专题2.4 圆的方程期中复习讲义（课本为主） -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.4 圆的方程（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题2.4 圆的方程（期中复习讲义） 1 知识点1 圆的标准方程 1 知识点2 圆的一般方程 1 知识点3 配方法求圆心与半径 1 知识点4 点与圆的位置关系 2 【题型1 由条件求圆的标准方程】 2 【题型2 化一般式为标准式（配方法）】 2 【题型3 由一般方程求圆心与半径】 2 【题型4 点与圆的位置关系的判定】 3 【题型5 圆过定点与最值】 3 【综合·培优提升】 3 【重难点】 ★重点： 1. 标准方程 2. 一般方程 （条件 ） 3. 圆心 、半径 ½ 4. 点与圆的位置关系． ▲难点： 1. 一般方程化为标准方程（配方法） 2. 由 判断是否为圆 3. 点在圆内、圆上、圆外的判定（比较距离与半径） 4. 圆系过定点问题． 知识点1 圆的标准方程 【重难点】 ★重点： 1. ，圆心 ，半径 ▲难点： 1. 圆心坐标带符号（ 对应 ） 2. 以两点为直径的圆，圆心为中点、半径为半长． （1）定义式：圆心 、半径 r 的圆方程为 （）． （2）圆心在原点：． （3）直径式：以 、 为直径端点的圆，圆心为 中点，半径 ． 知识点2 圆的一般方程 【重难点】 ★重点： 1. ，当 时表示圆，圆心 ，半径 ½ ▲难点： 1. 表示点（退化）， 不表示任何图形 2. 化为标准式用配方法． （1）一般式：（、 系数相同且无 项）． （2）成圆条件：． （3）圆心与半径：圆心 ，半径 ½． 知识点3 配方法求圆心与半径 【重难点】 ★重点： 1. 将一般式配方成标准式 ▲难点： 1. 配方时等式两边同加所补常数 2. 注意符号与分数运算． （1）步骤： 配成 ， 配成 ，移项合并． （2）结果：，与标准式对照得圆心、半径． 知识点4 点与圆的位置关系 【重难点】 ★重点： 1. 比较点到圆心距离 d 与半径 r： 在圆内， 在圆上， 在圆外 ▲难点： 1. 判断时先算 与 比较，避免开根号出错． （1）判定：点 P，． ⇒ 圆内 （1） ⇒ 圆上 （2） ⇒ 圆外． （2）代值法：将点的 x、y 代入标准式左边，与 比较：小于 在内，等于在圆上，大于在外． 【题型1 由条件求圆的标准方程】 【例1】圆心为 、半径为 的圆的标准方程为 ______． 【变式1-1】圆心为 且过点 的圆的标准方程为 ______． 【变式1-2】圆心在原点且过点 的圆方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】以 、 为直径端点的圆的方程． 【题型2 化一般式为标准式（配方法）】 【例2】将 化为标准方程，并求圆心与半径． 【变式2-1】圆 的圆心与半径分别为 ______、______． 【变式2-2】圆 的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】判断方程 是否表示一个圆，并说明理由． 【题型3 由一般方程求圆心与半径】 【例3】圆 的圆心坐标为 ______，半径为 ______． 【变式3-1】圆 的圆心和半径分别为 ______、______． 【变式3-2】圆 的半径为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知圆 的圆心在直线 上且半径为 ，求 D、E． 【题型4 点与圆的位置关系的判定】 【例4】圆 ，判断点 与圆的位置关系． 【变式4-1】圆 ，点 在圆的 ______（填“内/上/外”）． 【变式4-2】圆 ，点 与圆的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法判断 【变式4-3】已知圆 及圆内一点 ，求圆上的点到 P 的最大距离． 【题型5 圆过定点与最值】 【例5】证明圆系 恒过定点，并求该定点． 【变式5-1】圆 是否恒过定点？若是，求出定点． 【变式5-2】在圆 上求一点，使其横、纵坐标之和 最大，并求最大值． 【变式5-3】设点 P 在圆 上，求 的最大值． 【综合·培优提升】 【培优1】求经过 、、 三点的圆的方程． 【培优2】求圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离． 【培优3】求圆 关于直线 对称的圆的方程． 【培优4】已知实数 满足 ，求 的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 圆的方程（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题2.4 圆的方程（期中复习讲义） 1 知识点1 圆的标准方程 1 知识点2 圆的一般方程 1 知识点3 配方法求圆心与半径 1 知识点4 点与圆的位置关系 2 【题型1 由条件求圆的标准方程】 2 【题型2 化一般式为标准式（配方法）】 2 【题型3 由一般方程求圆心与半径】 3 【题型4 点与圆的位置关系的判定】 4 【题型5 圆过定点与最值】 4 【综合·培优提升】 5 【重难点】 ★重点： 1. 标准方程 2. 一般方程 （条件 ） 3. 圆心 、半径 ½ 4. 点与圆的位置关系． ▲难点： 1. 一般方程化为标准方程（配方法） 2. 由 判断是否为圆 3. 点在圆内、圆上、圆外的判定（比较距离与半径） 4. 圆系过定点问题． 知识点1 圆的标准方程 【重难点】 ★重点： 1. ，圆心 ，半径 ▲难点： 1. 圆心坐标带符号（ 对应 ） 2. 以两点为直径的圆，圆心为中点、半径为半长． （1）定义式：圆心 、半径 r 的圆方程为 （）． （2）圆心在原点：． （3）直径式：以 、 为直径端点的圆，圆心为 中点，半径 ． 知识点2 圆的一般方程 【重难点】 ★重点： 1. ，当 时表示圆，圆心 ，半径 ½ ▲难点： 1. 表示点（退化）， 不表示任何图形 2. 化为标准式用配方法． （1）一般式：（、 系数相同且无 项）． （2）成圆条件：． （3）圆心与半径：圆心 ，半径 ½． 知识点3 配方法求圆心与半径 【重难点】 ★重点： 1. 将一般式配方成标准式 ▲难点： 1. 配方时等式两边同加所补常数 2. 注意符号与分数运算． （1）步骤： 配成 ， 配成 ，移项合并． （2）结果：，与标准式对照得圆心、半径． 知识点4 点与圆的位置关系 【重难点】 ★重点： 1. 比较点到圆心距离 d 与半径 r： 在圆内， 在圆上， 在圆外 ▲难点： 1. 判断时先算 与 比较，避免开根号出错． （1）判定：点 P，． ⇒ 圆内 （1） ⇒ 圆上 （2） ⇒ 圆外． （2）代值法：将点的 x、y 代入标准式左边，与 比较：小于 在内，等于在圆上，大于在外． 【题型1 由条件求圆的标准方程】 【例1】圆心为 、半径为 的圆的标准方程为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 代入 ，得 ． 答案：． 【变式1-1】圆心为 且过点 的圆的标准方程为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 半径 ，方程为 ． 答案：． 【变式1-2】圆心在原点且过点 的圆方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定依据：，故方程为 。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【变式1-3】以 、 为直径端点的圆的方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆心为 中点 ，半径 ， 方程为 ．答案：． 【题型2 化一般式为标准式（配方法）】 【例2】将 化为标准方程，并求圆心与半径． 【答案】见【详解】。 【详解】 配方：，即 ． 圆心 ，半径 ．答案：；圆心；半径 ． 【变式2-1】圆 的圆心与半径分别为 ______、______． 【答案】见【详解】。 【详解】 配方：．圆心 ，半径 ． 答案：；． 【变式2-2】圆 的圆心坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定依据：配方：，圆心 。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【变式2-3】判断方程 是否表示一个圆，并说明理由． 【答案】见【详解】。 【详解】 计算 ，不满足成圆条件， 故该方程不表示圆（无实图形）．答案：不表示圆． 【题型3 由一般方程求圆心与半径】 【例3】圆 的圆心坐标为 ______，半径为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 由一般式，圆心 ； ½½½．答案：；． 【变式3-1】圆 的圆心和半径分别为 ______、______． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆心 ；½½．答案：；． 【变式3-2】圆 的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判定依据：先除以 得 ，½½ 。 【详解】 A：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式3-3】已知圆 的圆心在直线 上且半径为 ，求 D、E． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆心 在 上： ⇒ ． 半径 ½ ⇒ ⇒ ． 代入 得 ⇒ ，（同号）． 答案：，． 【题型4 点与圆的位置关系的判定】 【例4】圆 ，判断点 与圆的位置关系． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故点 P 在圆内．答案：圆内． 【变式4-1】圆 ，点 在圆的 ______（填“内/上/外”）． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故点在圆上．答案：上． 【变式4-2】圆 ，点 与圆的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法判断 【答案】B 【分析】判定依据：，故点在圆上。 【详解】 A：圆内。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：圆上。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：圆外。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：无法判断。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【变式4-3】已知圆 及圆内一点 ，求圆上的点到 P 的最大距离． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆心 ，半径 ．，P 在圆内． 圆上点到 P 的最大距离 ．答案：． 【题型5 圆过定点与最值】 【例5】证明圆系 恒过定点，并求该定点． 【答案】见【详解】。 【详解】 按 a 整理：． 令 且 ，由第一式得 ，代入第二式成立． 故圆系恒过定点 ．答案：恒过定点 ． 【变式5-1】圆 是否恒过定点？若是，求出定点． 【答案】见【详解】。 【详解】 按 k 整理：．令 ⇒ ； 代入 得 ⇒ ⇒ 或 ． 故恒过定点 与 ．答案：恒过定点 、． 【变式5-2】在圆 上求一点，使其横、纵坐标之和 最大，并求最大值． 【答案】见【详解】。 【详解】 设圆上点 ，则 ，当 即 时取等号，此时点为 ． 答案：最大值 ． 【变式5-3】设点 P 在圆 上，求 的最大值． 【答案】见【详解】。 【详解】 由柯西不等式 ，故 ； 当 时取等号．答案：最大值为 ． 【综合·培优提升】 【培优1】求经过 、、 三点的圆的方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 设一般式 ．代入 A： ⇒ ； 代入 B： ⇒ ；代入 C： ⇒ ． 由 、 得 ，代入第三式： ⇒ ⇒ ，故 ，． 方程为 （即 ）．答案：． 【培优2】求圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆配方得 ，圆心 ，半径 ． 圆心到直线 ． 因 ，直线与圆相交，故圆上点到直线的最大距离， 最小距离．答案：最大 ，最小 ． 【培优3】求圆 关于直线 对称的圆的方程． 【答案】见【详解】。 【详解】 圆心 关于直线 的对称点 C'：利用公式， ，，故 ． 半径不变仍为 ，故对称圆方程为 ．答案：． 【培优4】已知实数 满足 ，求 的取值范围． 【答案】见【详解】。 【详解】 所求即点 到 距离的平方． 圆心 ，半径 ．． 圆上点到 Q 的最小距离，最大距离，平方得最小值为 ，最大值为 ．答案：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $