专题04 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系（期中复习讲义·培优版）高二数学上学期人教A版

专题04 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 圆的方程的应用 题型二 与圆有关的轨迹问题 题型三 与圆有关的最值问题 题型四 直线与圆的位置关系的判断与应用 题型五 圆的弦长问题 题型六 切线问题 题型七 圆与圆的位置关系的判断及求参 题型八 公共弦与公切线问题 题型九 利用韦达定理解决直线与圆的相交问题 题型十 圆的实际应用 题型十一 直线与圆中几种常见代数式的最值问题 题型十二 与圆有关的新定义题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 圆的方程 1、会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程. 2、掌握点与圆的位置关系，理解圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养. 3、掌握圆的一般方程和标准方程的互化方法，会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程，强化数学运算与逻辑推理的核心素养. 期中必考点，涉及各种题型 直线和圆的位置关系 1、理解直线与圆的三种位置关系，能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能解决有关直线与圆的位置关系的问题，强化数学运算的核心素养. 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 期中必考点，像弦长、切线、距离最值问题都是几乎必考的考点，涉及各种题型 圆和圆的位置关系 能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系，能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 期中必考点，多出现在小题 知识点01 圆的定义与方程 1、圆的定义与方程： 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹） 标准方程 圆心：（a，b），半径： 一般方程 圆心：， 半径： ·易错点：在圆的一般方程中，要注意当时，方程才表示圆；当时，方程表示一个点，当时，方程不表示任何图形. 2、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）若在圆外，则． （2）若在圆上，则． （3）若在圆内，则． 3、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 4、圆系方程 (1)同心圆系方程：，其中是定值，是参数； (2)过直线与圆交点的圆系方程： ； （3）过圆和圆交点的圆系方程：（该圆系不含圆，解题时，注意检验圆是否满足题意，以防漏解）． 知识点02 直线与圆的三种位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 3、直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 （1）几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 3、直线与圆相切 （1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 （2）过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 4、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； ·示例：已知圆,过点的直线,则（　） A．与相交 B．与相切 C．与相离D．以上三个选项均有可能 【详解】,所以点在圆C内部，所以过点P的直线l必与圆C相交.故选A. 知识点03 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 2、圆与圆的位置关系的判断 (1)几何法:根据两圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断. 设两圆半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则 两圆位置关系 d 图示 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 内切 d=|r1-r2| 内含 0≤d<|r1-r2| (2)代数法:根据两圆方程联立的方程组解的情况判断. 设☉O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,☉O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 对于方程组 方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交; 方程组有两组相同的实数解⇔两圆相切; 方程组无实数解⇔两圆相离. 易错点：对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论．如当时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当时，还需要判断两圆是外切，还是内切． 3、圆与圆的公共弦 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 4、圆与圆的公切线 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． ·示例：两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 【详解】两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的圆心分别为(0,0)和(4,-3),半径分别为3和4.两圆的圆心距d==5.又4-3<5<3+4,故两圆相交. 题型一 圆的方程的应用 解｜题｜技｜巧 1、确定圆的方程必须有三个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2、几何法在圆中的应用 在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用． 3、点与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较. （2）代数法：直接利用下面的不等式判定. ①(x0-a)2+(y0-b)2>r2，点在圆外； ②(x0-a)2+(y0-b)2=r2，点在圆上； ③(x0-a)2+(y0-b)2<r2，点在圆内. 【典例1-1】（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，． (1)求边上中线所在的直线方程； (2)求过，，三点的圆的方程． 【答案】(1) (2)（或一般式） 【分析】（1）先求出中点的坐标，再利用点斜式方程即可求解； （2）设出圆的一般方程，代入已知点，解方程组求出系数即可求解． 【详解】（1）由于，，则中点的坐标为， 又边上的中线过点，故其斜率为， 因此边上中线的方程为，即． （2）设圆的一般方程为， 代入点得①， 代入点得②， 代入点得③， 联立①②③解得， 因此圆的一般方程为，标准方程为． 【典例1-2】（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两点的中点及斜率，然后结合垂直的斜率关系，利用点斜式方程即可求得； （2）根据圆的几何性质求出圆心坐标，利用两点距离公式求解半径，进而求出标准方程，再化为一般方程即可. 【详解】（1）因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. （2）由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 【变式1-1】（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 【变式1-2】（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BC 【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【详解】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误． 故选：BC 【变式1-3】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可； （2）先求线段的垂直平分线方程，再求圆心坐标及半径，由此可得结论. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为，即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点， 联立方程组，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 题型二 与圆有关的轨迹问题 解｜题｜技｜巧 主要有两种类型，一种是点的轨迹为圆，另一种是以圆为载体，考查动点的轨迹或轨迹方程.求动点的轨迹方程往往先设出动点的坐标，再找等量关系列轨迹方程；有时也可由已知条件判断出轨迹图形，然后由图形求方程. 【典例2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为． (1)求圆的方程； (2)若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程； 【分析】（1）设圆的方程为，，利用直线与圆相交的弦长公式求出半径长即可； （2）设点，由题意可得圆的半径为，由动圆与圆相外切可得，整理后分类化简即得动点轨迹方程. 【详解】（1）设圆的方程为，， 由圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得， 故圆的方程为； （2） 设点，则动圆的半径为，因动圆与圆相外切，则， 即，两边取平方，化简得：， 故当时，，当时，，当时，点在圆上，不合题意. 故动圆圆心的轨迹方程为；. 【变式2-1】（26-27高二上·广东广州·阶段检测）在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于直线：，令，得，故定点， 对于直线：，令，得，故定点， 由，可知直线，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆（去掉原点）， 中点为圆心，半径， 设点，， 点到距离的最大值为. 【变式2-2】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知，，若直线上存在点，满足，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据的条件求出点的轨迹为圆，再结合直线与圆有公共点的等价条件，即圆心到直线的距离不大于半径，建立关于的不等式求解取值范围. 【详解】设点的坐标为. ∵ ，∴ ， 两边平方得 ， 展开整理得 ，即点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆. ∵ 点在直线上， ∴ 直线与圆有公共点， ∴ 圆心到直线的距离， ，解得, 即实数的取值范围是. 【变式2-3】（2026·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【分析】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果； （2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果. 【详解】（1）圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2）设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. 题型三 与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 圆中的最值问题主要有两种解决策略，一是代数法，即通过构造函数，将最值转化为函数的最值；二是几何法，即利用圆的丰富的几何性质得到最值. 【典例3】已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为 (1)求圆C的方程； (2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出圆心坐标，判断出圆的半径，利用直线截圆所得弦长列方程来求得，从而求得圆的方程. （2）先求得，通过求的最小来求得的最小值. 【详解】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，半径为， 到直线的距离为，所以，解得， 所以圆的方程为. （2）由（1）得，圆的圆心为，半径， ，所以当最小时，最小. 到直线的距离为，所以的最小值为， 所以四边形PACB面积的最小值为. 【变式3-1】（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知为圆的一条直径，点为直线上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】圆的圆心为，，因为为圆的直径，所以为的中点，故. ，， 故 ， 点在直线上，故的最小值为圆心到该直线的距离， 由点到直线的距离公式得. 因此的最小值为，代入得的最小值为. 【变式3-2】（26-27高二上·北京·阶段检测）已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称思想将轴上点到两圆心的距离和转化为两点间距离，再减去两圆半径之和即可求得最小值. 【详解】由题意可得圆的圆心，半径，， 圆的圆心，半径，， 则， 当且仅当在线段上、在线段上时，等号成立， 作关于轴对称点， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为. 【变式3-3】（多选）（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据几何位置关系，结合两点之间距离公式即可判断A；当与圆相切时，最大，进而求得，即可判断B；当，，三点共线，且在，之间时，最大，即可判断C；当为射线与圆的交点时，取得最大值，即可判断D． 【详解】因为，所以点在圆外，点在圆内，如图所示， 对于A，当为线段与圆的交点时，即，此时取得最小值为，故A正确； 对于B，由题知，点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误； 对于C，因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大， 当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确； 对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确． 故选：ACD．    题型四 直线与圆的位置关系的判断及应用 解｜题｜技｜巧 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【典例4-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线过定点，证明点在圆内，由此判断结论. 【详解】由直线：，可知直线过定点， 由圆：，可知圆心，半径为， 则， 所以点在圆的内部，从而直线与圆相交. 故选：B . 【典例4-2】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行且与直线的距离为的直线的方程，判断出圆与两平行线间的位置关系，即可得出结论. 【详解】设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得或， 圆的圆心为，半径为， 显然直线过圆心，圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相交，直线与圆相切， 所以，圆上到直线的距离为的点的个数为. 故选：C. 【变式4-1】已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】C 【分析】利用几何法判断.由圆心到直线的距离与半径的大小关系，则可判断直线与圆的位置关系. 【详解】已知圆的圆心为，半径为， 由是圆内异于圆心的一点，得， 则有， 则圆心到直线的距离， 故直线与圆相离. 【变式4-2】（2026·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 【答案】D 【分析】结合题意，利用点到直线的距离公式列式求解，再进行验证即可. 【详解】如图所示，圆的半径为2.设点在圆上运动. 圆心到直线的距离，令，则. ①当时，与直线平行且距离等于1的直线是，， 与圆的三个交点是，，，满足题意. ②当时，与直线平行且距离等于1的直线是，，与圆的三个交点是，，，满足题意. 综上，. 故选：D. 题型五 圆的弦长问题 解｜题｜技｜巧 设直线l的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦长的方法通常有以下两种 （1） 几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点，如图所示.在Rt△OCB中，|BC|2=r2-d2，则弦长|AB|=2|BC|=2. （2）代数法：解方程组消元后可得关于x1+x2，x1·x2或y1+y2，y1·y2的关系式，则|AB|== ，其中k为直线l的斜率且不为0. 【典例5-1】（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【详解】因为圆，所以圆心为，半径为. 设圆心到直线距离为：. 因为直线与圆截得的弦长为. 所以. 解得：. 故选：. 【典例5-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆被直线所截得的弧长之比为，则实数m的值是（   ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据所给方程，求出圆心C和半径r，由条件分析可得圆心C到直线l的距离，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】将圆C化为标准方程可得，由得，， 则圆心，半径， 因为圆C被直线l所截得的弧长之比为， 则弧长对应的圆心角之比为，即劣弧所对的圆心角为，优弧所对的圆心角为， 如图所示，设直线l与圆交于A、B两点，则， 在中，，则圆心C到直线l的距离， 又圆心到直线l的距离， 所以，解得. 【变式5-1】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）直线过点，且与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数. 【详解】依题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 而最长弦长为圆的直径为，因此所有弦的弦长范围为， 所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为， 根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条， 所以共有9条. 故选：C 【变式5-2】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）已知圆C过点，圆心在y轴正半轴上，且与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点的直线l交圆C于A，B两点，且的长度为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设圆心为，利用两点距离、点到直线距离公式列方程求，进而得圆心和半径，可得圆C的标准方程. （2）问题转化为已知弦长，求弦所在直线方程问题求解.注意要讨论弦所在的直线的斜率是否存在. 【详解】（1）设圆心为，依题意 ， 所以解得（满足） ． 故圆的标准方程为． （2）由的长度为，则， ①若l斜率不存在，则，代入圆C得 解得或， 满足． ②若l斜率存在，设斜率为k，则直线，即， 由圆心C到直线l的距离为， 即，所以 所以． 综上，所求直线方程为或． 题型六 切线问题 解｜题｜技｜巧 1、求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数. （1）求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为-，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解： 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x=x0. 2、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为： （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为 【典例6-1】（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 【典例6-2】(24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】①由点到直线的距离求出半径，写出圆的方程；②讨论斜率是否存在，当斜率不存在时切好相切求出切点，由圆切线的性质可知两切点连线与圆心和两切线交点连线垂直，从而求出切点直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴ ∴，即 【变式6-1】（26-27高二上·河南·阶段检测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______________. 【答案】 【分析】利用切线垂直半径及对称性，结合图形确定切点弦的方向和位置；也可把两个切点看成原圆与以为直径的圆的公共点，通过两圆方程作差求公共弦所在直线． 【详解】方法一：如图，连接，，，设． 因为，分别为圆的切线，所以，． 又，，故，关于直线对称，从而． 在直角三角形中，，所以． 于是即 因为，，所以平行于轴，且． 又，故直线的方程为． 方法二：圆心为．由于，所以，也在以为直径的圆上． 该圆的方程为，圆 两式相减，得，即直线的方程为． 【变式6-2】（25-26高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的方程为，带入A、B点的坐标以及将圆心带入直线方程构成方程组，解方程组可得答案； （2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式即可求得切线l的方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 【变式6-3】（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由圆，则圆心为，半径为3， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线方程为的距离为3，等于半径，满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得， 则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由切线的性质，得， 当切线为时，此时切线与轴垂直， 则. 题型七 圆与圆的位置关系的判断及求参 解｜题｜技｜巧 判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距d，当d=r1+r2时，两圆外切，d=|r1-r2|时，两圆内切，d>r1+r2时，两圆外离，d<|r1-r2|时，两圆内含，|r1-r2|<d<r1+r2时，两圆相交. 【典例7-1】（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 【答案】 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径为； 由，得， 所以，， 且圆的圆心为，半径为； 因为两圆外离，所以， ， 所以，解得. 所以实数t的取值范围为. 【典例7-2】判断下列两个圆的位置关系： (1)与； (2)与． 【答案】(1)外切；(2)相交 【分析】（1）求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解； （2）化简两圆为标准方程，求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解. 【详解】（1）解：由圆与， 可得两圆的圆心坐标分别为，半径分别为和， 可得两个圆的圆心距，所以， 所以两个圆外切． （2）解：将两个圆的方程都化为标准方程，可得，， 则两圆的圆心坐标分别为，半径分别为和， 可得两个圆的圆心距， 因为，所以两个圆相交． 【变式7-1】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知圆与圆外切，则a的值为______． 【答案】9 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为； 两圆的圆心距， 而两圆外切，故，解得. 【变式7-2】（26-27高二上·江西·阶段检测）设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若两圆存在三条公切线，则两圆外切，则， 即，且，解得. 【变式7-3】（24-25高二上·湖南永州·月考）若存在实数使得与内切，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出每个圆的圆心与半径，再由两圆的圆心距与两个半径之差相等，即即可求的结果. 【详解】将方程配方得：，则，半径为1， 由可得，半径为， 因与内切，则有， 由于，则得，解得，即的最小值为2. 故选：B. 题型八 公共弦与公切线问题 解｜题｜技｜巧 1、公切线 两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 2、公共弦 （1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. （2）求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. （3）已知圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1). 【典例8-1】圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算圆心距，判断两圆位置关系后即可得公切线条数. 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 【典例8-2】（多选）（26-27高二上·山东菏泽·阶段检测）（多选）圆和圆的交点为，，则有（     ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】BD 【分析】A选项，两圆相减得到公共弦所在直线方程；B选项，由对称性可知线段中垂线方程即所在直线方程，从而得到中垂线方程；C选项，求出圆心到直线的距离，根据垂径定理可得的长；D选项，到直线的距离加上半径即为所求. 【详解】A选项，与相减， 化简得，故公共弦所在直线方程为，A错误； B选项，的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 由对称性可知线段中垂线方程即所在直线方程， 即，化简得，B正确； C选项，圆心到直线的距离为， 故公共弦的长为，C错误； D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为到直线的距离加上半径， 即，D正确. 【变式8-1】（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两圆方程作差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系，利用两点间距离公式，进而求得四边形的面积. 【详解】圆的方程配方得，因此圆心，半径； 圆的方程配方得，因此圆心，半径. 由两点间距离公式得. 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦所在直线方程，即. 点到直线的距离，因此弦长的一半为， 即. 四边形可拆分为以为公共底的两个三角形和， 点到直线的距离， 因此总面积. 【变式8-2】（多选）（25-26高二上·全国·期中）（多选）已知圆和圆，则（    ）． A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线 C．圆与公共弦所在的直线方程为 D．圆与上共有3个点到直线的距离为1 【答案】BC 【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得. 【详解】对于A，圆化为标准方程为，则圆的半径为2，故A错误． 对于B，因为圆心到y轴的距离为1，等于圆的半径， 所以圆与y轴相切， 同理圆心到y轴的距离等于圆的半径， 所以圆与y轴相切，故y轴为圆与的公切线，故B正确． 对于C，将与左右分别相减，得圆与的公共弦所在的直线方程为，故C正确． 对于D，如图， 因为直线同时经过两圆的圆心， 依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线与， 其中与和圆都相切，各有一个公共点， 与和圆都相交，各有两个交点， 故圆与上共有6个点到直线的距离为1，故D错误. 故选：BC. 【变式8-3】（25-26高二上·广东·月考）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 题型九 利用韦达定理解决直线与圆的相交问题 解｜题｜技｜巧 直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．当此类问题用几何法不易求得时，常改变思路，通过联立直线与圆的方程，利用韦达定理，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题, 【典例9】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知点，动点满足． (1)求动点G的轨迹方程； (2)若直线与点G的轨迹交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，若A，Q，C三点共线，求m的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据题意可得，再代入坐标化简即可得到轨迹方程； （2）设，则，将直线方程与轨迹方程联立得到，，再由A，Q，C三点共线，可得，代入化简运算即可求m． 【详解】（1）由已知得，， ∴，∴， 整理得． ∴动点G的轨迹方程为． （2）设，则． 将l的方程代入中，整理得， ∴，， ∵A，Q，C三点共线， ∴， 即． 即， ，即， 解得m＝4．所以m的值为4． 【变式9】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 【分析】（1）设，根据，列出方程，即可求解； （2）设圆心到的距离，利用圆的弦长公式，求得，分析斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，即可求解； （3）设直线的斜率为，则，联立方程组，结合和韦达定理，求得和，结合均在直线上，利用，即可求解. 【详解】（1）解：设，因为点且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，圆心为，半径为， 因为，设圆心到的距离，可得，解得， 当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意； 当斜率存在时，设方程：，即， 则，解得，此时. 综上可得，直线的方程为或. （3）当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且 联立方程组， 整理得， 令，解得， 且，所以， 又由，解得，所以， 因为均在直线上，且 所以. 题型十 圆的实际应用 解｜题｜技｜巧 核心知识 将实际问题转化为平面直角坐标系建立圆与直线模型 方法技巧 建立坐标系确定圆心半径与直线方程，利用距离位置关系判断是否相交相切。 【典例10】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； (2)若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (3)在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 【答案】(1)； (2)快艇有触礁的危险 (3) 【分析】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立平面直角坐标系，由已知条件求出点坐标，用表示出，在中，由余弦定理建立等量关系即可求出，进而求出的长； （2）先求出直线的方程，求出圆心到直线的距离，判断与半径的大小即可判断快艇是否有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，由相切建立，即可求出直线的方程，再求出方程，联立方程组即可求出点坐标，最后计算两船的时间差即可求出的最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，又，，所以点为， 又快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，则， 在中，由余弦定理可得， 则，化简整理得， 又，所以，因此； （2）由，则，又， 则，， 所以点为，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，因此快艇有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，化简得，解得或， 又当时，对应交点在下方，不合题意，所以，因此直线的方程为， 由（2）知，，则，即，所以直线的方程为， 联立，的方程得，解得，则点为， 所以， 则科考船走直线用时为小时，快艇走直线用时为小时， 又科考船提前2小时出发，所以快艇等待时间的最小值为小时，即. 【变式10-1】（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【答案】C 【详解】以小岛中心为原点，建立如图所示直角坐标系， 则，， 所以直线的斜率为，方程为， 即，则到的距离为， 所以，即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile. 【变式10-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 【答案】(1) (2) 点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截. 【分析】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为列出方程即可得解； （2）判断点的轨迹圆与直线的位置关系即可得出结论. 【详解】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； （2）略 题型十一 直线与圆中几种常见代数式的最值问题 解｜题｜技｜巧 核心知识 表示动点与定点连线斜率; 可利用三角换元; 表示距离平方. 方法技巧 识别代数式几何含义转化为距离斜率截距问题，利用圆几何性质求最值. 【典例11】（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．的最大值为 C．（）的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由圆的标准方程即可求解；对于B，设，代入圆的方程中，得关于的一元二次方程，根据方程有实数解，判别式大于等于0，可列出关于的不等式，即可求解；对于C，利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解；对于D，根据几何意义，将所求式子转化为向量与向量的夹角的余弦值的两倍，求出圆的过原点的两条切线方程，得到与向量的夹角的范围，进而求得式子的取值范围. 【详解】对于A，因为圆的方程为， 所以圆心为，半径为，故A正确； 对于B，设，则， 将其代入圆的方程中得：， 即， 因为有实数解，所以判别式， 即， 化简得：， 解得：， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，（）的几何意义是圆上点与原点连线的斜率， 设，则直线方程为，即， 直线与圆有公共点，因此圆心到直线的距离， 即，所以，解得或， 因此（）的取值范围是，故C错误. 对于D，式子的几何意义是： 向量与向量的夹角的余弦值的两倍， 过原点作圆的切线，设方程为， 圆心到切线的距离，解得， 所以两条切线方程为和，且两切线的倾斜角分别为， 射线介于这两条切线之间， 所以与向量的夹角，则， 所以，故D正确. 【变式11-1】（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】利用圆的一般方程得出圆心和半径，然后结合所求表达式的几何意义，根据直线与圆的位置关系逐项分析求出最值或范围即可. 【详解】由得， 所以方程表示圆心是，半径为的圆， 选项A，设，即， 因为点在圆上，所以可知直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，即， 所以，即的最大值为，故A正确； 选项B，由表示圆上的点到点的距离的平方， 又，所以点在圆外， 由圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的最小距离为，如图所示： ， 所以的最小值为；故B错误； 选项C，由可知， 该表达式表示圆上的点到直线的距离的倍， 由圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的范围为即， ， 所以的取值范围为，故C正确； 选项D，表示圆上的点与点连线的直线的斜率， 由，所以点在圆外， 设该直线的斜率为， 则该直线的方程为：即， 由题意可知当直线与圆相切时，有最值， ， 所以当直线与圆相切时有， 化简得：，解得：， 即的最大值为，故D错误. 【变式11-2】（25-26高二上·福建泉州·期末）（多选）已知点，动点与点的距离是它与点的距离的，则（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹方程为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】选项AB，由求解判断；选项C令，由圆心到直线的距离小于等于半径求解判断；选项D令，由圆心到直线的距离小于等于半径求解判断. 【详解】由，得，化简得，故A正确，B错误； 令，即，圆心到直线的距离为，解得，所以的取值范围为，故C正确； 令，即，圆心到直线的距离为，解得，所以的取值范围为，故D错误； 故选：AC 题型十二 与圆有关的新定义题（跨章节） 解｜题｜技｜巧 对于与圆有关的新定义问题，求解的关键是读懂新定义，然后根据此新定义去解决问题,在求解的过程中，同时结合圆的方程与性质、直线与圆或圆与圆位置关系的相关知识求解. 【典例12】（2025·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”. (1)已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值. (2)已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围. 【分析】（1）利用向量夹角公式和圆的方程来求解的值； （2）设，根据 “相关点”，则，，得到设，可得结合，得最后根据点的轨迹与圆有公共点，求得的取值范围即可. 【详解】（1）因为，，点是点关于点的 “相关点”， 所以，， 则，即 因为，所以， 又，，则， 两边平方得，即，即， 解得 （2）设，因为在圆：上，所以 点是点关于点的 “相关点”，则，， 所以， 即 设，则，可得 因为，所以，整理得 因为点的轨迹与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足. 连不等式前面可化为. 两边同时平方可得，展开得. 可得. 因为，所以，即，即恒成立，所以， 即不等式的解集为. 连不等式后边可化为. 两边同时平方可得，展开得. 移项可得， 又，可得，解得. 因为不等式的解集为，不等式的解集为， 所以原不等式的解集为. 【变式12】（25-26高三上·山东泰安·阶段练习）现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）根据题设定义得到，再利用两点间的距离公式，即可求解； （2）（i）根据条件可得直线为圆和的公共弦所在直线，即可求解；（ii）根据题设得到圆的方程为，再根据题设有，联立，消可得，结合条件，利用根与系数的关系，即可求解. 【详解】（1）设，因为点为圆的“上进点”， 所以，即，又，得到， 所以的轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心､为半径的圆. （2）（i）因为为圆“”的“牵连点”，所以同时为圆与圆的“上进点”， 由为圆的“上进点”，得，所以， 即点在圆上， 由为圆的“上进点”，由（1）知点在圆上， 所以点是圆和的交点. 因为均为圆“”的“牵连点”， 所以直线为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线的方程为. （ii）因为的圆心为，半径为， 又的圆心为，半径为， 所以直线的方程为，与联立得的中点坐标为， 点S到直线的距离为，则， 所以圆的方程为， 假设轴上存在点满足题意，设. 则，即，整理得. 将，代入上式可得， 整理得①， 联立，消可得，， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以， 故轴上存在点，满足题意恒成立. ` 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．（25-26高二上·福建莆田·期中）设方程表示的曲线是（    ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 【答案】D 【详解】由，可得， 则由，可得， 则方程表示的曲线是一条直线.故选：D 2．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【详解】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 3．（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程得出圆的圆心坐标，再结合圆关于直线对称，将圆心代入直线方程中求解即可. 【详解】因为圆方程为，所以圆心为， 又因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以，即. 4．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 所以无论取多少，当时， 为 所以，以点为圆心，半径长为1的圆的方程是. 5.（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：，则圆关于直线：对称的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆：的圆心为，半径. 设关于直线：的对称点为. 由 ，所以. 所以圆关于直线：对称的圆的方程为. 6．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知圆，圆，则圆与圆（     ） A．相交 B．外切 C．内含 D．外离 【答案】B 【分析】由圆的方程可确定两圆的圆心和半径，由两圆圆心距与两圆半径的关系可判断出位置关系. 【详解】由圆方程知：圆心，半径；由圆方程知：圆心，半径； 圆心距，所以，故圆与圆外切. 7．（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】设点， 因为，所以， 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以点到直线的最大距离． 故选：B． 8．（多选）（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 9．(多选)（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 【答案】ABD 【详解】由，则圆心，半径， 由，则圆心，半径， 所以，即，故两圆相交， 所以圆与圆有两条公切线，A对； 两圆作差有，整理得，B对； 由到的距离，则，C错； 由B知，则线段的垂直平分线的斜率， 故线段的垂直平分线的方程为，D对. 故选：ABD 10．（26-27高三上·湖北·阶段检测）圆C：在原点处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】将圆的一般方程配方化为标准方程，利用切线与半径垂直的性质求斜率写出切线方程即可. 【详解】将圆的一般方程配方化为标准方程： ， 整理得，因此圆心的坐标为. 因原点在圆上，，则切线的斜率, 故该圆在原点处的切线方程为.    的直线方程为 . 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 11．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）圆被直线截得的弦长为，则所有满足条件的实数的和为________． 【答案】 【分析】由弦长为，求得圆的圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可求得的值，从而求得所有满足条件的实数b的和. 【详解】由， 得. 所以圆的圆心为，半径为. 因为圆被直线截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为. 由，得， 所以， 解得或. 所以所有满足条件的实数b的和为. 12．（25-26高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断直线过定点，根据点在圆内，即可判断取到最大以及最小值时的情况，即可求答案. 【详解】依题意，圆，圆心，半径为， 直线过定点，，故点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最大，为直径， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时的最小值为，故的取值范围为． 13．（25-26高二上·全国·课后作业）已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】由题意得圆心在轴上的圆经过点，，三点， 可得线段为圆的直径，而点在圆上，则，得到， 又，，则，而不重合，得到， 故点的轨迹方程为． 14．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知顶点、、. (1)求的外接圆的方程； (2)若直线过点，且的横截距是纵截距的2倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用直角三角形斜边中点求外接圆圆心和半径；（2）按直线是否经过原点分类求解． 【详解】（1）由、、，得，即． 因此为外接圆的直径，其圆心是的中点，如图所示． 故，圆的半径， 所以外接圆的方程为． （2）当直线经过原点时，横、纵截距均为，满足题意． 又经过，所以的方程为，即． 当直线不经过原点时，设纵截距为，横截距为（），可设直线方程为． 将代入，得，解得，所以的方程为． 15．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4，两圆方程相减得，所以直线的方程为． 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为． （2）A在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点分别在圆和圆上，易知直线的斜率存在，设直线的方程是，即，则点到直线的距离为，点到直线的距离为． 16．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知点，为坐标原点，圆：． (1)当时，已知圆和圆相交于，两点，求线段的长度； (2)若圆上存在点使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再结合点到直线距离公式和弦长公式计算AB长度；（2） 先将转化为点P的轨迹方程，再利用两圆有公共点的圆心距条件求解a的取值范围. 【详解】（1）当时，圆M：，即圆M：， 圆和圆相交于，，将两圆方程作差消去二次项，得公共弦AB所在直线方程为， 圆的圆心为，半径，故圆心到直线AB的距离为 ， 由弦长公式得. （2）设点，由，得 ， 两边平方得 ，整理得点P的轨迹方程为， 即轨迹为以为圆心，半径的圆， 由题意圆M与上述轨迹圆有公共点，圆M的圆心为，半径，故圆心距满足 ，即，两边平方得， 对，化简为，其判别式，故该不等式对任意实数a恒成立； 对，化简为，解得； 综上，实数a的取值范围为 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．已知圆与直线相交于不同的两点，，点满足，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则. ，则直线过定点， 注意到在圆上，设为点M，则，因， 则为中点，如图取CM中点为F，连接PF，由中位线定理可得： ，，则点的轨迹方程为以为圆心， 半径为1的圆去掉点M，即. 故选：B 2．（26-27高二上·全国·课后作业）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程. 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 3．（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）已知圆，点，经过点P的直线与圆C相交于A、B两点，则的最大值与最小值分别为（    ） A．6与4 B．6与 C．与4 D．9与 【答案】A 【分析】结合图形，可得和为的最大值与最小值，计算即可. 【详解】如图， 点在圆C内，经过点和点作直线交圆于点， 过点作直线的垂线，交圆于点，连接， 则， 故和为的最大值与最小值，其中， 因，则. 附注：下面说明为的最小值. 如图，过点另作直线，交圆于点，连接， 取的中点，连接， 则，且，因圆的半径为3， 在中，， 又，故， 从而， 故为的最小值.    4．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）游乐园里有一个半径为5的圆形水池（对应圆：）．现在要在水池里搭一条直线形的浮桥，浮桥的位置满足方程（是可以调节的参数），需要找到浮桥被水池截得的最短长度，这样的浮桥既节省材料，又能让游客体验最佳．则浮桥的最短长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】即， 由得，即直线恒过定点， 且，点在圆内， 欲使浮桥被水池截得的最短长度，则需直线与垂直， 故浮桥的最短长度是. 5．（多选）已知直线，圆，则（　　） A．直线过定点　　 B．圆的半径是1 C．存在一个实数，使得直线经过圆的圆心　　 D．无论取何值，直线与圆相交 【答案】ACD 【详解】变形为， 令，解得：， 可得直线过定点，正确；变形为， 圆的圆心为，半径为3，则B错误； 将代入直线中，，解得：， 当时，直线经过圆心，则正确； 将代入中，， 故点在圆内，所以无论取何值，直线与圆都相交，则D正确. 故选：ACD 6．（多选）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A错误. 对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B正确. 对于C，设， 则， 等号成立当且仅当，所以C正确. 对于D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D错误. 故选：BC 7．（多选）（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．两圆的公切线有2条 B．直线的方程为 C．若两点到直线的距离相等，则 D．当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【分析】求得圆心距，可判断A；两圆方程相减求得得公共弦的方程可判断B；求得两交点坐标，可得，求解可判断C；由题意有4个公共点时，求解可判断D. 【详解】由圆，可得圆，所以圆心，半径， 由圆，可得圆， 所以，半径， 所以两圆的圆心距为，所以， 所以两圆相交，所以两圆的公切线有2条，故A正确； 因为圆与圆， 所以两圆的方程相减可得公共弦的方程：，即，故B正确； 由，得，代入圆，可得， 整理得，解得或，所以，， 由两点到直线的距离相等，所以， 解得或，故C错误； 由圆上恰有4个点到直线的距离等于1，则，解得， 所以当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1，故D正确. 故选：ABD. 8．（多选）（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 【答案】BD 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为2， 由题意可得， 所以， ， 所以，故A错误； 对于B，， 所以四边形面积的最小值为4，故B正确； 对于C，当最小时，，则直线的斜率为， 又，所以直线的斜率为， 的直线方程为，即， 由，解得，，即， 因为当最小时，，所以为等腰直角三角形， 所以中点即为中点， 因为的中点为，所以弦的中点为， 所以弦所在的直线方程为，即，故C错误； 对于D，设， 则以为直径的圆的方程为， 展开得①， 圆C的方程为，即②， ①②得弦所在直线方程为，即， 令，解得， 所以弦所在直线必过定点，故D正确； 故选：BD． 9．已知实数满足圆的方程，则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题设表示圆上的点到定点的距离， 而圆的圆心为，半径为2， 所以的最大值为. 故答案为： 10.(25-26高二上·辽宁实验中学·期中)已知直线，当k变化时，点到直线l的距离的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为直线，所以直线过定点， 所以当直线与直线垂直时，到直线l的距离最大， 此时， 又因为当直线过点时，，所以. 故答案为：. 11．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 【答案】 【分析】根据题意设的坐标为，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标. 【详解】因为为直线：上的任一点，所以设， 由于圆的两条切线，，切点分别为，， 所以，， 则点、在以线段为直径的圆上，即线段是圆和圆的公共弦， 则圆心的坐标是，且半径的平方是， 所以圆的方程是， 即  ①，又  ②， ②-①得：， 即公共弦所在的直线方程是， 即， 由，解得， 所以直线AB恒过定点. 12．（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设，，． 因为，所以． 已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距）， 可得直线的方程为． 已知，，则直线的方程为． 因为是和的交点， 所以的坐标满足和的方程． 对于直线的方程， 用表示出,得． 对于直线的方程， 用表示出,得． 因为，所以，即． 当时的情况不满足动点和分别位于轴正半轴和负半轴上， 因此所求轨迹方程为． 13．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知动点P在直线上，动点Q在圆上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为． (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)求的最小值及的最大值； (3)证明直线过定点． 【答案】(1)直线与圆相离， (2),的最大值为 (3)证明：设，则以为直径的圆的方程为， 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由， 解得，即直线过定点， 【分析】（1）根据点到直线的距离与半径的关系即可求解； （2）由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值； （3）根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程求解定点. 【详解】（1）圆的圆心，半径，连接， 点到直线的距离， 直线与圆相离， （2）点在圆上，则， 由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为. （3）略 14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 期中综合突破练（测试时间：20分钟） 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 2．（25-26高一下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，则为的中点，由四边形的面积为，可得的表达式，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，即可求得. 【详解】圆，即，则圆心为，半径为1，则， 设，由题意可知，为的中点，，， 故四边形的面积为， 则，故， 所以， 所以， 又因为，所以， 得，解得，因此. 3．(多选)（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则（   ） A．与圆O相切 B．是两条平行的直线 C． 的最大值为 D．上的点到原点O的距离的最大值为6 【答案】C 【详解】 设，由题意，，因，代入坐标可得：， 两边取平方，整理得：，即， 故点M的轨迹为是圆心在点，半径为的圆. 对于A，因圆与圆的圆心距满足，故两圆相交，即A错误； 对于B，由上分析知是圆心在点，半径为的圆，故B错误； 对于C，如图，当与圆相切时，取得最大值，此时记切点为， 因，则，故得的最大值即，故C正确； 对于D，由上分析，因圆的圆心与原点O都在轴上， 故圆与轴的右交点到原点O的距离最大，且距离最大为，故D错误. 故选：C. 4．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得. 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，，点为直线上动点，当最大时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】以为直径的圆方程为， 因为原点到直线的距离，所以圆与直线相离， 所以， 设，因为点为直线上，所以， 1）当时，，此时； 2）当时，，此时； 3）当且时， 因为，所以， 记直线的斜率分别为， 则， 所以 ， 当时，； 当时， 若，则，， 当且仅当时等号成立，故 若，则，，当且仅当时等号成立. 综上，的最大值为2， 因为单调递增，所以，此时取得最大值，点坐标为. 6．（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）已知某台风中心从点出发，以每小时60千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过450千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距600千米，则点处于危险区域的时长是__________小时． 【答案】5 【分析】以为原点，正东方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，根据弦长公式求出弦的长度，再除以速度，即可得到答案. 【详解】以为原点，正东方向为轴的正方向建立平面直角坐标系. 当台风中心到点距离不超过450千米时，处于危险区域，即以为圆心，450千米为半径作圆， 圆与台风行进路线交于，两点. 过点作，垂足为． 由题意可知千米，千米，， 在直角三角形中，千米， 从而千米， 故点处于危险区域的时长是小时． 7．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆：，点为直线上一动点，为坐标原点． (1)当时，过点作直线与圆相交，若直线将圆分成两段弧，弧长比为，求直线的方程； (2)当时，点在圆上运动，点满足，求的最小值； (3)过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线，与轴分别交于点，点，求线段长度的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由弧长比得到圆心角，再利用弦心距求解； （2）设出点坐标，转化为点到直线的距离小于等于半径求解； （3）设出切线方程，利用韦达定理和根的判别式求解. 【详解】（1）由弧长比为，可得圆心角比为，所以圆心角， 设直线方程为：，则弦心距为：， 而圆心到直线的距离为：，所以，解得：， 则或，所以直线的方程为：或. （2） 设，，则，，， 因为，所以，代入圆方程得， 化简得：①，即：的轨迹是圆心为，半径为的圆. ②， 将①式代入②式中，得：， 问题转变为求的最小值，令， 构建新的直线方程：， 因为直线和圆有交点，所以圆心到直线的距离小于等于圆的半径， 即： ，解得：，即：，所以的最小值为. （3）设直线方程为：，因为直线与圆相切，所以弦心距为2，即：，整理合并化简得：， 因为必定有两条切线，所以关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ，所以，解得：. 由韦达定理得：，，此时直线分别为：， 所以和轴交点坐标为，同理可得另一条直线和轴交点坐标为， 所以，而， 当且仅当时取等号，所以线段长度的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 圆的方程的应用 题型二 与圆有关的轨迹问题 题型三 与圆有关的最值问题 题型四 直线与圆的位置关系的判断与应用 题型五 圆的弦长问题 题型六 切线问题 题型七 圆与圆的位置关系的判断及求参 题型八 公共弦与公切线问题 题型九 利用韦达定理解决直线与圆的相交问题 题型十 圆的实际应用 题型十一 直线与圆中几种常见代数式的最值问题 题型十二 与圆有关的新定义题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 圆的方程 1、会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征，能根据所给条件求圆的标准方程. 2、掌握点与圆的位置关系，理解圆的一般方程及其特点，培养数学抽象的核心素养. 3、掌握圆的一般方程和标准方程的互化方法，会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程，强化数学运算与逻辑推理的核心素养. 期中必考点，涉及各种题型 直线和圆的位置关系 1、理解直线与圆的三种位置关系，能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能解决有关直线与圆的位置关系的问题，强化数学运算的核心素养. 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 期中必考点，像弦长、切线、距离最值问题都是几乎必考的考点，涉及各种题型 圆和圆的位置关系 能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系，能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，提升数学运算、数学建模的核心素养. 期中必考点，多出现在小题 知识点01 圆的定义与方程 1、圆的定义与方程： 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹） 标准方程 圆心：（a，b），半径： 一般方程 圆心：， 半径： ·易错点：在圆的一般方程中，要注意当时，方程才表示圆；当时，方程表示一个点，当时，方程不表示任何图形. 2、点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）若在圆外，则． （2）若在圆上，则． （3）若在圆内，则． 3、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 4、圆系方程 (1)同心圆系方程：，其中是定值，是参数； (2)过直线与圆交点的圆系方程： ； （3）过圆和圆交点的圆系方程：（该圆系不含圆，解题时，注意检验圆是否满足题意，以防漏解）． 知识点02 直线与圆的三种位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 3、直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 （1）几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 3、直线与圆相切 （1）圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 （2）过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 4、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； ·示例：已知圆,过点的直线,则（　） A．与相交 B．与相切 C．与相离D．以上三个选项均有可能 【详解】,所以点在圆C内部，所以过点P的直线l必与圆C相交.故选A. 知识点03 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 2、圆与圆的位置关系的判断 (1)几何法:根据两圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断. 设两圆半径分别为r1,r2,两圆的圆心距为d,则 两圆位置关系 d 图示 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 内切 d=|r1-r2| 内含 0≤d<|r1-r2| (2)代数法:根据两圆方程联立的方程组解的情况判断. 设☉O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,☉O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0, 对于方程组 方程组有两组不同的实数解⇔两圆相交; 方程组有两组相同的实数解⇔两圆相切; 方程组无实数解⇔两圆相离. 易错点：对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论．如当时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当时，还需要判断两圆是外切，还是内切． 3、圆与圆的公共弦 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 4、圆与圆的公切线 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． ·示例：两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.外离 B.相交 C.内切 D.外切 【详解】两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的圆心分别为(0,0)和(4,-3),半径分别为3和4.两圆的圆心距d==5.又4-3<5<3+4,故两圆相交. 题型一 圆的方程的应用 解｜题｜技｜巧 1、确定圆的方程必须有三个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2、几何法在圆中的应用 在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用． 3、点与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较. （2）代数法：直接利用下面的不等式判定. ①(x0-a)2+(y0-b)2>r2，点在圆外； ②(x0-a)2+(y0-b)2=r2，点在圆上； ③(x0-a)2+(y0-b)2<r2，点在圆内. 【典例1-1】（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，． (1)求边上中线所在的直线方程； (2)求过，，三点的圆的方程． 【典例1-2】（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【变式1-1】（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【变式1-3】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 题型二 与圆有关的轨迹问题 解｜题｜技｜巧 主要有两种类型，一种是点的轨迹为圆，另一种是以圆为载体，考查动点的轨迹或轨迹方程.求动点的轨迹方程往往先设出动点的坐标，再找等量关系列轨迹方程；有时也可由已知条件判断出轨迹图形，然后由图形求方程. 【典例2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为． (1)求圆的方程； (2)若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程； 【变式2-1】（26-27高二上·广东广州·阶段检测）在直角坐标平面内，过定点的直线：与过定点的直线：相交于点，则点到点的距离的最大值为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知，，若直线上存在点，满足，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 题型三 与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 圆中的最值问题主要有两种解决策略，一是代数法，即通过构造函数，将最值转化为函数的最值；二是几何法，即利用圆的丰富的几何性质得到最值. 【典例3】已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为 (1)求圆C的方程； (2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值． 【变式3-1】（26-27高二上·陕西榆林·阶段检测）已知为圆的一条直径，点为直线上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．7 C．8 D．9 【变式3-2】（26-27高二上·北京·阶段检测）已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 题型四 直线与圆的位置关系的判断及应用 解｜题｜技｜巧 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 【典例4-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知直线，圆则直线与圆位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【典例4-2】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知圆，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【变式4-2】（2026·全国·模拟预测）已知直线，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，则（    ） A．1或 B．－1或 C．或－1 D．1或－1 题型五 圆的弦长问题 解｜题｜技｜巧 设直线l的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)，求弦长的方法通常有以下两种 （1） 几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点，如图所示.在Rt△OCB中，|BC|2=r2-d2，则弦长|AB|=2|BC|=2. （2）代数法：解方程组消元后可得关于x1+x2，x1·x2或y1+y2，y1·y2的关系式，则|AB|== ，其中k为直线l的斜率且不为0. 【典例5-1】（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【典例5-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆被直线所截得的弧长之比为，则实数m的值是（   ） A． B．1 C．3 D．4 【变式5-1】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）直线过点，且与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【变式5-2】（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）已知圆C过点，圆心在y轴正半轴上，且与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点的直线l交圆C于A，B两点，且的长度为，求直线l的方程． 题型六 切线问题 解｜题｜技｜巧 1、求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数. （1）求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为-，由点斜式方程可求得切线方程.如果k=0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0. （2）求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解： 设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x=x0. 2、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为： （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为 【典例6-1】（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】(24-25高二上·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为 ，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 . 【变式6-1】（26-27高二上·河南·阶段检测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为______________. 【变式6-2】（25-26高二上·广西钦州·期末）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 【变式6-3】（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求： (1)求切线的方程； (2)求切线段的长度． 题型七 圆与圆的位置关系的判断及求参 解｜题｜技｜巧 判断两圆位置关系的方法有两种：一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较烦琐；二是几何法，看两圆圆心距d，当d=r1+r2时，两圆外切，d=|r1-r2|时，两圆内切，d>r1+r2时，两圆外离，d<|r1-r2|时，两圆内含，|r1-r2|<d<r1+r2时，两圆相交. 【典例7-1】（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 【典例7-2】判断下列两个圆的位置关系： (1)与； (2)与． 【变式7-1】（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知圆与圆外切，则a的值为______． 【变式7-2】（26-27高二上·江西·阶段检测）设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 【变式7-3】（24-25高二上·湖南永州·月考）若存在实数使得与内切，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型八 公共弦与公切线问题 解｜题｜技｜巧 1、公切线 两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 2、公共弦 （1）求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数. （2）求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解. （3）已知圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1). 【典例8-1】圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例8-2】（多选）（26-27高二上·山东菏泽·阶段检测）（多选）圆和圆的交点为，，则有（     ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【变式8-1】（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）（25-26高二上·全国·期中）（多选）已知圆和圆，则（    ）． A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线 C．圆与公共弦所在的直线方程为 D．圆与上共有3个点到直线的距离为1 【变式8-3】（25-26高二上·广东·月考）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 题型九 利用韦达定理解决直线与圆的相交问题 解｜题｜技｜巧 直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．当此类问题用几何法不易求得时，常改变思路，通过联立直线与圆的方程，利用韦达定理，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题, 【典例9】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知点，动点满足． (1)求动点G的轨迹方程； (2)若直线与点G的轨迹交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点C，若A，Q，C三点共线，求m的值． 【变式9】（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 题型十 圆的实际应用 解｜题｜技｜巧 核心知识 将实际问题转化为平面直角坐标系建立圆与直线模型 方法技巧 建立坐标系确定圆心半径与直线方程，利用距离位置关系判断是否相交相切。 【典例10】（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； (2)若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (3)在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 【变式10-1】（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【变式10-2】（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 题型十一 直线与圆中几种常见代数式的最值问题 解｜题｜技｜巧 核心知识 表示动点与定点连线斜率; 可利用三角换元; 表示距离平方. 方法技巧 识别代数式几何含义转化为距离斜率截距问题，利用圆几何性质求最值. 【典例11】（多选）（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．的最大值为 C．（）的取值范围是 D．的取值范围是 【变式11-1】（多选）（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 【变式11-2】（多选）（25-26高二上·福建泉州·期末）已知点，动点与点的距离是它与点的距离的，则（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹方程为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 题型十二 与圆有关的新定义题（跨章节） 解｜题｜技｜巧 对于与圆有关的新定义问题，求解的关键是读懂新定义，然后根据此新定义去解决问题,在求解的过程中，同时结合圆的方程与性质、直线与圆或圆与圆位置关系的相关知识求解. 【典例12】（2025·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”. (1)已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值. (2)已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围. 【变式12】（25-26高三上·山东泰安·阶段练习）现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. ` 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．（25-26高二上·福建莆田·期中）设方程表示的曲线是（    ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 2．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线恒过定点，则以点为圆心，半径长为1的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：，则圆关于直线：对称的圆的方程（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）已知圆，圆，则圆与圆（     ） A．相交 B．外切 C．内含 D．外离 7．（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 8．（多选）（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 9．(多选)（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆交于两点，则（    ） A．圆与圆有两条公切线 B．直线的方程为 C． D．线段的垂直平分线的方程为 10．（26-27高三上·湖北·阶段检测）圆C：在原点处的切线方程为__________． 11．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）圆被直线截得的弦长为，则所有满足条件的实数的和为________． 12．（25-26高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 13．（25-26高二上·全国·课后作业）已知平面直角坐标系中不同的三点，，，圆心在轴上的圆经过三点，设点的坐标为，则点的轨迹方程为 ． 14．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知顶点、、. (1)求的外接圆的方程； (2)若直线过点，且的横截距是纵截距的2倍，求直线的方程. 15．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于两点，在第二象限． (1)求以为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 16．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知点，为坐标原点，圆：． (1)当时，已知圆和圆相交于，两点，求线段的长度； (2)若圆上存在点使得，求实数的取值范围． 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．已知圆与直线相交于不同的两点，，点满足，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·全国·课后作业）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·西藏拉萨·阶段检测）已知圆，点，经过点P的直线与圆C相交于A、B两点，则的最大值与最小值分别为（    ） A．6与4 B．6与 C．与4 D．9与 4．（26-27高二上·广东汕头·阶段检测）游乐园里有一个半径为5的圆形水池（对应圆：）．现在要在水池里搭一条直线形的浮桥，浮桥的位置满足方程（是可以调节的参数），需要找到浮桥被水池截得的最短长度，这样的浮桥既节省材料，又能让游客体验最佳．则浮桥的最短长度是（     ） A． B． C． D． 5．（多选）已知直线，圆，则（　　） A．直线过定点　　 B．圆的半径是1 C．存在一个实数，使得直线经过圆的圆心　　 D．无论取何值，直线与圆相交 6．（多选）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4 7．（多选）（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知圆与圆交于两点，则下列说法正确的是（   ） A．两圆的公切线有2条 B．直线的方程为 C．若两点到直线的距离相等，则 D．当时，圆上恰有4个点到直线的距离等于1 8．（多选）（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知圆和直线，点P在直线l上运动，直线、分别与圆C相切于点，则下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为4 C．当最小时，弦所在的直线方程为 D．弦所在直线必过定点 9．已知实数满足圆的方程，则的最大值为___________． 10.(25-26高二上·辽宁实验中学·期中)已知直线，当k变化时，点到直线l的距离的取值范围是______. 11．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 12．（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为 ． 13．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知动点P在直线上，动点Q在圆上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为． (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)求的最小值及的最大值； (3)证明直线过定点． 14．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 期中综合突破练（测试时间：20分钟） 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆·期末）已知圆与圆相交于A、B两点，若四边形的面积为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 3．(多选)（25-26高三上·河北衡水·开学考试）已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则（   ） A．与圆O相切 B．是两条平行的直线 C． 的最大值为 D．上的点到原点O的距离的最大值为6 4．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点，，点为直线上动点，当最大时，点的坐标为 ． 6．（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）已知某台风中心从点出发，以每小时60千米的速度向东偏北方向匀速移动，离该台风中心不超过450千米的地区为危险区域．若在的东偏南方向上，且相距600千米，则点处于危险区域的时长是__________小时． 7．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知圆：，点为直线上一动点，为坐标原点． (1)当时，过点作直线与圆相交，若直线将圆分成两段弧，弧长比为，求直线的方程； (2)当时，点在圆上运动，点满足，求的最小值； (3)过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线，与轴分别交于点，点，求线段长度的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $