专题1.3 空间向量基本定理（期中复习讲义）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.3 空间向量基本定理（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题1.3 空间向量基本定理（期中复习讲义） 1 知识点1 共线向量与共面向量的回顾 1 知识点2 空间向量基本定理 1 知识点3 单位正交基底与正交分解 1 知识点4 基底的应用与坐标思想的铺垫 2 【题型1 基底的判定】 2 【题型2 用基底表示向量】 2 【题型3 证明向量共面与共线】 2 【题型4 基底下的系数（坐标思想铺垫）】 3 【综合·培优提升】 3 【重难点】 ★重点： 1. 共线向量定理与共面向量定理的回顾 2. 空间向量基本定理（任意三个不共面的向量可构成空间的一个基底） 3. 单位正交基底 与正交分解。 ▲难点： 1. 基底的判定（三个向量是否共面） 2. 用基底表示空间任一向量 3. 基底下系数的求解。 知识点1 共线向量与共面向量的回顾 【重难点】 ★重点： 1. 共线与共面向量定理是基本定理的二维特例。 ▲难点： 1. 定理中“不共线”“不共面”的前提不能省。 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量 、b， ⇔ 存在唯一实数 ，使 。 （2）共面向量定理：若两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与 a、b 共面 ⇔ 存在唯一有序实数对 ，使 。 （3）若直线 平面 或 ，且直线 l、m 共面，则 l 的方向向量与 m 的方向向量共线或共面。 知识点2 空间向量基本定理 【重难点】 ★重点： 1. 三个不共面的向量构成空间的一个基底，空间任一向量可唯一表示为它们的线性组合。 ▲难点： 1. 基底必须“不共面”，即线性无关。 （1）定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一有序实数组 ，使 。 （2）把 a、b、c 叫做空间的一个基底 （3）记作 （4）基底中的向量叫基向量。 （5）推论：若 是基底，则任意三个向量共面 ⇔ 它们在此基底下的系数行列式为 。 知识点3 单位正交基底与正交分解 【重难点】 ★重点： 1. 单位正交基底 两两垂直且模为 2. 任意向量可正交分解为 。 ▲难点： 1. 正交分解是坐标表示（）的直接思想来源。 （1）单位正交基底：三个两两垂直的单位向量 i、j、k 构成基底，叫单位正交基底。 （2）正交分解：若 是单位正交基底，则任一向量 。 （3）系数 称作 p 在基底下的坐标，即后续的空间直角坐标 。 知识点4 基底的应用与坐标思想的铺垫 【重难点】 ★重点： 1. 用基底表示向量、证明共面、求系数。 ▲难点： 1. 用已知基底表示复杂向量时的代数运算。 （1）表示：将已知向量用基底线性组合写出，是处理立体几何中向量关系的基本功。 （2）证明共面：若 ，则 p 与 a、b 共面（ 不共线）。 （3）求系数：利用基底下表示的唯一性，比较系数解方程。 【题型1 基底的判定】 【例1】设 是空间的一个基底，判断向量 、、 能否构成空间的一个基底。 【变式1-1】若 是空间的一个基底，判断 a、b、 能否构成基底。 【变式1-2】已知 是基底，判断 、、c 能否构成基底。 【变式1-3】已知 是单位正交基底，问 、、 能否构成基底。 【题型2 用基底表示向量】 【例2】在平行六面体 中，设 ，，，用 表示 、、。 【变式2-1】在四面体 中，设 ，，，表示 、、。 【变式2-2】在平行六面体 中，M 为 的中点，设 ，，，求 。 【变式2-3】在平行六面体 中，E、F 分别为 、 的中点，G 为 的中点，设 ，，，求 、、。 【题型3 证明向量共面与共线】 【例3】已知 A、B、C、D 四点，设 ，，，且 ，问 A、B、C、D 是否共面？ 【变式3-1】已知 是基底，，，，判断 是否共面。 【变式3-2】在四面体 中，M 为 的中点，设 ，，，用 表示 ，并说明 与哪些已知向量共面。 【变式3-3】已知 是空间的一个基底，令 ，，，判断 能否构成空间的一个基底。 【题型4 基底下的系数（坐标思想铺垫）】 【例4】已知 为单位正交基底，，，求 与 。 【变式4-1】已知在基底 下 ，，求 。 【变式4-2】设 是空间的一个基底，，，求 在该基底下的系数。 【变式4-3】已知基底 ，，，且 ，求实数 。 【综合·培优提升】 【培优1】在四面体 中，M 是 的重心，设 ，，，证明 。 【培优2】空间四点 不共面，P 为 的中点，Q 为 的中点，用 表示 ，并判断 是否共面。 【培优3】已知 为单位正交基底，，，，判断 能否构成基底。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 空间向量基本定理（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题1.3 空间向量基本定理（期中复习讲义） 1 知识点1 共线向量与共面向量的回顾 1 知识点2 空间向量基本定理 1 知识点3 单位正交基底与正交分解 1 知识点4 基底的应用与坐标思想的铺垫 2 【题型1 基底的判定】 2 【题型2 用基底表示向量】 2 【题型3 证明向量共面与共线】 3 【题型4 基底下的系数（坐标思想铺垫）】 3 【综合·培优提升】 4 【重难点】 ★重点： 1. 共线向量定理与共面向量定理的回顾 2. 空间向量基本定理（任意三个不共面的向量可构成空间的一个基底） 3. 单位正交基底 与正交分解。 ▲难点： 1. 基底的判定（三个向量是否共面） 2. 用基底表示空间任一向量 3. 基底下系数的求解。 知识点1 共线向量与共面向量的回顾 【重难点】 ★重点： 1. 共线与共面向量定理是基本定理的二维特例。 ▲难点： 1. 定理中“不共线”“不共面”的前提不能省。 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量 、b， ⇔ 存在唯一实数 ，使 。 （2）共面向量定理：若两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与 a、b 共面 ⇔ 存在唯一有序实数对 ，使 。 （3）若直线 平面 或 ，且直线 l、m 共面，则 l 的方向向量与 m 的方向向量共线或共面。 知识点2 空间向量基本定理 【重难点】 ★重点： 1. 三个不共面的向量构成空间的一个基底，空间任一向量可唯一表示为它们的线性组合。 ▲难点： 1. 基底必须“不共面”，即线性无关。 （1）定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一有序实数组 ，使 。 （2）把 a、b、c 叫做空间的一个基底 （3）记作 （4）基底中的向量叫基向量。 （5）推论：若 是基底，则任意三个向量共面 ⇔ 它们在此基底下的系数行列式为 。 知识点3 单位正交基底与正交分解 【重难点】 ★重点： 1. 单位正交基底 两两垂直且模为 2. 任意向量可正交分解为 。 ▲难点： 1. 正交分解是坐标表示（）的直接思想来源。 （1）单位正交基底：三个两两垂直的单位向量 i、j、k 构成基底，叫单位正交基底。 （2）正交分解：若 是单位正交基底，则任一向量 。 （3）系数 称作 p 在基底下的坐标，即后续的空间直角坐标 。 知识点4 基底的应用与坐标思想的铺垫 【重难点】 ★重点： 1. 用基底表示向量、证明共面、求系数。 ▲难点： 1. 用已知基底表示复杂向量时的代数运算。 （1）表示：将已知向量用基底线性组合写出，是处理立体几何中向量关系的基本功。 （2）证明共面：若 ，则 p 与 a、b 共面（ 不共线）。 （3）求系数：利用基底下表示的唯一性，比较系数解方程。 【题型1 基底的判定】 【例1】设 是空间的一个基底，判断向量 、、 能否构成空间的一个基底。 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，整理得 。 因 不共面（线性无关），故 ，，，解得 。 三个向量线性无关，能构成基底。答案：能。 【变式1-1】若 是空间的一个基底，判断 a、b、 能否构成基底。 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，得 。 由 线性无关得 ，，，从而 ，故能构成基底。 答案：能。 【变式1-2】已知 是基底，判断 、、c 能否构成基底。 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，得 。 由基底线性无关：，， ⇒ ，故能构成基底。答案：能。 【变式1-3】已知 是单位正交基底，问 、、 能否构成基底。 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，得 。因 线性无关，得 ，， ⇒ ， 故能构成基底。答案：能。 【题型2 用基底表示向量】 【例2】在平行六面体 中，设 ，，，用 表示 、、。 【答案】见【详解】。 【详解】 。。 。答案：，，。 【变式2-1】在四面体 中，设 ，，，表示 、、。 【答案】见【详解】。 【详解】 ；；。答案：，，。 【变式2-2】在平行六面体 中，M 为 的中点，设 ，，，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，M 为 中点，故 。 。答案：。 【变式2-3】在平行六面体 中，E、F 分别为 、 的中点，G 为 的中点，设 ，，，求 、、。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，，。则 ； ；。 答案：，，。 【题型3 证明向量共面与共线】 【例3】已知 A、B、C、D 四点，设 ，，，且 ，问 A、B、C、D 是否共面？ 【答案】见【详解】。 【详解】 由 知 是 、 的线性组合，故 A、B、C、D 四点共面。答案：共面。 【变式3-1】已知 是基底，，，，判断 是否共面。 【答案】见【详解】。 【详解】 注意到 ，即 r 可由 p、q 线性表示，故 共面。 答案：共面。 【变式3-2】在四面体 中，M 为 的中点，设 ，，，用 表示 ，并说明 与哪些已知向量共面。 【答案】见【详解】。 【详解】 。 由共面向量定理， 与 、 共面（即 O、B、C、M 共面）。 答案：，与 、 共面。 【变式3-3】已知 是空间的一个基底，令 ，，，判断 能否构成空间的一个基底。 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，得 。 由 线性无关得 ，， ⇒ ，故 线性无关，能构成基底。答案：能。 【题型4 基底下的系数（坐标思想铺垫）】 【例4】已知 为单位正交基底，，，求 与 。 【答案】见【详解】。 【详解】 。 。 答案：，。 【变式4-1】已知在基底 下 ，，求 。 【答案】见【详解】。 【详解】 。 答案：。 【变式4-2】设 是空间的一个基底，，，求 在该基底下的系数。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，。 故系数为 。答案：。 【变式4-3】已知基底 ，，，且 ，求实数 。 【答案】见【详解】。 【详解】 。 与 比较系数： ⇒ ； ⇒ 。答案：，。 【综合·培优提升】 【培优1】在四面体 中，M 是 的重心，设 ，，，证明 。 【答案】见【详解】。 【详解】 M 为 重心，有 。故 。答案：成立。 【培优2】空间四点 不共面，P 为 的中点，Q 为 的中点，用 表示 ，并判断 是否共面。 【答案】见【详解】。 【详解】 设 ，，。则 ，，。 因 不共面， 含 c 分量而 不含 c，三个向量 、 、 线性无关，故 不共面。 答案：， 不共面。 【培优3】已知 为单位正交基底，，，，判断 能否构成基底。 【答案】见【详解】。 【详解】在基底 下 ，，。 混合积（行列式），故 线性无关，能构成基底。 答案：能。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $