专题1.5 空间向量证明平行与垂直 期中复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题1.5 空间向量证明平行与垂直（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题1.5 空间向量证明平行与垂直（期中复习讲义） 1 知识点1 直线的方向向量与平面的法向量 1 知识点2 平行关系的判定 1 知识点3 垂直关系的判定 1 【题型1 求平面的法向量】 2 【题型2 证明线面平行】 2 【题型3 证明线面垂直】 3 【题型4 证明面面垂直】 3 【题型5 平行与垂直综合证明】 4 【综合·培优提升】 5 【重难点】 ★重点： 1.直线的方向向量 2.平面的法向量（求法） 3.用方向向量与法向量判定线线、线面、面面平行与垂直。 ▲难点： 1.法向量的求解 2.证明中必须说明“直线不在平面内”或“两平面不重合”等位置关系前提。 知识点1 直线的方向向量与平面的法向量 【重难点】 ★重点： 1.方向向量与直线平行 2.法向量与平面垂直。 ▲难点： 1.法向量通过平面内两不共线向量与法向量垂直（相乘等于0）求得。 （1）直线的方向向量：与 l 平行的非零向量，记作 v。 （2）平面的法向量：与平面 垂直的非零向量 n，满足对平面内任意向量 u 都有 。 （3）求法向量：在平面内取两不共线向量 ，解 、 得 n。 知识点2 平行关系的判定 【重难点】 ★重点： 1.线线平行⇔方向向量平行 2.线面平行⇔方向向量⊥法向量且线不在面内 3.面面平行⇔法向量平行。 ▲难点： 1.线面平行必须验证直线不在平面内。 （1）线线平行：（且两直线不重合）⇒ 。 （2）线面平行： 且直线上有一点不在平面内 ⇒ 。 （3）面面平行： 且两平面不重合 ⇒ 。 知识点3 垂直关系的判定 【重难点】 ★重点： 1.线线垂直⇔方向向量数量积为 2.线面垂直⇔方向向量∥法向量 3.面面垂直⇔法向量数量积为 。 ▲难点： 1.线面垂直需方向向量与法向量共线。 （1）线线垂直： ⇒ （异面或相交均适用）。 （2）线面垂直： ⇒ 。 （3）面面垂直： ⇒ 。 【题型1 求平面的法向量】 【例1】已知平面 过点 、、，求 的一个法向量。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，。 。 故 的一个法向量为 。答案：。 【变式1-1】平面 过 、、，求 的一个法向量。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，。 ，取 。 答案：。 【变式1-2】平面 的方程为 ，求其一个法向量。 【答案】见【详解】。 【详解】 平面一般式 的法向量为 ，故法向量为 。（亦可取平面内两点求叉乘验证。）答案：。 【变式1-3】已知平面 过点 、、，求 的一个法向量。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，。 。 答案：。 【题型2 证明线面平行】 【例2】在正方体 中，证明： 平面 。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点，、、 分别为 x、y、z 轴建系，则 ， ，，，。。 平面 中，，，其法向量 。 因 ，故 ； 又 不在平面 内（代入平面方程 得 ）， 所以 平面 。答案：成立。 【变式2-1】已知平面 的法向量 ，直线 l 的方向向量 ，判断 l 与 的位置关系。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故 ，从而 。答案：垂直。 【变式2-2】在正方体 中，E、F 分别为 、 的中点，证明： 平面 （底面）。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系（同例），底面 的法向量 。 E 为 中点：；F 为 中点：。 。 因 ，且 不在底面内（z 坐标为 ），故 平面 。 答案：成立。 【变式2-3】在正方体 中，M、N 分别为 、 的中点，证明： 平面 。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系，底面法向量 。 ，，。 ，且 不在底面内，故 平面 。答案：成立。 【题型3 证明线面垂直】 【例3】在正方体 中，证明： 平面 。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系，，，，。 。 平面 中，，，法向量 。 因 ，故 与平面 的法向量平行，从而 平面 。 答案：成立。 【变式3-1】已知平面 的法向量 ，直线 l 的方向向量 ，判断 l 与 。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故 ，从而 。答案：垂直。 【变式3-2】在正方体 中，证明： 平面 （对角面）。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系，平面 （即 平面）的法向量 。 ，故 ，从而 平面 （且 与对角面交于其中心）。答案：成立。 【变式3-3】在正方体 中，证明： 平面 。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系，平面 的法向量 。 ，故 ，且 与该对角面交于其中心，从而 平面 。答案：成立。 【题型4 证明面面垂直】 【例4】在正方体 中，证明：平面 平面 。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系。 平面 中，，，法向量 （可取 ）。 平面 中，，，法向量 。 ，故两平面垂直。答案：成立。 【变式4-1】已知平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，判断两平面位置关系。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，故 。答案：垂直。 【变式4-2】在正方体 中，证明：平面 平面 。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系。 平面 中，，，法向量 。 平面 （ 平面）的法向量 。 ，故两平面垂直。答案：成立。 【变式4-3】在正方体 中，证明：平面 平面 。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系。 平面 中，，，法向量 。 平面 的法向量 。 ，故两平面垂直。答案：成立。 【题型5 平行与垂直综合证明】 【例5】在正方体 中，证明：平面 平面 。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系。 平面 的法向量 ：，， 。 平面 的法向量 ：，， 。 ，两平面法向量平行； 又 不在平面 内（代入 得 ），两平面不重合， 故平面 平面 。答案：成立。 【变式5-1】已知平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，判断两平面位置关系。 【答案】见【详解】。 【详解】 ，两法向量平行；若两平面不重合则 。 答案：平行（若不重合）。 【变式5-2】在正方体 中，证明：平面 平面 。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系。 平面 中，，，法向量 。 平面 中，，，法向量 。 ，且两平面不重合（B 不在平面 内），故两平面平行。 答案：成立。 【变式5-3】在正方体 中，P 为棱 上动点，Q 为棱 上动点，且 ，证明： 平面 。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系，，，，。 设 ，则 ，。 ，其 z 分量为 ，故 （底面法向量）； 又 不在底面内（），所以 平面 。答案：成立。 【综合·培优提升】 【培优1】在长方体 中，，，，E 为 的中点，求平面 的一个法向量及点 A 到平面 的距离。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点，、、 分别为 x、y、z 轴，则 ， ，，，，。 ，，法向量 ，。 点 到平面 的距离 。 答案：法向量 ，距离 。 【培优2】在正方体 中，E、F 分别为 、 的中点，G 为 的中点，证明：平面 平面 。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系。，，。 ，，平面 的法向量 ，可取 。 平面 的法向量 ，，故两平面垂直。答案：成立。 【培优3】在正方体 中，证明：平面 平面 。 【答案】见【详解】。 【详解】 以 D 为原点建系。 平面 中，，，法向量 （可取 ）。 平面 即过 、、 的平面 ，法向量 。 ，且两平面不重合（B 不在平面 内，），故平面 平面 。答案：成立。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 空间向量证明平行与垂直（期中复习讲义） 【人教A版】高二数学人教A版选择性必修第一册 目录 专题1.5 空间向量证明平行与垂直（期中复习讲义） 1 知识点1 直线的方向向量与平面的法向量 1 知识点2 平行关系的判定 1 知识点3 垂直关系的判定 1 【题型1 求平面的法向量】 2 【题型2 证明线面平行】 2 【题型3 证明线面垂直】 3 【题型4 证明面面垂直】 3 【题型5 平行与垂直综合证明】 4 【综合·培优提升】 5 【重难点】 ★重点： 1.直线的方向向量 2.平面的法向量（求法） 3.用方向向量与法向量判定线线、线面、面面平行与垂直。 ▲难点： 1.法向量的求解 2.证明中必须说明“直线不在平面内”或“两平面不重合”等位置关系前提。 知识点1 直线的方向向量与平面的法向量 【重难点】 ★重点： 1.方向向量与直线平行 2.法向量与平面垂直。 ▲难点： 1.法向量通过平面内两不共线向量与法向量垂直（相乘等于0）求得。 （1）直线的方向向量：与 l 平行的非零向量，记作 v。 （2）平面的法向量：与平面 垂直的非零向量 n，满足对平面内任意向量 u 都有 。 （3）求法向量：在平面内取两不共线向量 ，解 、 得 n。 知识点2 平行关系的判定 【重难点】 ★重点： 1.线线平行⇔方向向量平行 2.线面平行⇔方向向量⊥法向量且线不在面内 3.面面平行⇔法向量平行。 ▲难点： 1.线面平行必须验证直线不在平面内。 （1）线线平行：（且两直线不重合）⇒ 。 （2）线面平行： 且直线上有一点不在平面内 ⇒ 。 （3）面面平行： 且两平面不重合 ⇒ 。 知识点3 垂直关系的判定 【重难点】 ★重点： 1.线线垂直⇔方向向量数量积为 2.线面垂直⇔方向向量∥法向量 3.面面垂直⇔法向量数量积为 。 ▲难点： 1.线面垂直需方向向量与法向量共线。 （1）线线垂直： ⇒ （异面或相交均适用）。 （2）线面垂直： ⇒ 。 （3）面面垂直： ⇒ 。 【题型1 求平面的法向量】 【例1】已知平面 过点 、、，求 的一个法向量。 【变式1-1】平面 过 、、，求 的一个法向量。 【变式1-2】平面 的方程为 ，求其一个法向量。 【变式1-3】已知平面 过点 、、，求 的一个法向量。 【题型2 证明线面平行】 【例2】在正方体 中，证明： 平面 。 【变式2-1】已知平面 的法向量 ，直线 l 的方向向量 ，判断 l 与 的位置关系。 【变式2-2】在正方体 中，E、F 分别为 、 的中点，证明： 平面 （底面）。 【变式2-3】在正方体 中，M、N 分别为 、 的中点，证明： 平面 。 【题型3 证明线面垂直】 【例3】在正方体 中，证明： 平面 。 【变式3-1】已知平面 的法向量 ，直线 l 的方向向量 ，判断 l 与 。 【变式3-2】在正方体 中，证明： 平面 （对角面）。 【变式3-3】在正方体 中，证明： 平面 。 【题型4 证明面面垂直】 【例4】在正方体 中，证明：平面 平面 。 【变式4-1】已知平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，判断两平面位置关系。 【变式4-2】在正方体 中，证明：平面 平面 。 【变式4-3】在正方体 中，证明：平面 平面 。 【题型5 平行与垂直综合证明】 【例5】在正方体 中，证明：平面 平面 。 【变式5-1】已知平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，判断两平面位置关系。 【变式5-2】在正方体 中，证明：平面 平面 。 【变式5-3】在正方体 中，P 为棱 上动点，Q 为棱 上动点，且 ，证明： 平面 。 【综合·培优提升】 【培优1】在长方体 中，，，，E 为 的中点，求平面 的一个法向量及点 A 到平面 的距离。 【培优2】在正方体 中，E、F 分别为 、 的中点，G 为 的中点，证明：平面 平面 。 【培优3】在正方体 中，证明：平面 平面 。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $