专题02 直线与圆的方程全章4考点17题型（期中复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题02 直线与圆的方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 直线的方程 考点二 两条直线的位置关系 考点三 圆的方程 考点四 直线与圆、圆与圆的位置关系 05 重难题型突破 题型一 直线的倾斜角与斜率 题型二 直线与线段相交求范围问题 题型三 五种直线方程的求解 题型四 两条直线平行与垂直关系 题型五 两条直线的交点问题 题型六 直线的距离公式及应用 题型七 直线的对称关系及应用 题型八 圆的标准方程与一般方程 题型九 直线与圆的位置关系判断 题型十 由直线与圆的位置关系求参数 题型十一 直线与圆的相交弦长问题 题型十二 圆的切线与切线长问题 题型十三 圆与圆的位置关系 题型十四 两圆的公共弦问题 题型十五 两圆的公切线问题 题型十六 圆的轨迹问题 题型十七 与圆有关的最值问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 高二上期中核心必考基础模块，题型常规、考点固定，覆盖选择、填空、解答全题型，计算类题型占比高。小题高频考查直线倾斜角与斜率、五种直线方程、两点距离与点到直线距离、圆的标准方程与一般方程、直线与圆位置关系快速判定，多选常考查直线斜率范围、参数辨析、圆的几何性质辨析。解答题固定考查直线与圆综合大题，常规考点为求直线方程、求圆的方程、圆的切线方程、弦长计算、直线与圆最值问题，部分试卷会考圆与圆位置关系，整体以解析几何代数运算结合几何性质解题为主。 二、试题难易度分布 整体难度偏低、梯度平缓，基础题占比60%以上，是期中试卷主要保底得分章节。 1、基础题（易）：集中在选择填空前半段，考查倾斜角斜率换算、直线方程书写、距离公式、圆方程识别与圆心半径求解、简单位置关系判断，公式固定、思路单一，几乎无思维难度。 2、中档题（中）：以多选题、填空压轴和解答题第一问为主，考查斜率分类讨论、动直线过定点、圆的一般方程参数范围、简单弦长与切线计算，需要细心审题、规范运算，容易出现漏解、错解。 3、难题（难）：集中在解答题第二问或多选压轴，考查直线与圆最值、范围问题、双圆综合、动点轨迹问题，需要结合几何性质转化或代数联立求解，计算量大、综合性强，是本章主要拉分点。 三、整体命题核心规律 1、命题导向明确，以解析几何数形结合思想为核心，兼顾几何性质秒杀与代数联立运算； 2、出题载体常规，以静态直线、定圆、动直线、定圆模型为主，不出现复杂畸形图形； 3、失分核心不在题型难度，而在斜率遗漏讨论、公式记错、计算粗心、忽略隐含条件、漏写范围等细节。 识记 1、直线倾斜角、斜率定义，斜率计算公式； 2、直线五种方程形式，平行、垂直的斜率关系； 3、两点间距离、点到直线距离、两平行线距离公式； 4、圆的标准方程、一般方程，圆心与半径识别； 5、直线与圆、圆与圆的位置关系判定依据。 理解 1、理解倾斜角范围与斜率变化的对应关系； 2、理解直线不同方程适用条件，清楚斜率不存在的情形； 3、理解圆一般方程成立的前提条件； 4、理解圆心距、半径和差与两圆位置关系的几何含义； 5、理解弦长公式、切线方程背后的几何原理。 应用 1、根据条件求直线方程、圆的方程，会分类讨论； 2、判断直线与圆、圆与圆位置关系，求解弦长、切线； 3、利用几何性质或代数方法处理定点、最值问题； 4、结合数形结合解决多选、填空小综合题； 5、规范书写解答题，合理选择几何法或代数联立求解。 考点一 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）倾斜角的定义：当直线与轴 时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的 ． （2）倾斜角的范围：当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为 ，具体如下： 2、直线的斜率 （1）斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即 ． （2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为 ． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． ⚠️易混易错 1、倾斜角为90°，斜率不存在，不能用点斜式、斜截式； 2、截距为0时，直线过原点，无截距式方程； 3、两点式分母不能为0，垂直坐标轴的直线不能用两点式。 考点二 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔ ． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． ⚠️避坑指南 ❌斜率相等不一定平行，必须额外满足直线不重合； ❌两直线垂直，不要只记k1k2=-1，遗漏“一零一无”特殊情况； ❌平行线距离公式必须保证x、y系数完全相同，不同先要统一系数． 考点三 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于 的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心： ，半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径： 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 考点四 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 题型一 直线的倾斜角与斜率 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1、求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． （2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． 2、求直线斜率的方法 （1）定义法：由倾斜角的值（或范围）求斜率的值（或范围）时，用定义式求解． （2）公式法：由两点坐标，求斜率，利用两点斜率公式求解． （3）待定系数法：如果直线沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度后，又回到原来的位置，求直线的斜率．此类问题可通过平移前和平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果． 迁移应用 【变式1-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【变式1-3】（25-26高二上·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二 直线与线段相交求范围问题 【典例2】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 利用直线的斜率的几何意义求最值（或取值范围）两点注意 （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理． 迁移应用 【变式2-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 五种直线方程的求解 【典例3】（25-26高二上·福建三明·期中）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在的直线方程为______. 💡破题要诀 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程． 迁移应用 【变式3-1】（25-26高二上·贵州毕节·期中）将直线向右平移2个单位长度后得到的直线的一般方程是__________. 【变式3-2】（25-26高二上·山东淄博·期中）设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________ 【变式3-3】（25-26高二上·广东湛江·期中）求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 题型四 两条直线平行与垂直关系 【典例4】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 💡破题要诀 由一般式方程确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 迁移应用 【变式4-1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知，直线，直线则“”的充要条件是_____. 【变式4-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知直线，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·福建福州·期中）已知直线与垂直，则______． 题型五 两条直线的交点问题 【典例5】（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 迁移应用 【变式5-1】（25-26高二上·广东·期中）已知直线：与直线：交于点，则（    ） A．点为定点 B．直线可能同时经过第三、四象限 C．直线可能不经过第三象限 D．存在定点，使得为定值 【变式5-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）过点作直线l，使它被直线和截得的线段被点P平分，则直线l的斜率为______． 【变式5-3】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 题型六 直线的距离公式及应用 【典例6】（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 迁移应用 【变式6-1】（25-26高二上·广东湛江·期中）直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式6-2】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式6-3】（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 题型七 直线的对称关系及应用 【典例7】（25-26高二上·广东深圳·期中）原点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 迁移应用 【变式7-1】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 【变式7-3】（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型八 圆的标准方程与一般方程 【典例8】（25-26高二上·重庆·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 迁移应用 【变式8-1】（25-26高二上·天津和平·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 【变式8-3】（25-26高二上·湖南湘潭·期中）过三点的圆的标准方程为_____. 题型九 直线与圆的位置关系判断 【典例9】（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 💡破题要诀 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 迁移应用 【变式9-1】（25-26高二上·广东汕头·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式9-2】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【变式9-3】（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在直线上，则直线与圆相交 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在圆内，则直线与圆相离 D．若点在圆上，则直线与圆相切 题型十 由直线与圆的位置关系求参数 【典例10】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 根据直线与圆位置关系求参数问题步骤 第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式． 第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法． 第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围． （1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式； （2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集． 迁移应用 【变式10-1】（25-26高二上·吉林·期中）若直线与圆相切，则实数m的值为________． 【变式10-2】（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26高二上·福建福州·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十一 直线与圆的相交弦长问题 【典例11】（25-26高二上·广东江门·期中）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|． 迁移应用 【变式11-1】（24-25高二下·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式11-2】（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式11-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线，圆C的圆心在x轴正半轴上，且圆C与l和y轴均相切． (1)求圆C的方程； (2)过点直线与圆C交于A,B两点，且，求该直线方程． 题型十二 圆的切线与切线长问题 【典例12】（25-26高二上·云南楚雄·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 迁移应用 【变式12-1】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式12-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）过点作圆的切线，切点为，则______. 【变式12-3】（25-26高二上·云南·期中）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为____________． 题型十三 圆与圆的位置关系 【典例13】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆与圆，则两圆（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 💡破题要诀 可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）几何法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系． 迁移应用 【变式13-1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【变式13-2】（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C．1 D．3 【变式13-3】（25-26高二上·四川成都·期中）（多选）圆：与圆：相交，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型十四 两圆的公共弦问题 【典例14】（25-26高二上·河北·期中）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 迁移应用 【变式14-1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26高二上·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式14-3】（25-26高二上·重庆·期中）已知 与相交于点 ，则 _____ 题型十五 两圆的公切线问题 【典例15】（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆公切线的条数为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．迁移应用 【变式15-1】（25-26高二上·天津·期中）已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是_________. 【变式15-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【变式15-3】（25-26高二上·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 题型十六 圆的轨迹问题 【典例16】（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．迁移应用 【变式16-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（24-25高二上·广东·期中）在中，若动点满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型十七 与圆有关的最值问题 【典例17】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 求解与圆有关的最值问题步骤 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解．迁移应用 【变式17-1】（25-26高二上·湖北·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．4 【变式17-2】（25-26高二上·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 【变式17-3】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆，是圆上的一条动弦，且，设中点为，则到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知直线：，：，若，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 3．（25-26高二上·广东茂名·期中）将直线：绕其与轴的交点旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知圆的一条直径的端点分别是、，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·北京海淀·期中）已知点，若点A与点B关于点C对称，则C点坐标为________. 8．（25-26高二上·福建福州·期中）三条直线与相交于一点，则___________． 9．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，则圆的标准方程为___________． 10．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东·期中）（多选）已知点，圆：（），定义直线：为点的“伴随线”，则下列结论正确的有（    ） A．若点在圆上，则点的“伴随线”与圆相切 B．若点在圆外，过点作两直线与圆分别相切于点，，则直线为点的“伴随线” C．若点在圆内，则点的“伴随线”与圆相交 D．若点，在圆上，它们的“伴随线”分别为，，且垂直，则 3．（25-26高二上·安徽·期中）已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则__________. 4．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知圆与圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程. (2)将圆向上平移1个单位得到圆，过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点. （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值. （ⅱ）圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上.若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆的方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 直线的方程 考点二 两条直线的位置关系 考点三 圆的方程 考点四 直线与圆、圆与圆的位置关系 05 重难题型突破 题型一 直线的倾斜角与斜率 题型二 直线与线段相交求范围问题 题型三 五种直线方程的求解 题型四 两条直线平行与垂直关系 题型五 两条直线的交点问题 题型六 直线的距离公式及应用 题型七 直线的对称关系及应用 题型八 圆的标准方程与一般方程 题型九 直线与圆的位置关系判断 题型十 由直线与圆的位置关系求参数 题型十一 直线与圆的相交弦长问题 题型十二 圆的切线与切线长问题 题型十三 圆与圆的位置关系 题型十四 两圆的公共弦问题 题型十五 两圆的公切线问题 题型十六 圆的轨迹问题 题型十七 与圆有关的最值问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 高二上期中核心必考基础模块，题型常规、考点固定，覆盖选择、填空、解答全题型，计算类题型占比高。小题高频考查直线倾斜角与斜率、五种直线方程、两点距离与点到直线距离、圆的标准方程与一般方程、直线与圆位置关系快速判定，多选常考查直线斜率范围、参数辨析、圆的几何性质辨析。解答题固定考查直线与圆综合大题，常规考点为求直线方程、求圆的方程、圆的切线方程、弦长计算、直线与圆最值问题，部分试卷会考圆与圆位置关系，整体以解析几何代数运算结合几何性质解题为主。 二、试题难易度分布 整体难度偏低、梯度平缓，基础题占比60%以上，是期中试卷主要保底得分章节。 1、基础题（易）：集中在选择填空前半段，考查倾斜角斜率换算、直线方程书写、距离公式、圆方程识别与圆心半径求解、简单位置关系判断，公式固定、思路单一，几乎无思维难度。 2、中档题（中）：以多选题、填空压轴和解答题第一问为主，考查斜率分类讨论、动直线过定点、圆的一般方程参数范围、简单弦长与切线计算，需要细心审题、规范运算，容易出现漏解、错解。 3、难题（难）：集中在解答题第二问或多选压轴，考查直线与圆最值、范围问题、双圆综合、动点轨迹问题，需要结合几何性质转化或代数联立求解，计算量大、综合性强，是本章主要拉分点。 三、整体命题核心规律 1、命题导向明确，以解析几何数形结合思想为核心，兼顾几何性质秒杀与代数联立运算； 2、出题载体常规，以静态直线、定圆、动直线、定圆模型为主，不出现复杂畸形图形； 3、失分核心不在题型难度，而在斜率遗漏讨论、公式记错、计算粗心、忽略隐含条件、漏写范围等细节。 识记 1、直线倾斜角、斜率定义，斜率计算公式； 2、直线五种方程形式，平行、垂直的斜率关系； 3、两点间距离、点到直线距离、两平行线距离公式； 4、圆的标准方程、一般方程，圆心与半径识别； 5、直线与圆、圆与圆的位置关系判定依据。 理解 1、理解倾斜角范围与斜率变化的对应关系； 2、理解直线不同方程适用条件，清楚斜率不存在的情形； 3、理解圆一般方程成立的前提条件； 4、理解圆心距、半径和差与两圆位置关系的几何含义； 5、理解弦长公式、切线方程背后的几何原理。 应用 1、根据条件求直线方程、圆的方程，会分类讨论； 2、判断直线与圆、圆与圆位置关系，求解弦长、切线； 3、利用几何性质或代数方法处理定点、最值问题； 4、结合数形结合解决多选、填空小综合题； 5、规范书写解答题，合理选择几何法或代数联立求解。 考点一 直线的方程 1、直线的倾斜角 （1）倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． （2）倾斜角的范围：当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 2、直线的斜率 （1）斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． （2）斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 3、直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A2＋B2≠0） 平面直角坐标系内所有直线 【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． ⚠️易混易错 1、倾斜角为90°，斜率不存在，不能用点斜式、斜截式； 2、截距为0时，直线过原点，无截距式方程； 3、两点式分母不能为0，垂直坐标轴的直线不能用两点式。 考点二 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2． ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2． （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2． 2、两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 3、三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． ⚠️避坑指南 ❌斜率相等不一定平行，必须额外满足直线不重合； ❌两直线垂直，不要只记k1k2=-1，遗漏“一零一无”特殊情况； ❌平行线距离公式必须保证x、y系数完全相同，不同先要统一系数． 考点三 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)，半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 3、二元二次方程与圆的关系 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： （1）当F＝0时，圆过原点． （2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． （3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． （4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． 考点四 直线与圆、圆与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系 （1）直线与圆位置关系的判断方法 ① ② （2）圆的切线与切线长 ①过圆上一点的圆的切线 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2． 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． ②过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0． ③切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 ． 两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝． 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． （3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法 ①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. ②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|． 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 题型一 直线的倾斜角与斜率 【典例1】（25-26高二上·重庆·期中）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，直线过，两点，且，点的横坐标相同， 所以直线垂直于轴，所以直线的倾斜角的大小为.故选：C 💡破题要诀 1、求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． （2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． 2、求直线斜率的方法 （1）定义法：由倾斜角的值（或范围）求斜率的值（或范围）时，用定义式求解． （2）公式法：由两点坐标，求斜率，利用两点斜率公式求解． （3）待定系数法：如果直线沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度后，又回到原来的位置，求直线的斜率．此类问题可通过平移前和平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果． 迁移应用 【变式1-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以.故选：D. 【变式1-2】（25-26高二上·四川自贡·期中）已知直线过点 ，且倾斜角为，则实数 ____________. 【答案】 【解析】由题可知，直线的斜率为. 所以，化简得， 即，解得. 【变式1-3】（25-26高二上·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 所以倾斜角的取值范围为.故选：B． 题型二 直线与线段相交求范围问题 【典例2】（25-26高二上·陕西西安·期中）已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线经过定点， 又点，，所以，， 又因为直线的斜率为， 所以结合图形可得的取值范围为.故选：A. 💡破题要诀 利用直线的斜率的几何意义求最值（或取值范围）两点注意 （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理． 迁移应用 【变式2-1】（25-26高二上·福建泉州·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图象得：直线斜率的取值范围为或.故选：B 【变式2-2】（25-26高二上·山西太原·期中）已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题， 如图，由图可知直线斜率.故选：B 【变式2-3】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交， 由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为．故选:C． 题型三 五种直线方程的求解 【典例3】（25-26高二上·福建三明·期中）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在的直线方程为______. 【答案】 【解析】因为，，所以的中点， 又，所以， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 💡破题要诀 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程． 迁移应用 【变式3-1】（25-26高二上·贵州毕节·期中）将直线向右平移2个单位长度后得到的直线的一般方程是__________. 【答案】 【解析】直线，即， 向右平移2个单位长度后得到，即. 故答案为： 【变式3-2】（25-26高二上·山东淄博·期中）设直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的一般式方程为________________ 【答案】或 【解析】当截距为0时，设l方程为，代入点，可得，解得， 所以方程为，即； 当截距不为0时，因为截距相等，所以设方程为， 代入点，可得，解得， 所以方程为，即， 综上，直线l的一般方程为或. 故答案为：或. 【变式3-3】（25-26高二上·广东湛江·期中）求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以直线方程为：． （2）由题意知，，则线段的中点， 直线的斜率， 因为直线与直线垂直，则有，所以， 再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为：， 化为一般式为：． 题型四 两条直线平行与垂直关系 【典例4】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，解得或， 当时，，两直线平行， 当时，，两直线重合， 则当时，， 故“”是“”的充分必要条件.故选：A. 💡破题要诀 由一般式方程确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 迁移应用 【变式4-1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知，直线，直线则“”的充要条件是_____. 【答案】 【解析】由得，解得， 当时，直线方程为，直线方程为，此时， 所以“”的充要条件是. 故答案为：. 【变式4-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知直线，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，即得，解得，故A正确.故选：A. 【变式4-3】（25-26高二上·福建福州·期中）已知直线与垂直，则______． 【答案】12 【解析】因为直线与垂直， 所以，解得， 故． 题型五 两条直线的交点问题 【典例5】（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得， 所以直线和的交点坐标为，故选：B 💡破题要诀 求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 迁移应用 【变式5-1】（25-26高二上·广东·期中）已知直线：与直线：交于点，则（    ） A．点为定点 B．直线可能同时经过第三、四象限 C．直线可能不经过第三象限 D．存在定点，使得为定值 【答案】D 【解析】联立，可得，显然点随的变化而变动，故A错误； 直线的方程可化为，该直线经过点在轴的正半轴上， 不可能同时经过第三、四象限，故B错误； 直线的方程可化为，该直线经过点在第三象限， 直线经过第三象限，故C错误； 当时，；当时，，则，所以， 则，取的中点，则为定值，故D正确.故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）过点作直线l，使它被直线和截得的线段被点P平分，则直线l的斜率为______． 【答案】 【解析】设与l的交点为，设与l的交点为， 则由题意知，线段被点平分， 所以，解得， 所以，，所以直线l的斜率为. 【变式5-3】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）联立与的方程，得解得 即与的交点坐标为， 由题意知点在上，所以，解得. （2）由（1）知， 当时，，所以， 当时，，所以， 当，，三条直线可以围成三角形，则且且， 故的取值范围为. 题型六 直线的距离公式及应用 【典例6】（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 💡破题要诀 点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 迁移应用 【变式6-1】（25-26高二上·广东湛江·期中）直线与间的距离是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由得， 所以直线与间的距离是． 【变式6-2】（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】设点的坐标为， 则点到直线的距离为，解得或， 所以点的坐标为或．故选：D． 【变式6-3】（25-26高二上·山东淄博·期中）点到直线为任意实数）的距离的最大值是______. 【答案】 【解析】由，得. 当时，，所以直线恒过定点. 所以. 由点到线的距离性质可知，点到直线的距离的最大值 即为点到定点的距离，等于. 题型七 直线的对称关系及应用 【典例7】（25-26高二上·广东深圳·期中）原点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设原点关于直线的对称点坐标为， 直线的斜率， 因为直线与已知直线垂直，，即，① 且线段的中点在已知直线上 将代入直线得：，② 联立①②解得： 的坐标为.故选：D. 💡破题要诀 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 迁移应用 【变式7-1】（25-26高二上·广西桂林·期中）若直线关于直线对称的直线经过点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】设关于直线的对称点为， 所以，解得，所以， 又因为在直线上， 所以，解得，故选：A. 【变式7-2】（25-26高二上·天津·期中）在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 【答案】 【解析】设关于直线的对称点为， 关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则，解得，即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 【变式7-3】（25-26高二上·山东济宁·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，与交于点，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若光线所经长度，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点关于直线的对称点为， 则得，即. 设关于轴的对称点为，由光学性质可知，四点共线， 所以，， 又因为，所以，解得或， 故或， ①当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时，不符合题意，舍去； ②当时， 此时直线的斜率为，直线的方程为， 由，解得，所以直线与直线的交点， 此时. 综上，的值为.故选：D. 题型八 圆的标准方程与一般方程 【典例8】（25-26高二上·重庆·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以，解得， 即所求圆的圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为.故选：D. 💡破题要诀 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 迁移应用 【变式8-1】（25-26高二上·天津和平·期中）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点，， 则线段的中点为，， 可知所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为.故选：A. 【变式8-2】（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的方程为______． 【答案】 【解析】设圆的方程为，圆心坐标为， 因为圆的圆心在直线上， 所以， 因为圆与轴的交点分别为，， 所以， 所以有， 所以圆的方程为. 【变式8-3】（25-26高二上·湖南湘潭·期中）过三点的圆的标准方程为_____. 【答案】 【解析】以点为端点的线段的中垂线的方程为， 以点为端点的线段的中垂线方程为， 则过三点的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的标准方程为. 题型九 直线与圆的位置关系判断 【典例9】（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【解析】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 💡破题要诀 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 迁移应用 【变式9-1】（25-26高二上·广东汕头·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径， 点到直线的距离， 所以直线与圆相切.故选：B 【变式9-2】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知点在圆内，则直线与圆（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上均有可能 【答案】C 【解析】因点在圆内，则， 则点到直线的距离， 则直线与圆相离.故选：C 【变式9-3】（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在直线上，则直线与圆相交 B．若点在圆外，则直线与圆相离 C．若点在圆内，则直线与圆相离 D．若点在圆上，则直线与圆相切 【答案】CD 【解析】对于A，由点在直线上，得，即. 此时由圆心到直线的距离，所以直线与圆相切,所以A错误； 对于B，由点在圆外，得，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交.所以B错误； 对于C，点在圆内，得，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离.所以C正确； 对于D，由点在圆上，得，求圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切.所以D正确.故选：CD. 题型十 由直线与圆的位置关系求参数 【典例10】（25-26高二上·安徽·期中）已知直线与圆相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的方程可整理为：， 因此圆心，半径. 因为直线与圆相交， 故圆心到直线的距离， 得，即.故选：C. 💡破题要诀 根据直线与圆位置关系求参数问题步骤 第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式． 第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法． 第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围． （1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式； （2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集． 迁移应用 【变式10-1】（25-26高二上·吉林·期中）若直线与圆相切，则实数m的值为________． 【答案】或3 【解析】由圆心为，半径为1， 即， 则，解得或． 故答案为：或3. 【变式10-2】（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 【变式10-3】（25-26高二上·福建福州·期中）若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线恒过定点， 由，得到， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示：    当直线经过点时，与曲线有两个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线有两个公共点，故选：D 题型十一 直线与圆的相交弦长问题 【典例11】（25-26高二上·广东江门·期中）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为.故选：C. 💡破题要诀 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|． 迁移应用 【变式11-1】（24-25高二下·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】将圆方程化为标准方程，，所以圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离为，所以弦长为， 所以，解得，所以圆的半径为. 【变式11-2】（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】圆，即， 可知圆心为，半径，且， 圆心到直线的距离， 因为圆与相交于两点，且为正三角形， 所以，即，解得.故选：C. 【变式11-3】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线，圆C的圆心在x轴正半轴上，且圆C与l和y轴均相切． (1)求圆C的方程； (2)过点直线与圆C交于A,B两点，且，求该直线方程． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）设圆心坐标为 ，半径为. 因为圆与直线 相切， 所以圆心到该直线的距离等于半径，所以； 因为圆与轴相切，则 . 故. 故该圆的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，直线与圆无交点，不合题意，故直线斜率存在. 设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，则. 由垂径定理得：，即，解得， 即，解得. 所以该直线方程为：或. 题型十二 圆的切线与切线长问题 【典例12】（25-26高二上·云南楚雄·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，因为点在圆上，且， 所以所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为.故选：D. 💡破题要诀 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 迁移应用 【变式12-1】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离，解得，则； 综上所述：的方程为或.故选：A. 【变式12-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）过点作圆的切线，切点为，则______. 【答案】5 【解析】由圆，可得圆心，半径为， 连接，因为是圆的切线，所以， 又因为，可得， 所以. 【变式12-3】（25-26高二上·云南·期中）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为____________． 【答案】 【解析】依题意，圆的圆心，半径， 过点P作圆C的切线为切点， 连接，如图3：显然， 在中，， 因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可， 而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离， 于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d， 而，因此，， 所以切线长最短为． 题型十三 圆与圆的位置关系 【典例13】（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆与圆，则两圆（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【解析】由两圆方程知：圆心，半径；圆心，半径； 圆心距，两圆外离.故选：D. 💡破题要诀 可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）几何法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系． 迁移应用 【变式13-1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【答案】C 【解析】由圆的圆心，半径为， 与圆的圆心，半径为， 则圆心距， 所以两圆位置关系是相外切，故选：C. 【变式13-2】（25-26高二上·北京朝阳·期中）已知圆与圆外切，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【解析】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 由圆，外切，得，即， 所以.故选：D. 【变式13-3】（25-26高二上·四川成都·期中）（多选）圆：与圆：相交，则的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】ABC 【解析】因为圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心，半径为， 由于两圆相交，则， 所以，解得， 故的值可以是4,5,6.故选：ABC. 题型十四 两圆的公共弦问题 【典例14】（25-26高二上·河北·期中）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】即①，②， 68 －②化简可得直线的方程为.故选:A. 💡破题要诀 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 迁移应用 【变式14-1】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆圆心，半径为； 圆圆心，半径为； 因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故两圆公共弦所在直线的方程为；故选：D. 【变式14-2】（25-26高二上·山东济宁·期中）圆：和圆：的公共弦长是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【解析】由圆：可得圆心，半径， 由圆：和圆：方程相减可得公共弦的直线方程：， 由圆心到公共弦的距离为：， 所以公共弦长为，故选：D. 【变式14-3】（25-26高二上·重庆·期中）已知 与相交于点 ，则 _____ 【答案】 【解析】两圆相减得直线的方程， 圆心到直线的距离， 所以. 题型十五 两圆的公切线问题 【典例15】（25-26高二上·河北邢台·期中）圆与圆公切线的条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 因此两圆的位置关系为内切，所以公切线的条数为，故选：B. 💡破题要诀 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．迁移应用 【变式15-1】（25-26高二上·天津·期中）已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是_________. 【答案】或5 【解析】由圆A：，则圆心为，半径为， 圆B：，圆心为，半径为， 由于两圆有3条公共切线，则两圆外切， 所以，则，解得或5. 【变式15-2】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【解析】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 【变式15-3】（25-26高二上·重庆·期中）写出与圆和都相切的一条直线的方程______. 【答案】，，，(写一条即可） 【解析】圆的圆心为，， 圆的圆心为，， 圆心距， 两圆外离，因此存在四条公切线. 设所求直线的方程为 ，化为一般式为：， 依题意得：，解得：或或或， 故公切线方程为：，，，. 题型十六 圆的轨迹问题 【典例16】（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，因为定点，， ，化简得：，即. 点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：.故选：B 💡破题要诀 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．迁移应用 【变式16-1】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为.故选：B 【变式16-2】（24-25高二上·广东·期中）在中，若动点满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，即， 即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 又，所以的取值范围为.故选：C 【变式16-3】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知定点，点P是圆上一动点，点Q是线段AP的中点，则点Q的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，，定点，点Q是线段AP的中点， 所以，则，即， 又因为动点P在圆上，所以， 则，所以点Q轨迹方程为.故选：A 题型十七 与圆有关的最值问题 【典例17】（25-26高二上·江苏泰州·期中）如果实数、满足，那么的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得可得，解得， 由可得， 故的最大值为.故选：D. 💡破题要诀 求解与圆有关的最值问题步骤 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解．迁移应用 【变式17-1】（25-26高二上·湖北·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．4 【答案】C 【解析】，可在轴上找一点， 此时，， ， 所以， 同理因为，可在轴上找一点，使得， ， 所以， 由此知.故选：C. 【变式17-2】（25-26高二上·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 【答案】1 【解析】根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 【变式17-3】（25-26高二上·重庆·期中）已知圆，是圆上的一条动弦，且，设中点为，则到直线距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为是圆上的一条动弦，且，且中点为，则， 所以， 故点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 圆心到直线的距离为， 故到直线距离的最大值.故选：C. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为，因此倾斜角为，故选：B． 2．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知直线：，：，若，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线：，：，且， 所以，解得，故选：D 3．（25-26高二上·广东茂名·期中）将直线：绕其与轴的交点旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件可知，与轴的交点为，且斜率为， 因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程是，整理为.故选：B 4．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，即，解得.故选：B. 5．（25-26高二上·江苏泰州·期中）已知圆的一条直径的端点分别是、，则该圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，圆心坐标为，半径为， 故所求圆的方程为.故选：A. 6．（25-26高二上·河南·期中）直线与上各有一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则.故选：C 7．（25-26高二上·北京海淀·期中）已知点，若点A与点B关于点C对称，则C点坐标为________. 【答案】 【解析】设，则有，，故. 8．（25-26高二上·福建福州·期中）三条直线与相交于一点，则___________． 【答案】 【解析】根据题意，联立方程，解得， 所以与相交于点， 因为三条直线与相交于一点， 所以点在上，即，解得 所以. 9．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆与圆外切，并且与直线相切于点，则圆的标准方程为___________． 【答案】 【解析】圆的标准方程为，圆心，半径． 因为圆与直线相切于点，所以，且圆的半径． 因为直线与轴垂直，所以直线的方程为． 因为圆与圆外切，所以，设， 则，依题意， 所以，解得， 所以， 所以圆的标准方程为． 10．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，直线l的倾斜角的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由题意得，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为． 如图： 由图可知，的斜率的取值范围为， 则的倾斜角的取值范围为． 故答案为：. 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线方程可化为：， 令得，所以直线恒过定点， 因为，所以， 又，所以直线与线段有交点，如图所示， 由，则，， 要使直线与线段有交点，则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为.故选：B 2．（25-26高二上·广东·期中）（多选）已知点，圆：（），定义直线：为点的“伴随线”，则下列结论正确的有（    ） A．若点在圆上，则点的“伴随线”与圆相切 B．若点在圆外，过点作两直线与圆分别相切于点，，则直线为点的“伴随线” C．若点在圆内，则点的“伴随线”与圆相交 D．若点，在圆上，它们的“伴随线”分别为，，且垂直，则 【答案】ABD 【解析】选项A：当点在圆上时，，圆心到的距离， 点的“伴随线”与圆相切，故A正确； 选项B：设，，则圆在点，处的切线方程分别为： ，． 因为点在这两条切线上，所以，， 所以点，都在直线上， 所以直线的方程为，故B正确； 选项C：当点在圆内时，，圆心到的距离， “伴随线”与圆不相交，故C错误； 选项D：设，，易知：，：， 因为，垂直，所以， 所以，即， 所以，故D正确．故选：ABD． 3．（25-26高二上·安徽·期中）已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则__________. 【答案】或 【解析】由变形得， 设直线的方程为， 该等式可理解为点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，根据题意这样的公切线仅有一条. 情形一：圆与圆内切，则是两圆唯一的公切线，则，得， 情形二：圆与圆相交，一条公切线过原点，另一条公切线为， 因为直线不过原点，该情形下也是唯一的，如图，两条切线的交点为， 与两个圆的切点分别为、， 因为，所以，可得点，切线的方程为，即， 此时. 故答案为：或. 4．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知圆与圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程. (2)将圆向上平移1个单位得到圆，过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点. （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值. （ⅱ）圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上.若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1)；(2)（ⅰ）7 ；（ⅱ）点在定直线上. 【解析】（1）由得. 所以圆的圆心为，半径为. 设，则，解得. 所以圆的方程为：. （2）（ⅰ）由（1）知圆的方程为：， 所以圆的方程为：. 当直线的斜率不存在时，其方程为：. 则直线. 由，得. 所以，所以. 由，得，或. 所以，所以. 此时，四边形面积为. 当直线的斜率存在时，设其方程为：，即 则直线的斜率存在，其方程为：，即. 所以圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为. 所以，. 所以四边形面积. 当且仅当，即时，等号成立. 综上，四边形面积取得最大值，最大值为. （ⅱ）点在定直线上. 由题可知. 由（ⅰ）直线的斜率不存在时，， 所以直线的方程为； 直线的方程为. 由，得. 当直线的斜率存在时，设其方程为：， 由，得. 所以，. 所以直线的方程为：， 直线的方程为：. 由， 得 . 即. 综上，点在定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $