拓展专题03 与直线有关的对称及应用（期中复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03 与直线有关的对称及应用 内容概览 01 期中考情透视 02知识体系构建 03核心考点精讲 考点一关于点对 考点二关于直线对称 考点三线段和与差的最值问题解题思路 04重难题型突破 题型一直线关于点对称 题型二点关于直线对称 题型三直线关于直线对称 题型四反射光线中的对称问题 题型五距离之和的最值问题 题型六距离之差的最值问题 05限时分层演练 基础固本练/综合进阶练 01期中考情透视 一、考点与题型命题特点 本专题属于直线与圆章节中档高频考点，多放置在选择、填空题，少数情况作为解答题其中一小问。核心 四类对称：点关于点对称、点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称：应用重点是距离和差 最值、光线反射问题。命题思路：利用中点坐标、垂直斜率关系求解对称点对称直线；借助对称转化线段， 将折线段距离最值转化为两点间直线距离；可单独命题，也常与圆综合考查。 二、试题难易度分布 整体为中档题。 基础：点关于点对称，直接套用中点公式，计算简单： 中档：点关于直线对称、直线对称求解、距离和差最值，考查联立方程运算，是期中主流考法： 难题：直线关于直线对称（两直线相交模型）、对称与圆结合的距离最值；常见失分点：忽略对称轴斜率 不存在的情况、垂直斜率乘积为-1使用前提、中点坐标计算出错、最值问题不会做对称转化 三、整体命题核心规律 核心思想：几何对称代数化。 1/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解题流程：识别对称类型→根据垂直+中点条件列方程求对称点；利用对称变换实现线段等量转化，结 合两点之间线段最短求解距离最值。易错提醒：使用M·k,=一1前，要先确认两条直线斜率均存在；反射 问题本质就是点关于直线的对称转化：求完对称点后，一定要回代检验中点是否在对称轴上。 2/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 02知识体系构建 考点1关于点对称 点关于点对称 直线关于点对称 考点2关于直线对称 点关于直线对称 与直线有关的对称及应用 直线关于直线对称 考点3线段和与差的最值问题解题思路 03核心考点精讲 一、关于点对称 1、点关于点对称 (1)实质：该点是两对称点连线段的中点. (2)方法：利用中点坐标公式 平面内点A(xoo关于Pa,b对称点坐标为2a-x,2b-yo, 1+X2y1+y2 平面内点AX,y,Ax22关于点21 2 对称。 2、直线关于点对称 (1)实质：两直线平行 (2)法一：转化为“点关于点”的对称问题（在1上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求 出各自关于A对称的点，然后求出直线方程)· 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）· 二、关于直线对称 1、点关于直线对称 (1)实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线， (2)①当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的 坐标，一般地：设点6%)关于直线+By+C=0的对称点(x,）, 3/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4x+。+By+0+C=0 A 则( 2 ②当直线斜率不存在时：点(，%)关于x=m的对称点为(2m-,%)】 2、直线关于直线对称 (1)当与1相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题： 求直线：x+by+c=0,关于直线：+y+f=0(两直线不平行)的对称直线l 第一步：联立l,12算出交点P(x,): 第二步：在上任找一点（非交点）Q,),求出关于直线对称的点Q(x,): 第三步：利用两点式写出方程. (2)当1与1平行时：对称直线与已知直线平行， 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得. 三、线段和与差的最值问题解题思路 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短： 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短， 04重难题型突破 题型一直线关于点对称 【典例1】(26-27高二上江苏准安阶段检测)直线4：2x-y+3=0关于点，2)对称的直线方程为 A.2x-y-3=0B.2x+y-3=0 C.2x+y+3=0 D.x-2y-3=0 【变式1-1】(25-26高二上浙江宁波期中)已知直线x+2y-3=0与直线m+4y+b=0关于点A(2,0)对称， 则实数b=( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 【变式1-2】(24-25高二上山东泰安期中)已知直线：y=cx-2k+1与直线12关于点(1,0)对称，则恒 4/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过的定点为( A.(2,1) B.(2,-1) c.(0,-1) D.(-1,-1) 【变式1-3】(24-25高二上福建厦门期中)点P(,2)在直线1上，直线4与1关于点(0，)对称，则一定在 直线上的点为( ) B. C.(-1,0) D.(1,0) 题型二点关于直线对称 【典例2】(25-26高二上福建莆田期中)己知点A,2)与点B关于直线x+2y-10=0对称，则点B的坐 标为一 【变式2-1】(25-26高二上江苏连云港期中)点A(1,2)关于直线：x+y-1=0的对称点为( ) A.(0,-1) B.（-1,0) C.(2,1) D.(-1,1) 【变式2-2】(25-26高二上陕西汉中阶段检测)己知点A(-2,1),直线1：x+y-1=0,则点A关于直线1 对称的点的坐标为 【变式2-3】(25-26高二上山东济宁阶段检测)点A(3,)关于直线x-y+1=0的对称点的坐标为 A.(3,0) B.(0,4) c.(0,3) D.(2,4) 题型三直线关于直线对称 【典例3】(26-27高二上河南阶段检测)已知直线4：a+y+3=0,1:(b-2)x+3y+3=0,若4与4 关于直线x-y=0对称，则( A.a=-3,b=1 B.a=3,b=3 C.a=3,b=-1 D.a=3,b=-3 5/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式3-1】(26-27高二上江西九江阶段检测)己知4：x+y-1=0,12:2x-y+1=0,则直线4关于 直线2的对称直线1的方程为( A.7x+y-1=0B.7x-y-1=0 C.x+7y-7=0 D.x-7y-7=0 【变式3-2】(25-26高二上广东惠州期中)已知直线2x-3y+1=0,则直线m:3x-2y-6=0关于直线l 的对称直线m的方程为( A.3x-16y+102=0 B.9x-46y+102=0 C.3x-2y+8=0 D.9x-46y+51=0 【变式3-3】(26-27高二上湖南邵阳阶段检测)与直线1：2x+y+1=0关于直线m:x-y+2=0对称的 直线方程为( A.2x-y+3=0 B.2x+y-1=0 C.x-2y+3=0 D.x+2y-1=0 题型四反射光线中的对称问题 【典例4】(26-27高二上江苏南通阶段检测)光线从点A(-2,1)出发，经直线x-2y-1=0反射，反射光 线过点B(6,5),则反射光线所在直线的方程是( A.4x+3y+39=0 B.10x+11y+115=0 C.4x-3y-9=0 D.10x-11y+5=0 【变式41】(26-27高二上河北邢台阶段检测)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,6),B(6,0), C(6,0),一束光线从点D(-4,0)射出，经AB反射后，再经AC边上的点E反射，落到点F(2,0)处，则点 E的坐标为( 16 26 18 24 7-7 B 7-7 D.(3,-3) 【变式4-2】(26-27高二上·安徽阶段检测)如图，在等腰直角三角形ABC中，4B=AC=6,P是边 6/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB上异于A、B的点，光线从点P出发，经BC、CA反射后又回到点P,若AR=1,则AP= 【变式43】(26-27高二上四川成都阶段检测)光线沿着直线x-y+2=0射到直线y=-x+1上，经反 射后沿着直线3x+y-b=0射出，则有( ) A.a= 3b2 B.a=3,b=2 C.a=3,b=-2 D.a=-1 62 题型五距离之和的最值问题 【典例5】(26-27高二上·重庆九龙坡阶段检测)己知两点A(-2,3),B(,),点C在x轴上，则 CA+CB的最小值为( A.V13 B.5√2 C.25 D.5 【变式5-1】(26-27高二上江西宜春阶段检测)在平面直角坐标系x0y中，己知点A(0,-2),点 B(1,0),P为直线x-y+3=0上一动点，则PA+PB的最小值是( A.45 B.3V5 C.25 D.5 【变式5-2】(25-26高二上广东湛江·期中)著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难 入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：V(x-)+(y-b)可以转化为平面 上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点，可得函数f(x)=V+6x+25+V2-2x+10的最小值为 A.3V7 B.52 C.7 D.V65 7/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式5-3】(25-26高二上·江苏扬州期末)古代数学问题一一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从 山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的 出发点为4,2)，军营所在位置为B(5,6),河岸线所在直线的方程为x-y-1=0,若将军从出发点到河边 饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为( A.(2,1) B.(3,4) C.(4,3) D.(6,5) 题型六距离之差的最值问题 【典例6】(25-26高二上江苏连云港期中)函数f(x)=Vx-+9-Vx-5+4的最大值为 【变式61】(24-25高二上陕西期中)已知点P在直线1：x-y-1=0上运动，点A(0,1),B(3,),则 PA-PB的最大值为( ) A.5 B.2 C.5 D.1 【变式6-2】(24-25高二上江西萍乡期末)已知点P在直线x-y+1=0上运动，点A(2,4),B(2,1),则 IPA-PB的最大值为( A.1 B.V5· C.2 D.5 【变式6-3】(25-26高二上江苏宿迁期中)著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事 休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：√(x-a+(y-b)可以转化为平面上点 M(x,y)与点N(a,b)之间的距离结合上述观点，可得V(x-1+16-V(x-5)}'+4的最大值为( A.17 B.√42 C.25 D.26 05 限时分层演练 目基础固本练 (限时：15分钟) 8/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(25-26高二上·北京阶段检测)与直线x-2y+4=0关于y轴对称的直线的方程为( A.x+2y-4=0 B.x+2y+4=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0 2.(25-26高二上·北京期中)已知直线x+2y-3=0与直线m+4y+b=0关于点A,0)对称，则实数b的 值为( A.2 B.6 C.-2 D.6 3.(26-27高三上浙江开学考试)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄 昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚 下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在 位置为B(-山，4)，若将军从点A(山，-)处出发，河岸线所在直线方程为x-y=0.则“将军饮马”的最短 总路程为( A.V17 B.13 C.5 D.4 4.(25-26高二上天津静海期中)求点（-1，-2)关于直线3x+4y-12=0的对称点一 5.(25-26高二上：河南漯河期中)直线y=x-1关于y轴对称的直线的方程为 6.(25-26高二上广东广州期中)己知不重合的两点P(a,b)与点Q(b+l,a-1)关于直线1对称，则直线1 的方程是 7.(25-26高二上：广西来宾期中)一条光线从点M(0,2)射出，经x轴反射，反射光线刚好经过点 N(5,3),则反射光线所在直线的方程为—一 8.(26-27高二上吉林长春阶段检测)己知两点A(1,2),B(3,6),动点M在直线y=x上运动，则 MA+MB的最小值为 目综合进阶练（限时：15分锌） 9/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(25-26高二上江苏苏州期中)将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0,4)与点B(6,0)重 合，若此时y轴与直线y=ax+b也正好重合，则k的值是( ) 5 A.2 3 B.2 C.4 D.2 2.(25-26高二上·山西太原期中)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上， 很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与√(x-+(y-b)相关的代数问题，可以转化为点 A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题.已知函数f(x)=Vx2+4x+13,g(x)=Vx2-2x+2,则下列 结论正确的是( ) A.f(x)+g()有最小值13 B.f(x)+g(x)有最大值5 C.f(x)-g(x)有最小值5 D.f(x)-g(x)有最大值3 3.(25-26高二上重庆黔江期中)已知x,y∈R,则x2+8x+20+V2+y+Vy2-6y+10的最小值是 ( ) A.3 B.32 C.V26 D.52 4.(26-27高二上福建厦门阶段检测)如图，在△ABC中，AB=AC=32,BC=6,点P是边AB上异 于端点的一点，光线从点P出发经BC,CA边反射后又回到点P,若光线QR经过△ABC的重心，则 △PQR的周长等于 R长 5.(26-27高二上江苏宿迁阶段检测)已知△4BC的顶点A(-3,2),边4B上的中线所在直线的方程为 8x-y-13=0,边AC上的高所在直线的方程为4x-7y=0,则顶点B的坐标 一，若P为直线 1:2x-y-2=0上的动点，则PA-PB例取最大值时的点P的坐标为 10/10 专题03 与直线有关的对称及应用 01 期中考情透视 02 知识体系构建 03 核心考点精讲 考点一 关于点对 考点二 关于直线对称 考点三 线段和与差的最值问题解题思路 04 重难题型突破 题型一 直线关于点对称 题型二 点关于直线对称 题型三 直线关于直线对称 题型四 反射光线中的对称问题 题型五 距离之和的最值问题 题型六 距离之差的最值问题 05 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 本专题属于直线与圆章节中档高频考点，多放置在选择、填空题，少数情况作为解答题其中一小问。核心四类对称：点关于点对称、点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称；应用重点是距离和差最值、光线反射问题。命题思路：利用中点坐标、垂直斜率关系求解对称点/对称直线；借助对称转化线段，将折线段距离最值转化为两点间直线距离；可单独命题，也常与圆综合考查。 二、试题难易度分布 整体为中档题。 基础：点关于点对称，直接套用中点公式，计算简单； 中档：点关于直线对称、直线对称求解、距离和差最值，考查联立方程运算，是期中主流考法； 难题：直线关于直线对称（两直线相交模型）、对称与圆结合的距离最值；常见失分点：忽略对称轴斜率不存在的情况、垂直斜率乘积为-1使用前提、中点坐标计算出错、最值问题不会做对称转化 三、整体命题核心规律 核心思想：几何对称代数化。 解题流程：识别对称类型→根据垂直 + 中点条件列方程求对称点；利用对称变换实现线段等量转化，结合两点之间线段最短求解距离最值。易错提醒：使用前，要先确认两条直线斜率均存在；反射问题本质就是点关于直线的对称转化；求完对称点后，一定要回代检验中点是否在对称轴上。 一、关于点对称 1、点关于点对称 （1）实质：该点是两对称点连线段的中点． （2）方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称． 2、直线关于点对称 （1）实质：两直线平行 （2）法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 二、关于直线对称 1、点关于直线对称 （1）实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． （2）①当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 ②当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 2、直线关于直线对称 （1）当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． （2）当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 三、线段和与差的最值问题解题思路 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 题型一 直线关于点对称 【典例1】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B．. C． D． 【答案】A 【解析】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解得， 因为在直线上，代入即可得， 化简得的，即对称直线方程为. 【变式1-1】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为不在直线上， 且直线与直线关于点对称， 所以直线与直线平行， 即，解得. 在直线上取一点， 关于点的对称点为, 将代入直线，解得.故选：C 【变式1-2】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点.故选：C. 【变式1-3】（24-25高二上·福建厦门·期中）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【解析】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上.故选：C. 题型二 点关于直线对称 【典例2】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 【答案】 【解析】设点，由点与点关于直线对称， 得，解得， 所以点的坐标为. 【变式2-1】（25-26高二上·江苏连云港·期中）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 由中点坐标公式得的中点为， 则的中点在直线上且直线与垂直， 所以，化简得，则， 所以点关于直线的对称点为.故选：B 【变式2-2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标为. 【变式2-3】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和，解得 故对称点为.故选：B. 题型三 直线关于直线对称 【典例3】（26-27高二上·河南·阶段检测）已知直线：，：，若与关于直线对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】直线关于直线对称的直线方程为. 由题意得，，解得，. 【变式3-1】（26-27高二上·江西九江·阶段检测）已知：，：，则直线关于直线的对称直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立，解得，，设与的交点为， 在上取一点，设关于对称轴的对称点为， 则的中点在上，即， 且，斜率，所以，即， 联立方程组，解得，，得到对称点 则对称直线一定经过， 所以直线的斜率为，直线过，得斜截式为， 整理得. 【变式3-2】（25-26高二上·广东惠州·期中）已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即，故选：B. 【变式3-3】（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）与直线l：关于直线m：对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】联立直线与方程可得，解得，所以两直线交点为， 在直线上任取一点，设该点关于直线的对称点为，则根据对称点的性质可得， ，且点与点的中点在直线上，即， 解得，即对称点，所以对称直线的斜率， 则对称直线的方程为，即. 题型四 反射光线中的对称问题 【典例4】（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）光线从点出发，经直线反射，反射光线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即点， 故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 【变式4-1】（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知的三个顶点分别为，，，一束光线从点射出，经反射后，再经边上的点反射，落到点处，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 因为，，， 所以直线的方程为：，直线的方程为：. 设点关于直线的对称点为， 则，即. 设点关于直线的对称点为， 则，即. 所以直线的方程为：，化简得. 由，即所求点坐标为. 【变式4-2】（26-27高二上·安徽·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于、的点，光线从点出发，经、反射后又回到点，若，则_________． 【答案】或 【解析】在等腰直角三角形中，，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、，设，则，其中， 点关于轴的对称点为， 直线的截距式方程为，即直线的方程为，该直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为， 由题意可知，且线段的中点在直线上， 所以，解得，即点， 由对称性可知、、三点共线，则，即， 整理可得，解得或，即或. 【变式4-3】（26-27高二上·四川成都·阶段检测）光线沿着直线射到直线上，经反射后沿着直线射出，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据光的反射性质可知，直线与直线关于直线对称. 入射光线必经过点，则过该点且垂直于的直线方程为， 联立方程可求得交点为，由中点的坐标公式可知，点是线段的中点，其中点， 则反射光线所在的直线必经过点，求得； 同理反射光线必经过，则过该点垂直于的直线方程为， 联立方程可求得交点为，由中点的坐标公式可知，点是线段的中点，其中点， 则入射光线所在的直线必经过点，求得 题型五 距离之和的最值问题 【典例5】（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）已知两点，，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点C在 x 轴上，A、B 两点均在 x 轴上方，属于同侧两点. 点 A 关于 x 轴的对称点 ，由对称性知 ， 故 . 根据两点之间线段最短，， 当且仅当 C 为直线 A'B 与 x 轴的交点时取等号 【变式5-1】（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 所以的最小值是. 【变式5-2】（25-26高二上·广东湛江·期中）著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得函数的最小值为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【解析】的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果． 的几何意义为点到两定点与的距离之和． 设点关于轴的对称点为，则的坐标为． 要求的最小值，可转化为求的最小值， 利用对称可知， 即的最小值为． 【变式5-3】（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为.故选：C 题型六 距离之差的最值问题 【典例6】（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 【答案】 【解析】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 【变式6-1】（24-25高二上·陕西·期中）已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 设，注意到点，，所以中点为，满足， 且，所以点关于直线对称， 从而， 等号成立当且仅当三点共线， 所以的最大值为.故选：A. 【变式6-2】（24-25高二上·江西萍乡·期末）已知点在直线上运动，点，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，解得，故， 所以， 所以，即当三点共线时取得最大值.故选：D. 【变式6-3】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差. ，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为.故选：C 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·北京·阶段检测）与直线关于y轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在所求直线上任取一点，则点关于y轴对称的点为， 可知点在直线上，可得，即， 所以所求直线方程为.故选：A. 2．（25-26高二上·北京·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故，故选：A 3．（26-27高三上·浙江·开学考试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，，，过原点作的对称点为，连接， 则的长度即为“将军饮马”的最短总路程，因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为5. 4．（25-26高二上·天津静海·期中）求点关于直线的对称点_____. 【答案】 【解析】设对称点为， 由题意可知，解得，所以对称点为. 5．（25-26高二上·河南漯河·期中）直线关于轴对称的直线的方程为__________. 【答案】 【解析】在直线上任取点，设点关于轴的对称点为， 由对称的性质，可得，将其代入，可得. 即可得所求直线的方程为. 6．（25-26高二上·广东广州·期中）已知不重合的两点与点关于直线对称，则直线的方程是__________. 【答案】 【解析】因为，，所以， 又点与点关于直线对称，所以， 又的中点， 所以直线的方程为，即. 7．（25-26高二上·广西来宾·期中）一条光线从点射出，经轴反射，反射光线刚好经过点，则反射光线所在直线的方程为______. 【答案】 【解析】易知点关于轴的对称点为， 因为反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为. 8．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知两点，，动点在直线上运动，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 如图所示，设点关于直线的对称点为，则，， 连接， ， 则即为的最小值， ， 所以为的最小值为． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由点与点重合，则的中点为，， 所以的对称轴所在的直线的斜率为， 则对称轴为，即， 由，即对称轴与轴的交点为， 而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称， 由在轴上，所以点、都在上， 则.故选：A 2．（25-26高二上·山西太原·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最小值5 D．有最大值 【答案】D 【解析】易知，， 不妨设, 可将看作是，则， 当且仅当三点共线，且在线段上时取得等号，所以A，B错误； 可将看作是，则， 且存在点A使得，即C错误，D正确.故选：D 3．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 4．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于_____． 【答案】 【解析】因为，所以， 以点为原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则有，设点， 设点关于轴的对称点为，其坐标为， 设点关于直线的对称点为，直线的方程为， 整理得，设， 则有，即， 进而有，因此， 由对称可知，且四点共线， 所以的周长等于， 的重心坐标为， 直线的斜率， 进而直线的方程为， 代入重心坐标得，即 整理得，因为是边上异于端点的一点，所以，所以， 所以， ，即的周长等于. 5．（26-27高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为，则顶点的坐标_____________，若为直线：上的动点，则取最大值时的点的坐标为_____________. 【答案】 【解析】设，则的中点坐标为， 因为边上的中线所在直线的方程为， 边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设，因为边上的中线所在直线的方程为， 边上的高所在直线的方程为， 所以，解得，即点的坐标为； 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即； 因为，所以当，，三点共线时，取得最大值， 所以的最大值为； 由，，可得直线的方程为，即， 由解得即当取得最大值时，点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $