拓展专题02 利用空间向量解决最值范围问题（期中复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题01 利用空间向量解决最值范围问题 01 期中考情透视 02 知识体系构建 03 核心考点精讲 考点一 立体几何中的最值范围问题解题思路 考点二 解决立体几何中的最值问题常用方法 04 重难题型突破 题型一 数量积的最值范围问题 题型二 空间角的最值范范围问题 题型三 空间距离的最值范围问题 题型四 面积、体积的最值范围问题 05 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 本专题为空间向量与立体几何的中档拔高考点，可出多选小题或立体几何解答题第二小问。以动态点（线段上动点）为载体，高频考查：向量数量积最值、线段长度最值、空间角（异面直线角、线面角、二面角）的取值范围，也会涉及截面面积、几何体体积的最值求解。命题思路：建立空间直角坐标系，设动点参数，写出向量坐标，把几何最值转化为关于参数的函数，借助函数、二次函数性质求最值或范围；几何体载体多为直棱柱、棱锥、正方体、长方体等规则几何体。 二、试题难易度分布 整体属于中档偏难。 基础：建系、向量坐标运算、法向量、空间角公式是必备基础，一般不单独命题。 中档：向量数量积、线段长度最值，多为二次函数模型，运算简单，多放置于多选题。 难题：空间角、体积面积范围问题，含三角函数与根式运算，容易混淆空间角范围；主要失分点：参数取值范围忽略、建系出错、向量坐标写错、函数定义域忽略、空间角范围记错。 三、整体命题核心规律 核心思想：几何动态问题代数化。 解题流程：建立坐标系→设动点参数→写出目标量（数量积、角度、长度）的函数表达式→结合参数的实际取值范围求函数最值。 易错点：参数受线段限制，不能直接按全体实数求最值；区分向量夹角与立体几何中空间角的范围；计算完成后要检验动点是否在指定线段上。 考点一 立体几何中的最值范围问题解题思路 此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考： 一是函数法：即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解； 二是动静几何分析法：根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 三是平面展开法：将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。 考点二 解决立体几何中的最值问题常用方法 1、建立函数法：很多情况下，我们都是把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次函数的配方法、公式法；有界函数界值法（如三角函数等）。 2、公理与定义法：通常以公理与定义作为依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短；分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的共垂线短等。如果利用函数关系求之比较困难，而运用两异面直线共垂线段最短则是解决问题的捷径。 3、解不等式法：在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解。 如：、、最小角定理所建立的不等关系等。 4、展开图法：它可将几何体表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分只管，由难化易。 5、变量分析法：透过现象看本质，在几何体重的点、线、面，哪些在动，哪些不懂，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法。 题型一 数量积的最值范围问题 【典例1】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为________. 【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 【变式1-2】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）将边长为的正方形沿对角线折起，使点到达的位置，连接，得到三棱锥是线段上的动点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为______． 题型二 空间角的最值范围问题 【典例2】（25-26高二上·山东德州·期中）如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形，平面 平面 ， . (1)证明: 平面 ； (2)若， 为 中点，，点 在平面 上，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【变式2-2】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图1，半圆的圆心为，直径为的中点，将扇形沿着翻折使到达的位置，如图，点分别在上且不与端点重合， (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【变式2-3】（24-25高二下·云南·期末）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，为锐角，，，分别是，，的中点． (1)证明：∥平面． (2)求二面角的余弦值的最大值． 题型三 空间距离的最值范围问题 【典例3】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的取值范围为_____． 【变式3-2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知在三棱锥中，，,，,分别是直线和上的动点，存在实数，使得成立，则到直线距离的取值范围为______． 【变式3-3】（26-27高二上·辽宁大连·阶段检测）如图，在长方体中，，，，分别为棱，上的动点（含端点）． (1)当点在什么位置时，有平面？ (2)当动点，满足时，求点到平面距离的取值范围． 题型四 面积、体积的最值范围问题 【典例4】（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知正方体的棱长为，点是棱上的动点，则的面积的最小值为______. 【变式4-1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二下·湖南·期中）如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD，. (1)设钝二面角大小为a，求的值； (2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； (3)E点在上，F点在上，G点在上，求的面积取值范围. 【变式4-3】（24-25高二上·山东青岛·阶段检测）如图，四面体中，为等边三角形，且，为等腰直角三角形，且. (1)当时， （i）求二面角的正弦值； （ii）当为线段中点时，求直线与平面所成角正弦值； (2)当时，若，且平面，为垂足，中点为，中点为；直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的值. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·山西·期中）如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·浙江台州·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·河北·阶段检测）在正方体中，点O为线段的中点，点P在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 综合进阶练（限时：30分钟） 1．（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，， 分别为的中点. (1)证明：平面平面； (2)若 ，动点在平面内，且，求的最大值； (3)若，求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 2．（2026·河南开封·二模）如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面． (1)证明：； (2)记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值； (3)若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值． 3．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）为的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，，三棱锥体积的最大值为． (1)当时，求二面角的正弦值； (2)当的面积最大时，求． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 利用空间向量解决最值范围问题 01 期中考情透视 02 知识体系构建 03 核心考点精讲 考点一 立体几何中的最值范围问题解题思路 考点二 解决立体几何中的最值问题常用方法 04 重难题型突破 题型一 数量积的最值范围问题 题型二 空间角的最值范范围问题 题型三 空间距离的最值范围问题 题型四 面积、体积的最值范围问题 05 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 一、考点与题型命题特点 本专题为空间向量与立体几何的中档拔高考点，可出多选小题或立体几何解答题第二小问。以动态点（线段上动点）为载体，高频考查：向量数量积最值、线段长度最值、空间角（异面直线角、线面角、二面角）的取值范围，也会涉及截面面积、几何体体积的最值求解。命题思路：建立空间直角坐标系，设动点参数，写出向量坐标，把几何最值转化为关于参数的函数，借助函数、二次函数性质求最值或范围；几何体载体多为直棱柱、棱锥、正方体、长方体等规则几何体。 二、试题难易度分布 整体属于中档偏难。 基础：建系、向量坐标运算、法向量、空间角公式是必备基础，一般不单独命题。 中档：向量数量积、线段长度最值，多为二次函数模型，运算简单，多放置于多选题。 难题：空间角、体积面积范围问题，含三角函数与根式运算，容易混淆空间角范围；主要失分点：参数取值范围忽略、建系出错、向量坐标写错、函数定义域忽略、空间角范围记错。 三、整体命题核心规律 核心思想：几何动态问题代数化。 解题流程：建立坐标系→设动点参数→写出目标量（数量积、角度、长度）的函数表达式→结合参数的实际取值范围求函数最值。 易错点：参数受线段限制，不能直接按全体实数求最值；区分向量夹角与立体几何中空间角的范围；计算完成后要检验动点是否在指定线段上。 考点一 立体几何中的最值范围问题解题思路 此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考： 一是函数法：即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解； 二是动静几何分析法：根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 三是平面展开法：将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。 考点二 解决立体几何中的最值问题常用方法 1、建立函数法：很多情况下，我们都是把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次函数的配方法、公式法；有界函数界值法（如三角函数等）。 2、公理与定义法：通常以公理与定义作为依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短；分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的共垂线短等。如果利用函数关系求之比较困难，而运用两异面直线共垂线段最短则是解决问题的捷径。 3、解不等式法：在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解。 如：、、最小角定理所建立的不等关系等。 4、展开图法：它可将几何体表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分只管，由难化易。 5、变量分析法：透过现象看本质，在几何体重的点、线、面，哪些在动，哪些不懂，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法。 题型一 数量积的最值范围问题 【典例1】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）如图，正八面体棱长为4，空间动点满足，则的最大值为________. 【答案】8 【解析】设的中点为，由，则， 所以点落在以为球心，以1为半径的球上， 在正八面体中，， 则 ， 而，则， 所以的最大值为8. 故答案为：8.    【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【解析】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 【变式1-2】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）将边长为的正方形沿对角线折起，使点到达的位置，连接，得到三棱锥是线段上的动点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取棱的中点，连接，则. 以为原点，所在直线分别为轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，， 所以. 设，， 则，， 故. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是.    故选：B 【变式1-3】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），底面ABCD，底面ABCD，且，则的最小值与最大值的和为______． 【答案】 【解析】因为底面ABCD，AD，平面ABCD，所以，， 因为四边形ABCD为正方形，所以，所以AD，AB，AE两两垂直， 以A为坐标原点， 以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设， 则，， 所以． 因为，，所以当时，取得最小值； 当或1，或1时，取得最大值4． 则的最小值与最大值的和为． 故答案为： 题型二 空间角的最值范围问题 【典例2】（25-26高二上·山东德州·期中）如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正方体的棱长为1，且， 以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 则， 设，即 当时，；当或时，， 所以.故选：D. 【变式2-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形，平面 平面 ， . (1)证明: 平面 ； (2)若， 为 中点，，点 在平面 上，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为在四棱锥 中，四边形 是正方形，所以， 又平面 平面 ，且平面，所以平面 ， 因为平面 ，所以， 又，平面 ， 所以 平面 . （2） 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因，则有， 因为 为 中点，，则， ，即得. 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因平面过点，设， 则，， 所以， ， 设平面 的法向量为， 则，故可取， 设直线 与平面 所成的角为，因， 则， 可得当时取得最大值为； 所以直线 与平面 所成角的正弦值范围是. 【变式2-2】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图1，半圆的圆心为，直径为的中点，将扇形沿着翻折使到达的位置，如图，点分别在上且不与端点重合， (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）在半圆中，直径，为中点，则， 折后有， 由，得，则， 又平面， 因此平面，而平面， 所以. （2）由（1）得直线两两垂直， 以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 由，令，则， ， 设平面的一个法向量， 则，取，则， 得平面的一个法向量， 而平面的一个法向量， 因此 ， 由，得，， 则当时，， 所以平面与平面夹角余弦的最大值为. 【变式2-3】（24-25高二下·云南·期末）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，为锐角，，，分别是，，的中点． (1)证明：∥平面． (2)求二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）由题意证明如下， 连接，，，设，连接． 在中，，分别是，的中点，所以∥， 在中，，分别是，的中点，所以∥， ∴∥． ∵平面，平面， ∴∥平面． （2）由题意及（1）得， 过点作交于点． 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设， 则，． 设， 则，， 即， 则，． 设平面的法向量为， 则所以 可取． 由几何知识得，平面DCF的一个法向量为， ． 令， 则， 当且仅当，即，，等号成立， 所以． ∴二面角的余弦值的最大值为． 题型三 空间距离的最值范围问题 【典例3】（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，在棱长为3的正方体中，，点在底面（包含边界）上移动，且满足，则线段的长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，则，即， 所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则.故选：B. 【变式3-1】（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的取值范围为___________． 【答案】 【解析】因为正三棱柱中，为的中点， 取中点，连接，如图， 以为原点，，，为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 因为是棱上一动点，设，且， 因为，所以， 于是令，. 所以，. 又因为函数在上为增函数， 所以当时， 即线段长度的最小值为 当时，， 即线段长度的最大值为， 所以线段长度的取值范围为. 【变式3-2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知在三棱锥中，，,，,分别是直线和上的动点，存在实数，使得成立，则到直线距离的取值范围为______． 【答案】 【解析】以为原点，分别以，所在直线为轴、轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，． 因为，设，则， 所以，，解得， 又因为，所以，所以． 因为是直线和上的动点，设，， 则由得，， 因为表示以为起点，终点在直线上的向量，坐标为， 所以直线过定点，设为点， 再设是在平面内的投影，则， 设到直线的距离为，则到直线的距离， 当直线经过点时，取得最小值0， 当时，取得最大值． 所以，，即到直线距离的取值范围为． 【变式3-3】（26-27高二上·辽宁大连·阶段检测）如图，在长方体中，，，，分别为棱，上的动点（含端点）． (1)当点在什么位置时，有平面？ (2)当动点，满足时，求点到平面距离的取值范围． 【答案】(1)是棱上靠近点的四等分点；(2) 【解析】（1）如图，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，， 则，，，，，， ∴，，， ∴当要使平面， 需满足 由，解得． 是棱上靠近点的四等分点时，有平面． （2）设，，则，， ∴，，． 设平面的法向量为， 令，得到，， 得为平面的一个法向量． 点到平面的距离， 易知在区间上单调递减， 最大值为2，最小值为，∴． 即点到平面距离的取值范围为． 题型四 面积、体积的最值范围问题 【典例4】（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知正方体的棱长为，点是棱上的动点，则的面积的最小值为______. 【答案】 【解析】以为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 设， 所以 所以， 设直线与的夹角为， 则，所以 所以 所以当时，的面积的最小值为， 故答案为： 【变式4-1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】设平面与棱分别交于点，设，其中， 直线与平面交于点， 由点为外接球的球心，有， 又由，得到， 因为四点共面，所以，即. 易知：，其中为棱之间的夹角， 下面求的取值范围， 由， 又，可得，其中， 令，则，因此， 又因为，，所以. 故的最大值为，故选：B. 【变式4-2】（25-26高二下·湖南·期中）如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD，. (1)设钝二面角大小为a，求的值； (2)在棱上是否存在一点（不与端点重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；如不存在，试说明理由； (3)E点在上，F点在上，G点在上，求的面积取值范围. 【答案】(1)；(2)存在，；(3) 【解析】（1）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则可得； 令平面的法向量为， 则，即， 令，则可得， 所以， 因为二面角为钝二面角，所以， 则，所以； （2）若存在，设，, 则，故，所以， 设与平面所成角为， 所以， 即，所以或（舍去）， 所以存在点，且. （3）因为E点在上，F点在上，G点在上，所以 设， 则， 到的距离为， 所以的面积为 ， 对固定的，关于在上二次函数， 可以趋近一条直线，所以面积无最小值， 当时，面积取得最大值， 故. 【变式4-3】（24-25高二上·山东青岛·阶段检测）如图，四面体中，为等边三角形，且，为等腰直角三角形，且. (1)当时， （i）求二面角的正弦值； （ii）当为线段中点时，求直线与平面所成角正弦值； (2)当时，若，且平面，为垂足，中点为，中点为；直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的值. 【答案】(1)（i）；（ii）；(2)1 【解析】（1）（i）取的中点，连接， 因为为等腰直角三角形，且. 所以，则，所以， 又因为所以， 则，， 又因为，所以为二面角的平面角， ， 所以， 所以二面角的正弦值为. （ii）过点作轴垂直平面，又因为， 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， ，， 设平面的法向量为， 则， 取，可得，所以，， 设直线与平面所成角为， 所以 直线与平面所成角正弦值为. （2）取的中点，连接， 因为为等腰直角三角形，且. 所以，则，所以， 又因为所以， 则，，又因为， 所以，又因为， 平面，所以平面， 因为两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 设，因为， 所以由可得：， 所以，， 由（1）知，平面，又平面 所以，在上， 因为，所以， ，所以， 即，所以， 所以， 三棱锥体积为： ， 因为，当时，三棱锥体积最大为， 此时分别为，的中点，所以， ，，， 设，设， 因为， 所以，所以， 因为在平面上，所以设， 所以， 所以，解得：， 所以，所以. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·山西·期中）如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴， 以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. . 点在线段上运动， ，且. ， ， ， 即，故选：A. 2．（26-27高二上·浙江台州·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，动点M在线段上，动点P在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以D为坐标原点，以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如下空间直角坐标系， 依题意设，，， 则，，，， 则，，， 因为平面，则，解得， 则，所以， 又函数，是开口向上，且对称轴为的二次函数， 又，则其在时取最小值，且最小值为； 在，或时取最大值，且最大值为， 所以线段长度的取值范围为． 3．（26-27高二上·河北·阶段检测）在正方体中，点O为线段的中点，点P在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正方体的棱长为2，以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设， 则，，， 设平面的一个法向量为， 得到，令，解得， 可得为平面的一个法向量， 则直线OP与平面所成的角的正弦值如下， 得到， 由，可得， 所以. 综合进阶练（限时：30分钟） 1．（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，， 分别为的中点. (1)证明：平面平面； (2)若 ，动点在平面内，且，求的最大值； (3)若，求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为分别为的中点，所以，所以， 又因为，所以，又，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）连接交于点，连接，过作于， 因为，为的中点，所以为的中点，且为的中点， 又为的中点，所以，，又， 所以，又因为平面，所以平面， 又平面，所以，所以， 由（1）知平面平面，平面平面，， 所以平面，又动点在平面内，所以平面， 所以，所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，所以在圆上，所以的最大值为； （3）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 又因为，所以， 所以平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 2．（2026·河南开封·二模）如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面． (1)证明：； (2)记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值； (3)若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）平面，则，， 平面，则，， ，且是平面的法线， 平面， 又平面，平面平面， ， ， ． （2）   平面，且平面， 平面平面，交线为， 在平面内的投影在上，故直线与平面所成角 为 的余角，即， 设平面与平面的交线为，则，且 平面， 平面， 平面， ， 又 ， ， 二面角的平面角， ， ，则， ，为定值． （3）已知平面， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系， 已知，E为线段 的中点， 则， 设点， ， 设平面的法向量为，则 ，令 ，则， 点到平面的距离， 当时，分母最小， 最大， ． 3．（25-26高二下·广东佛山·阶段检测）为的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，，三棱锥体积的最大值为． (1)当时，求二面角的正弦值； (2)当的面积最大时，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设的半径为，则，， 因平面，故当三棱锥体积取得最大值时，中边上的高最大，即为半径长， 故有，解得. 如图以点为原点，所在直线分别为轴，以平面上过点的的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 因，易得，则， 又， 设平面的法向量为， 则，令，取， 易得平面的一个法向量为， 则， 设二面角的平面角为，则， 即二面角的正弦值为；    （2）由（1）可得，设，则，， ，则， 所以，则与同方向的单位向量为， 于是点到直线的距离为 ， 因的面积为，， 故当且仅当 时，的面积最大，此时. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $