专题1.6 空间向量求空间角与距离期中复习讲义（课本为主）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.6 空间向量求空间角与距离（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题1.6 空间向量求空间角与距离（期中复习讲义） 1 知识点1 异面直线所成角（线线角） 1 知识点2 直线与平面所成角（线面角） 1 知识点3 二面角 1 知识点4 点到平面的距离与异面直线距离 2 【题型1 求异面直线所成角】 2 【题型2 求直线与平面所成角】 2 【题型3 求二面角】 3 【题型4 求点到平面的距离】 3 【题型5 综合大题（角与距离）】 4 【综合·培优提升】 5 【重难点】 ★重点： 1. 线线角 2. 线面角 3. 二面角 4. 点到平面距离 。 ▲难点： 1. 二面角锐钝的判定 2. 异面直线距离 3. 综合大题中角与距离的一并求解。 知识点1 异面直线所成角（线线角） 【重难点】 ★重点： 1. ，。 ▲难点： 1. 结果取绝对值（角不超过 ）。 （1）设两直线方向向量分别为 u、v，则所成角 满足 。 （2）当 时两直线垂直（）。 （3）方向向量取法不影响结果（绝对值）。 知识点2 直线与平面所成角（线面角） 【重难点】 ★重点： 1. ，。 ▲难点： 1. 线面角是直线与其在平面内射影的夹角。 （1）设直线方向向量 a，平面法向量 n，则线面角 满足 。 （2）当 时 （线面垂直） （3）当 时 （线面平行或线在面内）。 （4）也可先求直线与法向量夹角 ，则 。 知识点3 二面角 【重难点】 ★重点： 1. ，结合图形取锐或钝。 ▲难点： 1. 法向量方向决定符号，需用图形判断二面角是锐角还是钝角。 （1）两平面法向量 、，则 。 （2）若法向量均指向二面角内部（或均指向外部），二面角 （3）否则相等。 （4）实用：先求 ，再由图形确定锐、钝角。 知识点4 点到平面的距离与异面直线距离 【重难点】 ★重点： 1. 点 A 到平面 （，法向量 n）距离 。 ▲难点： 1. 异面直线距离 （n 同时垂直于两直线方向）。 （1）点到平面：，其中 P 为平面内任一点。 （2）异面直线距离：取公垂方向 ，（A、B 分别为两直线上点）。 （3）线段端点代入时注意取绝对值。 【题型1 求异面直线所成角】 【例1】在正方体 中，求异面直线 与 所成角的大小。 【变式1-1】在正方体 中，求异面直线 与 所成角的大小。 【变式1-2】已知 ，，求两向量（视作两直线方向）所成角的余弦。 【变式1-3】在正方体 中，求异面直线 与 所成角的大小。 【题型2 求直线与平面所成角】 【例2】在正方体 中，求直线 与平面 （底面）所成角的大小。 【变式2-1】在正方体 中，求直线 与底面 所成角的正弦值。 【变式2-2】在长方体 中，，，，求直线 与底面 所成角的正弦值。 【变式2-3】在正方体 中，E 为 的中点，求直线 与底面 所成角的正弦值。 【题型3 求二面角】 【例3】在正方体 中，求二面角 的余弦值。 【变式3-1】在正方体 中，求二面角 的大小。 【变式3-2】在正方体 中，求二面角 的余弦值。 【变式3-3】在长方体 中，，，，求二面角 的余弦值。 【题型4 求点到平面的距离】 【例4】在正方体 中，求点 A 到平面 的距离。 【变式4-1】在正方体 中，求点 C 到平面 的距离。 【变式4-2】已知平面 过点 、、，求点 到 的距离。 【变式4-3】在长方体 中，，，，E 为 的中点，求点 A 到平面 的距离。 【题型5 综合大题（角与距离）】 【例5】在正方体 中，E 为 的中点， 求直线 与平面 所成角的正弦值； 求点 到平面 的距离。 【变式5-1】在正方体 中，求平面 与平面 （底面）所成锐二面角的余弦值。 【变式5-2】在长方体 中，，，，求点 到平面 的距离。 【变式5-3】在正方体 中，P 在对角线 上运动，Q 在棱 上运动，求 的最小值（即异面直线 与 的距离）。 【综合·培优提升】 【培优1】在正方体 中，求二面角 的大小。 【培优2】在正方体 中，E、F 分别为 、 的中点，求平面 与平面 （底面）所成锐二面角的余弦值。 【培优3】在长方体 中，，，，E 为 的中点，求点 E 到平面 的距离。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 空间向量求空间角与距离（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题1.6 空间向量求空间角与距离（期中复习讲义） 1 知识点1 异面直线所成角（线线角） 1 知识点2 直线与平面所成角（线面角） 1 知识点3 二面角 1 知识点4 点到平面的距离与异面直线距离 2 【题型1 求异面直线所成角】 2 【题型2 求直线与平面所成角】 2 【题型3 求二面角】 3 【题型4 求点到平面的距离】 3 【题型5 综合大题（角与距离）】 4 【综合·培优提升】 5 【重难点】 ★重点： 1. 线线角 2. 线面角 3. 二面角 4. 点到平面距离 。 ▲难点： 1. 二面角锐钝的判定 2. 异面直线距离 3. 综合大题中角与距离的一并求解。 知识点1 异面直线所成角（线线角） 【重难点】 ★重点： 1. ，。 ▲难点： 1. 结果取绝对值（角不超过 ）。 （1）设两直线方向向量分别为 u、v，则所成角 满足 。 （2）当 时两直线垂直（）。 （3）方向向量取法不影响结果（绝对值）。 知识点2 直线与平面所成角（线面角） 【重难点】 ★重点： 1. ，。 ▲难点： 1. 线面角是直线与其在平面内射影的夹角。 （1）设直线方向向量 a，平面法向量 n，则线面角 满足 。 （2）当 时 （线面垂直） （3）当 时 （线面平行或线在面内）。 （4）也可先求直线与法向量夹角 ，则 。 知识点3 二面角 【重难点】 ★重点： 1. ，结合图形取锐或钝。 ▲难点： 1. 法向量方向决定符号，需用图形判断二面角是锐角还是钝角。 （1）两平面法向量 、，则 。 （2）若法向量均指向二面角内部（或均指向外部），二面角 （3）否则相等。 （4）实用：先求 ，再由图形确定锐、钝角。 知识点4 点到平面的距离与异面直线距离 【重难点】 ★重点： 1. 点 A 到平面 （，法向量 n）距离 。 ▲难点： 1. 异面直线距离 （n 同时垂直于两直线方向）。 （1）点到平面：，其中 P 为平面内任一点。 （2）异面直线距离：取公垂方向 ，（A、B 分别为两直线上点）。 （3）线段端点代入时注意取绝对值。 【题型1 求异面直线所成角】 【例1】在正方体 中，求异面直线 与 所成角的大小。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系，，，，。 ，。 ，故 。答案：。 【变式1-1】在正方体 中，求异面直线 与 所成角的大小。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，。 ，故 。答案：。 【变式1-2】已知 ，，求两向量（视作两直线方向）所成角的余弦。 【答案】见【详解】。 【详解】 ；，。。 答案：。 【变式1-3】在正方体 中，求异面直线 与 所成角的大小。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，。 ，故 。答案：。 【题型2 求直线与平面所成角】 【例2】在正方体 中，求直线 与平面 （底面）所成角的大小。 【答案】见【详解】。 【详解】 底面法向量 ，。 ，故 。答案：。 【变式2-1】在正方体 中，求直线 与底面 所成角的正弦值。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，底面法向量 。 。答案：。 【变式2-2】在长方体 中，，，，求直线 与底面 所成角的正弦值。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 A 为原点，、、 分别为 x、y、z 轴，则 ，，底面法向量 。 。。答案：。 【变式2-3】在正方体 中，E 为 的中点，求直线 与底面 所成角的正弦值。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系，，，底面法向量 。 。。 答案：。 【题型3 求二面角】 【例3】在正方体 中，求二面角 的余弦值。 【答案】见【详解】。 【详解】 平面 即底面，法向量 。 平面 的法向量 ：，，（取 ）。 ； 结合图形该二面角为锐角，故二面角 的余弦值为。答案：。 【变式3-1】在正方体 中，求二面角 的大小。 【答案】见【详解】。 【详解】 平面 即侧面 ，法向量 ； 平面 即底面，法向量 。，故二面角为 。 答案：。 【变式3-2】在正方体 中，求二面角 的余弦值。 【答案】见【详解】。 【详解】 平面 中，，，法向量 。 平面 的法向量 。 ；结合图形取锐角，二面角 的余弦值为。答案：。 【变式3-3】在长方体 中，，，，求二面角 的余弦值。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 A 为原点，、、 分别为 x、y、z 轴，则 ，，，。 平面 （即面 ）法向量 。 平面 中，，，法向量 （可取 ）。 ；结合图形取锐角，二面角 的余弦值为。 答案：。 【题型4 求点到平面的距离】 【例4】在正方体 中，求点 A 到平面 的距离。 【答案】见【详解】。 【详解】 平面 法向量 ，，取平面内点 D。 。距离 。答案：。 【变式4-1】在正方体 中，求点 C 到平面 的距离。 【答案】见【详解】。 【详解】 平面 法向量 ，，取点 D。 。 距离 （由对称性也可直接得出与点 A 相同）。 答案：。 【变式4-2】已知平面 过点 、、，求点 到 的距离。 【答案】见【详解】。 【详解】 平面 方程为 ，法向量 ，。 距离 。答案：。 【变式4-3】在长方体 中，，，，E 为 的中点，求点 A 到平面 的距离。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点，、、 为轴，则 ，，，。 平面 法向量 ，。 取点 D，。距离 。答案：。 【题型5 综合大题（角与距离）】 【例5】在正方体 中，E 为 的中点， 求直线 与平面 所成角的正弦值； 求点 到平面 的距离。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系，。平面 法向量 （可取 ），。 ，，。 ，故所成角正弦值为。 到平面 距离 。 答案：；。 【变式5-1】在正方体 中，求平面 与平面 （底面）所成锐二面角的余弦值。 【答案】见【详解】。 【详解】 平面 法向量 ，底面法向量 。 。故锐二面角余弦为 。 答案：。 【变式5-2】在长方体 中，，，，求点 到平面 的距离。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 A 为原点，、、 为轴，则 ，，，。 平面 中，，，法向量 ，。 距离 。答案：。 【变式5-3】在正方体 中，P 在对角线 上运动，Q 在棱 上运动，求 的最小值（即异面直线 与 的距离）。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系， 方向 （过 ）， 方向 （过 ）。 公垂方向 ，。 取 在 上， 在 上，。 距离 。故 的最小值为 。 答案：。 【综合·培优提升】 【培优1】在正方体 中，求二面角 的大小。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系。 平面 中，，，易得法向量。 平面 中，，，易得法向量 。 〈〉=； 由图形（四面体 内部）该二面角为钝角，故大小为 。 答案：。 【培优2】在正方体 中，E、F 分别为 、 的中点，求平面 与平面 （底面）所成锐二面角的余弦值。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系，，，。 平面 中，，，法向量 （可取 ）。 底面法向量 。。答案：。 【培优3】在长方体 中，，，，E 为 的中点，求点 E 到平面 的距离。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点，、、 为轴，则 ，， ，，，E 为 中点：。 平面 法向量 （可取 ），。取点 D，。 距离 。答案：。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $