【详解】设圆心为，半径为， ，， ， 当时，， 所以圆的标准方程为. 考点二 由圆的一般方程确定圆心和半径 5．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）圆的圆心坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可化简为，则圆心为. 6．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆：与直线：（），则圆的圆心到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标，再利用点到直线的距离公式写出距离表达式，结合参数的取值范围求最大值. 【详解】对进行配方，得， 因此圆C的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为 ， 由于，故，因此，当且仅当时等号成立， 因此，即圆心到直线l的距离的最大值为. 7．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）圆的半径为（     ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】因为圆的方程可化为， 所以圆的半径为. 8．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 考点三 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 9．（26-27高二上·湖南·阶段检测）若方程表示圆，则实数的值可能为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程的要求列出不等式，求出的范围，逐一判断即可. 【详解】因方程表示圆，故，解得或， 则D项正确. 10．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）若方程表示圆，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】将方程化为圆的标准方程，从而可得实数的取值范围. 【详解】将方程配方，得， 因为方程表示圆，所以，得. 因此实数的取值范围是. 11．（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般式整理为标准式，写出圆的圆心以及半径，根据题意，建立不等式组，可得答案. 【详解】由，化简可得， 因为圆心在第二象限，则，所以， 解得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 12．（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）若方程表示圆，则m的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程直接计算可得. 【详解】因为方程表示圆，即表示圆， 所以，解得或. 所以当时，方程表示圆心为，半径为的一个圆. 故答案为：. 考点四 判断点与圆的位置关系及其求参 13．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）（多选）下列各点中，在圆的内部的有（     ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】将代入圆方程左侧得：，点在圆内，A正确； 将代入圆方程左侧得：，点在圆内，B正确； 将代入圆方程左侧得：，点在圆外，C错误； 将代入圆方程左侧得：，点在圆外，D错误. 14．（26-27高二上·云南楚雄·阶段检测）已知点在圆外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由方程表示圆得，再根据点在圆外得点到圆心的距离大于半径得或，综合两个条件可得所求实数的取值范围. 【详解】将化为标准方程，， 要使方程表示一个圆，则，即，解得①. 所以圆的圆心，半径为. 因为点在圆外， 所以，即， 所以，解得或②. 综合①②，得或. 因此实数的取值范围为. 15．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，以及点与圆的位置关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为点在圆的外部， 则满足，解得 所以实数的取值范围是. 16．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 考点五 轨迹问题-圆 17．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动点， 由动点与两个定点，的距离之比为，即， 所以，即， 整理得，即， 所以动点的轨迹方程为． 18．（26-27高二上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则动点C的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】设动点 ，再结合向量数量积运算求解即可. 【详解】设动点 ，因为， 所以 因为， 所以，展开整理： 所以，即， 所以，动点C的轨迹方程为 19．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）对平面上两点A，B，满足（）的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点（除圆心外）都可以关于此圆与另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在圆内，另一点在圆外，系数只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知，，，且，则的最大值是________． 【答案】10 【分析】先由距离之比求出点的轨迹圆方程，再利用阿波罗尼斯点的性质确定点关于该圆对应的圆内阿波罗尼斯点，将转化为，从而把目标式化为，最后用三角不等式求最大值. 【详解】设，由，可得：， 化简可得：，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆； 设点关于圆对应的阿波罗尼斯点为. 由阿波罗尼斯点的性质，对圆上任意点，为常数. 取圆上两点和： 所以，， 所以解得 所以，此时，即， 因此 由三角不等式：，当且仅当三点共线且在之间时取等号， 所以，即的最大值为. 20．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 考点六 圆的方程中对称的问题 21．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 故答案为：. 22．（25-26高二下·安徽铜陵·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C 23．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）圆经过三点、、． (1)求圆的方程； (2)若圆与圆关于直线对称．求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程为，将，，代入得的方程组，解出，从而得到圆的一般方程. （2）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，设圆的圆心为，由圆与圆关于直线对称，可知与关于直线对称，且圆半径与圆相等，根据对称点性质列方程组，通过计算求出，，从而得到圆的方程. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 将，，代入， 得方程组， 解得，，， 则圆的一般方程为. （2）圆的一般方程为， 化为标准方程得，圆心为，半径. 设圆的圆心为，由圆与圆关于直线对称， 可知与关于直线对称， 且圆半径与圆相等，均为， 根据对称点性质列方程组为， 解得，，因此圆心，半径， 圆的标准方程为， 展开得一般方程. 24．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（    ） A．5 B． C． D．20 【答案】D 【分析】由题意，直线l过圆心，有，则，利用配方法求最小值. 【详解】圆的圆心坐标为， 圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有， ， 当时，有最小值20. 故选：D 考点七 定点到圆上点的最值(范围) 25．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于直线：，令，得，故定点， 对于直线：，令，得，故定点， 由，可知直线，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆（去掉原点）， 中点为圆心，半径， 设点，， 点到距离的最大值为. 26．（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）圆C：上的点到坐标原点O的最小距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，计算原点到圆心的距离，求解到坐标原点O的最小距离. 【详解】圆C：，即， 圆心为，半径为， ， ，所以点在圆内， 圆C上的点到坐标原点O的最小距离为. 27．（2027高三·全国·专题练习）点和圆上的点的距离的最小值是________． 【答案】2 【详解】因为圆的方程化为标准式为， 可知圆心，半径， 则，当且仅当时，等号成立，可知点在圆外， 所以点和圆上点的最小距离． 28．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知点O是坐标原点，点M是圆上的动点，当动点P在直线上运动时，的最小值为______. 【答案】12 【分析】求点关于直线对称的点为，根据圆的性质结合图形分析求解即可. 【详解】如图， 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由得，其圆心为，半径， 则， 当且仅当P，M均在线段AC上时，取得最小值12. 1．（26-27高二上·浙江·阶段检测）若圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据圆的标准方程定义，圆心坐标为（2，1）．故选C． 2．（25-26高三上·北京东城·期末）已知圆经过点，则圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得圆心所在直线方程，由直线上的点到定点的距离的最小值为定点到直线的距离可得. 【详解】因为圆经过点，所以该圆的圆心的轨迹为线段的垂直平分线. 直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的斜率为. 线段的中点为，所以线段的垂直平分线的方程为，即. 圆心到原点的距离的最小值为原点到直线的距离，为. 故选：C. 3．（25-26高二上·甘肃武威·期末）以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到圆的方程. 【详解】易知该圆圆心为的中点， ，故半径， 所以该圆的方程为. 故选：D. 4．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）方程表示的曲线长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原方程变形后分和两种情况转化为圆的方程，分别计算两段符合条件的弧长后求和. 【详解】由题意得，解得，所以， 又，得，所以， 当时，，圆心为，半径为， 当时，，圆心为，半径为， 设曲线交轴于点、，连接交与点，如下图所示： 由题意可得，所以和都是等边三角形， 则，故， 所以的长为，同理可知的长为， 所以方程表示的曲线长度为. 5．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将方程配方，整理得， 要使方程表示圆需满足，解得，因此实数的取值范围为． 6．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 7．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定在上，再表示出，将转化为到点的距离，最后利用圆的性质求解即可. 【详解】设，则，而， 可得，而，，， 则，得到， 即表示到点的距离， 而由两点间距离公式得点到圆心的距离为， 得到的最大值为，故D正确. 8．（25-26高二上·浙江台州·期末）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲线的对称性，先求得曲线在第一象限部分的面积，即可求得曲线围成的图形的面积. 【详解】令，得或；令，得或. 以代替，以代替，方程仍然成立， 所以曲线关于轴，轴，原点对称. 所以可先分析的情况. 当时，，即， 所以曲线在第一象限的部分由以为圆心，以为半径的半圆和一个三角形，及原点组成. 所以其面积为. 所以曲线围成的图形的面积为. 故选：B. 9．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】依次求点到圆心的距离进行判断即可. 【详解】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外. 故选：AB 10．（25-26高三上·河北沧州·期中）（多选）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短、三角代换法、平面向量数量积的坐标表示公式逐一判断即可. 【详解】设点，因为， 所以，整理得， 所以圆C的方程为，故A错误． 因为，所以． 因为， 所以，故B正确． 设A关于直线的对称点为， 则解得 因为，所以， 所以当，C，M三点共线时，有最小值． 因为， 所以，故C正确． 设，， 因为，， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为，故D正确． 故选：BCD 11．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．过点，的直线方程为 C．直线恒过定点 D．方程表示圆，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】本题综合考查圆的方程、直线方程、直线过定点、二元二次方程表示圆的条件等基础知识点，需逐一推导验证各选项 【详解】选项A：将圆的一般方程配方得，可知圆心为，半径为1，A正确; 选项B：过、的直线斜率，直线方程为，即，与给出的不符，B错误； 选项C：将直线方程整理为，令，得定点，与的取值无关，C正确； 选项D：二元二次方程表示圆的条件为，代入得，即，解得或，即，D正确. 12．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【详解】联立直线方程，得，则交点， 交点在圆的内部，则，即， 展开整理得，解得， 故实数的取值范围为． 13．（26-27高二上·河南南阳·开学考试）经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为________________ 【答案】 【详解】设圆心为 ，因为圆心在直线 上，故. 圆经过 、，所以圆心到两点的距离相等，可得， 两边平方得， 展开得， 化简， 代入 ，得. 所以圆心为 ，半径. 故圆的标准方程为. 14．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为方程表示圆， 所以，解得； 因为点在圆的外部， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 15．（26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（1）已知圆的方程为．求实数的取值范围； （2）已知圆：与圆关于直线对称．求圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆的一般方程表示圆的充要条件列不等式求解； （2）先确定圆的圆心与半径，再求圆心关于直线的对称点作为的圆心，半径与相等，即可写出的标准方程. 【详解】（1）圆的一般方程表示圆的充要条件为， 对于方程，对应系数，，， 代入条件得： 化简得，即，解得. （2）由圆的标准方程，得的圆心为，半径， 因圆与关于直线对称，故半径与相等， 且的圆心是关于该直线的对称点， 满足：①线段的中点在直线上； ②直线与直线垂直，斜率乘积为， 直线的斜率为，故， 列方程组得， 整理得，解得，即的圆心为，半径为， 故的标准方程为. 16．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3) 【分析】（1）根据条件列出方程求出曲线的轨迹方程即可； （2）求出点与圆心的距离，即可求出最值； （3）根据圆心到直线的距离求最值即可. 【详解】（1）设， 则， 化简得，， 即. （2）由知，圆心为，半径， 因为， 所以点在圆外， ， 所以. （3）因为圆心到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $