专题2.1 直线的倾斜角与斜率（期中复习讲义）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.1 直线的倾斜角与斜率（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题2.1 直线的倾斜角与斜率（期中复习讲义） 1 知识点1 直线的倾斜角 1 知识点2 直线的斜率 1 知识点3 两点间的斜率公式与斜率的存在性 2 知识点4 直线的平行与垂直（斜率关系） 2 【题型1 求直线的倾斜角】 2 【题型2 求直线的斜率】 3 【题型3 三点共线与直线平行（斜率相等）】 3 【题型4 直线的垂直（斜率乘积为 −1）】 4 【题型5 含参直线的斜率与倾斜角讨论】 5 【综合·培优提升】 5 【重难点】 ★重点： 1. 倾斜角的定义与范围 2. 斜率 （） 3. 两点斜率公式 4. 斜率存在性的判断 5. 平行（斜率相等）与垂直（，两斜率均存在）的判定． ▲难点： 1. 倾斜角与斜率的对应关系（尤其是钝角对应负斜率） 2. 斜率不存在的情形 3. 含参问题中斜率符号与倾斜角范围的讨论 4. 垂直条件中“一斜率不存在、另一为”的特殊情形． 知识点1 直线的倾斜角 【重难点】 ★重点： 1. 倾斜角的定义、范围 ▲难点： 1. 当直线与 x 轴平行或重合时倾斜角为 ，而非 2. 倾斜角总是取直线向上方向与 x 轴正向的最小正角． （1）定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角． （2）特殊规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定其倾斜角为 ． （3）范围：倾斜角 的取值范围是 ． 知识点2 直线的斜率 【重难点】 ★重点： 1. 斜率与倾斜角的关系 ▲难点： 1. 时 无意义，斜率不存在 2. 时 ． （1）定义：倾斜角 （）的正切值叫做直线的斜率，记作 k，即 ． （2）对应关系： 时 （水平直线） 1） 时 且随 增大而增大 2） 时斜率不存在（竖直直线） 3） 时 ，且随 增大（趋近 ）k 从 −∞ 增到 ． （3）常用值：，，，，． 知识点3 两点间的斜率公式与斜率的存在性 【重难点】 ★重点： 1. 两点斜率公式 ▲难点： 1. 时分母为 ，斜率不存在，此时直线垂直于 x 轴（倾斜角为 ）． （1）公式：过两点 、（）的直线的斜率 ． （2）存在性：当 且 时，直线垂直于 x 轴，斜率不存在，当 且 时，两点重合，不能确定直线． （3）易错：求斜率前先看两点的横坐标是否相等，避免直接套公式导致分母为零． 知识点4 直线的平行与垂直（斜率关系） 【重难点】 ★重点： 1. 斜率存在时 ⇔ 2. ⇔ ▲难点： 1. 平行还需排除两直线重合 2. 垂直时若一条斜率为 ，则另一条斜率必不存在（竖直）． （1）平行：两条不重合且斜率都存在的直线平行 ⇔ ． （2）垂直（斜率均存在）： ⇔ ． （3）特殊情况：若一条直线斜率不存在（竖直），另一条斜率为 （水平），则两直线也垂直，若两条都斜率不存在，则两直线平行（或重合）． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】若直线的斜率 ，则其倾斜角 （　　） A． B． C． D． 【变式1-1】若直线斜率 ，则其倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知直线斜率 ，则该直线的倾斜角为______． 【变式1-3】若直线斜率 ，则倾斜角 （　　） A． B． C． D． 【题型2 求直线的斜率】 【例2】经过 、 两点的直线斜率 ______． 【变式2-1】经过 、 两点的直线斜率 ______． 【变式2-2】经过 、 两点的直线斜率（　　） A． B． C． D．不存在 【变式2-3】倾斜角为 的直线，其斜率 ______． 【题型3 三点共线与直线平行（斜率相等）】 【例3】已知 、、，则 A、B、C 三点（　　） A．共线 B．不共线 C．构成直角三角形 D．无法判断 【变式3-1】若 、、 三点共线，则实数 ______． 【变式3-2】直线 l 过点 且与过 、 的直线平行，则 l 的斜率为 ______． 【变式3-3】已知 、、 三点共线，求实数 a 的值． 【题型4 直线的垂直（斜率乘积为 ）】 【例4】已知 、 与 、，判断直线 与 的位置关系． A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【变式4-1】直线 过 、，直线 过 、，则 与 ______（填“垂直”或“不垂直”）． 【变式4-2】若过 、 的直线与过 、 的直线垂直，则实数 ______． 【变式4-3】已知直线 l：，求过点 且与 l 垂直的直线斜率． 【题型5 含参直线的斜率与倾斜角讨论】 【例5】已知直线 l 过点 和 ，求 l 的斜率，并讨论 m 为何值时 l 的倾斜角为锐角、钝角或直角． 【变式5-1】经过 和 两点的直线斜率 k_ ______（用 k 表示）． 【变式5-2】若直线的倾斜角为锐角，且斜率 ，求实数 a 的取值范围． 【变式5-3】直线过 和 ，求 a 的取值范围使该直线的倾斜角为钝角． 【综合·培优提升】 【培优1】已知 、、 三点共线，求实数 a 的值． 【培优2】直线 l 过 和 （），求 k 的取值范围使 l 的倾斜角为锐角． 【培优3】已知 、、，利用斜率判断 的形状． 【培优4】直线 l 过 和 ，当 t 变化时，求 l 斜率的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 直线的倾斜角与斜率（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题2.1 直线的倾斜角与斜率（期中复习讲义） 1 知识点1 直线的倾斜角 1 知识点2 直线的斜率 1 知识点3 两点间的斜率公式与斜率的存在性 2 知识点4 直线的平行与垂直（斜率关系） 2 【题型1 求直线的倾斜角】 2 【题型2 求直线的斜率】 3 【题型3 三点共线与直线平行（斜率相等）】 3 【题型4 直线的垂直（斜率乘积为 −1）】 4 【题型5 含参直线的斜率与倾斜角讨论】 5 【综合·培优提升】 5 【重难点】 ★重点： 1. 倾斜角的定义与范围 2. 斜率 （） 3. 两点斜率公式 4. 斜率存在性的判断 5. 平行（斜率相等）与垂直（，两斜率均存在）的判定． ▲难点： 1. 倾斜角与斜率的对应关系（尤其是钝角对应负斜率） 2. 斜率不存在的情形 3. 含参问题中斜率符号与倾斜角范围的讨论 4. 垂直条件中“一斜率不存在、另一为”的特殊情形． 知识点1 直线的倾斜角 【重难点】 ★重点： 1. 倾斜角的定义、范围 ▲难点： 1. 当直线与 x 轴平行或重合时倾斜角为 ，而非 2. 倾斜角总是取直线向上方向与 x 轴正向的最小正角． （1）定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角． （2）特殊规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定其倾斜角为 ． （3）范围：倾斜角 的取值范围是 ． 知识点2 直线的斜率 【重难点】 ★重点： 1. 斜率与倾斜角的关系 ▲难点： 1. 时 无意义，斜率不存在 2. 时 ． （1）定义：倾斜角 （）的正切值叫做直线的斜率，记作 k，即 ． （2）对应关系： 时 （水平直线） 1） 时 且随 增大而增大 2） 时斜率不存在（竖直直线） 3） 时 ，且随 增大（趋近 ）k 从 −∞ 增到 ． （3）常用值：，，，，． 知识点3 两点间的斜率公式与斜率的存在性 【重难点】 ★重点： 1. 两点斜率公式 ▲难点： 1. 时分母为 ，斜率不存在，此时直线垂直于 x 轴（倾斜角为 ）． （1）公式：过两点 、（）的直线的斜率 ． （2）存在性：当 且 时，直线垂直于 x 轴，斜率不存在，当 且 时，两点重合，不能确定直线． （3）易错：求斜率前先看两点的横坐标是否相等，避免直接套公式导致分母为零． 知识点4 直线的平行与垂直（斜率关系） 【重难点】 ★重点： 1. 斜率存在时 ⇔ 2. ⇔ ▲难点： 1. 平行还需排除两直线重合 2. 垂直时若一条斜率为 ，则另一条斜率必不存在（竖直）． （1）平行：两条不重合且斜率都存在的直线平行 ⇔ ． （2）垂直（斜率均存在）： ⇔ ． （3）特殊情况：若一条直线斜率不存在（竖直），另一条斜率为 （水平），则两直线也垂直，若两条都斜率不存在，则两直线平行（或重合）． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】若直线的斜率 ，则其倾斜角 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定依据：由 ，且 ，得 。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 C． 【变式1-1】若直线斜率 ，则其倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定依据：由 且 ，得 （注意倾斜角不能为负）。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【变式1-2】已知直线斜率 ，则该直线的倾斜角为______． 【答案】见【详解】。 【详解】 且，故 ．答案：（或 ）． 【变式1-3】若直线斜率 ，则倾斜角 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判定依据：，，故 。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【题型2 求直线的斜率】 【例2】经过 、 两点的直线斜率 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 由两点斜率公式，．答案：． 【变式2-1】经过 、 两点的直线斜率 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 ．答案：． 【变式2-2】经过 、 两点的直线斜率（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【分析】判定依据：两点横坐标相等（），直线垂直于 x 轴， 斜率不存在。 【详解】 A：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：不存在。由判定依据计算/推理可知该项正确。 故选 D． 【变式2-3】倾斜角为 的直线，其斜率 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 ．答案：． 【题型3 三点共线与直线平行（斜率相等）】 【例3】已知 、、，则 A、B、C 三点（　　） A．共线 B．不共线 C．构成直角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】判定依据：k_，k_，k__， 且公共点为 B，故 A、B、C 三点共线。 【详解】 A：共线。由判定依据计算/推理可知该项正确。 B：不共线。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 C：构成直角三角形。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：无法判断。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 A． 【变式3-1】若 、、 三点共线，则实数 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 k_，k_． 由共线得 ，解得 ．答案：． 【变式3-2】直线 l 过点 且与过 、 的直线平行，则 l 的斜率为 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 k_，平行直线斜率相等，故 l 的斜率 ．答案：． 【变式3-3】已知 、、 三点共线，求实数 a 的值． 【答案】见【详解】。 【详解】 k_，k_．由共线得 ，解得 ． 经检验 时 k_，三点确实共线．答案：． 【题型4 直线的垂直（斜率乘积为 ）】 【例4】已知 、 与 、，判断直线 与 的位置关系． A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】判定依据：k_，k_，k__，故 。 【详解】 A：平行。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 B：垂直。由判定依据计算/推理可知该项正确。 C：重合。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 D：相交但不垂直。由判定依据可知该项与正确结果不符，故错误。 故选 B． 【变式4-1】直线 过 、，直线 过 、，则 与 ______（填“垂直”或“不垂直”）． 【答案】见【详解】。 【详解】 k_，k_，k__，故 ． 答案：垂直． 【变式4-2】若过 、 的直线与过 、 的直线垂直，则实数 ______． 【答案】见【详解】。 【详解】 ，．垂直要求 ，解得 ． 答案：． 【变式4-3】已知直线 l：，求过点 且与 l 垂直的直线斜率． 【答案】见【详解】。 【详解】 l 的斜率 ，所求垂线斜率 k' 满足 ，故 ． 答案：． 【题型5 含参直线的斜率与倾斜角讨论】 【例5】已知直线 l 过点 和 ，求 l 的斜率，并讨论 m 为何值时 l 的倾斜角为锐角、钝角或直角． 【答案】见【详解】。 【详解】 当 时，；当 时，A、B 横坐标相等， 直线竖直，斜率不存在（倾斜角为 ，即直角）． 讨论符号： ⇔ ⇔ 或 ，此时倾斜角为锐角； ⇔ ，此时倾斜角为钝角； 时 ，倾斜角为 ．综上： 或 时锐角， 时钝角， 时直角， 时倾斜角为 ． 【变式5-1】经过 和 两点的直线斜率 k_ ______（用 k 表示）． 【答案】见【详解】。 【详解】 k_．答案：． 【变式5-2】若直线的倾斜角为锐角，且斜率 ，求实数 a 的取值范围． 【答案】见【详解】。 【详解】 锐角 ⇔ ，即 ． 等价于 ，解得 或 ．答案：． 【变式5-3】直线过 和 ，求 a 的取值范围使该直线的倾斜角为钝角． 【答案】见【详解】。 【详解】 （）．钝角 ⇔ ，即 ． 令分子零点 ，分母零点 ，用数轴穿根得 ． 答案：． 【综合·培优提升】 【培优1】已知 、、 三点共线，求实数 a 的值． 【答案】见【详解】。 【详解】 k_，k_． 由共线得 ，即 ，解得 ．答案：． 【培优2】直线 l 过 和 （），求 k 的取值范围使 l 的倾斜角为锐角． 【答案】见【详解】。 【详解】 k_． 锐角 ⇔ k_，即 ⇔ ⇔ ． 数轴穿根得 ．答案：． 【培优3】已知 、、，利用斜率判断 的形状． 【答案】见【详解】。 【详解】 k_，k_，k__，故 ，即 ， 为直角三角形． 答案：直角三角形（直角在 B 处）． 【培优4】直线 l 过 和 ，当 t 变化时，求 l 斜率的取值范围． 【答案】见【详解】。 【详解】 时 ，故 k 可取除 外的任意实数（ ）时两点重合，不能确定直线，对应 被排除），即 ． 答案：斜率范围 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $