专题01 空间向量及其运算（10大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【提分笔记】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 空间向量及其运算 知识点1 空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 （2）空间向量的长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模。 （3）表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 （2）单位向量：长度为1的空间向量，即. （3）相等向量：方向相同且模相等的向量。 （4）相反向量：方向相反但模相等的向量。 （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． （6）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 知识点2 空间向量的线性运算 1、空间向量的加减运算 （1）空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）． （2）空间向量加减法运算律：交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 2、空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． 的长度是的长度的||倍． （2）运算律：分配律：； 结合律：． 知识点3 向量共线定理与共面定理 1、空间向量共线的充要条件： 对任意两个空间向量，，∥的充要条件是存在实数，使得. 2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得. 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量. 这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 3、空间向量共面定理 （1）定义：如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合， 那么称向量平行与直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面. 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 （2）向量共面的充要条件：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 知识点4 空间向量的数量积 1、空间向量的夹角 （1）夹角定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：. 那么空间两个向量、的夹角的余弦. （2）夹角的范围： （3）求两个向量的夹角有两种方法： 方法一：①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；②先求，再利用公式求，最后确定. 方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量) ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小 2、空间向量的数量积运算及性质 （1）数量积的定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即． （2）数量积的运算规律： ①； ②（交换律） ③（分配律） （3）空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 3、空间向量的模长 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：。 将其推广： 4、空间向量的投影向量 （1）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）。 （2）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量。这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。 知识点5 空间向量基本定理及正交分解 1、空间向量基本定理 （1）定义：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使. （2）基底与基向量：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量。 说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 2、空间向量的正交分解 （1）单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基